Matemática I 2012 2 Seção (3)

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Seção 3
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Matemática I
Prof. Gerson Lachtermacher, Ph.D.
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Polinômios
Monômios
Fatoração
Operações com Polinômios
Módulo
Equações e Raízes
1º e 2º grau, Irracionais e Modulares
Sistemas de Equações Lineares
Inequações e Inequações Modulares
Conteúdo da Seção
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Termo Algébrico é o produto de um número (chamado coeficiente) por potências racionais de variáveis.
Definições
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Monômio é um termo algébrico em que o coeficiente é real e os expoentes são naturais.
O grau de um monômio é a soma dos expoentes de suas variáveis.
Definições
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Polinômio é uma soma de monômios.
O grau de um polinômio é o mais alto grau dentre os seus monômios.
Se um polinômio possui apenas uma variável x, ele é, em geral, representado por P(x). 
Se um polinômio possui duas variáveis x e y, ele é, em geral, representado por P(x, y). 
Definições
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O valor numérico de um polinômio é o número obtido quando atribuímos valores às variáveis.
Definições
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Fatorar um polinômio significa transformá-lo num produto de polinômios de graus menores que o do original.
Fatoração
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As operações de adição e subtração são efetuadas entre os termos semelhantes, somando-se ou subtraindo-se as constantes destes termos.
Adição e Subtração de Polinômios 
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Na operação de multiplicação, usamos a propriedade distributiva e depois agrupamos os termos semelhantes.
Multiplicação de Polinômios
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Somente se efetua a divisão entre dois polinômios quando o grau do dividendo for maior ou igual ao grau do divisor.
Exemplo: Dividir 
Divisão de Polinômios
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Divisão entre Polinômios
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Então, a seguinte igualdade pode ser escrita:
Divisão entre Polinômios
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Já que:
Divisão entre Polinômios
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Dividir 
Divisão entre Polinômios - Exercício
 
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Uma identidade é uma igualdade que se verifica para quaisquer valores atribuídos às variáveis.
Uma equação é uma igualdade que se verifica para alguns valores atribuídos às variáveis. 
Identidades e Equações
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Um número é a raiz de uma equação, se torna a igualdade verdadeira.
Exemplo:
Raiz de uma Equação
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O grau de uma equação é dado pelo termo de maior grau da mesma.
Grau de uma Equação
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Numa equação, podemos transpor um termo (isto é, mudá-lo de lado da equação), desde que o multipliquemos por -1.
Uma equação não se altera quando multiplicamos ambos os membros (todos os termos da equação de ambos os lados) por uma constante diferente de zero.
Princípios Gerais para Resolução de Equações
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Toda equação que pode ser escrita na forma , em que a, b  , a > 0 e x é uma variável, é denominada uma equação do primeiro grau.
	
O valor		 é chamado de raiz da equação do primeiro grau.
Equação do Primeiro Grau
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Ache as raízes das seguintes equações: 
1)
2)
3)
Equação do Primeiro Grau - Exercícios
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1)
Equação do Primeiro Grau - Soluções
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2) 
 
Equações do Primeiro Grau - Soluções
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3) 
Equações do Primeiro Grau - Soluções
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Toda equação que pode ser escrita na forma 		 		 
onde a, b e c  .
Suas raízes x1 e x2 são dadas pelas expressões:
Equação do Segundo Grau
Fórmula de Bháskara
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O número de raízes para cada equação do segundo grau varia de acordo com delta ():
	
Equação do Segundo Grau
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Encontre as raízes das equações abaixo:
a) 
b)
c)
d)
Equação do Segundo Grau - Exercícios
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Encontre as raízes das equações abaixo:
a) 
b)
c)
d)
Equação do Segundo Grau - Soluções
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Seja a equação
	
