AD1 e AD2 Metodos Det. 1

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AD1 
Esta questão vale 2,5 pontos na AD1 e deve ser resolvida até 13/02/2013 (o encerramento ocorrerá logo no primeiro instante do dia 14/02/2013, logo você só conseguirá enviar até o último minuto do dia 13).
Desenvolva a expressão abaixo e a resolva encontrando como resposta uma fração irredutível.
É necessário que você apresente o desenvolvimento da questão justificando sua resposta
Esta questão vale 2,5 pontos na AD1 e deve ser resolvida até 20/02/2013 (o encerramento ocorrerá logo no primeiro instante do dia 21/02/2013, logo você só conseguirá enviar até o último minuto do dia 20).
Considere as seguintes proposições:
p:
q:
Responda aos itens a seguir:
a) Escreva por extenso a proposição p.
b) Escreva por extenso a proposição q.
c) Escreva por extenso a negação da proposição p.
d) Sendo A = { 1, 2, 3} e B = {2, 4, 6}, indique se a proposição p é verdadeira ou falsa e justifique sua resposta analisando os elementos dos conjuntos apresentados.
d) Sendo A = { 1, 2, 3} e B = {2, 4, 6}, indique se a proposição q é verdadeira ou falsa e justifique sua resposta analisando os elementos dos conjuntos apresentados.
Esta questão vale 2,5 pontos na AD1 e deve ser resolvida até 27/02/2013 (o encerramento ocorrerá logo no primeiro instante do dia 28/02/2013, logo você só conseguirá enviar até o último minuto do dia 27).
a) Considere a proposição 
p:
Escreva por extenso a proposição p.
b) Sendo A = { 3, 5, 7 } e B = { 5, 7, 9, 11 }, decida se p é verdadeira ou falsa e justifique com base na análise dos elementos dos conjuntos (esta justiticativa é o que valerá os pontos deste item).
c) Sendo q:, escreva q por extenso usando a expressão "condição necessária" e sem usar a expressão "se... então...".
d) (Vale 1 ponto.) Considere o seguinte argumento:
Premissas: 
1) Se 2 é divisor de 3, então 15 é par;
2) 2 não é divisor de 3.
 Conclusão:
15 não é par.
Esta questão vale 2,5 pontos na AD1 e deve ser resolvida até 06/03/2013 (o encerramento ocorrerá logo no primeiro instante do dia 07/03/2013, logo você só conseguirá enviar até o último minuto do dia 6).
Responda aos itens abaixo apresentando sempre desenvolvimento que justifique suas respostas (não serão consideradas respostas em desenvolvimentos que as justifiquem).
Pedro observou que, na estrada, seu carro faz 12km com um litro de gasolina e 8km com um litro de álcool.
a) [1 ponto] Com um tanque cheio de gasolina, Pedro andaria com seu carro na estrada quantos porcento a mais do que com um tanque cheio de álcool?
b) [1 ponto] Para que o custo por km percorrido com álcool não seja maior do que com gasolina, o preço do litro do álcool deve corresponder a no máximo que porcentagem do preço do litro da gasolina?
c) [0,5 ponto] Pedro chega em um posto de gasolina para abastecer. Sabendo que o preço da gasolina neste posto é R$ 2,90 por litro e o ácool custa R$ 2,00 o litro, Pedro deve abastecer com qual combustível se seu objetivo é gastar o menos possível por km rodado?
Você pode trabalhar em outro programa (como word) e postar sua atividade como anexo. Mas não deixe de acessar novamente a atividade para verificar se o anexo está corretamente postado e se abre sem problemas.
GABARITO
Desenvolva a expressão abaixo e a resolva encontrando como resposta uma fração irredutível.
Simplificando a primeira parcela e simplificando e reescrevendo a segunda ficamos com:
Sabemos que os fatores primos de 66 são 2, 3 e 11, nenhum dos quais divide 149. Logo a fração que encontramos já está na forma irredutível.
Considere as seguintes proposições:
p:
q:
Responda aos itens a seguir:
a) Escreva por extenso a proposição p.
Solução: Para todo x pertencente a A, existe y pertencente a B tal que x é igual a 2y.
b) Escreva por extenso a proposição q.
Solução: Existe y pertencente a B tal que para todo x pertencente a A,  x é igual a 2y.
c) Escreva por extenso a negação da proposição p.
Solução: Existe x pertencente a A tal que para todo y pertencente a B, x é diferente de 2y.
d) Sendo A = { 1, 2, 3} e B = {2, 4, 6}, indique se a proposição p é verdadeira ou falsa e justifique sua resposta analisando os elementos dos conjuntos apresentados.
