equações de Física

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Capítulo 1
Movimento
1.1 Cinemática em uma dimensão.
v é velocidade, x é posição no espaço, t é tempo , a é aceleração, e g é a aceleração da gravidade.
1.1.1 Deslocamento
∆x = x2 − x1 (1.1)
1.1.2 Variação de tempo
∆t = t2 − t1 (1.2)
1.1.3 Velocidade média
vmed =
∆x
∆t
=
x2 − x1
t2 − t1 (1.3)
1.1.4 Velocidade instantanêa
v = lim
∆t→0
∆x
∆t
=
dx
dt
(1.4)
1.1.5 Função da posição em relação ao
tempo
x = x0 + vt (1.5)
1.1.6 Aceleração média
a =
∆v
∆t
=
v2 − v1
t2 − t1 (1.6)
1.1.7 Aceleração instantanêa
a =
dv
dt
=
d2x
dt2
(1.7)
1.1.8 Movimento com aceleração cons-
tante e queda livre
v = v0 + at (1.8)
x− x0 = v0t+ 1
2
at2 (1.9)
v2 = v20 + 2a∆x (1.10)
x− x0 = vt− 1
2
at2 (1.11)
No caso da queda livre a = g.
1.2 Vetores.
~a é um vetor qualquer, a é o módulo desse vetor e θ é um ângulo qualquer.
1.2.1 Componentes de um vetor
ax = a cos θ (1.12)
ay = a sin θ (1.13)
1.2.2 Módulo, norma ou magnitude de
um vetor
a =
√
a2x + a
2
y (1.14)
1.2.3 Tangente do ângulo de um vetor
tan θ =
ay
ax
(1.15)
1.2.4 Angulo de um vetor com o eixo x
θ = arctan θ (1.16)
1.3 Cinemática em duas e três dimensões
~v é o vetor velocidade, , ~a é o vetor aceleração, x, y, z são as componentes do vetor posição em cada um dos 3
eixos do espaço, t é o tempo, g é aceleração da gravidade,ac é aceleração centrípeta, T é o periodo e r é o raio
de uma circunferência.
1
1.3.1 Movimento de Projéteis
x− x0 = (v0 cos θ0)t (1.17)
y − y0 = (v0 sin θ0)t− gt
2
2
(1.18)
vy = v0 sin θ0 − gt (1.19)
v2y = (v0 sin θ0)
2 − 2g(y − y0) (1.20)
1.3.2 Trajetoria de um projétil
y = (tan θ0)x− gx
2
2(v0 cos θ0)2
(1.21)
1.3.3 Alcance horizontal
R =
v20
g
sin θ0 (1.22)
1.3.4 Aceleração Centrípeta num movi-
mento circular e uniforme
a =
v2
r
(1.23)
1.3.5 Período
T =
2pir
v
(1.24)
1.4 Força
~F é o vetor força, m é a massa do corpo o partícula, ~a é a aceleração, g é a aceleração da gravidade,µs é o
coeficiente de atrito estático, e µk é o coeficiente de atrito cinético.
1.4.1 Segunda lei de Newton
~F = m~a (1.25)
1.4.2 Força peso
P = mg (1.26)
1.4.3 Força normal
N = −P (1.27)
1.4.4 Força de atrito
fats = µsN (1.28)
fatk = µkN (1.29)
1.4.5 Força Centrípeta
F =
mv2
R
(1.30)
1.5 Trabalho e Energia
K é energia cinética,W é o trabalho, k é a constante elástica,P é a potência, φ é o ângulo entre a força e o
deslocamento ou velocidade, U é a energia potêncial, E é a energia mecânica.
