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TÓPICOS DE CÁLCULO Para cursos de Engenharias Azevedo, L.X. UNIDADE 2UNIDADE 2UNIDADE 2UNIDADE 2 LIMITE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVELLIMITE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVELLIMITE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVELLIMITE DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL 1. 1. 1. 1. IntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntrodução Nesta unidade estaremos tratando de tópicos envolvento Limites. O cálculo de limites tem papel fundamental no desenvolvimento do Cálculo. É importante criar uma boa noção de limite para que possamos trabalhar de forma significativa em tópicos seguintes como derivada e integrais. É comum termos funções que não podem ser definidas em certos pontos, mas podemos pensar sobre o comportamento delas quando se aproximam dessas indefinições. Também em algumas situações o valor da função é o mesmo do limte no ponto. Aconselho que você faça uma breve revisão de conceitos algébricos, em especial fatoração, para que você minimize seu esforço no entendimento de limites. 2. Noção Intuitiva de Limite2. Noção Intuitiva de Limite2. Noção Intuitiva de Limite2. Noção Intuitiva de Limite Para iniciarmos nosso estudo sobre limites daremos uma noção intuitiva, de forma parcial. Seja a função real 3 9)( 2 − − = x x xf . Note que f não está definida para x = 3 pois 33 932 − − = 0 0 . Mas observe a tendência do valor de f quando x se aproxima de 3 por valores menores, ou seja, pela esquerda de três: x 2,9 2,99 2,999 2,9999 2,99999 → 3 f(x) 5,9 5,99 5,999 5,9999 5,99999 → 6 Agora, imaginemos x aproximando de 3 por valores maiores que 3, ou seja, pela direita: x 3,1 3,01 3,001 3,0001 3,00001 → 3 f(x) 6,1 6,01 6,001 6,0001 6,00001 → 6 Quando falamos de limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser um determinado número, no exemplo citado acima observe que mesmo f não estando definida para x = 3 quando x se aproxima de 3 a função está tendendo a 6. Para ilustrar essa situação indicamos 6)(lim 3 = → xf x . Como foi comentado, a indeterminação apresentada mostra que a função não é definida para x = 3, fato verifcado pois o numerador e o denominador da fração que compõe a função é igual a zero quando x substituimos x por 3. Mas, em limite, podemos contornar essa situação com uma função equivalente a f mas definada em 3. Basta usar fatoração, veja: 3 9lim 2 3 − − → x x x = )3( )3)(3(lim 3 − −+ → x xx x = )3(lim 3 + → x x = )33( + = 6 3. Operações com Limites3. Operações com Limites3. Operações com Limites3. Operações com Limites A seguir estaremos citando algumas operações envolvendo limites em ideia informal, mas elas podem ser demonstradas, não é o intuito desse livro, pois estamos tratando de tópicos. TÓPICOS DE CÁLCULO Para cursos de Engenharias Azevedo, L.X. Sejam os número reais k, 1L e 2L . Considerando que 1)(lim Lxf ax = → e 2)(lim Lxg ax = → , verificam-se para os limites as seguintes propriedades: I) o limite de um soma de funções, é igual à soma dos limites de cada função. 21)(lim)(lim)]()([ lim LLxgxfxgxf axaxax +=+=+ →→→ II) o limite da diferença de funções, é igual à diferença dos limites de cada função. 21)(lim)(lim)]()([ lim LLxgxfxgxf axaxax −=−=− →→→ III) o limite de um produto é igual ao produto dos limites. 21.)(lim).(lim)]().([ lim LLxgxfxgxf axaxax == →→→ IV) o limite de um quociente de funções, é igual ao quociente dos limites. 