Solução: A proposição p é falsa. De fato, vemos que para x =1 se tomamos y =2, temos x diferente de 2y, se tomamos y = 4 também temos x diferente de 2y, e o mesmo ocorre se tomamos y=6. Logo para x = 1 não existe nenhum y pertencente a B tal que x=2y.
e) Sendo A = { 1, 2, 3} e B = {2, 4, 6}, indique se a proposição q é verdadeira ou falsa e justifique sua resposta analisando os elementos dos conjuntos apresentados.
Solução: A proposição q é falsa pois não existe nenhum y que satisfaça x = 2y para todo x pertencente a A. Para justificar é preciso pegar cada elemento de y e testar mostrando que falha com algum x: de fato, para y = 2, vemos que tomando x = 2 temos x diferente de 2y, para y= 4, tomando x = 1 temosx diferente de 2y e para y = 6, tomando x = 1 temos x diferente de 2y.
a) Considere a proposição 
p:
Escreva por extenso a proposição p.
Solução: Para todo x pertencente aos naturais, x pertence a A se e somente se x+2 pertence a B.
b) Sendo A = { 3, 5, 7 } e B = { 5, 7, 9, 11 }, decida se p é verdadeira ou falsa e justifique com base na análise dos elementos dos conjuntos (esta justiticativa é o que valerá os pontos deste item).
Solução: Falso. Tomando x = 9, vemos que x + 2 pertence a B, porém x não pertence a A.
c) Sendo q:, escreva q por extenso usando a expressão "condição necessária" e sem usar a expressão "se... então...".
Solução: Para todo x pertencente a B, x pertencer a A é condição necessária para que x seja menor do que 10.
d) (Vale 1 ponto.) Considere o seguinte argumento:
Premissas: 
1) Se 2 é divisor de 3, então 15 é par;
2) 2 não é divisor de 3.
 Conclusão:
15 não é par.
Decida se o argumento é válido ou não e justifique sua resposta. A pontuação depende da apresentação da justificativa correta.
Solução: O argumento não é válido, pois as premissas dadas não são suficientes para garantir que 15 não é par. Observe que a premissa 1 nos diz que se 2 é divisor de 3, então 15 é par, mas não temos a recíproca dela, isto é, nenhuma premissa dada nos garante que se 2 não é divisor de 3, então 15 não é par
Responda aos itens abaixo apresentando sempre desenvolvimento que justifique suas respostas (não serão consideradas respostas em desenvolvimentos que as justifiquem).
Pedro observou que, na estrada, seu carro faz 12km com um litro de gasolina e 8km com um litro de álcool.
a) [1 ponto] Com um tanque cheio de gasolina, Pedro andaria com seu carro na estrada quantos porcento a mais do que com um tanque cheio de álcool?
Solução: Cada litro de gasolina permite que Pedro ande 4 km a mais do que um litro de álcool. Como anda 8km com um litro de álcool, deduzimos que com um litro de gasolina anda 50% a mais do que com um litro de álcool. Qualquer que seja o tamanho do tanque, caberá a mesma quantidade de litros, seja cheio com álcool ou com gasolina, logo com o tanque de gasolina andará 50% a mais do que com o tanque de álcool.
 
b) [1 ponto] Para que o custo por km percorrido com álcool não seja maior do que com gasolina, o preço do litro do álcool deve corresponder a no máximo que porcentagem do preço do litro da gasolina?
Solução: Com cada litro de gasolina o carro de Pedro percorre 12km e com cada litro de álcool percorre 8. Isso significa que com álcool percorre apenas 2/3 ou 66,666...% do que percorre com gasolina. Logo, o preço do litro de álcool deve ser no máximo 66,66...% do preço do litro da gasolina.
 
c) [0,5 ponto] Pedro chega em um posto de gasolina para abastecer. Sabendo que o preço da gasolina neste posto é R$ 2,90 por litro e o ácool custa R$ 2,00 o litro, Pedro deve abastecer com qual combustível se seu objetivo é gastar o menos possível por km rodado?
Solução: Vemos que no posto em questão o preço do álcool é aproximadamente 69% do preço da gasolina. Conforme calculamos no item anterior, para que o álcool fosse mais interessante,
seu preço não deveria ultrapassar 66,66...% do preço da gasolina. Logo, neste posto Pedro gastará menos por km rodado se abastecer com gasolina.
Outro possível caminho para resolver este item é observar que o carro anda 50% a mais quando abastecido com gasolina, porém o preço da gasolina não chega a ser 50% mais caro que o álcool (se fosse, estaria pelo menos a 3 reais o litro da gasolina). Logo a gasolina é mais econômica que o álcoo
Questão 1 AD2 2013.1 - GABARITO
Esta questão vale 2,5 pontos na AD2 e deve ser resolvida até 10/04/2013 (o encerramento ocorrerá logo no primeiro instante do dia 11/04/2013, logo você só conseguirá enviar até o último minuto do dia 10).
