Aula_01_02

Prévia do material em texto

ÁLGEBRA LINEAR 
2º semestre – 2012 
 
 
Profa. Célia Leme 
mcelialeme@gmail.com 
 
Sistemas de equações lineares 
Desde a metade do século XX, pesquisadores de muitas 
área tem usado computador para analisar modelos 
matemáticos. Por conta da enorme quantidade de dados 
envolvidos, os modelos são geralmente descritos por 
sistemas de equações lineares. 
 
Hoje, a álgebra linear tem mais valor em potencial para os 
alunos, em muitas áreas científicas e de negócios, do 
que qualquer outro assunto em matemática em nível de 
graduação! (Lay, 2007) 
 
Os sistemas lineares estão no coração da AL (Lay, 2007) 
 
 
 
Sistemas de equações lineares 
 
 
 
 
 Um sistema de equações lineares (ou sistema 
linear) é uma coleção de uma ou mais equações 
lineares envolvendo as mesmas variáveis .... 
 
 
 
 
 
b a ...aa
:como escritaser pode que equação uma é
xxx variáveis naslinear equação Uma
n21
n21
=+++ nxxx 21
,...,,
Sistemas de equações lineares 
Questões: 
 
1. O que significa resolver um sistema de 
equações lineares? 
 
2. Quais as possibilidades de soluções? 
 
 
 
 
Sistemas de equações lineares 
Resolva os sistemas e represente-os 
geometricamente no plano cartesiano: 
 
 
 
 
 
 
 



−=
=+−
624
12
)(
yx
yx
a



−=−
=+
1
1
)(
xy
yx
b



−=+
−=+
12
336
)(
yx
xy
c
Sistemas de equações lineares 
 
 
 
 
 
 
 



−=
=+−
624
12
)(
yx
yx
a Sistema impossível – sem solução 
Sistemas de equações lineares 
 
 
 
 
 
 
 



−=−
=+
1
1
)(
xy
yx
b Sistema possível e determinado – solução única 
Sistemas de equações lineares 
 
 
 
 
 
 
 



−=+
−=+
12
336
)(
yx
xy
c Sistema possível e indeterminado – infinitas soluções 
Sistemas de equações lineares – definição 
 
 
 
Sistemas de equações lineares – solução 
Um sistema de equações lineares pode ter: 
 
1. Nenhuma solução 
2. Exatamente uma solução 
3. Infinitas soluções 
 
 
 
Sistemas de equações lineares e matrizes 
 
 
 
Dado o sistema: 
Método de Gauss – sistema de equações 
 
 
 
 
Dado o sistema: 
Matriz ampliada 










f
ed
cba
100
10
1
Aonde queremos chegar 





−=++−
=−
=+−
9954
882
02
321
32
321
xxx
xx
xxx










−−
−
−
9954
8820
0121
Sistemas de equações lineares 
Operações elementares de linhas: 
 
1. Substituir uma linha pela soma dela mesma 
com um múltiplo de outra linha, ou seja, 
“somar a uma linha um múltiplo de outra 
linha” 
2. Trocar duas linhas entre si 
3. Multiplicar todos os elementos de uma linha 
por uma constante não nula. 
 
 
 
 
 
Sistemas de equações lineares 
Duas matrizes são equivalentes por linhas se 
existe uma sequência de operações 
elementares de linhas que transforma uma 
na outra 
 
Teorema: Dois sistemas que possuem 
matrizes ampliadas equivalentes são 
equivalentes, ou seja, apresentam a mesma 
solução. 
 
 
 
Método de Gauss – sistema de equações 
 
 
 
 
Dado o sistema: 
Matriz ampliada 










f
ed
cba
100
10
1
Aonde queremos chegar 





=+−
=+−
=−
1785
1232
84
321
321
32
xxx
xxx
xx










−
−
−
1785
1232
8410
Exercícios 
 
 
Exercícios 
 
 
Escalonamento de matrizes 
 
 
 
 










−−
−−
−−
15691293
985873
546630










−−
−−
410000
702210
2403201
Forma escalonada da matriz inicial 










−−
−−
410000
624420
15691293
Forma escalonada reduzida 
da matriz inicial 
Solução de Sistemas Lineares 
 
 
 
 









