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ÁLGEBRA LINEAR 2º semestre – 2012 Profa. Célia Leme mcelialeme@gmail.com Transformadas Lineares A equação matricial A x = b é equivalente a x1a1+ x2a2 +...+ xnan = b Uma outra maneira de interpretar A x = b é pensar que a matriz A “age” sobre um vetor x e produz um novo vetor b Uma transformação T do Rn no Rm é uma regra que associada a cada vetor do x do Rn um vetor T(x) = A x do Rm , onde A é uma matriz m x n . Transformadas Lineares T. çãotransforma da imagem na está c se Determine (5) b? é Tpor imagem cujax um de mais Existe (4) b é Tpor imagem cuja R dox Determine (3) T(u) Determine (2) Ax T(x)por RR :T çãotransforma a Defina (1) 5 2 3 c , 5- 2 3 b , 1- 2 u , 71- 53 3-1 ASejam 1 Exemplo 2 32 =→ = = = = Transformadas Lineares A ideia é encontrar funções entre espaços vetoriais que respeitem a “estrutura” de espaços vetoriais Definição: Sejam V e W dois espaços vetoriais e T: V → W Uma transformada (ou aplicação) T é linear se: (a)T (u+v) = T(u) + T(v) para todo u, v no domínio de T; (b)T(cu) = c T(u) para todo u e todo escalar c. Transformações Lineares – exemplos e contra exemplos Verifique se as funções são ou não transformações lineares: 1) V = W = R , Q: R → R tal que Q(x) = 2x 2) V = W = R , F: R → R tal que F(u) = u2 3) V = W = Pn, D: Pn → Pn tal que D(f) = f ’ 4) T: R3 → R3 tal que F(x, y, z) = (x+1, y, z) Qual a propriedade encontrada em todas as transformações lineares? Transformadas Lineares Propriedades: 1. T(0) = 0 2. T(cv+du) = T(cv) + T(du) = c T(v) + d T(u) 3. T(c1v1 + ...+ cpvp) = c1 T(v1) + ...+ cp T(vp) Transformações do plano no plano 1. Reflexão em torno do eixo x F: R2 → R2 (x, y) → (x, -y) = x (1, 0) + y (0, -1) − − y x y x y x y x 10 01 ou Transformações do plano no plano 2. Reflexão na origem Transformações do plano no plano 2. Reflexão na origem F: R2 → R2 (x, y) → (-x, -y) = x (-1, 0) + y (0, -1) − − − − y x y x y x y x 10 01 ou Transformação do plano no plano 3. Rotação de um ângulo Ө (sentido anti-horário) Transformação do plano no plano 3. Rotação de um ângulo Ө (sentido anti-horário) F: R2 → R2 (x, y) → (x cos Ө - y sen Ө, y cos Ө + x sen Ө) − − + = + − y x sen sen y x sen y sen x senxy senyx y x θθ θθ θ θ θ θ θθ θθ cos cos cos cos cos cos Transformação linear e a visão geométrica 4. Cisalhamento horizontal T: R2 → R2 T (x, y) = (x+2y, y) = x (1, 0) + y (2, 1) = + y x y yx y x 10 212 Transformação linear e a visão geométrica 5. Translação é uma transformação linear? Por quê? T: R2 → R2 T (x, y) = (x+a, y+b) = x (1, 0) + y (0, 1) + (a,b) + b a y x y x 10 01 Transformação linear – propriedades Teorema Transformação linear – problemas Problema 1 Qual é a transformação linear T: R2 → R3 tal que T (1,0) = (2, -1, 0) e T (0,1) = (0, 0, 1)? Transformação linear – problemas Problema 1 Qual é a transformação linear T: R2 → R3 tal que T (1,0) = (2, -1, 0) e T (0,1) = (0, 0, 1)? Temos que { (1,0), (0,1)} é uma base do R2 e w1= (2,-1,0) e w2= (2,-1,0) Dado v = (x1, x2) arbitrário, v = x1 e1 + x2 e2 T(v) = x1 T(e1) + x2 T(e2) = x1 (2,-1,0) + x2 (0,0,1) = ( 2 x1, -x1, x2) −= − 2 1 1 2 1 2 1 2 10 01 02 x x x x x x x Transformação linear – problemas Problema 2 Qual é a transformação linear T: R2 → R3 tal que T (1,1) = (3, 2, 1) e T (0,-2) = (0, 1, 0)? Cuidado! Aqui a base não é canônica! Será preciso escrever um vetor genérico em função da base dada Exercícios p. 171 – Exercícios: 2 (a, b, d, f), 3, 5 Referência: Boldrini, José Luiz et al, Álgebra Linear. 