Responda aos itens abaixo:
a) [0,5 ponto] Encontre o conjunto resultante da operação a seguir:
Solução: 
b) [0,5 ponto] Determine se é verdadeira ou falsa a igualdade e justifique: 
Solução: Falso, pois -2 não pertence à (-10, -2) nem a (-2, 10], logo não pode pertencer à união destes conjuntos. E sabemos que -2 pertence a (-10,10].
c) [1 ponto] Resolva a inequação e apresente a resposta na forma de um intervalo (só serão aceitas respostas acompanhadas de desenvolvimento que as justifiquem):
Solução:
Logo o conjunto solução é .
 
d) [0,5 ponto] Descubra para qual valor de  a inequação
tem
como conjunto solução (só serão aceitas respostas acompanhadas de desenvolvimento que as justifiquem).
Solução: 
Sabendo que o conjunto solução deve ser , concluímos que devemos ter 
, donde
, e concluímos que .
Esta questão vale 2,5 pontos na AD2 e deve ser resolvida até 17/04/2013 (o encerramento ocorrerá logo no primeiro instante do dia 18/04/2013, logo você só conseguirá enviar até o último minuto do dia 17).
Encontre o conjunto dos valores de  que satisfazem simultaneamente (isto é, ao mesmo tempo) às duas inequações modulares dadas a seguir:
 
Só serão aceitas respostas acompanhadas de desenvolvimento que as justifiquem.
Você pode trabalhar em outro programa (como word) e postar sua atividade como anexo. Mas não deixe de acessar novamente a atividade para verificar se o anexo está corretamente postado e se abre sem problemas.
Solução:
Vamos começar resolvendo a primeiera inequação:
 se e somente se , 
o que por sua vez equivale a dizer que:
 ou  .
No primeiro caso, teremos , o que equivale a .
No segundo caso, teremos  , o que equivale a .
Então, para que esta primeira inequação seja satisfeita devemos ter  ou  .
Passando à segunda inequação, temos:
 se e somente se
2x-8 > 4 ou 2x-8 <-4.
No primeiro caso, teremos 2x > 12, isto é, x > 6.
No segundo caso, teremos 2x < 4, isto é, x < 2.
Logo, para que esta segunda inequação seja satisfeita, devemos ter x>6 ou x < 2.
Queremos encontrar o conjunto dos valores de x que satisfazem ao mesmo tempo ambas as inequações. Logo, tomando a interseção dos conjuntos que satisfazem a cada uma das inequações, vemos que devemos ter:
 ou .
Portanto, o conjunto dos valores de  que satisfazem simultaneamente (isto é, ao mesmo tempo) às duas inequações modulares é .
PRAZO ESTENDIDO EM FUNÇÃO DO FERIADO DE TIRADENTES.
Esta questão vale 2,5 pontos na AD2 e deve ser resolvida até 24/04/2013 01/05/2013 (o encerramento ocorrerá logo no primeiro instante do dia 02/05/2013, logo você só conseguirá enviar até o último minuto do dia primeiro).
Só serão aceitas respostas acompanhadas de desenvolvimento que as justifiquem.
Numa reta com coordenadas...
a) [0,5 pontos] Existe algum número x tal que d(x,-7)=d(2,x)? Em caso afirmativo indique qual ou quais são os números. 
Solução:
Podemos resolver de forma algébrica ou de forma geométrica.
Primeiro vamos ver a solução geométrica:
Na reta temos marcados os pontos A e B correspondentes a x = -7 e x = 2. 
Observando a reta, vemos que o único x que pode distar a mesma coisa do ponto A ou do ponto B é o ponto médio entre A e B. Para achar o ponto médio entre x=-7 e x=2 fazemos: 
x=(-7 +2)/2 = -5/2 = -2,5.
Logo a solução é x = -2,5.
Agora vamos ver como faríamos para resolver algebricamente:
Sabemos que na reta, d(x,-7) = |x - (-7)| e d(2,x)= |2-x|. Logo, procuramos x tal que  |x - (-7)| = |2-x|, o que equivale a |x+7| = |x-2|.
Por outro lado, sabemos que |x+7| = x+7 se x for maior ou igual a -7 e |x+7| = -(x+7) se x for menor que -7.
E |x-2|, quanto vale? Vale x-2 se x for maior ou igual a 2 e vale -(x-2) se x for menor que 2. 
Logo observamos que a reta fica dividida em 3 intervalos:
1) x menor que -7, onde d(x,-7) = -(x+7) e d(2,x) = - (x-2);
2) x entre -7 e 2, onde d(x-7) = x+7 e d(2,x) = -(x-2);
3) x maior ou igual a 2, onde  d(x-7) = x+7 e d(2,x) = (x-2).
No primeiro caso, para que d(x, -7) = d(2,x) devemos ter  -(x+7)= - (x-2) , isto é, x+7 =x-2, o que claramente não tem solução (pois se subtraimos x dos dois lados ficamos com 7=-2).
