Aula_bases_numericas

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Septiembre de 2000
Hernane Pereira
*
Computação I
Instituto Multidisciplinar
Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Septiembre de 2000
Hernane Pereira
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Sistemas de Numeração
Conjunto dos símbolos utilizados para a representação de quantidades e as regras que definem a foma de representação.
É determinado fundamentalmente pela base (número de símbolos utilizados em tal representação).
Sistemas posicionais = sistemas onde o valor relativo que cada símbolo ou algarismo representa depende do seu valor absoluto e da sua posição em relação à vírgula decimal. 
Análise e Processamento
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Obs.: Uma das primeiras tentativas de registro de quantidades sob a forma escrita foi o sistema de numeração indo-arábico. 
Temos
onde:
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Ex.:
Teorema Fundamental da Numeração
Relaciona uma quantidade expressa em qualquer sistema de numeração com a mesma quantidade expressa no sistema decimal.
	Estabelece que o valor decimal de uma quantidade expressa em outro sistema de numeração é dado por:
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Ex.:
Sistema Binário
Sistema de numeração utilizado nos computadores atuais. 
	Símbolos: 0 e 1 (bits = binary digits).
	quarteto 		= conj. de 4 bits
	octeto ou byte 	= conj. de 8 bits
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	kilobyte		= conj. de 1024 bytes
	megabyte	= conj. de 1024 kilobytes
	gigabyte		= conj. de 1024 megabytes
Ex.:
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Operações
Soma:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10 (0 com transporte 1)
Ex.:
		1001001 73		1001000 72
	+ 100010 34	 + 10110 22
		1101011 107		1011110 94
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Ex.:
		 11011 27		 1011 11
	+1011011 91	 + 1010110 86
		1110110 118		1100001 97
		 10.1 2.5
		+ 11.01 3.25
		 101.11 5.75
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Subtração:
Ex.:
		 11101 29	 1001000 72
	- 00110 6	 - 10110 22
		 10111 23		 110010 50
		1011011 91		 11.01 3.25
	- 11011 27	 - 10.10 2.50
		1000000 64		 00.11 0.75
Obs.: Se o subtraendo exceder o minuendo, subtrai-se uma unidade do dígito imediatamente à esquerda no minuendo e em seguida, substituimos o minuendo por 2.
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Multiplicação
Realizada de modo semelhante à multiplicação decimal.
Ex.: 34 x 6 = 204		27 x 3 = 81
 100010 34 	 11011 27
 x 110 6	 x 11 3
 000000		 11011 
 100010 	 11011 
 100010 		 1010001 81
 11001100 204
 
Obs.: A soma final dos produtos se faz em binário. 
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Divisão
Ex.: 34:6 = 5		72:11 = 6
 100010 110	 1001000 1011
 110 101	 1011 110
 1010		 1110 
 110 	 1011 
 100 		 110 
Sistema Octal
Sistema de numeração de base 8. Sistema posicional e a posição dos algarismos é determinada em relação à vírgula decimal.
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A aritmética deste sistema é semelhante à aritmética dos sistemas decimal e binário.
Ex.:
Sistema Hexadecimal
Sistema posicional de numeração cuja base é 16. 
	16 símbolos para a representação:
		0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
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Símbolo	 A B C D E F
Valor Absoluto 10 11 12 13 14 15
Ex.:
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Conversões entre Sistemas de Numeração
Conversão decimal-binário
Ex.: Converter 118 em binário.
Dividir sucessivamente o número pela base 2 até que se obtenha um quociente nulo.
118 2
 0 59 2
 1 29 2
 1 14 2
 0 7 2
 1 3 2 118 = (1110110)2
 1 1 2
 1 0
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Ex.: Converter o número 3318 em binário.
3318 2
 0 1659 2
 1 829 2
 1 414 2
 0 207 2
 1 103 2
 1 51 2
 1 25 2
 1 12 2
 0 6 2
 3318 = (110011110110)2 0 3 2
 1 1 2
 1 0
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Ex.: Converter o número 0,7080078125 em binário.
0,7080078125 x 2 = 1,416015625
0,416015625 x 2 = 0,83203125
0,83203125 x 2 = 1,6640625
0,6640625 x 2 = 1,328125	
0,328125 x 2 = 0,65625
0,65625 x 2 = 1,3125
0,3125 x 2 = 0,625
0,625 x 2 = 1,25
0,25 x 2 = 0,5
0,5 x 2 = 1,0
0,7080078125 = (0,1011010101)2
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Ex.: Converter o número 35,8125 em binário.
