Apostila - Ondas 1

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Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 1
MOVIMENTO ONDULATÓRIO 
 
Quando um inseto se move à noite a alguns centímetros de um escorpião, 
imediatamente o escorpião detecta-o e o mata para comer. O escorpião faz isto sem ver ou 
ouvir o inseto. Como o escorpião é capaz de detectar o inseto? 
 
1 – Ondas e Partículas 
 
Partículas e ondas são dois grandes conceitos da física. Estes dois conceitos são 
bastante diferentes. A palavra partícula sugere uma pequena concentração de matéria capaz de 
transmitir energia. A palavra onda sugere justamente o oposto, ou seja, uma grande 
distribuição de energia no espaço por onde ela passa. 
 
Ondas Mecânicas 
 
Uma bandeira tremulando devido ao vento é tão comum, que quando os astronautas 
(http://spaceflight.nasa.gov/mars/reference/flag/flag.html)pisaram na lua (onde não tem vento. 
Por que?) pela primeira vez, colocaram uma bandeira americana com ondulações para dar a 
impressão que a bandeira estava tremulando. Existem ondas na atmosfera, na água e na Terra. 
Estas ondas são denominadas de ondas mecânicas. A principal característica destas ondas é 
que elas são governadas pelas leis de Newton e necessitam de um meio material para se 
propagarem. 
 
Ondas Eletromagnéticas 
 
A onda eletromagnética mais comum para nós é a luz visível, porém convivemos com 
várias outras no nosso dia-a-dia, tais como os raios X (quem não fez ainda uma radiografia?), 
microondas (forno) e as ondas de radio e de televisão que recebemos em nossas casas. 
Fisicamente, é um campo elétrico perpendicular a um campo magnético. Voltaremos a este 
assunto em Física 3. Ao contrário das ondas mecânicas, as ondas eletromagnéticas não 
requerem um meio material para sua propagação. 
 
 
2 – Ondas Transversais e Ondas Longitudinais 
 
As ondas transportam energia e momento através do espaço, sem, porém transportar 
matéria. Em uma onda mecânica, este efeito é obtido através de uma perturbação no meio. 
Dependendo de como esta perturbação ocorre, classificamos as ondas em dois tipos. Ondas 
transversais são aquelas em a perturbação é perpendicular à direção de propagação (Figura 1). 
As ondas de gravidade (http://aerolume.df.ufpb.br:8080/filmes/borewaves.avi) na atmosfera são 
exemplos de ondas transversais (as moléculas oscilam para cima e para baixo). Veja uma 
interessante animação no seguinte endereço: 
http://surendranath.tripod.com/Twave/Twave01.html . 
 
As ondas longitudinais apresentam a perturbação na mesma direção da propagação 
(Figura 2). As ondas acústicas são exemplos de ondas longitudinais (as moléculas do gás, do 
líquido ou do sólido através do qual a onda se propaga oscilam para frente e para trás). Veja 
uma interessante animação em http://surendranath.tripod.com/Lwave/Lwave01.html . 
 
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 2
 
 
Fig. 1 - Exemplo de uma onda transversal. 
 
 
 
 
Fig.2 - Exemplo de onda longitudinal.
 
 
Pulsos Ondulatórios (Função de Onda) 
 
A Figura 3 mostra um pulso numa corda no instante 0=t . A forma da onda, neste 
instante, pode ser representada por uma função ( )´xfy = . Num instante posterior o pulso 
avançou sobre a corda. Num sistema de coordenadas com origem O’, que avança com a mesma 
velocidade do pulso, este pulso é estacionário. 
 
Fig. 3 – Pulso ondulatório que move sem alterar sua forma. O valor de x´ não é fixo. 
 
As coordenadas nos dois sistemas estão relacionadas por: 
 
vtxxvtxx -=¢Þ+= ´ . (1) 
 
Assim, a forma da corda no sistema de coordenadas original avançando para direita é: 
 
( )vtxfy -= . (2) 
 
No caso de uma onda avançando para esquerda teremos: 
 
( )vtxfy += . (3) 
 
Nas duas expressões anteriores, v é a velocidade de propagação da onda. A função 
( )vtxfy -= é a função de onda. No caso de ondas numa corda, a função de onda representa o 
deslocamento transversal dos segmentos da corda. Nas ondas acústicas no ar, a função de onda 
pode representar o deslocamento longitudinal das moléculas do ar, ou então a pressão. 
 
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 3
Velocidade das Ondas 
 
A velocidade das ondas depende das propriedades do meio, mas não depende do 
movimento da fonte das ondas; esta é uma propriedade geral do movimento ondulatório. 
Para ondas numa corda, quanto maior for a tensão na corda, mais rápida será a propagação 
das ondas. Além disso, as ondas se propagam mais rapidamente numa corda leve do que numa 
corda pesada, ambas sujeitas à mesma tensão. 
A velocidade (v) de propagação de uma onda numa corda, como mostraremos depois, é 
dada por: 
 
m
F
v = (4) 
 
onde F é a tensão na corda e m a densidade linear de massa (massa por unidade de 
comprimento). 
No caso de ondas acústicas num fluido como o ar ou a água, a velocidade ( )v de 
propagação é da por: 
r
B
 (5) 
 
onde B é o módulo de compressibilidade (já estudado no Capítulo de Fluidos) e r é a 
densidade do meio. 
Em geral, a velocidade das ondas depende de um a propriedade elástica do meio (tensão 
nas cordas e módulo de compressibilidade, nas ondas acústicas) e de uma propriedade inercial 
do meio (densidade linear de massa, ou densidade volumar). 
Mostraremos mais na frente que a velocidade ( )v do som num gás é dada por: 
 
