Unidade 7 - Estimação e Inferência

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Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Estimação e Inferência
Unidade 7
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Ementa
7.1 – Estimativa pontual para a média;
7.2 – Intervalo de Confiança para a média;
7.3 – Estimativa pontual para a proporção;
7.4 – Intervalo de Confiança para a proporção;
7.5 – Tamanho da amostra.
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7.1 – Estimativa Pontual para a Média
O que é estimador e estimativa?
• Um estimador é uma estatística amostral utilizada
para obter uma aproximação de um parâmetro
populacional. Mesmo que não se encontre
exatamente o valor verdadeiro, este será
aproximado.
• Uma estimativa é um valor específico, ou um
intervalo de valores, usado para aproximar um
parâmetro populacional.
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Estimadores
Estimativa 
pontual
Estimativa 
intervalar
É um valor único
(número) usado
para aproximar
um parâmetro
populacional
Intervalo que tem
uma probabilidade
de conter o
verdadeiro valor da
população.
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Utilizamos a média amostral x como a melhor
estimativa da média populacional μ. Como a média
amostral x é um valor único que corresponde a um
ponto na escala numérica, ela é chamada de
estimativa pontual.
Há duas razões importantes que explicam por que
uma média amostral é um melhor estimador de uma
média populacional μ do que quaisquer outros
estimadores, como a mediana ou a moda.
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1) Para muitas populações, a distribuição de
médias amostrais x tende a ser mais consistente
(apresentar menor variação) do que as
distribuições de outras estatísticas amostrais.
2) Para todas as populações, dizemos que a média
amostral x é um estimador não tendencioso para
a média populacional μ.
Portanto, a média amostral x é a melhor estimativa
pontual para a média populacional μ.
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Exemplo: A temperatura do corpo humano é
realmente 37,2º C?
Com os dados de 106 adultos saudáveis, vamos
verificar a média amostral x.
37,0 37,0 36,7 36,7 37,2 36,9 36,9 36,9 36,9 37,0
37,0 37,1 37,0 36,1 36,1 37,1 36,4 36,5 37,1 36,7
36,7 36,8 36,9 36,3 37,1 36,3 37,2 37,0 37,5 36,4
36,3 36,4 36,8 37,6 37,1 37,4 36,8 36,7 37,0 37,0
36,2 36,9 37,0 36,8 36,7 36,6 36,7 36,9 37,0 37,0
36,6 37,2 35,8 36,4 36,7 36,1 36,4 36,2 36,6 36,9
36,3 36,7 36,4 36,4 36,8 36,9 37,1 37,1 36,6 36,7
36,2 36,3 37,4 36,9 37,0 36,9 36,9 37,0 36,8 37,1
37,1 37,3 37,0 36,6 37,1 36,7 37,1 36,9 37,2 36,9
37,0 36,2 36,6 37,1 37,1 36,4 36,8 37,3 36,6 36,7
36,9 36,6 36,9 36,3 36,7 36,1
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Pelos dados fornecidos, chegamos às seguintes
informações:
n = 106 elementos;
x = 36,8º C;
s = 0,3461º C.
Com os dados fornecidos, a melhor estimativa para
a média populacional μ seria 36,8º C.
Mas e se só tivéssemos os 10 primeiros elementos?
Neste caso, a média seria de 36,9º C.
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7.2 – Intervalo de confiança para a média
• No primeiro exemplo, a média de 36,8º C era a nossa
melhor estimativa pontual para a média populacional, mas
não tínhamos qualquer indicação sobre a qualidade dessa
estimativa.
• No segundo exemplo, a melhor estimativa para a média
populacional seria 36,9º C, mas ela não seria tão boa
quanto a primeira, pois se baseia em somente 10
temperaturas.
•Assim, foi desenvolvida uma estimativa que indica a
qualidade de uma estimativa pontual. Essa estimativa é
chamada de intervalo de confiança ou estimativa intervalar.
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O intervalo de confiança é uma faixa de possíveis valores em torno da média
amostral, e a probabilidade de que esta faixa realmente contenha o valor real da
média da população
O Intervalo de confiança terá uma certa probabilidade chamada de nível de
confiança (simbolizada por 1 – ) de conter a média da população.
x
1 – α
/2 /2
Intervalo de confiança
1 – α = nível de confiança
α = nível de significância (probabilidade de erro)
Há uma probabilidade de 1 –  da 
média estar contida no intervalo 
definido 
Há uma probabilidade  de a
média amostral estar fora do
intervalo definido (área hachurada)
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z2z1
intervalo
errox  errox 
  1)( exexP
α /2 α /2
 = desvio padrão da população
1 - α = grau de confiança
Distribuição das médias amostrais
x
1 – α
n
zeErro