1.5.1 Energia cinética
K =
1
2
mv2 (1.31)
1.5.2 Trabalho
W = ~F ~d = Fd cosφ (1.32)
1.5.3 Teorema do trabalho e energia ci-
nética
∆K = Kf −Ki = W (1.33)
Kf = Ki + w (1.34)
1.5.4 Trabalho realizado pela Força
Gravitacional
W = mgd cosφ (1.35)
1.5.5 Força Elástica
Fs = −kx (1.36)
1.5.6 Trabalho realizado por uma Força
Elástica
Ws =
1
2
kx2i −
1
2
kx2f (1.37)
1.5.7 Trabalho realizado por uma Força
Variavel
W =
∫ xf
xi
Fxdx+
∫ yf
yi
Fydy +
∫ zf
zi
Fzdz (1.38)
2
1.5.8 Potência
Pmed =
W
∆t
(1.39)
P =
dW
dt
(1.40)
P = Fv cosφ (1.41)
P =
dE
dt
(1.42)
1.5.9 Energia Potêncial
∆U = −W = −
∫ xf
xi
Fxdx−
∫ yf
yi
Fydy −
∫ zf
zi
Fzdz
(1.43)
1.5.10 Energia Potêncial Gravitacional
∆U = mg∆y (1.44)
1.5.11 Energia Potêncial Elástica
U(x) =
1
2
kx2 (1.45)
1.5.12 Energia Mecânica
Emec = K + U (1.46)
∆Emec = ∆K + ∆U (1.47)
Sem Atrito:
W = ∆Emec = ∆K + ∆U (1.48)
Com Atrito
W = ∆Emec + ∆Et;Et = fatkd (1.49)
1.5.13 Conservação da Energia Mecâ-
nica
∆E = Emec∆Et = 0 (1.50)
∆Ei = ∆Ef (1.51)
1.6 Momento Linear
M é a massa total do sistema,~p é o momento linear, ~J é o impulso.
1.6.1 Centro de Massa
~rCM =
1
M
n∑
i=1
(mi~ri) (1.52)
1.6.2 Segunda lei de Newton para um
sistema de partículas
~Fres = M~aCM (1.53)
1.6.3 Momento Linear
~p = m~v (1.54)
~Fres =
d~p
dt
(1.55)
1.6.4 Impulso
~J = ∆~p = ~pf − ~pi (1.56)
~J =
∫ tf
ti
~F (t)dt (1.57)
1.7 Rotação
θ é a posição angular,ω é a velocidade angular, α é a aceleração angular,s é o comprimento de um arco, r é o
raio da circunferência, I é o momento de inércia, ~l é o momento angular.
1.7.1 Posição angular
θ =
s
r
(1.58)
1.7.2 Velocidade angular
ωmed =
∆θ
∆t
(1.59)
ω =
dθ
dt
(1.60)
1.7.3 Aceleração angular
αmed =
∆ω
∆t
(1.61)
α =
dω
dt
(1.62)
1.7.4 Equações cinemáticas para acele-
ração constante
ω = ω0 + αt (1.63)
θ − θ0 = ω0t+ 1
2
αt2 (1.64)
ω2 = ω20 + 2α(θ − θ0) (1.65)
3
1.7.5 Momento de Inércia
I =
n∑
i=1
mir
2
i (1.66)
I =
∫
r2dm (1.67)
1.7.6 Energia cinética de rotação
K =
1
2
Iω2 (1.68)
1.7.7 Torque
τ = rF sinφ (1.69)
1.7.8 Segunda lei de Newton para Ro-
tações
τres = Iα (1.70)
1.7.9 Trabalho e Energia cinética de
Rotação
W =
∫ θf
θi
τdθ (1.71)
P =
dW
dt
= τω (1.72)
W = τ(θf − θi (1.73)
∆K = Kf −Ki = 1
2
Iω2f −
1
2
Iω2i = W (1.74)
1.7.10 Momento Angular de uma par-
tícula
l = rmv sinφ (1.75)
1.8 Gravitação
G é a constante gravitacional que vale 6, 67x10−11N.m2/kg2.
1.8.1 Lei da Gravitação universal
F = G
m1m2
r2
(1.76)
1.8.2 Aceleração Gravitacional
ag =
GM
r2
(1.77)
1.8.3 Energia potêncial Gravitacional
U = −GMm
r
(1.78)
1.8.4 Velocidade de Escape
v =
√
2GM
R
(1.79)
1.8.5 Terceira lei de Kepler
T 2 =
(
4pi2
GM
)
r3 (1.80)
1.8.6 Energia no movimento Planetário
U = −GMm
r
(1.81)
K =
GMm
2r
(1.82)
E = −GMm
2r
(1.83)
4
Capítulo 2
Fluidos
2.1 Estática dos Fluidos
ρ é a massa específica, ou densidade, p é a pressão, R é a Vazão,e é o empuxo, Pap é o peso aparente, mf é a
massa de do fluido deslocado,A é a area de seção reta do tubo, v é velocidade do fluido nesse ponto.
