Álgebra Linear: Espaço Nulo e Espaço das Colunas

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ÁLGEBRA LINEAR 
2º semestre – 2012 
 
 
Profa. Célia Leme 
mcelialeme@gmail.com 
 
Espaço Nulo de uma Matriz 





 −
=
=



=++
=−−
1
2
09
02
95-
3-1
 A 
onde 0, Ax como matricial forma Em
xx5x-
x3xx
 
homogêneo sistema o Seja
321
321
Definição 
 
O espaço nulo de uma matriz A, mxn , denotado por NulA é conjunto de 
todas as soluções homogêneas A x =0. 
Nul A= {x: x pertence ao Rn e A x = 0 } 
 A.de nulo espaço ao pertence 
2-
3
5
 u se Verifique










=
Espaço Nulo de uma Matriz 
Teorema 
 
O espaço nulo de uma matriz A, mxn , é um subespaço do Rn . 
Do mesmo modo, o conjunto de todas as soluções de um sistema homogêneo 
Ax=0 formado por m equações lineares homogêneas e n incógnitas é um 
subespaço do Rn 
Espaço Nulo de uma Matriz 










−−
−−
−−
=
48542
13221
71163-
 A 
 matriz da nulo espaço o paragerador conjunto um Determine
:Exemplo
Espaço Nulo de uma Matriz 
Observações importantes: 
 
1. O conjunto gerador obtido no exemplo é automaticamente LI, porque as 
variáveis livres são os coeficientes para os vetores geradores. 
 
2. O número de vetores no conjunto gerador de Nul A é igual ao número de 
variáveis livres da equação A x = 0 
 
Espaço das colunas de uma Matriz 
Definição 
 
O espaço das colunas de uma matriz A, mxn , denotado por ColA é conjunto 
de todas as combinações lineares das colunas de A. Se A = [ a1, ..., an ] 
Col A= Span {a1, ..., an } 
Teorema 
 
O espaço das colunas de uma matriz A, mxn , é um subespaço do Rm . 
Observe que um vetor típico do Col A pode ser escrito na forma Ax para 
algum x porque a notação Ax representa a combinação linear das 
colunas de A, isto é: 
 
Col A = { b: b = A x para algum x do Rn } 
 
Espaço das colunas de uma Matriz 




















+=
=
R em ba, : 
7a-
ba
b- 6a
 W 
 ACol Wque tal Amatriz uma Determine
:4 Exemplo
Diferenças entre Nul A e Col A 
K? devalor o é qualR do subespaço um é Ade nulo espaço o Se (b)
k? devalor o é qualR do subespaço um é Ade colunas das espaço o Se (a)
68-73
375-2-
12-42
 A
:5 Exemplo
k
k
,
,










=
 A?Nul apertencer poderia v que Será A.Col a pertence v se Determine (b)
 A?Col apertencer poderia u que Será A.Nul a pertence u se Determine (a)
 
3
1-
3
 v e 
0
1-
2-
3
 u seja 5, ex. do Amatriz a Com :7 Exemplo










=












=
Diferenças entre Nul A e Col A – matriz A (m x n) 
Exercícios – p. 210 
Exercício – p. 210/211 
Conjuntos Linearmente Independentes 
Definição 
Um conjunto de vetores {v1,.., vn } em V é dito linearmente independente se a 
equação vetorial 
c1v1+ c2v2 + ... + cnvn = 0 
Admite apenas a solução trivial, c1= 0, ..., cn = 0 
 
 
Teorema 
Um conjunto indexado {v1,.., vn } de dois ou mais vetores, com v1 ≠ 0, é 
linearmente dependente se e somente se algum vj (com j >1) é combinação 
linear dos vetores v1,.., vj-1 que o precedem 
 
 
 
Conjuntos Linearmente Independentes – exemplos 
Exemplos 
1. Sejam p1 (t) = 1, p2 (t) = t e p3 (t) = 4 – t. Então {p1 , p2 , p3 } é LD 
 
2. O conjunto { sen t, cos t } é LI em [0,1] 
 
3. O conjunto { sen t cos t, sen 2t } é LD para todo t 
Base 
Definição 
 
Seja H um subespaço vetorial de V. Um conjunto indexado de vetores 
B = {b1,.., bp } em V é uma base para H se: 
 
(a)B é um conjunto LI 
(b)O subespaço gerado por B coincide com H, isto é, 
H = Span {b1,.., bp } 
Exemplos 
1. Conjunto {e1,.., en } é chamado base canônica do Rn 
{ } base uma é v v v se Verifique
v e v ,v Seja 2.
321
321
,,
5
1
2
7
1
4
6
0
3









−
=









−
=










−
=
Teorema conjunto gerador 
Seja S = {v1,.., vp } um conjunto em V e seja H = Span {v1,.., vp } 
 
(a)Se um dos vetores de S (digamos vk) é uma combinação linear dos demais 
vetores de S então o conjunto obtido de S retirando vk ainda gera H 
(b)Se H ≠ {0} então algum subconjunto de S é uma base para H. 
Bases para Nul A e Col A 
Vimos que ao gerar o espaço Nul A de uma matriz automaticamente obtemos 
um conjunto de vetores LI que geram uma base para NulA 
 
Para encontrar uma base para ColA veremos o exemplo: 
A base de Col B 
Bases para Nul A e Col A 
Exercícios 
Exercícios – p. 218 
	ÁLGEBRA LINEAR�2º semestre – 2012
	Espaço Nulo de uma Matriz 
	Espaço Nulo de uma Matriz 
	Espaço Nulo de uma Matriz 
	Espaço Nulo de uma Matriz 
	Espaço das colunas de uma Matriz 
	Espaço das colunas de uma Matriz 
	Diferenças entre Nul A e Col A 
	Diferenças entre Nul A e Col A – matriz A (m x n) 
	Exercícios – p. 210
	Exercício – p. 210/211 
	Conjuntos Linearmente Independentes
	Conjuntos Linearmente Independentes – exemplos
	Base
	Teorema conjunto gerador
	Bases para Nul A e Col A
	Bases para Nul A e Col A
	Exercícios
	Exercícios – p. 218