.
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Se o desvio padrão da população é conhecido:
A estimativa intervalar da média populacional se baseia na hipótese
de que a distribuição amostral das médias amostrais é normal. Para
grandes amostras isto não apresenta dificuldade especial, pois se
aplica o teorema do limite central.
Todavia, para amostras de 30 ou menos observações, é importante
saber se a população tem distribuição normal ou aproximada.
X
zX  .: 
n
X

 
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Se o desvio padrão da população é desconhecido:
Quando o desvio padrão da população não é conhecido (o que
geralmente é o caso), usa-se o desvio padrão da amostra como
estimativa, substituindo-se  por s nas equações. Isto não acarreta
maiores dificuldades, pois o desvio padrão amostral dá uma
aproximação bastante razoável do verdadeiro valor.
Além disso, pelo teorema do limite central, sabemos que, quando a
amostra é maior que 30, a distribuição das médias amostrais é
aproximadamente normal.
Para amostras menores que 30, a aproximação normal não é
adequada. Devemos então usar a distribuição t. A forma da
distribuição t é bem parecida com a normal.
n
s
s
x
XszX .: 
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exouexex  
Quando tem n > 30 e 
 é conhecido
Quando tem n > 30 e 
σ é desconhecido
n
x

 
xzx  .: 
n
ze

.
n
s
ze .
n
s
sx 
xszx .: 
Resumo:
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X50403020 807060Amostra
1
2
3
...
45
46
47
...
98
99
100
=50
Se em um estudo, forem retiradas
várias amostras aleatórias de tamanho
n da população e que, para cada
amostra, seja construído um intervalo
de (1-) de confiança para a variável
desejada.
Os intervalos obtidos serão
diferentes, mas (1-)% destes
intervalos conterão entre os seus
intervalos o valor real do
parâmetro.
•Ao nível de 95% de confiança espera-se que em 100 intervalos para 
as amostras, 95 deles contenham a média μ.
Interpretação:
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E quando o tamanho da amostra é menor que 30 (n < 30)
e o desvio padrão da população () é desconhecido?
 Neste caso não podemos usar a distribuição normal (a
distribuição das médias não é garantidamente normal).
 Devemos usar a distribuição t de student.
 A distribuição t é similar à distribuição normal, mas tem
maior variação nas caudas (nas pontas da curva).
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E quando o tamanho da amostra é significativamente
grande comparado ao tamanho da população?
 Quando o tamanho da amostra n é maior que 5%do
tamanho da população N, devemos utilizar o fator de
correção finita para o desvio padrão.
0,05.Nn para ,
1
. 



N
nN
n
X

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Distribuição t de 
student com n = 3
Distribuição t de 
student com n = 12
Distribuição normal 
padronizada
A curva t nos dá a probabilidade de ocorrer um evento a t desvios padrão da
média (para mais ou para menos)
 Os valores de t (valores correspondentes à área sob a curva nas caudas) são
tabelados e dependem de dois fatores:
 n-1 = graus de liberdade
 grau de confiança desejado (1- α)
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exouexex  
n
s
te n .1,2/  
n
s
te crítico.
n
s
te .
Quando tem n < 30 e σ é desconhecido
Substituir o desvio padrão da população  pelo desvio
padrão da amostra s.
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Início n > 30?
população tem 
distr. normal?
 é 
conhecido?
Usar distribuição t
usar métodos não-paramétricos 
ou de reamostragem
sim
sim
sim
não
não
não
Usar a distribuição normal (use 
s se  não for conhecido)
n
ze