2 1 )(lim )(lim )( )(lim L L xg xf xg xf ax ax ax == → → → com 02 ≠L . V) o limite de uma potência de função, é igual a potência do limite. nn ax n ax Lxfxf 1)](lim[)]([ lim == →→ VI) o limite do produto da função por uma constante, é igual ao produto do limite pela constante. 1.)(lim.)(. lim Lkxfkxfk axax == →→ 4. Limites com indeterminações do tipo 0/04. Limites com indeterminações do tipo 0/04. Limites com indeterminações do tipo 0/04. Limites com indeterminações do tipo 0/0.... Quando estamos calculando limites, em diversas situações nos defrontamos com indeterminações. Podemos, para resolvê-los, fazer algumas manipulações algébricas para contornarmos essas indefinições. Uma expressão da forma 0/0 é denominada como indeterminada pois pode representar qualquer número real. O que é feito simplesmente, é obter uma função similar em sentença mas diferindo da original atráves do domínio. Nesse momento nos atentaremos em tratar de limites de funções racionais pois estas permitem uma simplificação simples. Exemplo resolvido:Exemplo resolvido:Exemplo resolvido:Exemplo resolvido: Considere a função 1 54)( 2 − −+ = x xx xf . Calcule )(lim 1 xf x→ . Resolução:Resolução:Resolução:Resolução: Nessa função temos Dom f = R – {1}. Ao tentarmos uma substituição de x por 1 em f obtemos o valor 0 tanto no numerador quanto no denominador, isso significa que 1 é raiz do polinômio no denominar como do denominador, assim )5).(1(542 +−=−+ xxxx . Como no cálculo do limite a variável x assume valores próximos de 1, então temos que 6)5(lim 1 )5).(1(lim)(lim 111 =+= − +− = →→→ x x xx xf xxx . TÓPICOS DE CÁLCULO Para cursos de Engenharias Azevedo, L.X. 5555. Definição formal. Definição formal. Definição formal. Definição formal A ideia intuitiva que criamos no inicio dessa unidade se resumia a dizer que o limite da função f (x) quando x tende a “a” é igual ao número real L se, e somente se, os números reais f (x) para os infinitos valores de x próximos a L, sempre que x estiver muito próximo de “a”. A ideia de proximidade pode ser definida utilizando valor absoluto. Sendo x e y números reais, a distância entre dois pontos quaisquer é dada por |y − x|. Assim, no inicio dessa unidade a ideia intuitiva pode ser interpretada por, se |x − 3| aproxima-se de zero, então |f(x) − 6| se aproxima de zero, em resumo, para que |f(x) − 6| seja extremamente pequeno é necessário que |x − 3| também seja extremamente pequeno. Definição:Definição:Definição:Definição: Considere I um intervalo aberto e um número real a contido nesse intervalo. Seja f uma função definida em I, exceto, possivelmente, em a. Dizemos que o limite de f(x), quando x tende a a, é L e escrevemos, Lxf ax = → )(lim se para todo 0>ε , existe 0>δ tal que, para todo x pertencente ao domínio de f tem-se 0 < |x − a | < δ então | )(xf − L| < ε . Note que o limite de uma função f no ponto a não diz nada em relação a f(a), então não há necessidade de f estar definida em a. Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo rrrresolesolesolesolvido:vido:vido:vido: Seja a função 2 132)( 2 − −− = x xx xf definida para x real e diferente de 2. Mostre que 3)(lim 2 = → xf x . ResResResResoooolução: lução: lução: lução: Note que para x tem-se f(x) = 2x – 1, pois 2 )2).(12()( − −− = x xx xf . Vamos mostrar que 3)(lim 2 = → xf x usando a definição. Assim, se para todo 0>ε , existe 0>δ tal que, para todo x pertencente ao domínio de f tem-se 0 < |x − 2| < δ então | )(xf − 3| < ε . De fato, dado 0>ε basta tomar 2 εδ = , pois 0 < |x − 2| < ⇒δ 0 < |x − 2| < ⇒ 2 ε < |f(x) − 3| = |2x – 1 – 3| = |2x – 4| = 2|x – 2| < 2. ε ε = 2 . 