M
RT
v
g
= (6) 
 
onde T é a temperatura absoluta em kelvins (K), g depende da espécie do gás. Nos gases de 
moléculas diatômicas O2 e N2, g tem o valor de 1,4. Como 98% do ar atmosférico é constituído 
por estes gases, este mesmo valor vale para o ar. A constante R é a constante dos gases ideais e 
vale 8,314 J/mol.K 
 
Demonstração da equação (4) 
 
Seja um pulso que se desloca para direita com velocidade v , ao longo de uma corda. Se 
a amplitude do pulso for pequena diante do comprimento da corda, a tensão F será 
aproximadamente constante em todo ponto. Num sistema de coordenadas que se desloca com 
velocidade v para direita, os pulso está estacionário e a corda se desloca com velocidade v . A 
Figura 4 mostra um pequeno segmento de uma corda de comprimento SD . Num certo instante, 
o segmento tem velocidade v numa trajetória circular e, por isso, tem uma aceleração 
centrípeta R
v2 . As forças que agem são a tensão F em cada extremidade. 
 
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 4
 
 
Fig. 4 – Pulso ondulatório numa corda (esquerda). Representação (direita) das forças que atuam sobre uma região 
da corda onde F é a força (tensão) sobre a corda e F´r é a força radial. 
 
A tensão na corda é F. O módulo do vetor F´r é dado por: 
2
tan.
q
FFr =¢ . Onde q um 
ângulo subtendido pelo segmento de corda e considerado pequeno. 
Quando as duas forças radiais (na figura é mostrada apenas aquela que está no lado esquerdo 
da corda) são somadas vetorialmente, a componente horizontal é anulada, ficando apenas a 
componente vertical FR que é expressa como sendo: 
 
Þ´=¢=
2
cos
2
tan.
2
cos
qqq
FFF rr 
 
2
sen.
q
FFr = 
 
A força radial resultante é: 
 
qqq FFFFr =÷
ø
öç
è
æ»=å 2
12
2
1sen2 (7) 
 
onde foi feito 22sen
qq » , considerando q muito pequeno. Se m for a densidade linear da 
corda a massa do segmento será Sm D= m . Também temos: 
R
SD=q (8) 
Assim podemos escrever qmm RSm =D= . Aplicando a segunda lei de Newton e 
utilizando a Eq. 7, teremos: 
 
R
v
R
R
v
mF
22
qmq == , (9) 
 
ou 
m
F
v = (10) 
 
 
 
F´R 
F 
qq/2 
qq /2 
FR 
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 5
A Equação de Onda 
 
A equação de onda relaciona as derivadas espaciais de ),( txy às derivadas temporais. A 
Figura 5 mostra um segmento isolado de uma corda. Admitindo pequenos deslocamentos 
verticais, a força resultante na direção vertical será:12 sensen qq FFF -=å . (11) 
 
Como os ângulos são pequenos podemos fazer qq tansen » , assim podemos escrever a Eq. (11) 
da seguinte forma: 
 
( ) ( )1tantansensen 212 qqqq -»-=å FFF (12) 
 
Fig. 5 – Segmento de corda tensionada. 
 
 
A tangente entre a corda e a horizontal é a inclinação (coeficiente angular) da curva 
descrita pela corda. A derivada de ( )),txy em relação a x , com t constante é dada por esta 
inclinação ( )S . A derivada parcial de y em relação a x é dada por x
y
¶
¶ . Assim, teremos: 
x
y
S
¶
¶== qtan (13) 
portanto 
SFSSFF D=-=å )( 12 (14) 
 
Aplicando a segunda lei de Newton temos: 
2
2
2
2
t
y
x
S
F
t
y
xmaSF
¶
¶=
D
D®
¶
¶D==D mm (15) 
 
No limite de 0®Dx , teremos: 
2
2
0
lim
x
y
x
y
xx
S
x
S
x ¶
¶=÷
ø
öç
è
æ
¶
¶
¶
¶=
¶
¶=
D
D
®D
 (16) 
 
onde substituímos S pela Equação (13). Assim a Equação (15) pode ser escrita da seguinte 
forma: 
 
2
2
2
2
t
y
Fx
y
¶
¶=
¶
¶ m
 . (17) 
 
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 6
A Equação (17) é a equação de onda de uma corda tensionada. É fácil mostrar que a 
equação de onda tem como solução qualquer função do tipo )( vtxy - , assim, podemos 
generalizar e escrever a equação de onda geral da seguinte forma: 
 
2
2
22
2 1
t
y
vx
y
¶
¶=
¶
¶
 (18) 
 
 
2 – Ondas Harmônicas Numa Corda 
 
Uma onda que pode ser representada por uma senóide ou cossenóide é denominada de 
onda harmônica (veja Figura 6). 
 
 
 
Fig. 6 – Onda harmônica em um dado instante. A abscissa é dada em termos de x expresso em função do 
comprimento de onda ou em termos de número de ondas. 
 