 2/
usar a distribuição normal
n
ze

 2/
n
s
te n 2/,1
RESUMO:
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1) Determine o valor crítico z/2 que corresponde ao
grau de confiança indicado:
a) 99%
b) 94%
c) 92%
d) 90%
Exercícios:
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Resolução:
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Grau de 
Confiança 
(1-α)
α α/2 
Procurar 
na tabela z
Zα/2
99% 0,01 0,0050 0,4950 2,58
94% 0,06 0,0300 0,4700 1,88
92% 0,08 0,0400 0,4600 1,75
90% 0,10 0,0500 0,4500 1,65
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2) Um dos principais produtos de uma indústria siderúrgica é a folha
de flandres. Havia uma preocupação com a possibilidade de haver um
número de folhas fora da faixa de especificação de dureza (LIE = 58,0
HR e LSE = 64,0 HR). A partir desta informação a empresa decidiu
estimar a dureza média das folhas de flandres () coletando uma
amostra aleatória de 49 folhas.61,0 60,2 60,3 60,3 60,0 61,0 60,3
60,0 60,0 60,9 61,0 61,2 59,2 60,9
60,0 60,5 59,8 59,3 61,0 59,6 59,8
59,6 60,1 58,0 59,8 58,9 57,6 58,0
60,5 60,1 61,6 61,1 59,7 58,3 61,6
59,5 59,0 60,3 58,7 59,6 54,2 60,3
61,0 59,7 59,9 59,9 60,0 58,6 59,9
Medidas de dureza (HR) das folhas-de-flandres fabricadas pela 
siderúrgica
61,0
21,60


s
X
Para um grau de confiança de 95%, determine a margem de erro (e) e o intervalo
de confiança para média populacional ().
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49
61,0
21,60



n
s
X
n
s
ze
2

Margem de erro:
17,01708,0
49
61,0
.96,1 e
Dados:
Grau de confiança de 95% implica em: 1 –  = 95%, 
logo α = 5% = 0,05 e α/2 = 0,025. Z α/2 = Z0,025 = 1,96
-Z/2 Z/2
1 - α
0
/2 /2
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exex  
Intervalo de confiança:
17,021,6017,021,60  
[60,04 ; 60,38]HR 
Interpretação:
Se fôssemos selecionar muitas amostras de 49 elementos da
produção de folhas e construíssemos um intervalo de 95%
de confiança para cada amostra, 95% desses intervalos
conteriam a média populacional .
38,6004,60  
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3) Uma máquina automática de suco industrial é regulada de modo que a
quantidade suprida de cada vez, tenha distribuição aproximadamente normal com
desvio-padrão de 35ml. Determine um intervalo de 96% de confiança para a
quantidade média de toda produção, sabendo que uma amostra de 30 embalagens
teve um conteúdo médio de 290 ml.
mls
mlX
35
290


n = 30
n
s
ze .
2

10,13
30
35
.05,2 e
Grau de confiança de 96%
implica em:
1 -  = 96%
 = 4% = 0,04
05,202,0
2
 ZZ
exex  
10,1329010,13290  
[276,90 ; 303,10] ml
Dados:
-Z/2 Z/2
96%
0
2% 2%
10,30390,276  
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4) A Polícia Rodoviária faz mensalmente uma pesquisa para avaliar a velocidade
desenvolvida nas rodovias durante o período de 2 às 4 horas da madrugada. Num período
de observação e em um trecho específico, 100 carros passaram por um aparelho de radar
a uma velocidade média de 115 Km/h, com desvio padrão de 10 Km/h.
a) Estime a verdadeira média (estimativa pontual) da população;
b) Construa um intervalo de 98% de confiança para a média da população; 115 Km/h
33,2
100
10
.33,2.
2

n
s
Ze 
Margem de erro:
Grau de confiança de 98% implica em:
1 -  = 98%
 = 2% = 0,02
33,201,0
2
 ZZ
exex  
Intervalo de confiança:
33,211533,2115  
[112,67 ;117,33]Km/h 
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Uma amostra aleatória de 40 contas não-comerciais na filial de um banco acusou saldo
médio de R$140,00 com desvio-padrão de R$30,00.
a) Construa um intervalo de 95% confiança para a verdadeira média.
b) Construa um intervalo de 99% confiança para a verdadeira média.
c) A que conclusão podemos chegar com os resultados das letras anteriores?
30,9
40
30
.96,1.
2

