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Transformações Lineares em Álgebra Linear

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ÁLGEBRA LINEAR 
2º semestre – 2012 
 
 
Profa. Célia Leme 
mcelialeme@gmail.com 
 
Transformadas Lineares 
A equação matricial A x = b é equivalente a 
x1a1+ x2a2 +...+ xnan = b 
 
Uma outra maneira de interpretar A x = b é 
pensar que a matriz A “age” sobre um vetor x e 
produz um novo vetor b 
 
 
 
 
 
 
 
Uma transformação T do Rn no Rm é uma regra que associada a cada vetor do 
x do Rn um vetor T(x) = A x do Rm , onde A é uma matriz m x n . 
 
Transformadas Lineares 
T. çãotransforma da imagem na está c se Determine (5)
b? é Tpor imagem cujax um de mais Existe (4)
b é Tpor imagem cuja R dox Determine (3)
T(u) Determine (2)
 Ax T(x)por RR :T çãotransforma a Defina (1)
5
2
3
c ,
5-
2
3
 b ,
1-
2
 u ,
71-
53
3-1
 ASejam
1 Exemplo
2
32 =→










=










=





=










=
Transformadas Lineares 
A ideia é encontrar funções entre espaços vetoriais que respeitem a 
“estrutura” de espaços vetoriais 
 
Definição: 
 
Sejam V e W dois espaços vetoriais e T: V → W 
 
 
Uma transformada (ou aplicação) T é linear se: 
 
(a)T (u+v) = T(u) + T(v) para todo u, v no domínio de T; 
 
 
(b)T(cu) = c T(u) para todo u e todo escalar c. 
 
 
Transformações Lineares – exemplos e contra exemplos 
Verifique se as funções são ou não transformações 
lineares: 
 
1) V = W = R , Q: R → R tal que Q(x) = 2x 
2) V = W = R , F: R → R tal que F(u) = u2 
3) V = W = Pn, D: Pn → Pn tal que D(f) = f ’ 
4) T: R3 → R3 tal que F(x, y, z) = (x+1, y, z) 
 
Qual a propriedade encontrada em todas as 
transformações lineares? 
 
 
Transformadas Lineares 
Propriedades: 
 
1. T(0) = 0 
 
2. T(cv+du) = T(cv) + T(du) = c T(v) + d T(u) 
 
3. T(c1v1 + ...+ cpvp) = c1 T(v1) + ...+ cp T(vp) 
Transformações do plano no plano 
1. Reflexão em torno do eixo x 
 
 
 
 
 
 F: R2 → R2 
 (x, y) → (x, -y) = x (1, 0) + y (0, -1) 
 
 
 










−










−




y
x
y
x
y
x
y
x
10
01
ou 
Transformações do plano no plano 
2. Reflexão na origem 
 
 
 
 
 
 
Transformações do plano no plano 
2. Reflexão na origem 
 
 
 
 
 
 F: R2 → R2 
 (x, y) → (-x, -y) = x (-1, 0) + y (0, -1) 
 
 
 










−
−












−
−






y
x
y
x
y
x
y
x
10
01
 ou
Transformação do plano no plano 
3. Rotação de um ângulo Ө (sentido anti-horário) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformação do plano no plano 
3. Rotação de um ângulo Ө (sentido anti-horário) 
 
 
 
 
 
 
 
 
F: R2 → R2 
(x, y) → (x cos Ө - y sen Ө, y cos Ө + x sen Ө) 
 
 
 
 
 











 −











−
+





=





+
−






y
x
sen
sen
y
x
sen
y
sen
x
senxy
senyx
y
x
θθ
θθ
θ
θ
θ
θ
θθ
θθ
cos
cos
cos
cos
cos
cos


Transformação linear e a visão geométrica 
4. Cisalhamento horizontal 
 
 
 
 
 
 T: R2 → R2 
 T (x, y) = (x+2y, y) = x (1, 0) + y (2, 1) 
 
 
 










=




 +






y
x
y
yx
y
x
10
212

Transformação linear e a visão geométrica 
5. Translação é uma transformação linear? Por quê? 
 
 T: R2 → R2 
 T (x, y) = (x+a, y+b) = x (1, 0) + y (0, 1) + (a,b) 
 
 
 






+

















b
a
y
x
y
x
10
01

Transformação linear – propriedades 
Teorema 
 
 
Transformação linear – problemas 
Problema 1 
 
 Qual é a transformação linear T: R2 → R3 tal que T (1,0) = (2, -1, 0) e T (0,1) = (0, 0, 1)? 
 
 
 
Transformação linear – problemas 
Problema 1 
 
 
Qual é a transformação linear T: R2 → R3 tal que 
T (1,0) = (2, -1, 0) e T (0,1) = (0, 0, 1)? 
 
 
 Temos que { (1,0), (0,1)} é uma base do R2 e w1= (2,-1,0) e w2= (2,-1,0) 
 
Dado v = (x1, x2) arbitrário, 
 
v = x1 e1 + x2 e2 
T(v) = x1 T(e1) + x2 T(e2) = x1 (2,-1,0) + x2 (0,0,1) = ( 2 x1, -x1, x2) 
 
 
 
 
 
 










−=















−





2
1
1
2
1
2
1
2
10
01
02
x
x
x
x
x
x
x

Transformação linear – problemas 
Problema 2 
 
Qual é a transformação linear T: R2 → R3 tal que 
T (1,1) = (3, 2, 1) e T (0,-2) = (0, 1, 0)? 
 
