Unidade 4 - Probabilidade

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Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Probabilidades
Unidade 4
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Ementa:
4.1 – Aspectos Gerais
4.2 – Fundamentos
4.3 – Regra da Adição
4.4 – Regra da Multiplicação
4.5 – Técnicas de contagem
4.6 – Distribuições de probabilidade
4 –Probabilidade
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4.1 – Aspectos Gerais
Na etapa anterior, foi apresentado o conceito de
inferência estatística, que se baseia na evidência
amostral para formular inferências ou conclusões
sobre a população.
Por exemplo: Calculando-se a média de um
determinado conjunto de valores extraído de uma
amostra, podemos inferir qual seria o valor médio da
população.
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Para a tomada de decisões a partir de inferências,
devemos nos basear em probabilidades – ou chances
– de eventos ocorrerem.
Por exemplo: Ao analisar os últimos 100
funcionários contratados por uma empresa,
constatou-se que todos os 100 eram homens. Em uma
política não tendenciosa de admissão, a
probabilidade de se admitir 100 homens é tão
pequena, que somos levados a acreditar que há
tendenciosidade na contratação.
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Este exemplo ilustra um importante princípio, que
será a base do nosso raciocínio daqui em diante:
“Se, sob determinada hipótese (tal como a
contratação não tendenciosa) a probabilidade de
uma determinada amostra (como 100 homens
contratados) é excepcionalmente pequena,
concluímos que a hipótese provavelmente não é
verdadeira.”
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O objetivo principal desta unidade é firmar um
conhecimento sólido dos valores probabilísticos que
serão utilizados nesta e em outras matérias. Um
segundo objetivo é desenvolver os conhecimentos
necessários para resolver problemas simples de
probabilidade.
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4.2 – Fundamentos
Ao lidarmos com probabilidades, vamos nos deparar
com expressões assim definidas:
-Experimento: Qualquer processo que permite ao
pesquisador fazer observações.
-Evento: É a coleção de resultados de um
experimento.
-Evento simples: é um resultado, ou evento, que não
comporta qualquer decomposição.
-Espaço amostral: Conjunto de todos os eventos
simples de um experimento.
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Exemplo:
O arremesso de um dado é um experimento.
O resultado 3 é um evento.
O resultado 3 é um evento simples, pois não pode ser
decomposto.
O espaço amostral consiste nos eventos simples:
1, 2, 3, 4, 5 e 6.
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Exemplo 2:
O arremesso de um par de dados é um experimento.
O resultado 7 é um evento.
O resultado 7 não é um evento simples, pois pode ser
decomposto em 1-6, 2-5 ou 3-4.
Na jogada de um par de dados, o espaço amostral
consiste em 36 eventos simples:
1-1; 1-2; 1-3; 1-4; 1-5; 1-6; 2-1; 2-2; 2-3; 2-4; 2-5;
2-6; 3-1; 3-2; 3-3; 3-4; 3-5; 3-6; 4-1; 4-2; 4-3; 4-4;
4-5; 4-6; 5-1; 5-2; 5-3; 5-4; 5-5; 5-6; 6-1; 6-2; 6-3;
6-4; 6-5; 6-6.
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Notação de probabilidade:
P denota uma probabilidade.
A, B, C denotam eventos específicos.
P(A) denota a probabilidade de ocorrência do evento
A.
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Regra 1:
Aproximação da Probabilidade pela Frequência
Relativa.
Realize (ou observe) um experimento um grande
número de vezes e conte quantas vezes o evento A
ocorre efetivamente. Então, P(A) é estimada como se
segue:
oexperiment do repetições de número
A evento do socorrência de número
)( AP
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Regra 2:
Definição clássica de probabilidade.
Suponha que um experimento tenha n eventos simples
diferentes, cada um dos quais com a mesma chance
de ocorrer. Se o evento A pode ocorrer em s dentre as
n maneiras, então:
n
s
AP 
diferentes simples
 eventos de número
ocorrer podeA como
maneiras de número
)(
4 –Probabilidade
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Lei dos Grandes Números:
“Se for repetido um experimento um grande
número de vezes, a probabilidade de um evento
simples pelo método da freqüência relativa (Regra
1) tende para a probabilidade teórica.”
Isto significa que, repetindo o experimento um
grande número de vezes, as Regras 1 e 2 produzirão
o mesmo resultado.
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Exemplo:
Determine a probabilidade de uma pessoa escolhida
aleatoriamente ser atingida por um raio neste ano.
Solução: O espaço amostral consiste em dois
eventos: ou a pessoa é atingida por um raio ou não é.
Como esses eventos não são igualmente prováveis,
devemos apelar para uma aproximação por
frequências relativas (Regra 1).
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Também não é prático realizar experimentos (nem
legal), mas podemos pesquisar eventos passados. Em
um ano recente, 371 pessoas foram atingidas por um
raio nos EUA. Em uma população de cerca de 260
milhões de pessoas, temos:
%000143,0
00000143,0
000.701
1
000.000.260
371



