Aula_08

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ÁLGEBRA LINEAR 
2º semestre – 2012 
 
 
Profa. Célia Leme 
mcelialeme@gmail.com 
 
Espaço Nulo de uma Matriz 





 −
=
=



=++
=−−
1
2
09
02
95-
3-1
 A 
onde 0, Ax como matricial forma Em
xx5x-
x3xx
 
homogêneo sistema o Seja
321
321
Definição 
 
O espaço nulo de uma matriz A, mxn , denotado por NulA é conjunto de 
todas as soluções homogêneas A x =0. 
Nul A= {x: x pertence ao Rn e A x = 0 } 
 A.de nulo espaço ao pertence 
2-
3
5
 u se Verifique










=
Espaço Nulo de uma Matriz 
Teorema 
 
O espaço nulo de uma matriz A, mxn , é um subespaço do Rn . 
Do mesmo modo, o conjunto de todas as soluções de um sistema homogêneo 
Ax=0 formado por m equações lineares homogêneas e n incógnitas é um 
subespaço do Rn 
Espaço das colunas de uma Matriz 
Definição 
 
O espaço das colunas de uma matriz A, mxn , denotado por ColA é conjunto 
de todas as combinações lineares das colunas de A. Se A = [ a1, ..., an ] 
Col A= Span {a1, ..., an } 
Teorema 
 
O espaço das colunas de uma matriz A, mxn , é um subespaço do Rm . 
Base 
Definição 
 
Seja H um subespaço vetorial de V. Um conjunto indexado de vetores 
B = {b1,.., bp } em V é uma base para H se: 
 
(a)B é um conjunto LI 
(b)O subespaço gerado por B coincide com H, isto é, 
H = Span {b1,.., bp } 
Exemplos 
1. Conjunto {e1,.., en } é chamado base canônica do Rn 
{ } base uma é v v v se Verifique
v e v ,v Seja 2.
321
321
,,
5
1
2
7
1
4
6
0
3









−
=









−
=










−
=
Bases para Nul A e Col A 
Vimos que ao gerar o espaço Nul A de uma matriz automaticamente obtemos 
um conjunto de vetores LI que geram uma base para NulA 
 
Para encontrar uma base para ColA veremos o exemplo: 
A base de Col B 
Exercícios – p. 218/219 
Teorema da representação única 
Seja B = {b1,.., bn } uma base para o espaço vetorial V. 
Então para cada x de V, existe um único conjunto de escalares c1,.., cn tal que 
x = c1 b1 + ... + cn bn 
Definição 
Suponha que B = {b1,.., bn } é uma base para V e que x pertence a V. 
As coordenadas de x com respeito à base B (ou as B-coordenadas de x) são 
os escalares c1,.., cn tais que 
x = c1 b1 + ... + cn bn 
Se c1,.., cn são as B-coordenadas de x, então o vetor do Rn 
 
 
 
 
Exemplos 
{ }
21
21
6.ee 1. 
1
0
 6. 
0
1
 1. 
6
1
 que já e e E canônica base a relação emx de
 scoordenada as são 
6
1
 x vetor do scomponente As
2 Exemplo
+=





+





=





=






=
,
Exemplos 
{ }
[ ] B. a relação emx de x de scoordenada dasvetor o Determine
 . b b B Seja . 
5
4
 x e 
1
1-
b ,
1
2
 b Sejam
4 Exemplo
B
2121 ,=





=





=





=
Exemplos 
{ }
[ ] B. a relação emx de x de scoordenada dasvetor o Determine
 . b b B Seja . 
5
4
 x e 
1
1-
b ,
1
2
 b Sejam
4 Exemplo
B
2121 ,=





=





=





=
Exemplos 
{ }
[ ]
s.coordenada de mudança matriz de nome o recebe matriz Essa
B base a para canônica base dax vetor o utransformo 
11
1-2
 matriz A
B. a relação emx de x de scoordenada dasvetor o Determine
 . b b B Seja . 
5
4
 x e 
1
1-
b ,
1
2
 b Sejam
4 Exemplo
B
2121