 −
0000
4110
1501





=
=+
=−
00
4
15
32
31
xx
xx
Forma escalonada da matriz reduzida equivalente 
Solução geral do sistema 
Infinitas soluções 
Sistema associado 





−=
+=
livre é3
32
31
4
51
x
xx
xx
Exercícios 
Exercícios – p. 21 
Exercícios – p. 21 
Exercícios para casa – p. 22 
Exercícios para casa – p. 22 
Vetores no R2 
)1,3(=u )4,1(=ve 
( )5,4=+ vu






=





+





=+






=





=
5
4
4
1
1
3
4
1
1
3
vu
veu
Vetores no R2 
( )1,25,0
)3,6(5,1
)2,4(
−−=−
=
=
u
u
u






−
−
=





−=−






=





=






=
1
2
2
4
5,05,0
3
6
2
4
5,15,1
2
4
 u
 u
u
Vetores no Rn 
 
 
 
 
 
 
 
linear. combinação uma évcvc vc yvetor o
c cc escalares os e R do v vv vetores os Dados
vetores delinear Combinação
real número umpor matriz a se-multiplica
 escalar, umpor vetor umr multiplica Para
matrizes se-soma vetores,somar Para
R dovetor um é
u
u
u
u
 u
pp2211
p21
n
p21
n
n
3
2
1
+++=
















=
...
,...,,,...,,
.

Vetores no Rn 
 
 
 
 
 
 
 
pp2211p21
p21
pp2211
p21
p21
n
p21p21
n
p21
vxvx vx b se v v{v Span em está b
gerar"" Span
esclaresc cc com
vcvc vc
forma na escritosser podem que
 vetores os todos de coleção a é v v{v Span seja, Ou
v vvpor gerado R do osubconjunt
 de chamado é e v v{v Spanpor denotado év vv de
lineares scombinaçõe as todas de conjunto o então ,R no v vv Dados
DEFINIÇÃO
+++=
=
+++
...},...,,
,...,,
...
},...,,
.,...,,
},...,,,...,,
,...,,
Representação geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0. e vpor R do reta da pontos pelos ovisualizad
 v, de esclares múltiplos os todos de conjunto o é {v} Span Então
 .R do nulo-nãovetor um v Seja
3
3
0. e v u, contém que R do plano o é v}{u, Span Então
 u. de múltiplo é não v e R do nulo-não vetores são v e u Se
3
3
Exemplo .... 
 
 
 
 
 
 
 
 
plano? esse a pertence bvetor O
.R no origem pela plano um é }a ,{a Span Então
1
8
3-
 b e a , a Seja
3
21
21










=










−
−=










−=
3
13
5
3
2
1
Equação matricial A x = b 
 
 
 
 
 
 
 
]
...
a a ... a a [ 
é completa matriz cuja
lineares equações de sistema o que solução conjunto mesmo o tem que
baxax ax
 
vetorial equação a que solução conjunto mesmo o tem
b x A 
 matricial equação a
R a pertence b se e a ..., ,a colunas com ,x matriz uma é ASe
n21
nn2211
n
n1
=+++
=
nm
Exercícios – p. 42 
 
 
Exercícios – p. 21 
	ÁLGEBRA LINEAR�2º semestre – 2012
	Sistemas de equações lineares 
	Sistemas de equações lineares 
	Sistemas de equações lineares 
	Sistemas de equações lineares 
	Sistemas de equações lineares 
	Sistemas de equações lineares 
	Sistemas de equações lineares 
	Sistemas de equações lineares – definição 
	Sistemas de equações lineares – solução 
	Sistemas de equações lineares e matrizes 
	Método de Gauss – sistema de equações 
	Sistemasde equações lineares
	Sistemas de equações lineares 
	Método de Gauss – sistema de equações 
	Exercícios 
	Exercícios 
	Escalonamento de matrizes 
	Solução de Sistemas Lineares 
	Exercícios
	Exercícios – p. 21
	Exercícios – p. 21
	Exercícios para casa – p. 22
	Exercícios para casa – p. 22
	Vetores no R2
	Vetores no R2
	Vetores no Rn
	Vetores no Rn
	Representação geométrica 
	Exemplo ....
	Equação matricial A x = b
	Exercícios – p. 42
	Exercícios – p. 21