6666. Limites laterais. Limites laterais. Limites laterais. Limites laterais Aos examinarmos )(lim xf ax→ estamos pensando em x aproximar-se de a tanto por valores maiores quanto menores que a, para tal indicamos ax → . Mas para calcularmos esse limite fazemos umaanálise dos sentidos de aproximação de x para a. I.I.I.I. Podemos fazer xxxx se aproximar de aaaa por valores maiores do que aaaa, ou seja, fazemos xxxx tender a aaaa pela direita e indicamos )(lim xf ax +→ . II.II.II.II. De modo análogo, podemos fazer xxxx se aproximar de aaaa por valores menores do que aaaa, ou seja, fazemos que xxxx tende aaaa a pela esquerda e indicamos )(lim xf ax −→ . Exemplo resolvido:Exemplo resolvido:Exemplo resolvido:Exemplo resolvido: Considere a função real definida por <− ≥− = 4 se 24 4 se 32)( xx xx xf . Determine )(lim 4 xf x +→ e )(lim 4 xf x −→ . Resolução. Resolução. Resolução. Resolução. TÓPICOS DE CÁLCULO Para cursos de Engenharias Azevedo, L.X. Para calcular )(lim 4 xf x +→ devemos aproximar f(x) por valores de x pela direita de 4, ou seja, por valores maiores que 4. Para tal podemos usar a primeira sentença da função, assim 5)32(lim)(lim 44 =−= ++ →→ xxf xx . De forma semelhante, para obter )(lim 4 xf x −→ devemos aproximar f(x) por valores de x pela esquerda de 4, ou seja, por valores menores que 4. Assim usando a segunda sentença de f tem-se 4)24(lim)(lim 44 −=−= −− →→ xxf xx . 6666.1. .1. .1. .1. DDDDefinição formal paraefinição formal paraefinição formal paraefinição formal para os limites laterais:os limites laterais:os limites laterais:os limites laterais: DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição (Limite lateral a direita)(Limite lateral a direita)(Limite lateral a direita)(Limite lateral a direita):::: Considere I um intervalo aberto e um número real a contido nesse intervalo. Seja f uma função definida em I, exceto, possivelmente, em a. Dizemos que o limite lateral a direita de f(x) quando x tende a a, é L e escrevemos, Lxf ax = +→ )(lim se para todo 0>ε , existe 0>δ tal que, para todo x pertencente ao domínio de f tem-se x − a < δ então 0 < | )(xf − L| < ε . Definição (Limite lateral a esquerda): Definição (Limite lateral a esquerda): Definição (Limite lateral a esquerda): Definição (Limite lateral a esquerda): Considere I um intervalo aberto e um número real a contido nesse intervalo. Seja f uma função definida em I, exceto, possivelmente, em a. Dizemos que o limite lateral a esquerda de f(x) quando x tende a a, é L e escrevemos, Lxf ax = −→ )(lim se para todo 0>ε , existe 0>δ tal que, para todo x pertencente ao domínio de f tem-se − δ < x − a < 0 então | )(xf − L| < ε . ExemploExemploExemploExemplo resolvidoresolvidoresolvidoresolvido.... Seja a função real 13)( −= xxf . Mostre que 5)(lim 2 = −→ xf x . Resolução:Resolução:Resolução:Resolução: Devemos mostrar que para dado ε > 0 arbitrário, encontramos um valor δ > 0 tal que − δ < x – 2 < 0, sempre que ocorra | 5)13( −−x | < ε . Assim | 5)13( −−x | = | 63 −x | = | )2(3 −x | = 23 −x . Mas − δ < x – 2 < 0 δ<−<⇒ 20 x , ainda δ323 <−x e portanto basta tomar 3 εδ = . Note que temos ocorre | 5)13( −−x | < ε sempre que − 3 ε < x – 2 < 0. 