P
P
P
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Exemplo 2:
Em um teste de múltipla escolha, existem 5
alternativas. Respondendo a questão aleatoriamente
(chutando), qual a probabili-dade de acerto? E a
probabilidade de erro?
Solução: Se há 5 formas de responder e somente 1 de
responder corretamente, então:
%808,0
5
4
)(
%202,0
5
1
)(


errarP
acertarP
4 –Probabilidade
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Em problemas básicos de probabilidade é muito
importante examinar cuidadosamente as informações
de que dispomos e identificar corretamente o número
total de resultados possíveis. Em alguns casos, como
no exemplo anterior, temos esse número diretamente,
mas em outros casos devemos manipular as
informações para obtê-los.
4 –Probabilidade
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Exemplo: Uma companhia de seguros estudou as
causas de morte por acidente doméstico e compilou
um arquivo com 160 mortes causadas por quedas,
120 por envenenamento e 70 causadas por fogo e
queimaduras. Selecionado aleatoriamente um desses
casos, qual a probabilidade de que a morte tenha
sido causada por envenenamento?
Solução:
%3,34343,0
350
120
70120160
120
)( 

ntoenvenenameP
4 –Probabilidade
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Como qualquer evento imaginável é certo, impossível
ou se situa entre esses extremos, podemos concluir
que a probabilidade matemática de qualquer evento é
0, 1 ou um número entre 0 e 1.
-A probabilidade de um evento impossível é 0;
-A probabilidade de um evento cuja ocorrência é
certa é 1;
-0 ≤ P(A) ≤ 1, para qualquer evento A.
4 –Probabilidade
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Eventos Complementares:
Eventualmente, devemos determinar a probabilidade
de um evento A não ocorrer.
“O Complemento de um evento A, denotado por A,
consiste em todos os resultados em que o evento A
não ocorre.”
4 –Probabilidade
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Arredondamento de probabilidades:
Ao expressarmos o valor de uma probabilidade,
devemos dar a fração ordinária ou a expressão
decimal exata, ou arredondar o resultado final para
três algarismos significativos. (Sugestão: Quando
uma probabilidade não é uma fração simples como
2/3 ou 5/9, devemos expressá-la na forma decimal.)4 –Probabilidade
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4 –Probabilidade
Exercício:
1) Em uma pesquisa americana, perguntou-se ao
entrevistado como deveria ser usado um Bolo de
Frutas. 132 responderam que deveria servir como
calço de porta, e outros 880 indicaram outros usos,
inclusive alimento de passarinho, aterro e presente.
Selecionado aleatoriamente um desses entrevistados,
qual a probabilidade de obter alguém que utilize o
bolo como calço de porta?
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4.3 – Regra da adição
Nesta seção, abordaremos a regra da adição para
achar P(A ou B), a probabilidade de ocorrência do
evento A, ou do evento B, ou ambos, como resultado
de um experimento.
Na seção anterior, consideramos somente os eventos
simples, porque envolviam somente um resultado. Em
muitas situações reais, temos eventos compostos, tal
como a escolha aleatória de um consumidor que é
mulher ou tenha menos de 40 anos de idade.
4 –Probabilidade
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Notação para a regra da Adição:
P(A ou B)
Exemplo: Ao lançarmos um dado, qual a
probabilidade de que ocorram os resultados 1 ou 2?
Solução:
Repare que se somarmos as probabilidades de
ocorrência de cada evento separado, teremos o
mesmo resultado. Será essa uma regra?
333,0
3
1
6
2
)2ou 1( P
4 –Probabilidade
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Para responder esta questão, façamos um segundo
exemplo:
Escolhidos aleatoriamente 1 número entre 0 e 9,
determine a probabilidade deste número ser ímpar ou
maior que 6.
Solução: No conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, 5
números são ímpares: {1, 3, 5, 7, 9} e três são
maiores que 6: {7, 8, 9}. Ao contarmos o conjunto
solução de números ímpares ou maiores que 6,
devemos ter o cuidado de não contar nenhum número
2 vezes.
4 –Probabilidade
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Assim, o conjunto pesquisado é {1, 3, 5, 7, 8, 9}. São
6 números em 10 ocorrências.
Assim, a probabilidade de ocorrer um número ímpar
ou maior que 6 é:
Assim, deduziu-se a regra geral da adição:
P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B)
6,0
5
3
10
6
)6 quemaior ou ímpar ( P
4 –Probabilidade
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Mostrando graficamente:
Os eventos A e B da figura da direita são ditos
mutuamente excludentes, pois não podem ocorrer
simultaneamente. A área de ambos os retângulos é
igual a 1.
Eventos que se superpõem Eventos que não se superpõem
P(A) P(B)
P
(A
 e B
)
P(A) P(B)
4 –Probabilidade
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Eventos complementares:
O evento complementar já foi visto anteriormente.
Ele é a probabilidade de determinado evento A não
ocorrer. Deste fato, foi criada a regra dos Eventos
Complementares:
)(1)(
)(1)(
1)()(
APAP
APAP
APAP