2.1.1 Massa específica
ρ =
m
V
(2.1)
2.1.2 Pressão
p =
F
A
(2.2)
2.1.3 Princípio de Stevin
p = p0 + ρgh (2.3)
2.1.4 Princípio de Arquimedes
e = mfg (2.4)
Pap = P − e (2.5)
2.2 Dinâmica dos Fluidos
2.2.1 Equação da continuidade
Rv = Av (2.6)
2.2.2 Vazão mássica
Rm = ρAv = Constante (2.7)
Rm =
dm
dt
(2.8)
2.2.3 Equação de Bernoulli
p+
1
2
ρv2 + ρgy = Constante (2.9)
5
Capítulo 3
Oscilações e Ondas
T é o período de oscilação, f é a frequência de oscilação, ωt+φ é a fase do movimento, φ é a constante de fase,
ω é a frequência angular, k é a costante da força restauradora.
3.1 Oscilações
3.1.1 Período
T =
1
f
(3.1)
3.1.2 Movimento harmônico simples
x = xm cos(ωt+ φ) (3.2)
v = −ωxm sin(ωt+ φ) (3.3)
a = −ω2xm cos(ωt+ φ) (3.4)
3.1.3 Frequência angular
ω =
√
2pif (3.5)
3.1.4 Oscilador Linear
ω =
√
k
m
(3.6)
T = 2pi
√
m
k
(3.7)
3.1.5 Pêndulo de torção
T = 2pi
√
I
k
(3.8)
3.1.6 Pêndulo Simples
T = 2pi
√
L
g
(3.9)
3.1.7 Pêndulo Físico
T = 2pi
√
I
mgh
(3.10)
3.1.8 Movimento Harmônico Amorte-
cido
Força de amortecimento
~Fa = −b~v (3.11)
Onde b é uma constante de amortecimento, e v é a
velocidade do oscilador.
Equação do MH amortecido
x(t) = xme
−bt
2m

cos (ω′t+ φ) (3.12)
3.1.9 Oscilação forçada
x(t) =
F0
m(ω20 − ω2)
cos(ωt)− F0
m(ω20 − ω2)
(3.13)
3.1.10 Oscilação forçada e amortecida
x(t) = A(ω) cos(ωt+ φ) (3.14)
A(ω) =
F0√
m[(ω20 − ω2+)γ2ω20
(3.15)
6
3.2 Ondas
λ é a distância entre dois pontos em fase da onda e é chamado comprimento de onda, k é o número de onda
3.2.1 Equação de onda
∂2f
∂x2
=
1
v2
∂2f
∂t2
(3.16)
3.2.2 Onda progressiva em uma corda
∂2f
∂x2
=
T
µ
∂2f
∂t2
(3.17)
T é o periodo eµ = m∆x
Velocidade da onda
v =
√
T
µ
(3.18)
3.2.3 Ondas harmônicas
y(x, t) = A cos
[
2pi
λ
(x− vt) + ϕ
]
(3.19)
Número de onda de onda
k =
2pi
λ
Período, frequência e velocidade
T =
λ
v
, f =
v
λ
, v = fλ, ω = kv
Assim:
y(x, t) = A cos(kx− ωt+ ϕ0) (3.20)
3.2.4 Intensidade de uma Onda
I =
1
2
ωkTA2 (3.21)
3.2.5 Interferência ondutalatôria
Mesmo sentido, frequências iguais
y(x, t) = A cos(kx− ωtδ) (3.22)
Sentidos opostos
y(x, t) = 2A cos(kx) cos(ωt) (3.23)
3.2.6 Batimentos
y(x, t) = a(x, t) cos(k¯x− ω¯t) (3.24)
a(x, t) = 2A cos
(
∆k
2
x− ∆ω
2
t
)
(3.25)
3.2.7 Velocidade de grupo
vg =
∆ω
∆K
(3.26)
Quando ∆ω → 0 e ∆K → 0:
vg =
dω
dt
(3.27)
3.2.8 Reflexão de Onda
Uma extremidade fixa
y(x, t) = g(vt+ x)− g(vt− x) (3.28)
As duas extremidades livres
y(x, t) = g(vt+ x) + g(vt− x) (3.29)
3.3 Som
3.3.1 Relações importantes
Densidade-Pressão
P
δ
=
P − P0
ρ− ρ0 ≈
(
∂P
∂ρ
)
0
(3.30)
Deslocamento-Densidade
δ = −ρ0 ∂u
x
(x, t) (3.31)
Pressão-Deslocamento
ρ0
∂2u
∂t2
= −∂P
∂x
(3.32)
3.3.2 Equação de onda para o som
1
v2
∂2u
∂t2
− ∂
2u
∂x2
= 0 (3.33)
Velocidade no som do meio
