Unidade 2 - Coeficiente de Correlação

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Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha 
Coeficiente de Correlação
Unidade 2
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha 
Ementa:
2.1 – Diagrama de Dispersão
2.2 – Coeficiente de Correlação Linear
2.3 – Uso e aplicabilidade do coeficiente de
correlação linear
2 – Coeficiente de Correlação
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2 – Coeficiente de Correlação
2.1 – Diagrama de dispersão dos dados
Existe correlação entre duas variáveis quando uma
delas está de alguma forma relacionada à outra.
As exigências para se fazer uma análise de
correlação são:
1 – As amostras devem ser aleatórias;
2 – Os pares de dados (x,y) têm uma distribuição
normal bivariada.
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Uma das primeiras análises a ser feita é observar o
diagrama de dispersão dos dados amostrais. A sua
forma pode indicar se temos uma correlação entre as
variáveis.
y
x
....
.....
....
.
.
Correlação positiva entre x e y
y
x
..
Correlação negativa entre x e y
. .. .. .. ..
.
2 – Coeficiente de Correlação
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2.2 – Coeficiente de Correlação
Mas como verificamos se a aparente correlação é
suficiente? Como podemos ter idéia da força desta
correlação?
Para medir a força do relacionamento, utilizamos o
coeficiente de correlação.
Este coeficiente também é chamado de coeficiente de
correlação linear, coeficiente de correlação
momento-produto de Pearson e coeficiente de
Pearson, em homenagem a Karl Pearson.
2 – Coeficiente de Correlação
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Este coeficiente é calculado com a seguinte fórmula:
  
  



2222 )().(.)().(
)).((.
yynxxn
yxxyn
r
r = Coeficiente de correlação linear;
n = Número de pares de dados presentes;
x = É a soma de todos os valores de x;
x2 = Somar os quadrados dos valores de x;
(x)2 = Somar os valores de x e elevar o total ao quadrado.
Não confundir x2 com ( x)2;
xy – Multiplicar cada valor de x pelo valor de y e somar os
produtos.
2 – Coeficiente de Correlação
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Como r é calculado com base em dados amostrais,
ele é uma estatística amostral. Se conhecêssemos
todos os pares de dados (x,y) da população, o
coeficiente de correlação seria denotado pela letra
grega ρ (rô).
Nota importante: ao realizar o cálculo do valor de r,
evite arredondar os valores, pois isso pode levar a
erros grosseiros.
2 – Coeficiente de Correlação
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Características de r:
1 – o valor de r está sempre entre -1 e 1.
2 – o valor de r não varia se todos os valores de
qualquer uma das variáveis são convertidos para
uma escala diferente.
3 – o valor de r não é afetado pela escolha de x ou y.
Permutando todos os valores de x e y, r permanecerá
inalterado.
4 – r mede a intensidade, ou grau, de um
relacionamento linear. Não se serve para medir um
relacionamento não-linear.
2 – Coeficiente de Correlação
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E qual valor de r representará um relacionamento
forte?
Para determinarmos isso, recorremos à tabela a
seguir, ou realizamos um teste de hipóteses.
No caso da tabela, se o módulo do valor encontrado
para r for superior ao valor da tabela, temos um grau
de relacionamento forte, caso contrário, supomos que
não existe relacionamento linear.
Nesta tabela, α indica o nível de significância do
resultado (quanto menor melhor).
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n α=0,05 α=0,01
4 0,950 0,999
5 0,878 0,959
6 0,811 0,917
7 0,754 0,875
8 0,707 0,834
9 0,666 0,798
10 0,632 0,765
11 0,602 0,735
12 0,576 0,708
13 0,553 0,684
14 0,532 0,661
15 0,514 0,641
16 0,497 0,623
17 0,482 0,606
n α=0,05 α=0,01
18 0,468 0,590
19 0,456 0,575
20 0,444 0,561
25 0,396 0,505
30 0,361 0,463
35 0,335 0,430
40 0,312 0,402
45 0,294 0,378
50 0,279 0,361
60 0,254 0,330
70 0,236 0,305
80 0,220 0,286
90 0,207 0,269
100 0,196 0,256
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Exemplo: Os pesos de ursos machos podem ser
determinados pelo seu comprimento? Com essa
afirmação e os dados amostrais coletados abaixo,
verifique a questão acima ao nível de 0,05 de
significância, através do gráfico de dispersão e do
cálculo do coeficiente de correlação.
Comprimento em pol (x) 53,0 67,5 72,0 72,0 73,5 68,5 73,0 37,0
Peso em libras (y) 80 344 416 348 262 360 332 34
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Resolução: Inicialmente, traçaremos o diagrama de
dispersão destes dados:
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 10 20 30 40 50 60 70 80
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Agora, calcularemos o valor do coeficiente de
correlação com os dados fornecidos.
Comp. (x) Peso (y) x.y x2 y2
53,0 80 4240 2890,00 6400
67,5 344 23220 4556,25 118336
72,0 416 29952 5184,00 173056
72,0 348 25056 5184,00 121104
73,5 262 19257 5402,25 68644
68,5 360 24660 4692,25 129600
73,0 332 24236 5329,00 110224
37,0 34 1258 1369,00 1156
516,5 2176 151879 34525,75 728520Totais:
2 – Coeficiente de Correlação
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897,0
897,0
109318475,9433
91128
)2176)728520(8)5,516()75,34525(8
)2176)(5,516()151879(8
22





r
r
r
  
  



2222 )()(*)()(
))((
yynxxn
yxxyn
r
Para n=8, na tabela obtemos o valor de 0,707. Como
0,897 > 0,707, podemos afirmar que há uma grande
correlação linear entre o tamanho de um urso e seu
peso.
2 – Coeficiente de Correlação
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Exercício:
A tabela abaixo relaciona os números x de azulejos e
os custos y de sua ajustagem e colocação.
Existe correlação linear significativa entre os dados?
2 – Coeficiente de Correlação
x 1 2 3 5 6
y 5 8 11 17 20