7777. Limites com u. Limites com u. Limites com u. Limites com uso de infinito.so de infinito.so de infinito.so de infinito. Para se ter uma ideia construida sobre limites infinitos emprega-se os símbolos +∞ e −∞ para ilustrar um comportamento “explosivo”, ou seja, uma tendência. Para esses símbolos deve-se pensar em crescimento ou decrescimento de forma ilimitada. Observe que esses símbolos não são números reais. A expressão +∞→x , le-se x tende a mais infinito, significa que x está assumindo valores superiores a qualquer número real, de forma análoga, a expressão −∞→x , le-se x tende a menos infinito, signigfica que x está assumindo valores menores que qualquer número real. Considere a função f definida por x xf 1)( = para valores diferentes de zero. O gráfico de f tem representação gráfica dada abaixo. TÓPICOS DE CÁLCULO Para cursos de Engenharias Azevedo, L.X. A medida que x aumenta o valor de f(x) tende a zero, então dizemos que o limite de f(x) quando x tenda a mais infinito é zero, e representamos 0)(lim = +∞→ xf x . A medida que x diminui o valor de f(x) tende a zero, então dizemos que o limite de f(x) quando x tenda a menos infinito é zero, e representamos 0)(lim = −∞→ xf x . Com base ainda nesse gráfico pode-se fazer uma análise no limite quando x tende a zero, veja, quando x se aproxima de zero pela direita, , verifica-se que os valores de x estão ficando cada vez maior, então dizemos que f(x) está tendendo a mais infinito, simbolicamente escrevemos +∞= +→ )(lim 0 xf x . Ainda, se x tende a zero pela esquerda,ou seja, por valores menores que zero, f(x) fica arbitrariamente pequeno, então dizemos que f(x) está tendendo a menos infinito, representamos por −∞= +→ )(lim 0 xf x . Nota:Nota:Nota:Nota: Seja p > 0 um número natural. Então tem-se 01lim = ±∞→ px x . ExemploExemploExemploExemplossss resolvidoresolvidoresolvidoresolvidossss.... 01.01.01.01. Seja a função 2 1)( − = x xf , 2≠x . Determine )(lim 2 xf x +→ e )(lim 2 xf x −→ . Resolução:Resolução:Resolução:Resolução: Note que essa função é similar a citada no inicio desse tópico diferenciando apenas por um deslocamento. O gráfico de f é Fazendo uma análise do gráfico temos +∞= +→ )(lim 2 xf x e −∞= −→ )(lim 2 xf x . 02.02.02.02. Calcule )(lim xf x −∞→ e )(lim xf x +∞→ sendo 4 5)( + + = x x xf , com 4−≠x . Resolução:Resolução:Resolução:Resolução: TÓPICOS DE CÁLCULO Para cursos de Engenharias Azevedo, L.X. Podemos manipular algebricamente a sentença de f, note: 4 1 4 4 4 14 4 5)( + + + + = + ++ = + + = xx x x x x x xf Assim 4 11)( + += x xf . Analisando essa função, quanto maior for o módulo de 4+x menor será o resultado de 4 1 +x , ou seja tende a 0, assim usando as propriedades dos limites tem-se 101 4 1lim1lim 4 11lim 4 5lim =+= + += + += + + +∞→+∞→+∞→+∞→ xxx x xxxx . Ainda, de forma análoga tem-se 1 4 5lim = + + −∞→ x x x . Gráficamente é fácil verificar isso: 7777.1. Limite de função polinomial quando .1. Limite de função polinomial quando .1. Limite de função polinomial quando .1. Limite de função polinomial quando ±∞→x .... Seja f uma função polinomial, ou seja, 0112211 ...)( axaxaxaxaxf nnnnnnn +++++= −−−−− . Levando em consideração que x é diferente de zero podemos escrever +++++= − −− nn nn n n x a x a x a x a axxf 01 1 2 21 ...)( . Então +++++= − −− ±∞→±∞→ nn nn n n xx x a x a x a x a axxf 01 1 2 21 ...lim)(lim . Mas nxnx n x n x x a x a x a x a 0 1 1 2 21 limlim...limlim ±∞→−±∞→ − ±∞→ − ±∞→ ==== , desta forma n n xx xaxf ±∞→±∞→ = lim)(lim . De forma análoga, se g é polinomial 0112211 ...)