onde a, b e c  , com a > 0.
A fatoração dessa equação é dada por:
onde x1 e x2 são as raízes da equação. 
Equação do Segundo Grau - Fatoração
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Fatore a equação:
As raízes dessa equação são x1 = 3 e x2 = –2, assim a forma fatorada é:
Equação do Segundo Grau
Fatoração - Exercício
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Um sistema de equações é um conjunto de equações relacionadas em que o conjunto solução deve satisfazer a todas as equações isoladamente.
Existem dois métodos básicos para se resolver um sistema de equações:
Substituição
Eliminação
Sistema de Duas Equações Lineares
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Este método consiste em obter o valor de uma variável em uma das equações e substituir este valor na outra.
Sistema de Duas Equações Lineares
Método de Substituição
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Este método consiste em planejar a eliminação de uma variável por meio da soma de duas ou mais equações.
Sistema de Duas Equações Lineares
Método de Eliminação
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Uma equação é dita irracional quando a incógnita aparece embaixo de uma raiz.
Para se resolver esse tipo de equação, devemos elevar ambos os termos a uma potência conveniente.
Sempre que elevamos uma equação a um expoente devemos verificar os resultados, porque raízes estranhas ao resultado original podem aparecer.
Equações Irracionais
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Resolva a equação
Solução:
Equações Irracionais - Exemplo
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Uma inequação é uma desigualdade que se verifica para alguns valores atribuídos às variáveis.
Intuitivamente uma inequação é uma equação em que o sinal de igualdade é substituído por um dos seguintes operadores matemáticos:
> - Maior que
< - Menor que
≥ - Maior ou igual que
≤ - Menor ou igual que
Inequações
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Toda inequação que pode ser escrita numa das seguintes formas
	
em que a, b  , a > 0 e x é uma variável, é denominada uma inequação do primeiro grau.
Inequação do Primeiro Grau
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Passando elemento de um lado para o outro...
O termo que troca de lado muda de sinal.
O sentido da desigualdade é mantido. 
Multiplicando por um número positivo ambos os lados...
O sentido da desigualdade é mantido. 
Multiplicando por um número negativo ambos os lados...
O sentido da desigualdade é invertido. 
Invertendo...
Se os dois lados da desigualdade são positivos, inverter os dois lados também inverte o sentido da desigualdade.
Princípios Gerais para Resolução de Inequações
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Ache as raízes das seguintes equações: 
1)
2)
3)
Inequação do Primeiro Grau - Exercícios
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1)
Inequação do Primeiro Grau - Soluções
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2) 
Inequações do Primeiro Grau - Soluções
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3) 
Inequações do Primeiro Grau - Soluções
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O Valor Absoluto ou módulo de um número real, denotado por é definido por 
 é sempre nulo ou positivo, isto é, não negativo.
Números - Valor Absoluto ou Módulo
 
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Números - Módulo Teoremas
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Números - Módulo Teoremas
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Números - Módulo Teoremas
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Números - Módulo Teoremas
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Resolva
Solução
Equações Modulares
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Resolva
Pelo Teorema
Inequações Modulares
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A LCL Freios Automotivos Ltda., importante fornecedora de freios automotivos nacionais,
tem, como matéria-prima de um de seu produtos, pequenos discos de aço. O departamento de produção informou ao departamento de compras que o diâmetro dos discos necessários à produção é de 30mm, com uma variação de 5mm para cima ou para baixo desse valor. Descreva a desigualdade modular que expressa o pedido feito pelo departamento de produção.
LCL Freios Automotivos Ltda.
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Uma variação de 5mm é aceitável em torno do valor correto de 30mm.
Logo o módulo da diferença entre o diâmetro (d) do disco recebido e o desejado (30mm) deve ser no máximo 5mm.
LCL Freios Automotivos Ltda. - Solução
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A comissão de vendas mensal de cada vendedor das lojas da LCL Discos é de 4% sobre as vendas do mês. Existe um piso salarial mínimo, garantido por acordo sindical, de R$400,00. Um levantamento feito na contabilidade da empresa mostrou que nunca foi pago, em único mês, mais de R$1.200,00 para um vendedor. Sabendo-se que um vendedor que não tiver um salário mensal acima do piso é sumariamente despedido, descreva matematicamente quanto deve ser o volume de vendas de cada vendedor que trabalha na empresa. 
Caso LCL Discos Ltda.
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O salário do vendedor é de 3% sobre as vendas se este valor for superior a R$400,00.
Logo
Caso LCL Discos Ltda. - Solução
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O maior salário já pago a um vendedor foi de R$1.200,00. 
Logo
Caso LCL Discos Ltda. - Solução
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Logo, as vendas mensais de um empregado da empresa podem ser matematicamente expressas por:
Caso LCL Discos Ltda. - Solução
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CD-ROM do Livro-texto 1 – Matemática I
Capítulo 3 – Polinômios, Equações, Inequações
Exercícios
Exercícios Conceituais
Exercícios Propostos
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Respostas:
x1 = x2 = 1
x1 = -10 e x2 = 6
As raízes não são reais.
Existe apenas uma raiz igual a 1
 
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Respostas:
x1 = x2 = 1
x1 = -10 e x2 = 6
As raízes não são reais.
Existe apenas uma raiz igual a 1
 
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