Lista 2 - ANA MARIA

Prévia do material em texto

2a. Lista de Exerc´ıcios
Ca´lculo II
Turma A
1. Encontre
∂f
∂x
e
∂f
∂y
a) f(x, y) =
x+ y
xy − 1
Resp:
∂f
∂x
=
−(y2 + 1)
(xy − 1)2
∂f
∂y
=
−(x2 + 1)
(xy − 1)2
b) f(x, y) = sin2(x− 3y)
Resp:
∂f
∂x
= 2 sin(x− 3y) cos(x− 3y)
∂f
∂y
= −6 sin(x− 3y) cos(x− 3y)
c) f(x, y) = xy
Resp:
∂f
∂x
= yxy−1
∂f
∂y
= xy lnx
d) f(x, y) = arctan(
x
y
)
Resp:
∂f
∂x
=
−y
x2 + y2
∂f
∂y
=
x
x2 + y2
1
2. Encontre fx, fy e fz
a) f(x, y, z) = x−√y2 + z2
Resp:
∂f
∂x
= 1
∂f
∂y
=
y√
y2 + z2
∂f
∂z
=
z√
y2 + z2
b) f(x, y, z) = yz ln(xy)
Resp:
∂f
∂x
=
yz
x
∂f
∂y
= z(1 + ln(xy))
∂f
∂z
= y ln(xy)
c) f(x, y, z) = e−(x
2+y2+z2)
Resp:
∂f
∂x
= −2xe−(x2+y2+z2)
∂f
∂y
= −2ye−(x2+y2+z2)
∂f
∂z
= −2ze−(x2+y2+z2)
3. Encontre as derivadas parciais de segunda ordem das func¸o˜es:
a) g(x, y) = x2y + cos y + y sinx
2
Resp:
∂2g
∂2x
= 2y − y sinx
∂2g
∂2y
= − cos y
∂2g
∂x∂y
= 2x+ cosx
∂2g
∂y∂x
= 2x+ cosx
b) r(x, y) = ln(x+ y)
Resp:
∂2r
∂2x
=
−1
(x+ y)2
∂2r
∂2y
=
−1
(x+ y)2
∂2g
∂x∂y
=
−1
(x+ y)2
∂2g
∂y∂x
=
−1
(x+ y)2
4. Encontre o valor de
∂x
∂z
no ponto (1,−1,−3) sabendo que a equac¸a˜o
xz + y lnx− x2 + 4 = 0
define x como uma func¸a˜o de duas varia´veis independentes y e z e que a derivada parcial existe.
Resp:
∂x
∂z
=
−x2
xz + y − 2x2
5. Expresse
dw
dt
como uma func¸a˜o de t, usando a Regra da Cadeia e calcule
dw
dt
no valor dado
de t.
3
1. w = x2 + y2, x = cos t+ sin t, y = cos t− sin t; t = 0
Resp:
dw
dt
= 0
2. w = ln(x2 + y2 + z2), x = cos t, y = sin t, z = 4
√
t; t = 3
Resp:
dw
dt
=
16
1 + 16t
e
dw
dt
(3) =
16
49
3. w = z − sin(xy), x = t, y = ln t, z = et−1; t = 1
Resp:
dw
dt
= et−1 − (1 + ln t) cos(t ln t) e dw
dt
(1) = 0
6. Expresse
∂w
∂u
e
∂w
∂v
como func¸o˜es de u e v usando a Regra da Cadeia e calcule
∂w
∂u
e
∂w
∂v
no ponto dado.
a)w = 4ex ln y, x = ln(u cos v), y = u sin v; (u, v) = (2, pi/4)
Resp:
∂w
∂u
= (4 cos v) ln(u sin v) + 4 cos v;
∂w
∂u
(2, pi/4) = 4
∂w
∂v
= (−4u sin v)ln(u sin v) + 4u cos
2 v
sin v
;
∂w
∂u
(2, pi/4) =
√
2(ln 2− 2)
b)w = xy + yz + xz, x = u+ v, y = u− v, z = uv ; (u, v) = (1/2, 1)
Resp:
∂w
∂u
= 2u+ 4uv;
∂w
∂u
(1/2, 1) = 3
∂w
∂v
= −2v + u2; ∂w
∂u
(1/2, 1) = −3
2
7. Expresse
∂u
∂x
,
∂u
∂y
e
∂u
∂z
como func¸o˜es de x, y e z usando a Regra da Cadeira e calcule
∂u
∂x
,
∂u
∂y
e
∂u
∂z
no ponto dado (x, y, z)
4
u =
p− q
q − r , p = x+ y + z; (x, y, z) = (
√
3, 2, 1)
q = x− y + z
r = x+ y − z
Resp:
∂u
∂x
= 0
∂u
∂y
=
z
(z − y) 2;
∂u
∂y
(
√
3, 2, 1) = 1
∂u
∂z
=
−y
(z − y) 2;
∂u
∂y
(
√
3, 2, 1) = −2
8. Encontre
∂w
∂r
quando r = 1, s = 1 se w = (x+y+z)2, x = r−s, y = cos(r+s), z = sin(r+s).
Resp:12
9. Encontre
∂z
∂u
e
∂z
∂v
quando u = ln 2, v = 1 se z = 5 arctanx e x = eu + ln v.
Resp:
∂z
∂u
= 2 e
∂z
∂v
= 1
10. Encontre
∂z
∂u
e
∂z
∂v
quando u = 1, v = −2 se z = ln q e q = (√v + 3) arctanu.
Resp:
∂z
∂u
=
2
pi
e
∂z
∂v
=
1
2
5