Numa corda, à medida que a onda se propaga, cada ponto da corda se desloca para 
cima e para baixo, perpendicularmente à direção de propagação, descrevendo um movimento 
harmônico simples, cuja a freqüência f é denominada freqüência da onda. Durante um 
intervalo de tempo (período da onda) fT
1= , a onda avança de uma distância l denominada 
de comprimento de onda. Desta forma velocidade da onda será dada por: 
ll f
T
v == (19) 
A função seno que descreve o deslocamento (para cima e para baixo) é: 
 
)sen()( d+= kxAxy (20) 
 
onde A é amplitude (deslocamento máximo), k é o número de onda (quantas ondas existem em 
um metro), e d é a constante de fase (deslocamento para 0=x ). 
Consideremos um ponto 1x separado de outro 2x por comprimento de onda ( )l , de modo 
que l+= 12 xx . Os deslocamento nos dois pontos são iguais, ou seja, )()( 21 xyxy = , assim 
 
( ) ( ) ( ) ( )ll kkxxkkxkx +=+== 1121 sensensensen , (21) 
 
esta igualdade trigonométrica só ocorre se pl 2=k Uma volta completa no círculo 
trigonométrico). Assim, podemos definir o número de onda angular, ou seja, quantas ondas 
temos em p2 radianos: 
l
p2=k . (22) 
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 7
 
Consideremos agora a onda se avançando para direita com velocidade v , a variável x 
na equação (21) passa a ser vtx - . Tomando a fase como zero podemos escrever: 
 
( ) ( ) ( )kvtkxAvtxkAtxy -=-= sensen, 
ou 
( ) ( )tkxAtxy w-= sen), (23) 
 
onde fizemos kv=w , freqüência angular, e está relacionada com a freqüência f e o período T 
por 
T
f
ppw 22 == . Note que a equação (23) tem duas variáveis. Veja uma interessante 
animação sobre a relação fpw 2= no link abaixo: 
 
http://surendranath.tripod.com/Twave/Twave01A.html 
 
 
Energia das Ondas Numa Corda 
 
A Figura 7 mostra uma rolha de cortiça dentro da água quando é interceptada por uma 
onda. A onda transfere energia para rolha. Esta energia aparece como um aumento na energia 
potencia da rolha 
 
Fig. 7 – Rolha de cortiça elevada por uma onda. 
 
Seja xD o comprimento do segmento de uma corda e xDm a respectiva massa ( )mD . O 
deslocamento em relação à posição de equilibro é dado pela função de onda )sen( tkxAy w-= . 
A velocidade é dada por dt
dy . A energia cinética do segmento será: 
( ) ( )
2
2
2
1
2
1
÷
ø
öç
è
æD=D=D
dt
dy
xvmK y m (24) 
 
Calculando a derivada em separado obtemos: 
 
( )( ) ( )tkxA
dt
tkxAd
dt
dy www -=-= cossen (25) 
 
Agora podemos escrever energia cinética da seguinte forma: 
 
( )tkxxAK wmw -D=D 222 cos
2
1
 (26) 
 
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 8
A energia potencial de um segmento é o trabalho realizado na elongação da corda e 
depende da inclinação dx
dy . No caso de pequenas inclinações, pode-se demonstrar que a 
energia potencial, a inclinação e a tensão F estão relacionadas por (ver Problema 123, Tipler, 
volume 1, 4a edição): 
 
x
dx
dy
FU D÷
ø
öç
è
æ»D
2
2
1
 (27) 
 
Calculando a derivada em separado temos: 
 
( )( ) ( )tkxkA
dt
tkxAd
dx
dy ww -=-= cossen (28) 
A tensão pode ser escrita como 2vF m= (utilizando a equação 4), ou 2
2
k
F mw= onde 
usamos kv
w= . 
 
A energia potencial será: 
( ) ( )tkxxAtkxxAk
k
U wmww
mw
-D=-D÷÷ø
ö
ççè
æ
=D 2222222
2
cos
2
1
cos
2
1
 (29) 
 
A Equação (29) da energia potencial coincide exatamente com a Equação (26) da 
energia cinética. A energia total será soma destas duas energias: 
 
( )tkxxAUKE wmw -D=D+D=D 222 cos (30) 
 
Calculando a energia média obtemos: 
xAEmed D=D
22
2
1 mw . (31) 
 
Este resultado é obtido pois o valor médio de )(cos 2 tkx w- é igual a ½ . A equação (30) 
também nos mostra que a energia de um segmento da corda varia com o tempo e que ela 
coincide com o resultado da energia média de um corpo de massa xDm oscilando com 
movimento harmônico simples preso numa mola. 
 
__________ 
Obs. A média de uma função num período T (=2p/v) é dada por: 
 
ò=
T
om
dttf
T
f )(
1
 
__________ 
 
 
Consideremos que uma onda em uma corda atinja um ponto 1p no instante 1t . A parte da 
corda à esquerda de 1p tem energia devido ao movimento harmônico simples dos seus 
segmentos, no entanto, a parte da corda à direita de 1p não tem energia pois seus segmento 
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 9
estão em repouso (veja Figura 8a). Depois de um tempo tD a onda avançou para direita de um 
distância v tD (veja Figura 8b). 
 
 
 
Fig. 8 – a) onda numa corda, direita de 1p sem energia. b) onda na corda, direita de 1p com energia. 
 
A energia média que passou pelo ponto 1p durante o intervalo de tempo tD é a energia 
média em x v tD = D , ou seja, 
2 21
2med
E A v tmwD = D (32) 
A potência média transmitida é dada pela taxa temporal de transmissão de energia: 
2 21
2
med
med
dE
P A v
dt
mw= = (33) 
 
A equação (33) mostra que a energia e potência média são proporcionais ao quadrado 
da amplitude. 
 