P(A)
)(1)( APAP 
4 –Probabilidade
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4 –Probabilidade
Exercício:
1) Uma pessoa retira aleatoriamente uma carta de
um baralho normal, com 52 cartas. Determine:
a) Qual a probabilidade de se obter uma carta de
paus ou um ás?
b) Qual a probabilidade de se obter um ás ou um 2?
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4.4 – Regra da multiplicação
Na seção anterior, estabelecemos a regra para
calcular P(A ou B), a probabilidade de uma prova em
um experimento ter o resultado A, ou o resultado B,
ou ambos. Nesta seção, temos em vista estabelecer
uma regra para calcular P(A e B), a probabilidade de
o evento A ocorrer em uma primeira prova, e o
evento B ocorrer em uma segunda prova.
Veremos que P(A e B) envolve a multiplicação de
probabilidades.
4 –Probabilidade
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Num primeiro exemplo, temos um teste composto por
2 questões: a primeira questão é do tipo V ou F e a
segunda é do tipo múltipla escolha, com 5
alternativas possíveis. Qual a probabilidade de
acertarmos ambas?
Podemos formar um conjunto de respostas,
englobando todos os resultados possíveis:
V,a V,b V,c V,d V,e F,a F,b F,c F,d F,e
Como somente 1 desses resultados será o correto, a
probabilidade será:
P(Questões 1 e 2 corretas) = 1/10 ou 0,1
4 –Probabilidade
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Podemos pensar então que basta multiplicar as
probabilidades dos eventos A e B para obtermos a
probabilidade P(A e B). Vejamos por outro exemplo
se isso é verdade:
Qual a probabilidade de tirarmos um ás e um rei em
dois sorteios consecutivos utilizando um baralho
comum?
Solução:
Inicialmente, temos 52 cartas no baralho e 4 ases. A
probabilidade de tirarmos um ás no primeiro sorteio
é de:
4 –Probabilidade
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No segundo sorteio, teremos no baralho 4 reis, mas
somente 51 cartas (o Ás já saiu). Assim, a
probabilidade de sair rei será:
Assim, a probabilidade de sair Ás e Rei será:
Diferente do que supúnhamos.
52
4
)( ÁsP
51
4
)Rei( P
00603,0
51
4
.
52
4
)Rei e ( ÁsP
4 –Probabilidade
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Assim, a regra geral da multiplicação é:
P(A e B) = P(A).P(B|A)
Onde B|A é lido como “B dado A”.
Este conceito ilustra a dependência ou independência
de eventos:
Dois eventos são ditos independentes se a ocorrência
de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência
do outro.
Caso contrário, os eventos são dependentes.
Quando os eventos são independentes: P(B|A)=P(B)
4 –Probabilidade
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Exemplo:
Uma companhia produziu um lote de 50 filtros, dos
quais 6 são defeituosos. Escolhem-se aleatoriamente
2 peças, que são testadas. Determine a probabilidade
de ambos serem bons, se os filtros forem
selecionados:
a) Com reposição
b) Sem reposição
4 –Probabilidade
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Solução:
a) Se os filtros são escolhidos com reposição, as duas
escolhas são independentes. Portanto:
b) Se eles são escolhidos sem reposição, as escolhas
passam a ser dependentes, portanto:
774,0
50
44
.
50
44
)bons 2 e 1( oo P
772,0
49
43
.
50
44
)bons 2 e 1( oo P
4 –Probabilidade
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4 –Probabilidade
Exercício:
Um estudo de hábito de fumantes compreende 200
casados (54 dos quais fumam), 100 divorciados (38
dos quais fumam) e 50 adultos que nunca se casaram
(11 dos quais fumam). Escolhido aleatoriamente um
indivíduo desta amostra, determine a probabilidade:
a) De obter alguém divorciado e fumante.
b) De obter alguém que nunca casou e que não fume.
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4.5 – Contagem
Consideremos um problema de probabilidade