Parte inteira:		 Parte fracionária:
35 2 0.8125 x 2 = 1.625
 1 17 2 0.625 x 2 = 1.25
 1 8 2 0.25 x 2 = 0.5 
 0 4 2 0.5 x 2 = 1.0
 0 2 2 
 0 1 2
 1 0
35 = (100011)2 0,8125 = (0,1101)2
35,8125 = (100011,1101)2 		 (Ver [1].)
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Conversão binário-decimal
Método da soma das potências de 2
(Válido para números binários com ou sem parte fracionária.)
Ex.: Converter em decimal o número 101011.
			101011 = 25 + 23 + 21 + 20 = 
			 = 32 + 8 + 2 + 1 = 43
Ex.: Converter em decimal o número 11,001001.
		11,001001 = 21 + 20 + 2-3 + 2-6 = 
		 = 2 + 1 + 0,125 + 0,015625 =
		 = 3,140625
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Conversão decimal-octal
Método das divisões sucessivas por 8. 
Utilizado para a conversão de números decimais inteiros para o sistema octal.
Ex.:Converter o número decimal inteiro 550 em octal.
			550 8
			 6 68 8
			 4 8 8
			 0 1 8
			 1 0 
			550 = (1046)8
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Método das multiplicações sucessivas por 8. 
Utilizado para a conversão de números decimais fracionários para o sistema octal.
Ex.:Converter a fração decimal 0,140625 em octal.
			0,140625 x 8 = 1,125
			0,125 x 8 = 1,0
			0,140625 = (0,11)8
Obs.: A combinação dos dois métodos é utilizada para obter-se a conversão de números decimais com parte inteira e fracionária para octal.
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Conversão octal-decimal
O método mais comumente utilizado faz uso do Teorema Fundamental da Numeração.
Ex.: Converter os números (1234)8 e (317) 8 em decimal.
(1234)8 = 1x83 + 2x82 + 3x81 + 4x80 =
 = 512 + 128 + 24 + 4 = (668)10
(317)8 = 3x82 + 1x81 + 7x80 =
 = 192 + 8 + 7 = (207)10
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Conversão decimal-hexadecimal
Método das divisões sucessivas por 16. 
Utilizado para a conversão de números decimais inteiros para o sistema hexadecimal.
Ex.:Converter os inteiros 600 e 1000 em hexadecimal.
	600 16				1000 16
 8 37 16			 8 62 16
	 5 2 16			 14 3 16 
	 2 0			 3 0
	600 = (258)16			1000 = (3E8)16
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Método das multiplicaçõessucessivas por 16. 
Utilizado para a conversão de números decimais fracionários para o sistema hexadecimal.
Ex.:Converter a fração decimal 0,06640625 em hexadecimal.
			0,06640625 x 16 = 1,0625
			0,0625 x 16 = 1,0
			0,06640625 = (0,11)16
Obs.: A combinação dos dois métodos é utilizada para obter-se a conversão de números decimais com parte inteira e fracionária para hexadecimal. 
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Conversão hexadecimal-decimal
O método mais comumente utilizado faz uso do Teorema Fundamental da Numeração.
Ex.: Converter o números hexadecimais 4AC e 51 em decimal.
4AC = 4x162 + 10x161 + 12x160 =
		 = 1024 + 160 + 13 = 1196
51 = 5x161 + 1x160 =
		 = 80 + 1 = 81
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Conversão hexadecimal-binário
Substitui-se cada dígito hexadecimal por sua representação binária com 4 dígitos (ver tabela).
		 Hexadecimal Binário 	 Hexadecimal Binário
			0	0000		8	1000
			1	0001		9	1001
			2	0010		A	1010
			3	0011		B	1011
			4	0100		C	1100
			5	0101		D	1101
			6	0110		E	1110
			7	0111		F	1111
Ex.: (3CD)16 = (0011 1100 1101) = (1111001101)2
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Conversão binário-hexadecimal
Processo inverso ao da conversão anterior.
Agrupam-se os dígitos binários de 4 em 4 partindo do ponto decimal, substituindo cada quarteto por seu dígito hexadecimal correspondente.
Ex.:(11011,10)2 =
 = 0001 1011 , 1000 = (1B,8)16
 (1011011111,01101)2 = 
 = 0010 1101 1111 , 0110 1000 =
 = (2DF,68)16
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