Calc Integral Roteiro de Estudo 02 Integral por substituicao

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB 
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS I – DEDC I 
NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - NEAD 
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA NA MODALIDADE EDUCAÇÃO A 
DISTÂNCIA 
 
Disciplina: Cálculo Integral 
Professor formador: Mauricio Brandão 
Coordenadores: Armando Peixoto/Gerusa S. Pinheiro/ Adelmo R. Jesus 
 
ROTEIRO DE ESTUDOS 02 
Integração por substituição 
Nessas duas primeiras semanas estudamos os conceitos básicos de uma 
integral indefinida: definição, propriedades e integrais imediatas. 
Vimos que: 
 
) des(proprieda 
constante ,)()()3
)()()]()([)2
)(definição )()(')()()1




=
+=+
=⇔+=
∫∫
∫∫∫
∫
kdxxfkdxxkf
dxxgdxxfdxxgxf
xfxRcxRdxxf
 
E as integrais imediatas: 
a) 1 ,
1
1
−≠+
+
=
+
∫ nparacn
xdxx
n
n
 
d) ∫ +−= cxdxxsen )cos()( 
b) ∫ += cxdxx ln
1
 
e) ∫ += cxtgdxx )()(sec2 
c) ∫ += cxsendxx )()cos( f) ∫ += cedxe xx 
 
Nestes casos, as primitivas são obtidas aplicando-se as regras de derivação 
no “sentido inverso” (operação inversa da derivada). 
 
Em alguns casos, a função a ser integrada não está em um formato que se 
possa obter imediatamente a sua primitiva. Nestes casos, fazemos uso de 
algumas técnicas de primitivação. Vamos começar pela integral por substituição 
(páginas de. 17 a 31 do módulo Volume 2). 
O método da substituição procura desfazer (compensar) o que a regra da 
cadeia faz no momento da derivação. Esta técnica é aplicada em integrais da 
forma: 
∫ (x)dxfxfg ' ))(( 
 
O termo substituição sugere a substituição da variável x por outra variável. 
Fazendo )(xfu = , a diferencial é dada por: 
01) texto(vide (' x)dxfdu = 
 
 
 
Repetindo 
dxxfdu
xfu
)(' 
)(
=
=
 
 
Substituindo na integral: 
{ ∫∫ = duugdxxfxfg
du
)()(' ) )( (
u
43421
 
Espera-se que a integral ∫ duug )( seja imediata ou que pelo menos possamos 
aplicar outra técnica conhecida para chegarmos numa integral imediata. 
 
Vamos para exemplos mais concretos. 
 
Exemplo 1. Calcule a integral ∫ + dxxx 82 )5(2 . 
Primeiro analise a função a ser integrada. Poderíamos desenvolver 82 )5( +x e 
em seguida multiplicar por x2 . Obteríamos uma função polinomial que já 
sabemos integrar. Bem, isso seria bastante trabalhoso, experimente e boa sorte!. 
 
O que vamos fazer é aplicar a técnica da substituição. Observe que a 
derivada de 52 +x é x2 e este termo aparece multiplicando dentro da integral. 
Fazendo 52 += xu temos xdxdu 2= 
52 += xu 
xdxdu 2= 
 
Logo: 
∫ + dxxx
82 )5(2 = ∫ ∫∫ +==+=+ c
uduuxdxxxdxx
duu 9
 2 .) 5 (2. )5(
9
88282
321321 
 
Finalmente, não podemos nos esquecer de retornar para a variável original x. 
( )
c
x
c
udxxx ++=+=+∫ 9
5
9
)5(2
929
82
 
 
Exemplo 2. Calcule a integral ∫ dxex xsen )()cos( . 
Fazendo: 
)(xsenu = 
dxxdu )cos(= 
Temos então que ceceduedxxedxex xsenuu
du
xsenxsen
u
+=+=== ∫∫∫
)()()( )cos()cos(
43421
876
 
cedxex xsenxsen +=∫
)()()cos( 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3. Calcule a integral ∫
+
dx
x
x
32
. 
Fazendo: 
32 += xu 
xdxdu 2= 
xdxdu =
2
 
Temos então que ∫∫∫∫ +===
+
=
+
cudu
u
du
u
xdx
x
dx
x
x ln
2
11
2
1
2
.
1
3
1
3 22
 
 
cxcudx
x
x
++=+=
+
∫ 3ln2
1ln
2
1
3
2
2 
 
Exercícios 01. Encontre a diferencial de cada função abaixo. 
 
a) 4xy = c) )ln(xr = 
b) )(xtgu = d) xu = 
 
Exercícios 02. Calcule as integrais abaixo fazendo as substituições sugeridas. 
a) sen(x)udx(x)xsen =∫ faça , cos. )( 
b) 443 r faça , xdx)sen(xx =∫ 
 
Exercício 03. Usando o método da substituição, calcule as integrais abaixo. 
 
a) ∫ dxe
x5
 
c) ∫ dxx)4cos( 
b) ∫
+ dxxe x 2
2
2 d) ∫
+
dx
x
x
83
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas. 
dx
x
du d) 
x
dxdx
x
 c)dr (x)dx b)dudx xa)dy
 Exercícios
2
11
sec4
01
23
=====
c xb)c xsena)
 Exercícios
+−+ )cos(
4
1)(
3
2
02
43 
cx) dc xsen c) c b)ec ea)
 Exercícios
x
x
+++++ + )8ln(
2
1
4
)4(
5
03
32
5 2