Unidade 3 - Regressão Linear

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Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Regressão Linear
Unidade 3
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Ementa
3.1 – Reta dos mínimos quadrados
3.2 – Ajuste da reta de regressão linear simples
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Na unidade anterior estudamos a medida da
intensidade de correlação entre duas variáveis.
Se chegarmos à conclusão de que há uma grande
correlação linear entre as variáveis, devemos
determinar qual relação é essa.
A determinação da relação linear entre duas
variáveis é chamada de regressão linear.
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Dada uma coleção de dados amostrais
emparelhados, a equação de regressão
descreve a relação entre as duas variáveis. O gráfico
da equação de regressão é chamado de reta de
regressão (ou reta de melhor ajuste, ou reta de
mínimos quadrados).
xbby 10ˆ 
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Esta equação descreve a relação entre x (chamada
variável independente ou variável preditora) e
(chamada variável dependente ou variável
resposta).
Na equação, b0 é chamado de intercepto y e b1 é o
coeficiente angular.
Para o cálculo de b0 e b1, utilizamos as fórmulas a
seguir.
yˆ
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Repare que os dados necessários para o cálculo de b0
e b1 são os mesmos para o cálculo do coeficiente de
correlação linear r, o que torna a determinação de
uma reta de regressão muito simples após o cálculo
do coeficiente de correlação.
    
   221 




xxn
yxxyn
b
n
xby
b
 

1
0
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Variação marginal:
Ao trabalharmos com duas variáveis relacionadas
por uma equação de regressão, a variação marginal
em uma delas é o quanto ela varia quando a outra
variável sofre uma variação de exatamente uma
unidade. A variação marginal é igual ao valor do
coeficiente angular da reta b1.
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Outliers:
Em um diagrama de dispersão, um ponto extremo
(outlier) é um ponto que está muito afastado dos
demais pontos.
Pontos de influência:
Os dados amostrais emparelhados podem conter um
ou mais pontos de influência, que são pontos que
afetam fortemente o gráfico da reta de regressão.
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Predições:
As equações de regressão podem ser úteis quando
usadas para predizer o valor de uma variável, dado
um valor determinado da outra variável.
Se a reta de regressão se ajusta bem aos dados, então
tem sentido utilizar uma equação para fazer
predições.
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Na ausência de correlação linear significativa, não
podemos usar a equação de regressão para projetar
ou predizer.
Em vez disso, a melhor estimativa da segunda
variável é simplesmente a sua média.
Devemos também lembrar que não podemos
extrapolar os valores da variável independente, pois
não sabemos o comportamento da variável
dependente y para valores não determinados de x.
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Exemplo:
Os pesos de ursos machos podem ser determinados
pelo seu comprimento?
Como visto anteriormente, há uma correlação entre o
peso e o comprimento dos ursos.
Determine agora a reta de regressão que relacione o
peso dos ursos com o seu comprimento.
Comprimento em pol (x) 53,0 67,5 72,0 72,0 73,5 68,5 73,0 37,0
Peso em libras (y) 80 344 416 348 262 360 332 34
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Resolução: Como visto anteriormente, este é o
gráfico de dispersão dos dados.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 10 20 30 40 50 60 70 80
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Calculando agora o valor de b0 e b1:
    
   221 




xxn
yxxyn
b
    
   
659,9
75,9433
91128
5,51675,345258
21765,5161518798
21



b
66,351
8
5,516659,92176
0 

b
n
xby
b
 

1
0
Equação da reta: = 9,659x – 351,66
yˆ
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A reta de regressão será:
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 10 20 30 40 50 60 70 80
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Desta forma, podemos agora prever quanto pesará
um urso macho que meça 71,0 polegadas:
= 9,659x – 351,66
= 9,659.71 – 351,66
= 334,13 libras
A variação marginal é de 9,659, que diz que para
cada polegada de tamanho que o urso cresça, ele
pesará mais 9,659 libras.
yˆ
yˆ
yˆ
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- Qualidade do modelo de regressão linear:
Definições:
Desvio total: distância vertical 
yy 
Desvio explicado: distância vertical 
yy ˆ
Desvio não-explicado: distância vertical , 
também chamado de resíduo.
yy ˆ
y
= valor observado
y
= média dos valores observados
yˆ
= valor predito pela equação de regressão
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a: Desvio Total: Valor Real – Média
a
c: Desvio Não Explicado: Valor Real – Predito
c
b: Desvio Explicado: Valor 
Predito – Média
b
yy 
yy ˆ
yy ˆ
y
y
yˆ
y
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Mais definições:
Variação total: soma dos quadrados dos desvios
totais
2)( yy 
Variação explicada: soma dos quadrados dos desvios
explicados
2)ˆ( yy 
2)ˆ( yy 
Variação não-explicada: soma dos quadrados dos
desvios não-explicados
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(d. Total) = (d. explicado) + (d. não-explicado)
yy 
=
yy ˆ
+
yy ˆ
(v. total) = (v. explicada) + (v. não-explicada)
De maneira análoga:
2)( yy  = 2)ˆ( yy  + 2)ˆ( yy 
Relações entre os desvios:
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Coeficiente de determinação:
Definição: Valor da variação de y que é explicado
pela reta de regressão.
 totalvariação
explicada variação2 r





2
2
2
)(
)ˆ(
yy
yy
r
Obs.: Podemos calcular r2 tanto pela definição
acima, como simplesmente elevando ao quadrado o
coeficiente de correlação linear r
r2 sempre assumirá valores entre 0 e 1
ou
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Exercício:
Os dados emparelhados abaixo consistem nos pesos
totais (y) de plástico descartados e tamanhos de
residências (x).
Determine a equação de regressão, a variação
explicada, a variação não explicada, a variação total
e o coeficiente de determinação.
Peso 0,27 1,41 2,19 2,83 2,19 1,81 0,85 3,05
Tamanho 2 3 3 6 4 2 1 5
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