cogitado por milhares de brasileiros esperançosos:
Qual a probabilidade de acertar as dezenas da
Megassena?
Neste jogo (para quem ainda não sabe), são
sorteados 6 números de um total de 60. O apostador
que acertar todos os números (a ordem não é
importante), leva o prêmio para casa. Ainda ganha-
se alguma coisa se acertar 4 ou 5 números.
4 –Probabilidade
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Sabemos que a probabilidade de acertar é s/n, sendo
“s” o número de maneiras como o evento “acertar os
6 números” pode ocorrer. Este evento só pode
ocorrer de 1 forma.
Falta somente descobrir “n”, que é o número total de
resultados possíveis. Relacionar todas as
possibilidades exigiria uns 4 anos de trabalho.
Devemos então utilizar algum meio prático de
calcular o número total de possibilidades.
4 –Probabilidade
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Regra fundamental da contagem
Antes de retornarmos ao problema da loteria, vamos
determinaralguns métodos para contagens, quando
estão envolvidos grandes quantidades de
possibilidades. Vamos começar com a regra
fundamental da contagem:
Dados dois eventos, o primeiro dos quais pode
ocorrer de “m” maneiras distintas e o segundo pode
ocorrer de “n” maneiras distintas, então os dois
eventos podem ocorrer de “m.n” maneiras distintas.
4 –Probabilidade
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Exemplo: Se um médico laboratorista deve escolher
aleatoriamente 1 entre 2 tipos de Rh (Positivo ou
negativo) e 1 dos 4 grupos sanguíneos (A, O, B, AB),
o número total de combinações entre eles será de:
n=2.4=8
Esta regra também pode ser usada em situações que
envolvem mais de um evento. Basta realizar a
multiplicação de todas as possibilidades de cada
evento.
4 –Probabilidade
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Regra do Fatorial:
O símbolo fatorial “!” denota o produto dos inteiros
positivos em ordem decrescente. Por exemplo: 4! =
4.3.2.1=24.
Por definição, 0!=1.
A regra do fatorial diz que:
Uma coleção de “n” objetos pode ser ordenada de
“n!” maneiras distintas.
4 –Probabilidade
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Exemplo:
Ao planejar pesquisas, os entrevistadores procuram
minimizar o efeito causado pela ordem em que as
questões são apresentadas (algumas questões podem
influenciar as respostas seguintes). Se o Ibope
planeja fazer uma pesquisa junto a consumidores
formulando 5 questões, quantas versões distintas da
pesquisa são necessárias de forma a incluir todas as
ordenações?
4 –Probabilidade
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Solução:
Pensando analiticamente, ao iniciar o processo de
escolha, teremos inicialmente 5 escolhas para a 1ª
questão. A segunda questão contaria com somente 4
escolhas. A 3ª questão teria 3 escolhas, a 4ª, 2
escolhas e a última teria somente 1 escolha. Desta
forma, pela regra fundamental da contagem,
teríamos 5.4.3.2.1=120 versões diferentes da
pesquisa.
Ora, 5! = 120
4 –Probabilidade
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Regra dos Arranjos:
Com a regra do fatorial, determinamos quantas
maneiras diferentes podemos ordenar todos os “n”
elementos de um determinado conjunto.
Entretanto, às vezes precisamos selecionar apenas
alguns entre os “n” elementos. Se, em uma pesquisa
nas capitais dos estados americanos, temos tempo
para visitar somente 4 capitais, o número de escolhas
possíveis será 50.49.48.47 = 5.527.200
4 –Probabilidade
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Colocando de outra forma:
Assim, generalizando, temos as fórmulas dos
arranjos:
Ordenar todos os “n” elementos
Ordenar “r” elementos em “n”
Ordenar os n elementos, quando temos
elementos repetidos.
200.527.547.48.49.50
!46
!46.47.48.49.50
!46
!50