 
Ondas Sonoras Harmônicas 
 
As ondas sonoras harmônicas podem ser geradas, no ar, por um diapasão 
(http://www.ciagri.usp.br/~svcex/diapas.htm), por uma pessoa falando, ou por um alto-falante 
que esteja vibrando com movimento harmônico simples. A fonte de vibração provoca a 
oscilação das moléculas com suas vizinhanças em torno de um ponto de equilíbrio. Os choques 
entre moléculas vizinhas provocam oscilações semelhantes. Podemos descrever uma onda 
sonora através de uma função ),( txs que representa o deslocamento das moléculas em relação 
ao equilíbrio: 
)sen(),( 0 tkxstxs w-= (34) 
 
Os deslocamentos estão orientados na direção do movimento da onda e provocam 
variações da densidade e da pressão no ar. Figura 9 mostra a variação, com x, do 
deslocamento das moléculas. 
 
Como a pressão de um gás é proporcional à sua densidade, a variação de pressão (pois 
está superposta uma pressãode equilíbrio) é máxima quando a variação de densidade for 
também máxima. A Figura 9 mostra que a variação de densidade (ou pressão) está defasada do 
deslocamento de 90°. Quando deslocamento é nulo, a variação de densidade (ou pressão) é 
máxima ou mínima. Quando o deslocamento é máximo ou mínimo, a variação de densidade (ou 
pressão) é nula. Desta forma podemos representar uma onda sonora por uma onda de pressão 
dada por: 
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 10
( )2sen0 pw --= tkxpp (35) 
 
onde p é variação de pressão em relação á pressão de equilíbrio, 0p é o máximo (quando a 
função seno é igual um) desta variação de pressão. A amplitude da variação de pressão 0p está 
relacionada com a amplitude do deslocamento 0s por: 
 
00 vsp rw= (36) 
 
onde v é a velocidade de propagação e r a densidade do gás no equilíbrio. 
 
Nosso ouvido é sensível a sons de freqüências entre cerca de 20 HZ até cerca de 20.000 
HZ. Um ouvido humano normal consegue ouvir sons (dentro do limiar de audição) entre 3x10-5 
e 30 Pa. 
 
 
 
 
Fig. 9 – Gráfico do deslocamento das moléculas de ar num dado instante. Veja uma interessante animação com 
esta figura no seguinte endereço: http://www.explorescience.com/activities/Activity_page.cfm?ActivityID=50. 
 
 
Energia de Ondas Sonoras 
 
A energia média de uma onda sonora harmônica, num elemento de volume VD , é dada 
pela equação (31): 
xAEmed D=D
22
2
1 mw 
Por analogia podemos substituir A por 0s e xm D=D m ou Vm D=D r , tomando r 
como a densidade média do meio. Dessa forma: 
 
VsEmed D=D
2
0
2
2
1 rw (37) 
A energia média por unidade de volume é a densidade de energia média ( )medh : 
 
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 11
2
0
2
2
1
s
V
Emed
med rwh =D
D= (38) 
 
 
3 – Ondas em Três Dimensões 
Estas ondas são geradas por uma fonte puntiforme que oscila com movimento harmônico 
simples. O comprimento de onda é a distancia entre cada superfícies esféricas (concêntricas) 
sucessivas. Cada superfície esférica é uma frente de onda. 
 
O movimento das frentes de onda pode ser representados por raios que são retas 
perpendiculares às frentes de onda. 
 
A distâncias muito grandes de uma fonte, uma pequena parte da frente de onda pode ser 
representada por um plano (ondas planas). 
 
 
 
Fig. 10 – Frente de ondas esféricas divergindo de uma fonte puntiforme. 
 
 
Intensidade das Ondas 
 
A potência média por unidade de área perpendicular à direção de propagação é a 
intensidade da onda e é dada por: 
A
P
I med= . (39) 
 
 
 
Fig. 11 – Determinação da intensidade de uma onda num certo ponto. 
 
 
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 12
A uma distância r de uma fonte puntiforme, que emite uniformemente em todas as 
direções, a intensidade é: 
24 r
P
I med
p
= . (40) 
 
A intensidade de uma onda varia com o inverso do quadrado da distancia. A unidade da 
Intensidade no SI é watts/m2. 
 
A Figura 12 mostra uma onda esférica que atingiu uma distancia 1r . O volume dentro da 
esfera de raio 1r contém energia, pois nesta região as partículas estão oscilando 
harmonicamente. 
 
 
 
Fig. 12 – Volume da casca = A tvD . Onde A é a área da casca esférica de raio r1. 
 
 
A região fora da esfera de raio 1r não contém energia, pois a onda ainda não atingiu 
esta região. Após um intervalo tD a onda avançou um distancia tvr D=D . A energia média na 
casca esférica de área A , espessura tvD e volume VD é dada por: 
 
tAvVE medmedmed D=D=D hh (41) 
 
A potencia média que entra na casca será dada por: 
Av
t
tAv
t
E
P med
medmed
med h
h =
D
D=
D
D= (42) 
Assim, a intensidade será: 
v
A
Av
A
P
I med
medmed hh === (43) 
 
A equação (43) mostra que a intensidade de uma onda é igual ao produto da densidade 
média de energia pela velocidade de fase da onda. 
Utilizando a equação (38) determinamos a intensidade de uma onda sonora: 
v
p
vsvI med r
rwh
2
02
0
2
2
1
2
1 === , (44) 
 
onde fizemos v
ps rw
0
0 = . Este resultado é geral para qualquer tipo de onda, ou seja, a 
intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude. 
 