 
Cuidado! Aqui a base não é canônica! 
 
Será preciso escrever um vetor genérico em função da base dada 
 
 
 
Exercícios 
p. 171 – Exercícios: 2 (a, b, d, f), 3, 5 
 
Referência: 
Boldrini, José Luiz et al, Álgebra Linear. 
3ª Edição. Editora Harbra, 1980. 
 
Transformações Lineares - Imagem 
Seja T: V → W uma aplicação linear. 
A imagem de T é o conjunto dos vetores w Є W 
tais que existe um vetor v Є V, 
 que T(v) = w. Ou seja 
 
Im (T) = { w Є W; T(v) = w para algum v Є V} 
 
 Im (T) é um subconjunto de W e 
 um subespaço de W. 
 
Transformações Lineares - Núcleo 
Seja T: V → W uma aplicação linear. 
O conjunto de todos os vetores v Є V tais que 
T(v) = 0 é chamado núcleo de T, sendo 
denotado por Ker (T). Isto é 
 
Ker (T) = { v Є V; T(v) = 0} 
 
 Ker (T) é um subconjunto de V e 
 um subespaço de V. 
 
Transformações Lineares – Núcleo / Imagem 
Transformações Lineares – Injetora 
Dada uma aplicação T: V → W, dizemos que: 
T é injetora se dados u Є V , v Є V 
com T(u) = T(v) tivermos u = v. 
Ou ainda: 
T é injetora se dados u, v Є V 
com u ≠ v, então T (u) ≠ T (v) 
 
 
 
 
Em outras palavras, T é injetora se as imagens de vetores distintos 
são distintas. 
 
Transformações Lineares – Sobrejetora 
Dada uma aplicação T: V → W, dizemos que: 
T é sobrejetora se a imagem de T coincidir com 
W, ou seja, T(V) = W. 
Ou ainda: 
T será sobrejetora se dado w Є W, existir v Є V 
tal que T (v) = w 
 
Transformações injetoras e sobrejetoras – Exemplo 
Verifique se a transformação é injetora e 
sobrejetora: 
 
T: R → R2 tal que T(x) = (x,0) 
 
 
Transformação linear – Teoremas 
Seja T: V → W uma aplicação linear. 
Então Ker (T) = {0} ↔ T é injetora. 
 
 
Transformação linear – Teoremas 
1. Seja T: V → W uma aplicação linear. 
então Ker (T) = {0} ↔ T é injetora. 
 
2. Seja T: V → W uma aplicação linear. 
então dim Ker (T) + dim Im (T) = dim (V) 
 
3. Se dim V = dim W, 
então T linear é injetora ↔ T é sobrejetora. 
 
4. Seja T: V → W uma aplicação linear injetora. 
Se dim V = dim W, então T leva base em base. 
 
Transformação linear – ISOMORFISMO 
Quando uma transformação linear T: V → W for injetora e 
sobrejetora, ao mesmo tempo, dá-se o nome de 
isomorfismo. Quando há uma tal transformação entre 
dois espaços vetoriais dizemos que estes são 
isomorfos. Sob o ponto de vista de Álgebra Linear, 
espaços isomorfos são, por assim, dizer, idênticos. 
 
Observe ainda que espaços isomorfos devem ter a 
mesma dimensão e leva base em base. 
 
Além disso, um isomorfismo T: V → W tem uma aplicação 
inversa T-1: W → V que é linear e também é um 
isomorfismo. 
Transformação linear – Exercício 
Seja T: R3 → R3 dada por T(x,y,z) = (x-2y, z, x+y) 
 
Mostre que T é um isomorfismo e encontre sua inversa T-1. 
 
Transformação linear – Exercício 
Seja T:R3 → R3 dada por T(x,y,z) = (x-2y, z, x+y) 
 
Mostre que T é um isomorfismo. 
 
Transformação linear – Exercício 
Seja T: R3 → R3 dada por T(x,y,z) = (x-2y, z, x+y) 
Encontre sua inversa T-1. 
 
Exercício 19 – p. 173 
Considere a transformação linear 
 
T: R3 → R3 dada por T(x,y,z) = (z, x-y, -z) 
 
a) Determine uma base do núcleo de T 
b) Dê a dimensão da imagem de T 
c) T é sobrejetora? Justifique. 
d) Faça um esboço de Ker T e Im T. 
 
 
 
 
	ÁLGEBRA LINEAR�2º semestre – 2012
	Transformadas Lineares
	Transformadas Lineares
	Transformadas Lineares
	Transformações Lineares – exemplos e contra exemplos
	Transformadas Lineares
	Transformações do plano no plano 
	Transformações do plano no plano 
	Transformações do plano no plano 
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	Transformação linear e a visão geométrica 
	Transformação linear e a visão geométrica 
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	Transformações injetoras e sobrejetoras – Exemplo
	Transformação linear – Teoremas
	Transformação linear – Teoremas
	Transformação linear – ISOMORFISMO
	Transformação linear – Exercício
	Transformação linear – Exercício
	Transformação linear – Exercício
	Exercício 19 – p. 173

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