=





=





=





= ,
Exemplos 
{ }
[ ]
s.coordenada de mudança matriz de nome o recebe matriz Essa
x. de canônicas scoordenada as para
x vetor do scoordenada-B as utransformo 
11
1-2
 matriz A
B. a relação emx de x de scoordenada dasvetor o Determine
 . b b B Seja . 
5
4
 x e 
1
1-
b ,
1
2
 b Sejam
4 Exemplo
B
2121






=





=





=





= ,
Exemplos 
{ }
{ }
B. a relação comx de scoordenada dasvetor o determine
 caso, ofor se e H a pertencex se Determine
v v Span H para base uma é B Então
 . v v B Seja . 
7
12
3
 x e v ,
2
6
3
 v Sejam
7 Exemplo
21
2121
.,
,
1
0
1
=
=










=









−
=










=
Exemplos 
{ }
{ }
B. a relação comx de scoordenada dasvetor o determine
 caso, ofor se e H a pertencex se Determine
v v Span H para base uma é B Então
 . v v B Seja . 
7
12
3
 x e v ,
2
6
3
 v Sejam
7 Exemplo
21
2121
.,
,
1
0
1
=
=










=









−
=










=
Exercícios – p. 228 
Exercícios – p. 228 
Dimensão – teoremas / definição 
Teorema 9: Se um espaço vetorial V tem base B = {b1,.., bn } então todo 
subconjunto de V contendo mais de n vetores é linearmente dependente. 
 
Teorema 10: Se um espaço vetorial tem uma base com n vetores, então toda 
base de V também tem exatamente n vetores. 
 
Definição: Se V é gerado por um conjunto finito, então V é chamado de espaço 
de dimensão finita de V, e a dimensão de V, denotada por dim V, é o número 
de vetores de qualquer base de V. 
A dimensão do espaço vetorial trivial {0} é definida como sendo igual a zero. 
Se V não é gerado por um conjunto finito, então ele é chamado de espaço de 
dimensão infinita. 
Dimensão – exemplos 
Os subespaços do R3 podem ser classificados pela dimensão: 
 
Subespaço de zero dimensão – somente o subespaço trivial {0} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Subespaços de dimensão finita – teoremas 
Teorema 11: Seja H um subespaço de um espaço vetorial V de dimensão finita. 
Todo subconjunto de H linearmente independente pode ser expandido, se 
necessário, até formar uma base para H. Mais ainda, H é de dimensão finita e 
dim H ≤ dim V 
 
Teorema 12: Seja V um espaço vetorial de dimensão p, p ≥ 1. 
Todo subconjunto linearmente independente com exatamente p elementos é 
automaticamente uma base para V. 
Todo subconjunto com exatamente p elementos e que gera V é 
automaticamente uma base para V. 
 
Dimensão de NulA e Col A 
A dimensão de Nula A é igual ao número de variáveis livres da equação A x = 0 
E a dimensão de Col A é igual ao número de colunas pivôs de A. 
 
 
Exercícios – p. 234 / 235 
	ÁLGEBRA LINEAR�2º semestre – 2012
	Espaço Nulo de uma Matriz 
	Espaço Nulo de uma Matriz 
	Espaço das colunas de uma Matriz 
	Base
	Bases para Nul A e Col A
	Exercícios – p. 218/219
	Teorema da representação única
	Exemplos
	Exemplos
	Exemplos
	Exemplos
	Exemplos
	Exemplos
	Exemplos
	Exercícios – p. 228
	Exercícios – p. 228
	Dimensão – teoremas / definição 
	Dimensão – exemplos
	Subespaços de dimensão finita – teoremas
	Dimensão de NulA e Col A
	Exercícios – p. 234 / 235