No segundo caso, para que d(x, -7) = d(2,x) devemos ter  x+7= - (x-2) , isto é,
x+7 =-x+2,  o que nos dá 2x = -5, resultando em x = -2,5.
No terceiro caso, para que d(x, -7) = d(2,x) devemos ter  x+7= x-2 , o que claramente também não tem solução (pois se subtraimos x dos dois lados ficamos com 7=-2).
Logo o único valor de x para o qual  d(x, -7) = d(2,x) é x = -2,5.
 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) [1 ponto] Determine todos os números reais x tais que d(x,-4)=-x/2.
Sabemos que d(x, -4) = |x-(-4)|, logo
1) para x menor que -4, temos d(x,-4) = -x -4
2) para x maior ou igual a -4, ficamos com d(x,-4) = x + 4.
No primeiro caso, buscamos x tal que -x-4 =-x/2. Resolvendo:
-x-4 =-x/2 
-2x-8 =-x
-8=x.
Logo, para x menor que -4 encontramos a solução x = -8.
Já no segundo caso temos x+4 = -x/2. Resolvendo:
 x+4 = -x/2
2x + 8 = -x
3x = -8
x = -8/3.
Logo para x maior que -4 temos como solução x = -8/3.
Nossas soluções são x = -8 e x = -8/3.
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c) [1 ponto] Determine todos os números reais x tais que d(x,-1) > d(x,8).
Este item se resolve como o item a, geometricamente ou algebricamente.
Geometricamente: 
Agora vamos representar como A o ponto x=-1 e como B o ponto x =8:
Dizer que d(x,-1) > d(x,8) é o mesmo que dizer que x está mais longe de -1 do que de 8. Para que isso aconteça, como podemos observar na reta, devemos ter x à direita do ponto médio entre -1 e 8. O ponto médio entre -1 e 8 é encontrado pela equação:
x = (-1 +8)/2 = -7/2 = -3,5
Estar à direita deste ponto, significa ter x > 3,5.
Logo a solução é x > 3,5.
Algebricamente:
Temos que considerar em separado os seguintes intervalos da reta: x menor que -1; x entre -1 e 8; x maior que 8.
Para x menor que -1, d(x,-1) = -x-1 e d(x,8) = -x+8. Logo a desigualdade buscada se torna -x-1 > -x +8, o que equivale a -1>8, e portanto não nos dá nenhuma solução (não há nenhum valor de x para o qual  isso seja verdade).
Já entre -1 e 8, nossa desigualdade se torna x+1 > -x + 8, o que equivale a 2x >7, isto é, x > 3,5. Logo todos os valores maiores que 3,5 e menores ou iguais a 8 solucionam a inequação.
Para x maior que 8 a inequação se tyorna x+1 > x-8. Como 1 > -8, vemos que esta inequação é verdadeira para todo valor de x. Logo todos os valores de x maiores que 8 também solucionam nossa inequação.
Conclusão: d(x, -1)> d(x,8) sempre que x > 3,5.
Você pode trabalhar em outro programa (como word) e postar sua atividade como anexo. Mas não deixe de acessar novamente a atividade para verificar se o anexo está corretamente postado e se abre sem problemas.
Esta questão vale 2,5 pontos na AD2 e deve ser resolvida até 08/05/2013  15/05/2013 (o encerramento ocorrerá logo no primeiro instante do dia 16/05/2013, logo você só conseguirá enviar até o último minuto do dia quinze).
Só serão aceitas respostas acompanhadas de desenvolvimento que as justifiquem.
a) [1 ponto] Sendo f dada por  determine qual o valor mínimo assumido por  quando  é um número real.
Solução: Para encontrar o valor mínimo assumido
por  vamos procurar o vértice da parábola. O valor de x no vértice é a média entre os valores de x nas raízes da parábola. Para encontrar as raízes usamos Bhaskara e concluímos que estas são:
 e .
Calculando a média entre estes valores, obtemos 
.
Para achar o valor mínimo de  basta encontrar . 
Temo: 
Logo o valor mínimo assumido por  é -7.
b) [1,5 pontos] Sendo g(x) = 2 + x, encontre o conjunto dos valores de x para os quais temos g(x)>f(x) (a função f foi dada no item anterior).
Solução: Precisamos resolver a seguinte inequação:
que equivale a 
  
Por Bhaskara  descobrimos que as raízes da equação 
 são -1 e 9. 
Analisando a concavidade da parábola correspondente a
 vemos que  para que  devemos ter x entre -1 e 9, isto é, S=(-1,9). 
Você pode trabalhar em outro programa (como word) e postar sua atividade como anexo. Mas não deixe de acessar novamente a atividade para verificar se o anexo está corretamente postado e se abre sem problemas.