Aula_13

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ÁLGEBRA LINEAR 
2º semestre – 2012 
 
 
Profa. Célia Leme 
mcelialeme@gmail.com 
 
Autovetores e autovalores 
 
 
 
 Ax )T(x e
1
2
v e 
1
1-
u , 
01
2-3
 ASejam
=






=





=





=
Vamos trabalhar com as transformações x A x 
e buscar encontrar vetores que mantenham a direção pela transformação. 
 

Definição 
Um autovetor de uma matriz A, n x n, 
é um vetor não-nulo x tal que 
A x = λ x para algum escalar λ. 
 
Um escalar λ é chamado de autovalor para A 
se existe solução não-trivial x para A x = λ x, 
este x é chamado de autovetor associado a λ. 
 
 
 
Exemplos 
 A?de sautovetore são v e u que Será
2-
3
v e 
5-
6
u , 
25
61
 ASejam
1 Exemplo






=





=





=
 
25
61
 Amatriz a paraautovalor um é 7 que Mostre
2 Exemplo






=
Autovalor e autovetor 
λ é um autovalor para A se e somente se a equação 
(A – λI) x = 0 
tem solução não trivial 
O conjunto de todas as soluções do ex. 2 é o espaço nulo 
da matriz A – λ I 
Nul (A – λ I) é um subespaço de Rn e é chamado de 
auto-espaço de A associado a λ. 
O auto-espaço é formado pelo vetor nulo e todos os 
autovetores associados a λ. 
Autovalor e autovetor 
No ex. 2 o auto-espaço associado a λ =7 é a reta que passa por (1,1) 
e a origem e no ex. 1, o auto-espaço associado a λ = -4 é a reta que 
passa por (6,-5) e pela origem. 
Exemplo 
2. a associado espaço-auto o para base uma Determine
2. é Adeautovalor Um 
81-2
612
61-4
 ASeja .










=
Exemplo 
2. a associado espaço-auto o para base uma Determine
2. é Adeautovalor Um 
81-2
612
61-4
 ASeja .










=
Exercícios – p. 278 
Exercícios – p. 278 
Autovalores e autovetores 
Exemplo 1 
 
 
Seja r: R2 → R2 (reflexão no eixo x) 
 r (x,y) = (x,-y) = x (1,0) + y (0,-1) 
 
 
 
 
Quais são os vetores v (v ≠0) tais que r(v) = v ? 












−




y
x
y
x
10
01

Autovalores e autovetores 
Seja r: R2 → R2 (reflexão no eixo x) 
 r (x,y) = (x,-y) = x (1,0) + y (0,-1) 
 
 
 
 
 
Para que T(v) = v 
x pode ser qualquer e y = 0, v =(x,0) 
 
 
 
 






=





−
=











−




y
x
y
x
y
x
y
x
10
01

Autovalores e autovetores 
Definição: 
Seja T: V → V um operador linear. 
Se existem v Є V, v ≠ 0 e λ Є R tais que 
T(v) = λ v, dizemos que: 
 
λ é um autovalor de T e 
v um autovetor de T associado a λ. 
Autovalores e autovetores 
Exemplo 2 
Seja T: R2 → R2 
 v → 2 v, ou seja T(x,y) = 2(x,y) = (2x,2y) 
 
 
 
Nesse caso, 2 é um autovalor de T e qualquer (x,y) ≠ (0,0) 
é um autovetor de T associado ao autovalor 2. 






=





=

















y
x
y
x
y
x
y
x
2
2
2
20
02

Autovalores e autovetores 
De modo geral 
T: R2 → R2 
 v → λ v, λ ≠ 0 
 tem λ como autovalor e qualquer (x,y) ≠ (0,0) como 
autovetor correspondente. 
 
Geometricamente .... 
T(v) é sempre um vetor na mesma direção de v; 
- λ < 0, T inverte o sentido do vetor 
- I λ I > 1, T dilata o vetor 
- I λ I < 1, T contrai o vetor 
- I λ I = 1, T é a identidade 
 
 
Autovalores e autovetores 
Voltamos ao exemplo 1 
 
Seja r: R2 → R2 (reflexão no eixo x) 
 r (x,y) = (x,-y) 
 
 
 
 
 
Para que T(v) = 1. v Para que T(v) = -1.v 
Temos v = (x,0) Temos v = (0,y) 
1 é um autovalor -1 é um autovalor 
associado aos associado aos 
autovetores (x,0) autovetores (0,y) 
 
 
 
 






=





−
=











− y
x
y
x
y
x
10
01






−
−
=





−
=











− y
x
y
x
y
x
10
01
Autovalores e autovetores 
Mais um exemplo 
Seja T: R2 → R2 (rotação de 90º em torno da origem) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 r (x,y) = (-y,x) 
 
 
 
 
 
 
 
 





−
=










 −






x
y
y
x
y
x
01
10












 −






y
x
sen
sen
y
x
θθ
θθ
cos
cos

Autovalores e autovetores 
Mais um exemplo 
Seja T: R2 → R2 (rotação de 90º em torno da origem) 
 r (x,y) = (-y,x) 
 
 
 
 
Nenhum vetor diferente de zero é levado por T num 
múltiplo de T. Logo, T não tem nem autovalor nem 
autovetor. 
 