3ª Edição. Editora Harbra, 1980. Transformações Lineares - Imagem Seja T: V → W uma aplicação linear. A imagem de T é o conjunto dos vetores w Є W tais que existe um vetor v Є V, que T(v) = w. Ou seja Im (T) = { w Є W; T(v) = w para algum v Є V} Im (T) é um subconjunto de W e um subespaço de W. Transformações Lineares - Núcleo Seja T: V → W uma aplicação linear. O conjunto de todos os vetores v Є V tais que T(v) = 0 é chamado núcleo de T, sendo denotado por Ker (T). Isto é Ker (T) = { v Є V; T(v) = 0} Ker (T) é um subconjunto de V e um subespaço de V. Transformações Lineares – Núcleo / Imagem Transformações Lineares – Injetora Dada uma aplicação T: V → W, dizemos que: T é injetora se dados u Є V , v Є V com T(u) = T(v) tivermos u = v. Ou ainda: T é injetora se dados u, v Є V com u ≠ v, então T (u) ≠ T (v) Em outras palavras, T é injetora se as imagens de vetores distintos são distintas. Transformações Lineares – Sobrejetora Dada uma aplicação T: V → W, dizemos que: T é sobrejetora se a imagem de T coincidir com W, ou seja, T(V) = W. Ou ainda: T será sobrejetora se dado w Є W, existir v Є V tal que T (v) = w Transformações injetoras e sobrejetoras – Exemplo Verifique se a transformação é injetora e sobrejetora: T: R → R2 tal que T(x) = (x,0) Transformação linear – Teoremas Seja T: V → W uma aplicação linear. Então Ker (T) = {0} ↔ T é injetora. Transformação linear – Teoremas 1. Seja T: V → W uma aplicação linear. então Ker (T) = {0} ↔ T é injetora. 2. Seja T: V → W uma aplicação linear. então dim Ker (T) + dim Im (T) = dim (V) 3. Se dim V = dim W, então T linear é injetora ↔ T é sobrejetora. 4. Seja T: V → W uma aplicação linear injetora. Se dim V = dim W, então T leva base em base. Transformação linear – ISOMORFISMO Quando uma transformação linear T: V → W for injetora e sobrejetora, ao mesmo tempo, dá-se o nome de isomorfismo. Quando há uma tal transformação entre dois espaços vetoriais dizemos que estes são isomorfos. Sob o ponto de vista de Álgebra Linear, espaços isomorfos são, por assim, dizer, idênticos. Observe ainda que espaços isomorfos devem ter a mesma dimensão e leva base em base. Além disso, um isomorfismo T: V → W tem uma aplicação inversa T-1: W → V que é linear e também é um isomorfismo. Transformação linear – Exercício Seja T: R3 → R3 dada por T(x,y,z) = (x-2y, z, x+y) Mostre que T é um isomorfismo e encontre sua inversa T-1. Transformação linear – Exercício Seja T:R3 → R3 dada por T(x,y,z) = (x-2y, z, x+y) Mostre que T é um isomorfismo. Transformação linear – Exercício Seja T: R3 → R3 dada por T(x,y,z) = (x-2y, z, x+y) Encontre sua inversa T-1. Exercício 19 – p. 173 Considere a transformação linear T: R3 → R3 dada por T(x,y,z) = (z, x-y, -z) a) Determine uma base do núcleo de T b) Dê a dimensão da imagem de T c) T é sobrejetora? Justifique. d) Faça um esboço de Ker T e Im T. ÁLGEBRA LINEAR�2º semestre – 2012 Transformadas Lineares Transformadas Lineares Transformadas Lineares Transformações Lineares – exemplos e contra exemplos Transformadas Lineares Transformações do plano no plano Transformações do plano no plano Transformações do plano no plano Transformação do plano no plano Transformação do plano no plano Transformação linear e a visão geométrica Transformação linear e a visão geométrica Transformação linear – propriedades Transformação linear – problemas Transformação linear – problemas Transformação linear – problemas Exercícios Transformações Lineares - Imagem Transformações Lineares - Núcleo Transformações Lineares – Núcleo / Imagem Transformações Lineares – Injetora Transformações Lineares – Sobrejetora Transformações injetoras e sobrejetoras – Exemplo Transformação linear – Teoremas Transformação linear – Teoremas Transformação linear – ISOMORFISMO Transformação linear – Exercício Transformação linear – Exercício Transformação linear – Exercício Exercício 19 – p. 173
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