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 13
 
 
Fig. 13 - O ouvido humano consegue ouvir um som cuja intensidade mínima é de 1x10-12W/m2. A intensidade 
máxima, em que o ouvido sente dor, é de 1W/m2. 
 
 
Nível de Intensidade e Sonoridade 
 
A sensação psicológica de sonoridade (volume do som) varia aproximadamente com o 
logaritmo da intensidade e não com a própria intensidade. Pra descrever o nível de intensidade 
de uma onda sonora adota-se uma escala logarítmica b . A unidade de medida é o decibel (dB), 
definido por: 
0
log10
I
I=b (45) 
onde I é intensidade do som e oI é o limiar da audibilidade (10
-12 W/m2) 
 
Nesta escala teremos: 
( )ïïî
ïï
í
ì
===®
==®
- dBdordeSensação
dBdeaudibilidadaLimiar
12010log10
10
1
log10
0
I
I
10log
12
12
0
0
b
b
 
 
__________ 
 
Obs. Se y = log (x), então x = 10 y. 
__________ 
 
Exemplo 
Ao ladrar, um cachorro emite cerca de 1 mW de potência. a) Se esta potência estiver 
uniformemente distribuída em todas as direções, qual o nível de intensidade do latido a uma 
distância de 5 m? b) Qual seria o nível de intensidade se dois cachorros estivessem latindo ao 
mesmo tempo, cada um emitindo 1 mW de potência? 
 
Solução: 
Calculamos o de intensidade utilizando a equação 24 r
PI p= .O nível de intensidade e a 
intensidade estão relacionados por 
0
log10 I
I=b . Assim, a intensidade para mr 5= será: 
( )
26
2
3
2 /1018,354
10
4
mWx
r
P
I -
-
===
pp
 
Agora podemos calcular o nível de intensidade: 
 
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 14
dBX
x
I
I
65)1018,3log(10
10
1018,3
log10log10 6
12
6
0
====
-
-
b 
Se considerarmos 1I a intensidade do latido de um cachorro, a intensidade para os dois 
será 12 2II = . Desta forma, o nível de intensidade para os dois cachorros será: 
dB
I
I
I
I
I
I
o
68log10log102log2
2
log10log10
0
1
0
12
2 =+=+=== bb 
este exercício mostra que se a potência estiver distribuída uniformemente, se a intensidade for 
duplicada o nível de intensidade aumenta de 3 dB. Veja uma simulação da variação de 3 dB em 
relação a um nível de referencia no endereço: http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/15-5/ 
 
Nota: Se o cachorro estivesse no chão, poderíamos dizer que o som propagaria uniformente num 
hemisfério (metade de uma esfera). Neste caso, a área deve ser dada por 2pr2. 
 
A sensação de sonoridade depende da freqüência e também da intensidade do som. A 
Tabela 1 mostra a intensidade em dB de algumas fontes sonoras. A Figura 14 mostra a 
intensidade, o nível de intensidade e a variação de pressão em função da freqüência. 
 
Tabela 1 – Fontes sonoras e suas respectivas intensidades 
 
Fonte 
0I
I dB Descrição 
 100 0 Limiar da audibilidade 
Respiração normal 101 10 Quase inaudível 
Folhas sussurrantes 102 20 
Murmúrios (a 5 cm) 103 30 Muito silencioso 
Biblioteca 104 40 
Escritório tranqüilo 105 50 Silencioso 
Conversação normal (a 1 m) 106 60 
Tráfego pesado 107 70 
Escritório barulhento; fábrica comum 108 80 
Caminhão pesado (a 15 m) 109 90 Exposição constante prejudica a 
audição 
Trem de metrô 1010 100 
Construção civil (a 3 m) 1011 110 
Concerto de rock com amplificadores 
(a 2 m; decolagem de jato (a 60 m) 
1012 120 Limiar de audição dolorosa 
Martelo pneumático; metralhadora 1013 130 
Decolagem de jato (nas vizinhanças) 1015 150 
Motor de foguete de grande porte (nas 
vizinhanças)1018 180 
 
 
 
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 15
 
 
Fig. 14 – Gráfico mostrando a intensidade, o nível de intensidade e a variação de pressão em função da freqüência. 
Note que o ouvido humano é mais sensível, em todos os níveis de intensidade, aos sons com freqüências aproximada 
de 4 kHz. 
 
 
4 – Ondas Sonoras Encontrando Obstáculos 
 
0 comportamento de uma onda sonora ao atingir uma superfície é semelhante àquele que 
ocorre com uma onda luminosa ao incidir, por exemplo, num vidro ou num espelho. Ou seja, ela 
sofre reflexão e/ou transmissão na interface destes dois meios. O ângulo que uma onda 
luminosa é transmitida e/ou refletida depende dos índices de refração destes meios (este assunto 
é melhor estudado num curso de Ótica); no caso de uma onda sonora, as velocidades das ondas 
nestes meios, mais especificamente, é quem vai dizer o comportamento do raio transmitido e do 
refletido. Em três dimensões, a fronteira entre duas regiões onde as velocidades são diferentes é 
uma superfície. A Figura 15 mostra um raio incidindo sobre uma superfície. 
 