( bxbxbxbxbxg mmmmmmm +++++= −−−−− , então temos: m m n n xx xb xa xg xf ±∞→±∞→ = lim)( )(lim Exemplo resolExemplo resolExemplo resolExemplo resolvido:vido:vido:vido: Calcule cada um dos limites. a) )43(lim 26 +− −∞→ xx x b) 5 35 26 1333lim xx xxx x −− −+− +∞→ c) 232 352lim 45 63 −+− +− +∞→ xxx xxx x d) 822 37lim 25 23 −−− +++ −∞→ xxx xxx x Resolução:Resolução:Resolução:Resolução:a) A função 43)( 26 +−= xxxf é polinomial, então +∞==+− −∞→−∞→ 626 lim)43(lim xxx xx . TÓPICOS DE CÁLCULO Para cursos de Engenharias Azevedo, L.X. b) Se f e g são polinomiais, então m m n n xx xb xa xg xf ±∞→±∞→ = lim)( )(lim , daí temos 3 1 3lim3lim 26 1333lim 5 5 5 35 −= − = − = −− −+− +∞→+∞→+∞→ xxx x x xx xxx . Para os itens c e d seguimos análogo a b. c) +∞=== −+− +− +∞→+∞→+∞→ x x x xxx xxx xxx 3lim3lim 232 352lim 5 6 45 63 . d) 0 2 1lim 2 lim 822 37lim 25 3 25 23 === −−− +++ −∞→−∞→−∞→ xx x xxx xxx xxx . 8888. . . . Teorema do Confronto.Teorema do Confronto.Teorema do Confronto.Teorema do Confronto. O Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do “Sanduiche”, é uma ferramenta importante no cálculo de limites. Sejam f, g e h funções reais definida em um intervalo aberto I e seja a um número pertencente a I. O teorema do confronto indica a existência do limite de f se esta for limitada inferiormente por g e h e ambas convergirem para o mesmo limite. Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Sejam f, g e h três funções tais que )()()( xhxfxg ≤≤ , para todo ax ≠ . Se Lxhxg axax == →→ )(lim)(lim , então existe )(lim xf ax→ e também é igual a L. Exemplo resolvido:Exemplo resolvido:Exemplo resolvido:Exemplo resolvido: Usando o Teorema do Confronto, calcule o 2 sen lim x x x +∞→ . Resolução:Resolução:Resolução:Resolução: Note que 1sen 1 ≤≤− x . Ao multiplicar essa expressão por 2 1 x tem-se: 222 1sen 1 xx x x ≤≤ − . Repare que 2 sen x x está "enquadrada" , isto é, limitada inferior e superiormente por outras duas funções. Temos que 01lim 2 =−+∞→ xx e 01lim 2 =+∞→ xx . Conclui-se que, pelo Teorema do Confronto, que o comportamento de 2 sen x x à medida que +∞→x traduz-se em: 0sen lim 2 =+∞→ x x x . 9. Limites Fundamentais9. Limites Fundamentais9. Limites Fundamentais9. Limites Fundamentais A seguir apresentaremos alguns limites considerados fundamentais. Ao resolver limites, em muitas vezes, usamos uma técnica para conduzir a questão até que se possa aplicar esses limites fundamentais, com o intuito de facilitar assim, as soluções procuradas. Abaixo será apresentado cinco limites fundamentais, não serão apresentadas as demonstrações, e alguns exemplos resolvidos. 1.1.1.1. 11lim e x x x = + ∞→ Onde eeee é um número irracional, chamado número de Euler em homenagem ao matemático suíço, Leonhard Euler 1707-1783). TÓPICOS DE CÁLCULO Para cursos de Engenharias Azevedo, L.X. Exemplo resolvido:Exemplo resolvido:Exemplo resolvido:Exemplo resolvido: Calcule x x x 611lim − +∞→ + . Resolução. Resolução. Resolução. Resolução. Usando a propriedade de potência de potência e as propriedades dos limites temos 6 666 11lim11lim11lim − − +∞→ − +∞→ − +∞→ = += += + e xxx x x x x x x . 2. 2. 2. 2. ( ) ex x x =+ → /1 0 1lim Esse limite pode ser demonstrado apartir do anterior. Exemplo resolvido:Exemplo resolvido:Exemplo resolvido:Exemplo resolvido: Calcule ( ) x x x /4 0 1lim + → . Resolução. Resolução. Resolução. Resolução. Usando a propriedade de potência de potência e as propriedades dos limites temos ( ) ( )[ ] ( ) 44/1 0 4/1 0 /4 0 1lim1lim1lim exxx x x x x x x = +=+=+ →→→ . 3333.... 