n
s
ze 
Margem de erro:
96,1025,0
2
 ZZ
Intervalo de confiança
30,914030,9140  
R$[130,70 ; 149,30] 
24,12
40
30
.58,2.
2

n
s
ze 
Margem de erro:
58,2005,0
2
 ZZ
Intervalo de confiança
24,1214024,12140  
R$ [127,76 ; 152,24] 
R$ 140,00+9,30 R$ 140,00+12,24
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7.3 – Estimativa Pontual para a Proporção
•A estimativa de proporções populacionais é muito semelhante à de
médias populacionais;
Estimadores
Estimativa pontual de 
uma proporção
Estimativa intervalar de 
uma proporção
• 21% das peças são defeituosas;
•45% dos eleitores votariam
novamente no Presidente Lula
• Entre 18 e 23% das peças são
defeituosas;
• A proporção de votos para eleição
do Presidente está entre 15 e 25%.
• A média de uma distribuição amostral de proporções amostrais é
sempre igual a verdadeira proporção da população.
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O que é proporção?
Num lote de 1.000 peças foram encontradas 150 peças defeituosas, logo 
Proporção de peças defeituosas é = (150/1000)*100 = 15%
Existem 15% de peças defeituosas no lote.
O que podemos falar sobre esta proporção na população?
Nos outros lotes a proporção é a mesma? Possivelmente serão diferentes.
Precisamos estimar
Intervalo de confiança
pˆ
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7.4 – Intervalo de confiança para a proporção
Sendo:
p = proporção da população
= proporção média das proporções amostrais (x/n)
n
qp
ze
ˆ.ˆ
2/
eppep
epp


ˆˆ
ˆ
Erro:
Intervalo de confiança:
1- α = grau de confiança
α = nível de significância 
(probabilidade de erro)
Desvio padrão da distribuição 
das médias das proporções 
n
qp
p
ˆ.ˆ

pˆ
pq ˆ1ˆ 
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Estimativa pontual Estimativa intervalar
n
X
p ˆ
O estimador da proporção amostral:
Sendo X o número de elementos
da amostra que apresentaa
característica de estudo;
O desvio padrão da estimativa:
n
qp
p
ˆ.ˆ
 pq ˆ1ˆ 
Sendo:
epp  ˆ
• Intervalo de (1-)% de confiança;
• Supondo amostras grandes (n > 30);
• Se população for finita e n > 5% de N:
1
.
ˆ.ˆ
.ˆ
2



N
nN
n
qp
Zpp 
A proporção populacional é igual à
proporção amostral!
• Se população for finita e n > 5% de N:
1
.
ˆ.ˆ



N
nN
n
qp
p
n
qp
ze
ˆ.ˆ
2/
O erro-padrão da estimativa:
pq ˆ1ˆ 
Sendo:
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Exercícios:
1) Uma amostra de 200 observações acusou 20 baterias defeituosas
numa remessa. Usando uma confiança de 99%, determine o erro de
estimação máximo provável.
10,0
200
20
ˆ 
n
X
p
90,010,01ˆ1ˆ  pq
%47,50547,0
200
)90,0).(10,0(
58,2
ˆ.ˆ
.
2

n
qp
Ze 
Grau de confiança de 99% implica em:
1 -  = 99%
 = 1% = 0,010 58,2005,0
2
 ZZ
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2) Um grupo de pesquisa de mercado constatou que 25% dos 200 fregueses
recentemente entrevistados num grande shopping center de Belo Horizonte residem
a mais de 5 Km deste local.
a) Construa um intervalo de 95% de confiança para a percentagem efetiva de
fregueses que moram a mais de 5 km do Shopping Center;
b) Qual é o erro provável máximo associado ao intervalo? 
25,0ˆ 
n
X
p
0600,0
200
)75,0).(25,0(
.96,1
ˆ.ˆ
2

n
qp
Ze 
310,0190,0
0600,0250,00600,0250,0
ˆˆ



p
p
eppepIntervalo de 
confiança
75,025,01ˆ1ˆ  pq
Erro máximo 6%.
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7.5 – Tamanho da Amostra
•O conceito de nível de confiança pode ser utilizado para o cálculo do
tamanho da amostra, necessário para fazermos inferências confiáveis.
Para tanto, basta reescrevermos a equação do erro em função de n:
2
2/ . 