!!...!.
!
)!(
!
!
21 k
rn
nnn
n
P
rn
n
P
nP




4 –Probabilidade
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Exemplo: De quantas formas podemos ordenar as
letras que formam a palavra Mississippi?
Solução:
Esta palavra contém 1 letra “M”, 2 “p”, 4 “i” e 4
“s”. Assim, utilizando a fórmula das permutações
para elementos repetidos, temos:
34650
1152
36916800
1.2.24.24
39916800
!1!.2!.4!.4
!11
!!...!.
!
21


P
nnn
n
P
k
4 –Probabilidade
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Regra das Combinações:
Quando temos n elementos, que podem ser incluídos
em 2 categorias diferentes (por exemplo, números
sorteados ou não na megassena), temos um problema
de combinações. Desta forma, a equação das
permutações para elementos repetidos é alterada
para:
!)!.(
!
rrn
n
Crn


4 –Probabilidade
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Ao aplicarmos a regra das combinações, valem as
seguintes condições:
-Devemos ter um total de “n” elementos distintos.
-Devemos selecionar “r” dentre os “n” elementos.
-A ordem em que os “r” elementos são selecionados
não importa.
4 –Probabilidade
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Exemplo: Em uma faculdade, o conselho curador
tem 9 elementos. A cada ano é eleito um comitê de 3
pessoas supervisionar o campus. São eleitos também,
anualmente, um presidente, um vice-presidente e um
secretário.
a) Quantos comitês de 3 pessoas podem ser
formados pelos 9 elementos do conselho?
b) Já na eleição para presidente, vice e secretário,
quantas chapas distintas podem ser formadas?
4 –Probabilidade
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Solução:
a) Na eleição do comitê, a ordem de seleção não
importa. Trata-se portanto de um problema de
combinações:
b) Já na eleição para presidente, a ordem de escolha
importa. Portanto, temos um problema de
permutações:
84
6.720
362880
!3)!.39(
!9
!)!.(
!
39 