1 sen lim 0 = → x x x Exemplo resolvido:Exemplo resolvido:Exemplo resolvido:Exemplo resolvido: Calcule 1 sen lim 0 = → x x x . Resolução:Resolução:Resolução:Resolução: Pode-se fazer uma manipulação da variávél. Não existe perca de generalidade pois se 0→x então 05 →x , assim criamos um limite fundamental. 51.5 5 5sen lim.5 .5 55.sen lim5sen lim 000 ==== →→→ x x x x x x xxx . 4.4.4.4. a x a x x ln1lim 0 = − → , para a > 0. Exemplo resolvido:Exemplo resolvido:Exemplo resolvido:Exemplo resolvido: Calcule x x x 13lim 0 − → . Resolução:Resolução:Resolução:Resolução: Como a x a x x ln1lim 0 = − → tem-se 3ln 13lim 0 = − → x x x . 5.5.5.5. a x x a x = −+ → 1)1(lim 0 Calcule x x x 1)1(lim 7 0 −+ → . ResoluResoluResoluResolução:ção:ção:ção: Como a x x a x = −+ → 1)1(lim 0 tem-se 7 1)1(lim 7 0 = −+ → x x x . TÓPICOS DE CÁLCULO Para cursos de Engenharias Azevedo, L.X. ATIVIDADESATIVIDADESATIVIDADESATIVIDADES 01.01.01.01. Considere as funções 1 56)( 2 − +− = x xx xf e 5)( −= xxg . (a) As funções f e g são diferentes. Por quê? (b) Apesar de f e g serem diferentes, pode-se afirmar que )(lim)(lim 55 xgxf xx →→ = ? Por quê? 00002222.... Seja a função real f definida por = ≠ − +− = 2 se 5 2 se 2 23 )( 2 x x x xx xf . Calcule )(lim 2 xf x→ . 00003333.... Seja a função real f definida por >− = >−− = 4 se 185 4 se 6 4 se 3023 )( 2 xx x xxx xf . Calcule, justificando, o valor de )(lim 4 xf x→ . 00004444.... Abaixo está representado o gráfico da função f. Determine: a) )(lim 3 xf x −→ b) )(lim 2 xf x +−→ c) )(lim 2 xf x −−→ d) )(lim 1 xf x→ e) )(lim 2 xf x→ f) )(lim 3 xf x +→ g) )(lim 3 xf x −→ TÓPICOS DE CÁLCULO Para cursos de Engenharias Azevedo, L.X. h) )(lim 3 xf x→ 00005555.... Considere a função >+ ≤+ = 3 se 22 3 se 2 )( xx xx xf . Determine: a) )(lim 2 xf x→ b) )(lim 3 xf x +→ c) )(lim 3 xf x −→ d) )(lim 3 xf x→ 06.06.06.06. Calcule cada um dos seguintes limites. a) )23(lim 2 − → x x b) 9 96lim 2 2 3 − +− → x xx x c) 2 123lim 2 2 − − → x x x d) )4(lim 1 1 +− → x x e e) 4 45lim 2 4 + ++ −→ x xx x 07.07.07.07. Determine cada um dos limites: a) 344 62lim 2 2 2 3 −− −+ → xx xx x b) 2 16lim 2 4 2 −− − → xx x x c) 12 18lim 3 2 1 − − → x x x d) x x x 81)3(lim 4 0 −+ → 08.08.08.08. Mostre, por meio de um exemplo, que [ ])()(lim xgxf ax + → pode existir mesmo que nem )(lim xf ax→ e nem )(lim xg ax→ existam. 09.09.09.09. Mostre, por meio de um exemplo, que [ ])().(lim xgxf ax→ pode existir mesmo que nem )(lim xf ax→ e nem )(lim xg ax→ existam. 10.10.10.10. Calcule cada um dos seguintes limites. a) x x x 511lim + +∞→ b) 311lim x x x + +∞→ c) x x x − −∞→ 11lim TÓPICOS DE CÁLCULO Para cursos de Engenharias Azevedo, L.X. d) x x x 231lim − −∞→ e) x x x − −∞→ 41lim f) x x x 2 0 )1(lim + → g) x x x 5 0 )1(lim − −→ 11.11.11.11. Calcule o limite de 16 444)( 2 23 −+ −−+− = xx xxx xf quando +∞→x e quando −∞→x . 12.12.12.12. Calcule o valor dos limites: a) )(loglim 2/1 0 x x +→ b) )(loglim 2/1 0 x x −→ c) 2 2lim 2 − − → x x x = d) x xx x 11lim 2 0 −++ → e) 3 2 )1( 8lim + + +∞→ xx x x 13.13.13.13. Determine cada um dos limites no infinito. a) 83 1lim − + ∞+→ x x x b) 6 2lim 3 2 − − ∞−→ x xx x c) 53 125lim 23 + +− ∞−→ x xx x d) 12 2lim 2 − + ∞+→ x x x e) 223 32lim x x x + − ∞−→ f) 1 2lim 2 4 − − ∞+→ x xx x 14141414.... Seja f uma função real tal que 12)(1143 −≤≤−− xxfxx para 3≠x . Calcule )(lim 3 xf x→ . 15151515.... Mostre que 03coslim 6 0 = → x x x . 16161616.... Prove que 0).(lim )/( 0 = +→ xsen x ex pi . 17.17.17.17. Calcule o valor do limite: 42 )6( )8).(7).(6).(5).(4).(3).(2)(1(lim − −−−−−−−− −∞→ x xxxxxxxx x
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