 
 
Fig. 15 – Onda atingindo a fronteira de dois meios nos quais a velocidade da onda é diferente. Parte da onda é 
refletida e parte da onda é transmitida. A mudança na direção do raio transmitido é a refração. 
 
 
Quando uma onda sonora incide sobre uma fronteira que separa duas regiões onde as 
velocidades da onda são diferentes, esta onda pode ter uma parte refletida e outra transmitida. 
 
Reflexão – dizemos que ocorreu reflexão quando a onda (ou parte dela) é refletida. 
 
Refração – dizemos que ocorreu refração quando a onda (ou parte dela) é transmitida. 
Veja duas interessantes simulações nos endereços a seguir: 
http://surendranath.tripod.com/Twave/TwaveRefTran/TwaveRefTran.html 
http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/propagation/propagation.html 
v1 
v2 
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 16
O raio (linha reta perpendicular a frente de onda) transmitido aproxima-se ou afasta-se 
da normal conforme a velocidade da onda no segundo meio seja menor ou maior do que a 
velocidade no meio inicial. À medida que o ângulo de incidência aumenta (Figura 16), o ângulo 
de refração também aumenta, até que se atinge um ângulo de incidência crítico para qual o 
ângulo de refração é de 90°. Se o ângulo de incidência for maior do que este ângulo crítico, não 
ocorrerá mais refração, e ocorrerá um fenômeno denominado de reflexão total. Este fenômeno é 
utilizado na fabricação de fibras óticas. 
 
 
 
Fig. 16 – Variação do ângulo de incidência. 
 
Veja uma interessante simulação no endereço abaixo: 
http://people.deas.harvard.edu/~jones/cscie129/applets/optics/java/totintrefl/index.html 
 
Difração- Quando uma onda incide sobre uma barreira provida de uma pequena 
abertura, passa através da abertura propagando-se como uma onda esférica ou circular. Veja 
uma um interessante applet sobre difração no endereço: 
http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/kap13/cd372.htm 
 
Embora as ondas que encontram uma abertura sempre se difratem, a difração depende 
de o comprimento de onda ser pequeno ou grande em relação ao tamanho da abertura. Se o 
comprimento de onda for muito maior do que a abertura os efeitos da difração são notáveis, 
caso contrário não ocorre difração. 
 
A difração estabelece um limite na exatidão da localização de pequenos corpos por 
reflexão de ondas sonoras. 
 
As ondas sonoras com freqüências acima de 20.000 Hz são os ultra-sons. Os morcegos, 
por exemplo, emitem e percebem ultras com freqüências da ordem de 120.000 Hz 
(correspondendo a comprimento de onda de 2,8 mm). Na medicina, os ultra-sons são usados no 
levantamento de diagnóstico. Veja interessante applet sobre este assunto nos seguinte endereço: 
http://www.explorescience.com/activities/Activity_page.cfm?ActivityID=43 
 
 
5 – O Efeito Doppler 
 
Quando uma fonte de ondas e o receptor estão em movimento relativo, a freqüência 
observada não coincide com a freqüência emitida. Quando a fonte e receptor se aproximam um 
do outro, a freqüência observada é maior do que a freqüência emitida. Quando os dois se 
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 17
afastam um do outro, a freqüência observada é menor do que a emitida. Exemplo bem comum e 
o da variação da altura do som de um carro quando se aproxima de um observador. 
 
Considere uma fonte de freqüência 0f em movimento com velocidade su em relação ao 
meio. As ondas na direção para frente da fonte estão comprimidas, e as emitidas para trás estão 
mais espaçadas (veja figura 17). Seja v a velocidade das ondas em relação ao meio. Esta 
velocidade depende exclusivamente das propriedades do meio e não do movimento da fonte. 
Num intervalo de tempo tD , a fonte emite N ondas, onde tfN D= 0 , pois 0f é o número de 
onda por unidade de tempo ( )tNf D=0 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 17 – Frentes de ondas sucessivas emitidas por uma ponte puntiforme que move para direita com velocidade 
su . Veja uma interessante simulação sobre o efeito Doppler no endereço: 
http://www.explorescience.com/activities/Activity_page.cfm?ActivityID=45 
 
 
A primeira frente de onda avança de uma distância tvD , enquanto a fonte cobre a 
distância tusD . O comprimento ´l de onda na frente da fonte será a distância ocupada pelas 
ondas ( ) tuv s D- , dividida pelo número de ondas: 
 
( ) ( )
0
´
f
uv
tf
tuv
N
tuv s
o
ss -=
D
D-=D-=l (46) 
Atrás da fonte temos: 
0
´
f
uv s+=l (47) 
 
Outra situação é aquela em que a fonte está parada e o receptor move-se com velocidade ur. Se 
rv é a velocidade relativa entre as ondas (v) e o receptor, o número de ondas que passam pelo 
receptor no tempo tD é igual ao número de ondas na distância tvrD (veja Figura 18): 
 
( )
t
uvtv
N rr D±=D=
´´ ll
, (47) 
 
Valendo o sinal negativo para frente da fonte (receptor se aproximando da fonte) e o 
negativo para trás (receptor se afastando da fonte). 
 
us 
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 18
 
 
Fig. 18 – O número de ondas que passam por uma receptor estacionário, durante o intervalo de tempo tD , é igual 
ao número de ondas na distância tvD ( v é a velocidade da onda). Se o receptor se aproxima da fonte com 
velocidade ru , passa também pelo número extra de ondas na distância . 
 
