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ÁLGEBRA LINEAR 
2º semestre – 2012 
 
 
Profa. Célia Leme 
mcelialeme@gmail.com 
 
Transformadas Lineares 
A equação matricial A x = b é equivalente a 
x1a1+ x2a2 +...+ xnan = b 
 
Uma outra maneira de interpretar A x = b é 
pensar que a matriz A “age” sobre um vetor x e 
produz um novo vetor b 
 
 
 
 
 
 
 
Uma transformação T do Rn no Rm é uma regra que associada a cada vetor do 
x do Rn um vetor T(x) = A x do Rm , onde A é uma matriz m x n . 
 
Transformadas Lineares 
A ideia é encontrar funções entre espaços vetoriais que respeitem a 
“estrutura” de espaços vetoriais 
 
Definição: 
 
Sejam V e W dois espaços vetoriais e T: V → W 
 
 
Uma transformada (ou aplicação) T é linear se: 
 
(a)T (u+v) = T(u) + T(v) para todo u, v no domínio de T; 
 
 
(b)T(cu) = c T(u) para todo u e todo escalar c. 
 
 
Transformação linear – problemas 
Problema 2 
 
Qual é a transformação linear T: R2 → R3 tal que 
T (1,1) = (3, 2, 1) e T (0,-2) = (0, 1, 0)? 
 
 
Cuidado! Aqui a base não é canônica! 
 
Será preciso escrever um vetor genérico em função da base dada 
 
 
 
Transformações Lineares – Núcleo / Imagem 
Transformações Lineares – Injetora 
Dada uma aplicação T: V → W, dizemos que: 
T é injetora se dados u Є V , v Є V 
com T(u) = T(v) tivermos u = v. 
Ou ainda: 
T é injetora se dados u, v Є V 
com u ≠ v, então T (u) ≠ T (v) 
 
 
 
 
Em outras palavras, T é injetora se as imagens de vetores distintos 
são distintas. 
 
Transformações Lineares - Imagem 
Seja T: V → W uma aplicação linear. 
A imagem de T é o conjunto dos vetores w Є W 
tais que existe um vetor v Є V, 
 que T(v) = w. Ou seja 
 
Im (T) = { w Є W; T(v) = w para algum v Є V} 
 
 Im (T) é um subconjunto de W e 
 um subespaço de W. 
 
Transformação linear – Teoremas 
Seja T: V → W uma aplicação linear. 
Então Ker (T) = {0} ↔ T é injetora. 
 
 
Transformação linear – Teoremas 
1. Seja T: V → W uma aplicação linear. 
então Ker (T) = {0} ↔ T é injetora. 
 
2. Seja T: V → W uma aplicação linear. 
então dim Ker (T) + dim Im (T) = dim (V) 
 
3. Se dim V = dim W, 
então T linear é injetora ↔ T é sobrejetora. 
 
4. Seja T: V → W uma aplicação linear injetora. 
Se dim V = dim W, então T leva base em base. 
 
Transformação linear – ISOMORFISMO 
Quando uma transformação linear T: V → W for injetora e 
sobrejetora, ao mesmo tempo, dá-se o nome de 
isomorfismo. Quando há uma tal transformação entre 
dois espaços vetoriais dizemos que estes são 
isomorfos. Sob o ponto de vista de Álgebra Linear, 
espaços isomorfos são, por assim, dizer, idênticos. 
 
Observe ainda que espaços isomorfos devem ter a 
mesma dimensão e leva base em base. 
 
Além disso, um isomorfismo T: V → W tem uma aplicação 
inversa T-1: W → V que é linear e também é um 
isomorfismo. 
Transformação linear – Exercício 
Seja T: R3 → R3 dada por T(x,y,z) = (x-2y, z, x+y) 
 
Mostre que T é um isomorfismo e encontre sua inversa T-1. 
 
Transformação linear – Exercício 
Seja T: R3 → R3 dada por T(x,y,z) = (x-2y, z, x+y) 
 
Mostre que T é um isomorfismo. 
 
Transformação linear – Exercício 
Seja T: R3 → R3 dada por T(x,y,z) = (x-2y, z, x+y) 
Encontre sua inversa T-1. 
 
Exercício 19 – p. 173 
Considere a transformação linear 
 
T: R3 → R3 dada por T(x,y,z) = (z, x-y, -z) 
 
a) Determine uma base do núcleo de T 
b) Dê a dimensão da imagem de T 
c) T é sobrejetora? Justifique. 
 
 
 
 
 
Transformações Lineares – Matrizes 
Consideremos R2 e as bases: 
 
β = {(1,0), (0,1)} e β’ = {(1,1), (-1,1)} e a matriz 
 
 






=
10
02
A
Transformações Lineares – Matrizes 
Transformações Lineares – Matrizes 
 
 
Transformações Lineares – Matrizes 
 
 
Transformações Lineares – Matrizes 
Exercício 1 
Seja T: R3 → R2 tal que T(x,y,z) = (2x+y-z, 3x-2y+4z). 
 
Sejam β = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} e β’ = {(1,3), (1,4)} 
 
Determine 
 
Agora utilize as bases canônicas do R3 e R2 para a 
mesma transformação T e encontre [T]. 
 
[ ]ββ 'T
Transformações Lineares – Matrizes 
Exercício 1 
Seja T: R3 → R2 tal que T(x,y,z) = (2x+y-z, 3x-2y+4z). 
Sejam β = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} e β’ = {(1,3), (1,4)} 
 
T(1,1,1) = (2,5) = 3 (1,3) -1 (1,4) 
T(1,1,0) = (3,1) = 11 (1,3) -8 (1,4) 
T(1,0,0) = (2,3) = 5 (1,3) -3 (1,4) 
 
 
 
 
[ ] 





−−−
=
381
5113
T '
β
β
[ ] 





−
−
=
423
112
T
Transformações Lineares – Matrizes 
EXEMPLO 
Transformações Lineares – Matrizes 
Exercício 2 
Sejam β = {(1,1), (0,1)} e β’ = {(0,3,0), (-1,0,0), (0,1,1)} 
Encontre a transformação linear T: R2 → R3 cuja matriz é 
 
[ ]










−
−=
31
01
20
T '
β
β
Transformações Lineares – Matrizes 
[ ]










−
−=
31
01
20
T '
β
β
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	Exercício 19 – p. 173
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