 
 
 





−
=










 −






x
y
y
x
y
x
01
10

Autovalores e autovetores 
O conjunto formado por autovetores associados a 
um autovalor λ e o vetor nulo é um subespaço 
vetorial de V. 
 
Definição 
O subespaço Vλ = { v Є V tal que T(v) = λv } é 
chamado subespaço associado ao autovalor 
λ. 
 
 
 
 
Autovalores e autovetores de uma Matriz 
 
Seja T: R3 → R3 associada a matriz A: 
 
 
 
 
 
 
Procuramos vetores v Є R3 tais que A.v = λv. 
Seja I a matriz identidade de ordem 3, então: 
Av = (λI)v 
Av - (λI)v = 0 
(A- λI)v = 0 
 
 
 
 










−=
210
011
024
A
Autovalores e autovetores de uma Matriz 
 
Seja T: R3 → R3 associada a matriz A: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 










=






























−










−
0
0
0
00
00
00
210
011
024
z
y
x
λ
λ
λ










−=
210
011
024
A










=




















−
−−
−
0
0
0
210
011
024
z
y
x
λ
λ
λ(A- λI)v = 0 
 
det (A- λI) = 0 
0
210
011
024
det =










−
−−
−
λ
λ
λ
Autovalores e autovetores de uma Matriz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
det (A- λI) = 0 0
210
011
024
det =










−
−−
−
λ
λ
λ
E portanto –λ3 + 7λ2 -16 λ +12 = 0 é chamado 
polinômio característico de A. 
 
Resolvendo (λ-2)2 (λ-3) = 0 
Logo λ = 2 e λ = 3 são as raízes do polinômio 
característico de A, e portanto os autovalores da 
matriz A. 
 
 
 
 
Autovalores e autovetores de uma Matriz 
Exemplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Av = λv para λ =2 
 
 
 
 










=




















−
z
y
x
z
y
x
2
210
011
024





=+
=+−
=+
zzy
yyx
xyx
22
2
224 y = 0 
x = 0 
qualquer z 
Para λ = 2 os autovetores são do tipo 
(0,0,z) = z (0,0,1) = Span {(0,0,1)} = 
[(0,0,1)] 
 
 
Autovalores e autovetores de uma Matriz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Av = λv para λ =3 
 
 
 
 










=




















−
z
y
x
z
y
x
3
210
011
024





=+
=+−
=+
zzy
yyx
xyx
32
3
324 y = z 
x = - 2y 
Para λ = 3 os autovetores são do tipo 
(-2y,y,y)= y (-2,1,1) = Span { (-2,1,1)} = 
[(-2,1,1)] 
 
 
Autovalores e autovetores de uma Matriz 
Encontre os autovalores e autovetores de T, 
sendo T: R2 → R2 associada a matriz A: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 






−
−
=
21
43
A
(A- λI)v = 0 
 
det (A- λI) = 0 
Autovalores e autovetores de uma Matriz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autovalores e autovetores de uma Matriz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autovalores e autovetores de uma Matriz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
Exercícios: 1, 3, 5 , 7, 8, 9, 11 – p. 195 
 
Referência: 
Boldrini, José Luiz et al, Álgebra Linear. 
3ª Edição. Editora Harbra, 1980. 
 
	ÁLGEBRA LINEAR�2º semestre – 2012
	Autovetores e autovalores
	Definição
	Exemplos
	Autovalor e autovetor
	Autovalor e autovetor
	Exemplo
	Exemplo
	Exercícios – p. 278
	Exercícios – p. 278
	Autovalores e autovetores
	Autovalores e autovetores
	Autovalores e autovetores
	Autovalores e autovetores
	Autovalores e autovetores
	Autovalores e autovetores
	Autovalores e autovetores
	Autovalores e autovetores
	Autovalores e autovetores
	Autovalores e autovetores de uma Matriz
	Autovalores e autovetores de uma Matriz
	Autovalores e autovetores de uma Matriz
	Autovalores e autovetores de uma Matriz
	Autovalores e autovetores de uma Matriz
	Autovalores e autovetores de uma Matriz
	Autovalores e autovetores de uma Matriz
	Autovalores e autovetores de uma Matriz
	Autovalores e autovetores de uma Matriz
	Exercícios 
	Número do slide 30