e
sz
n n
s
ze .2/
Para uma média amostral:
Para uma proporção amostral:
n
qp
ze
ˆ.ˆ
2/







2
2
2/
ˆ.ˆ
.)(
e
qp
zn 
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• Se a amostra empregada for muito pequena, a
margem de erro será grande, o que impossibilita ou
inviabiliza a tomada de decisão.
• Por outro lado, se a amostra for muito grande, o
intervalo obtido pode ser mais estreito do que o
necessário (gastos desnecessários);
Como o tamanho da amostra afeta o erro de
amostragem?
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500 1000 1500 2000 2500 3000
Tamanho da amostra
M
a
rg
em
 d
e 
er
ro
 (
e)
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Tamanho de amostra e margens de erro
mantendo fixos (s=10 e 95% de confiança)
• Os ganhos em precisão conseguidos com aumentos fixos dos
tamanhos das amostras não são constantes;
• Tamanho de amostra 3.000 podem ser um perda de tempo e dinheiro
porque elas fornecem pouca precisão adicional;
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Exercícios:
1) Em um estudo para a determinação do perfil dos alunos da
Faculdade Pitágoras, a característica de maior interesse tem s = 0,3.
Qual deve ser o tamanho da amostra para que tenhamos 95% de
confiança em que o erro da estimativa da  correspondente a esta
característica não supere 0,05?
2
2/ . 






e
sz
n 
139
05,0
)3,0).(96,1(.
22
2/ 












e
sz
n 
Dados:
e = 0,05
s = 0,3
 =0,05
Refaça o cálculo supondo que se deseja ter 98% de confiança.
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2) Um fabricante de cintos de segurança deseja estimar a
probabilidade dos cintos resistirem a um esforço. Como o teste é
destrutível, ele deseja manter o tamanho da amostra o menor
possível. Determine o número de observações que devem ser feitas
para estimar a probabilidade a menos de 0,04 com 95% de confiança,
se ele crê (baseando-se em experimentos anteriores) que a
percentagem de defeituosos não supere a 6%.
1364,135
04,0
)94,0.(06,0
.96,1
ˆ.ˆ
2
2
2
2 












e
qp
zn
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Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
3) Qual o tamanho da amostra necessária para estimar o tempo médio
que um vendedor de uma loja de móveis gasta com cada cliente, a
menos de 2 minutos do verdadeiro valor, para obter um nível de
confiança de 99% de confiança? Suponha o desvio da população igual
a 12 minutos (obs.: sempre arredondamos a resposta para o próximo
número inteiro superior.)
24063,239
2
)12).(58,2(.
22
2/ 












e
z
n

e = 2 minutos
 = 12 minutos
Grau de confiança de 99% implica em:
1 -  = 99%
 = 1% = 0,01 58,20050,0
2
 ZZ
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Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
4) A Biblioteca da faculdade deseja estimar a percentagem de livros de seu acervo
que são publicados até 1995. Qual deve ser o tamanho da amostra aleatória para se
ter 90% de confiança de ficar menos de 5% da verdadeira proporção?
27325,272
05,0
)5,01.(5,0
.65,1
ˆ.ˆ
2
2
2
2
2





 







e
qp
zn 
Grau de confiança de 90% implica em:
1 -  = 90%
 = 10% = 0,10
65,105,0
2
 ZZ
Quando, o enunciado do problema não contém informação sobre o tamanho possível
da proporção populacional, os cálculos devem basear-se no intervalo mais amplo
possível, o que ocorre quando o valor amostral da proporção é igual à:
50,0ˆ p
A proporção de uma amostra piloto seria uma 2ª opção
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