v =
√
∂P
∂ρ
Propagação da variação de densidade
1
v2
∂2δ
∂t2
− ∂
2δ
∂x2
= 0 (3.34)
Propagação da pressão
1
v2
∂2P
∂t2
− ∂
2P
∂x2
= 0 (3.35)
3.3.3 Ondas harmônicas
u(x, t) = U cos(kx− ωt+ δ) (3.36)
7
O comprimento de onda é λ = vT =
v
f
P (x, t) = −ρ0v2 ∂u
∂x
(x, t) = v2δ(x, t) (3.37)
Amplitude da pressão
∆Pm = ρ0v
2kU
Onda de pressão
P (x, t) = ∆Pm sin(kx− ωt+ δ) (3.38)
3.3.4 Intensidade Sonora
I =
1
2
ωU∆Pm (3.39)
I =
1
2
(∆Pm)
2
ρ0v
(3.40)
I =
P
A
(3.41)
Intensidade sonora em Decibéis
β = (10dB) log
I
I0
(3.42)
3.3.5 Efeito Doppler
Equação geral do efeito Doppler
f ′ = f
v ± vD
v ± vF (3.43)
Onde vD é a velocidade do detector em relação ao
meio,vF é a velocidade da fonte em relação ao meio,
e v é a velocidade do som no meio, os sinais são (+)
para aproximação e (-) para afastamento.
8
Capítulo 4
Termodinâmica
T é a temperatura, α ,β e γ são os coeficientes de dilatação linear, superficial e volumetria, respectivamente, Q
é o calor, L é o calor latente ou calor de transformação, C é a capacidade térmica, c é calor específico, Eint é a
variação da energia interna do sistema, Pcond é a taxa de condução de calor.
4.0.1 Convertendo unidades de tempe-
ratura.
Unidades Comuns
TC = TK − 273, 15oC = 5
9
(TF − 32)oC (4.1)
Unidades Genéricas A e B são unidades quaisquer,
E é o ponto de ebulição da agua e 0 é o ponto de fusão
da agua.
TA − 0A
EA − 0A =
TB − 0B
EB − 0B (4.2)
TA = 0A +
(EA − 0A)(TB − 0B)
EB − 0B (4.3)
4.0.2 Dilatação
Relação Entre os coeficientes de dilatação
α =
β
2
=
γ
3
(4.4)
Dilatação Linear
∆L = L0α∆T (4.5)
L = L0(1 + α∆T ) (4.6)
Dilatação Superficial
∆A = A0β∆T (4.7)
A = A0(1 + β∆T ) (4.8)
Dilatação Volumetrica
∆V = V0γ∆T (4.9)
V = V0(1 + γ∆T ) (4.10)
4.0.3 Capacidade Térmica
Q = C∆T (4.11)
4.0.4 Calor específico
Q = cm∆t (4.12)
4.0.5 Calor Latente
Q = Lm (4.13)
4.0.6 Trabalho associado a uma Varia-
ção de Volume
W =
∫
dW =
∫ Vf
Vi
pdV (4.14)
4.0.7 Primeira Lei da Termodinâmica
∆Eint = Q−W (4.15)
dEint = dQ− dW (4.16)
Aplicações da primeira lei Processos Adiabáti-
cos(sem troca de calor com o ambiente):
Q = 0,∆Eint = −W (4.17)
Processos a volume constante:
W = 0,∆Eint = Q (4.18)
Processos cíclicos:
∆Eint = 0, Q = W (4.19)
Expansões Livres:
Q = W = ∆Eint = 0 (4.20)
4.0.8 Condução
Pcond =
Q
t
= kA
TA − TB
L
(4.21)
*k é a condutividade térmica
9
Capítulo 5
Teoria cinética dos gases
M é a massa molar da substância, n é o numero de mols
5.0.1 Gás Ideal
Número de Avogadro
NA = 6, 02x10
23mol−1 (5.1)
Massa Molar
M = nNA (5.2)
Número de mols
n =
N
Na
=
Mam
mNA
(5.3)
5.0.2 Lei dos Gases ideais
pV = nRT (5.4)
*k é a constante dos gases ideais.
Resumo de Equações- Física
Julio Cesar de Queiroz Silveira
IFPB Campus Campina Grande
10