rrn
n
C
504
720
362880
)!39(
!9
)!(
!
39 




rn
n
P
4 –Probabilidade
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
4 –Probabilidade
Exercício:
1) Um percurso de entregas dos correios devem
incluir paradas em 5 cidades.
a) Quantos percursos diferentes são possíveis?
b) Se o percurso é escolhido aleatoriamente, qual a
probabilidade de as cidades serem escolhidas em
ordem alfabética?
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
2) Se um casal planeja ter 8 filhos (tem louco para
tudo), quantas sequências de sexo das crianças são
possíveis?
E se o casal quiser 4 filhos e 4 filhas, quantas são as
formas de serem bem sucedidos? Calcule a
probabilidade de um casal ter 4 filhos e 4 filhas.
4 –Probabilidade
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4.6 – Distribuições de probabilidade
Definição:
“Uma distribuição de probabilidades dá a
probabilidade de cada valor de uma variável
aleatória.”
Condições para uma distribuição de probabilidades:
1 – ΣP(x)=1, onde x toma todos os valores possíveis.
2 – 0 ≤ P(x) ≤ 1, para cada valor de x.
4 –Probabilidade
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A primeira condição diz que a soma de todas as
probabilidades individuais é 1 e se baseia na regra
da adição para eventos mutuamente excludentes.
Os valores da variável aleatória x representam todos
os eventos possíveis no espaço amostral.
Desta forma, temos certeza de que pelo menos um
deles ocorrerá.
A segunda condição diz que cada valor de x tem que
ter uma probabilidade de ocorrer, entre 0 e 1 (senão
não seria probabilidade).
4 –Probabilidade
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Exemplo:
1) P(x)=x/5, onde x toma os valores 0, 1, 2 e 3, define
uma distribuição de probabilidades?
P(x) não é uma distribuição de probabilidades.
2) P(x)=x/3, onde x toma os valores 0, 1 e 2, define
uma distribuição de probabilidades?
P(x) é uma distribuição de probabilidades, pois a
segunda regra também é satisfeita.
5
6
5
3
5
2
5
1
5
0
)3()2()1()0()(  PPPPxP
1
3
2
3
1
3
0
)2()1()0()(  PPPxP
4 –Probabilidade
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Média, Variância e Desvio Padrão:
Distribuições de probabilidade também têm os
conceitos de Média, Variância e Desvio Padrão,
definidos da seguinte forma:
Média (ou Valor Esperado):
Variância:
Desvio Padrão:
  )(. xPx
    22222 ])(.[ou )](.[    xPxxPx
222 ))](.([ou )](.)[(    xPxxPx
4 –Probabilidade
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Exemplo: Ao selecionarmos aleatoriamente 7
acidentes aéreos, as probabilidades de que
escolhamos x acidentes da USAir são:
Determine a média, variância e desvio
padrão destes dados.
x P(x)
0 0,210
1 0,367
2 0,275
3 0,1154 0,029
5 0,004
6 0+
7 0+
4 –Probabilidade
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Solução: Calculando os somatórios necessários:
Assim:
µ=1,398=1,4
x P(x) x.P(x) x2 x2.P(x)
0 0,210 0,000 0 0,000
1 0,367 0,367 1 0,367
2 0,275 0,550 2 1,100
3 0,115 0,345 4 1,035
4 0,029 0,116 9 0,464
5 0,004 0,020 16 0,100
6 0+ 0,000 25 0,000
7 0+ 0,000 49 0,000
Soma 1,000 1,398 3,066
 
05,1
054323,1111596,1
11,1111596,1
398,1066,3
])(.[
2
22
222




 




 xPx
4 –Probabilidade
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4 –Probabilidade
Exercício:
No exercício a seguir, determine se é dada uma
distribuição de probabilidades. Se não for dada uma
distribuição de probabilidade, identifique a condição
que não é satisfeita. Caso contrário, determine a sua
média, variância e desvio padrão
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
4 –Probabilidade
1) Se uma faculdade contrata funcionários sem
distinção de sexo e o conjunto de candidatos é
grande, com números iguais de homens e mulheres, a
tabela a seguir dá a distribuição de probabilidade do
número x de mulheres contratadas:
x 0 1 2 3 4
P(x) 0,0625 0,2500 0,3750 0,2500 0,0625