 
A freqüência observada é o número de ondas dividido pelo intervalo de tempo: 
 
( ) ( )
´
´´
l
l r
r uv
t
tuv
t
N
f
±=
D
D±
=
D
= (48) 
 
Se o receptor estiver parado temos 0=ru , a freqüência será: 
 
( ) ( ) 00 1
1
´
´ f
v
u
f
uv
v
f
uv
vv
f
ss
o
s ±
=
±
=±== l
 (49) 
 
A Equação (49) é válida para a fonte em movimento e o receptor estacionário. Quando a 
fonte está em movimento aproximando-se do receptor, a freqüência aumenta e vale o sinal 
negativo da Equação (49), caso contrário à freqüência diminui e vale o sinal positivo. 
Se a fonte estiver estacionária, 
0
0´ f
v== ll , a freqüência observada será: 
 
00
0
1´ f
v
u
f
v
uv
f
v
uv
f rrr ÷
ø
ö
ç
è
æ ±=
±
=
±
= (50) 
 
Combinando as Equações (46-48) podemos obter uma equação geral: 
 
00
0
1
1
´
´ f
v
u
vu
f
uv
uv
f
uv
uvuv
f
s
r
s
r
s
rr
±
±=
±
±=
±
±=±=
l
 (51) 
 
O sinal (negativo ou positivo) é determinado a partir do movimento relativo entre fonte e 
receptor. Por exemplo, se a fonte se move na direção do receptor e este também se move na 
direção da fonte, o sinal positivo vale no numerador e o negativo no denominador. Lembrando 
que a freqüência aumenta quando fonte e receptor se aproximam e diminui quando se afastam. 
 
Notas deaula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 19
Pode-se mostrar que, se su e ru forem muito menores do que a velocidade da onda v , o 
deslocamento de freqüência é dados, aproximadamente, por: 
 
( )vu
v
u
f
f <<±»D
0
 , (52) 
 
onde rs uuu ±= é a velocidade relativa entre a fonte e o receptor. 
 
E o meio estiver em movimento, por exemplo o ar com uma corrente de vento, a 
velocidade da onda é substituída por wuvv ±=´ , em que wu é velocidade do vento. 
 
Exemplo 
A freqüência de uma buzina de carro é de 400 Hz. Calcular a) o comprimento de onda do som e 
b) a freqüência observada se o carro estiver com a velocidade de us = 34 m/s (cerca de 122 
km/h) em relação ao ar tranqüilo esse aproxima de um receptor estacionário. Tomar como 340 
m/s a velocidade do som no ar. c) calcular a freqüência observada se o carro estiver 
estacionário e o receptor se mover com a velocidade de us = 34 m/s na direção da buzina. 
 
Solução: 
a) As ondas da frente estão comprimidas então adotamos o sinal negativo na equação (46). 
m
f
uv
o
s 765,0
400
34340 =-=
-
=l 
 
b) Calculamos a freqüência utilizando a seguinte equação: 
Hz
v
f 444
765,0
340
´
´ ===
l
 
 
c) Para o receptor em movimento, a freqüência observada é dada pela equação (50). Neste caso 
o comprimento não se altera, porém um maior número de ondas passa pelo receptor num certo 
intervalo de tempo. O sinal desta equação é tomado positivo, pois a freqüência aumenta. 
 
( ) Hz
v
u
ff r 4401,1400
340
34
14001´ 0 ==÷ø
öç
è
æ +=÷
ø
öç
è
æ += 
 
 
Ondas De Choque 
 
Se a fonte se desloca com velocidade maior do que a velocidade da onda, não haverá 
ondas na frente da fonte. Ao contrário, as ondas se acumulam atrás da fonte e constituem uma 
onda de choque. No caso de ondas sonoras, esta onda de choque se manifesta como um estrondo 
sônico (veja Figura 19). 
 
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 20
 
 
Fig. 19 – Ondas de choque de um veículo supersônico 
 
Na Figura 20 uma fonte está no ponto 1P , movendo-se para direita com velocidade u . 
Depois de um certo tempo t , a onda emitida do ponto 1P avançou a distância vt . A fonte 
avançou a distância ut e estará np ponto 2P . A reta que passa pela nova posição da fonte e é 
tangente à frente da onda em 1P faz um ângulo q com a trajetória da fonte e se tem 
 
u
v
ut
vt ==qsen (52) 
 
 
 
Fig.20 – Fonte com velocidade u maior do que a velocidade da onda v. A envoltória das frentes de onda é uma 
superfície cônica com vértice na posição da fonte. 
 
 
A onda de choque fica confinada num cone cuja abertura aumenta à medida que a 
velocidade da fonte aumenta. O número de Mach é definido como sendo a razão entre a 
velocidade da fonte e a velocidade da onda. 
 
v
uMachdeNumero = (53) 
 
 
 
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 21
Exercícios 
 
1) A função de onda de uma onda harmônica numa corda é ( ) )5,32,2sen(03,0, txtxy -= , x está em 
metros e t em segundos. a) Em que direção a onda avança e qual a sua velocidade? b) Calcular o 
comprimento de onda, a freqüência e o período da onda. c) Qual o deslocamento máximo de qualquer 
segmento da corda? d) Qual a velocidade máxima de qualquer segmento da corda? 
 
2) Uma onda de comprimento de onda de 35 cm e amplitude de 1,2 cm desloca-se ao longo de uma corda de 
15 m, cuja massa é de 80 g e sujeita a uma tensão de 12 N. (a) Qual a velocidade e a freqüência angular 
da onda? b) Qual a energia total média da onda na corda. 
 
3) Nosso ouvido é sensível a sons de freqüências entre cerca de 20 Hz até cerca de 20.00 Hz. Se a velocidade 
do som no ar for de 340 m/s, que comprimentos de onda correspondem a estas freqüências. 
 
4) O diafragma de um alto-falante tem 30 cm de diâmetro e vibra a 1 kHz com a amplitude de 0,020 mm. 
Admitindo que a amplitude das moléculas de ar nas vizinhanças do diafragma seja também de 0,020 mm, 
calcular a) a amplitude da variação de pressão na região vizinha e à frente do diafragma, b) a intensidade 
do som na frente do diafragma e c) a potência acústica irradiada pelo diafragma. d) Se a irradiação do 
som for uniforme no hemisfério frontal ao diafragma, calcular a intensidade do som a 5 m do alto-falante. 
e) Por que a hipótese da uniformidade da radiação no hemisfério frontal não é correta? 
 
 
5) Um absorvedor acústico atenua de 30 dB o nível de intensidade sonora. Qual o fato de decréscimo da 
intensidade? 
 
6) Um trem, a 90 km/h, aproxima-se de uma estação onde está um ouvinte e faz soar a sua buzina, cuja 
freqüência é de 630 Hz. (a) Qual o comprimento de onda das ondas na frente do trem? b) Qual a 
freqüência do som percebido pelo ouvinte? Use a velocidade do som como 340 m/s. 
 
7) Num instante t=0, um avião supersônico está na vertical do ponto P e avança para leste a uma altitude de 
15 km. O estrondo sônico é ouvido em P quando o avião está 22 km a leste do ponto P. Qual a velocidade 
do avião? 
 
8) Sobrevoando um poço do inferno, um demônio observa que os gritos de um condenado em queda com a 
velocidade terminal variam de freqüência de 842Hz a 820Hz. a) Calcular a velocidade terminal do 
condenado; b) os gritos do condenado refletem-se no fundo do poço. Calcular a freqüência do eco 
percebido pelo condenado em queda; c) calcular a freqüência do eco percebido pelo demônio. (Tipler 4a 
Ed., problema 15-115) 
 
Solução: Se o condenado em queda está sobre o demônio, então este o escuta com a freqüência de 842Hz(fonte se 
aproximando). Ao passar pelo demônio, este escuta-o com uma freqüência de 820Hz (fonte se afastando). Em 
termos de equações, temos: 
ur = 0, pois o demônio está parado. Usando a Equação 51, obtemos: 
 
0
0
340
1*820
1
820 fu
v
u
f s
s
=÷
ø
öç
è
æ +Þ
+
= (fonte se afastando) (1) 
0
0
340
1*842
1
842 f
u
v
u
f s
s
=÷
ø
öç
è
æ -Þ
-
= (fonte se aproximando) (2) 
 
resolvendo as equações acima, obtemos que a freqüência emitida pelo condenado é f0 = 830,9 Hz e sua velocidade 
terminal (us) é igual a 4,5m/s. 
 
b) O som emitido pelo condenado e que se propaga em direção ao fundo do poço tem uma freqüência de 842Hz. 
Esta é a freqüência que irá ser refletida( pois o fundo do poço está parado). Neste caso, o fim do poço é uma fonte 
estacionária emitindo nessa freqüência. Assim, se o condenado se move em direção a uma fonte (fim do poço) que 
emite uma freqüência de 842Hz, este perceberá o som na seguinte freqüência (Equação 51 com us=0m/s e f0 = 
842Hz): 
 
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 22
 feco = (1 + 4,5/340)*842 = 853Hz. 
 
c) O eco percebido pelo demônio é igual ao som refletido pois o demônio está parado com relação a fonte que 
também está parada. Ou seja, 842Hz. 
 
9) Um apito que emite continuamente a 500Hz descreve um círculo de 1 m de raio a 3 rev/s. Qual a 
freqüência máxima e a mínima percebida pelo ouvinte no plano do círculo, a 5 m do centro do círculo? 
(Tipler 4a Ed., problema 15-104) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Freqüência maior: 
 
antes é necessário calcular a velocidade escalar do apito, ou seja: v=w.r Þ v = 3.2.p .1 Þ 
 
v = 6p m/s. 
 
 
Da Equação 51, temos: 
 
.529
340
6
1
500
1
1
´ 0 Hzff
v
u
vu
f
s
r =
-
=¢Þ
±
±
= p 
 
Para a situação em que o apito move se afastando do receptor, temos: 
 
.474
340
6
1
500
1
1
´ 0 Hzff
v
u
vu
f
s
r =
+
=¢Þ
±
±
= p 
 
Se você fosse o ouvinte, você escutaria uma variação na freqüência do som do apito a medida que ele se afastasse 
ou se aproximasse de você. 
 
 
 
 
Exercícios para casa 
Vide o livro 4 a edição (capítulo 15) 
De 1 a 8, 23 a 27, 33 a 38, 39 e 40, 51 e 52,68 a 72 
 
apito 
Oapito gira no sentido anti-horário (suponha), assim, 
a seta inferior do círculo indica que o som se propaga 
na direção do ouvinte. Logo, neste caso a freqüência 
percebida aumenta. 
 
A distância entre o apito e o receptor não influencia 
no resultado.