Matemática I 2012 2 Seção (5)

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2012/2
Seção 5
*
Matemática I
Prof. Gerson Lachtermacher, Ph.D.
2012/2
Seção 5
*
Função Potência
Função Polinomial
Funções Afim e Quadrática
Funções Polinomiais com grau maior que 2
Representação Gráfica
Equações e Inequações
Equação da Reta
Retas Paralelas, Perpendiculares
Família de Retas
Função Modular
Equações e Inequações
Aplicações Reais e Casos
Conteúdo da Seção
2012/2
Seção 5
*
Uma função é dita Função Potência se...
 é a base e a é o expoente, onde...
Função Potência
2012/2
Seção 5
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Função Potência - Exemplos
2012/2
Seção 5
*
Função Potência - Exemplos
2012/2
Seção 5
*
Função Potência - Exemplos
2012/2
Seção 5
*
Função Potência - Exemplos
2012/2
Seção 5
*
Função Potência - Exemplos
2012/2
Seção 5
*
Função Potência - Exemplos
2012/2
Seção 5
*
Faça o gráfico das seguintes funções...
 
 
 
 
 
Função Potência - Exercícios
2012/2
Seção 5
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Função Potência - Soluções dos Exercícios
1)
2012/2
Seção 5
*
Função Potência - Soluções dos Exercícios
3)
4)
2012/2
Seção 5
*
Função Potência - Soluções dos Exercícios
5)
2012/2
Seção 5
*
Uma função de		 é dita Polinomial de grau n se...
	em que...
	
	e n é um inteiro não-negativo.
Função Polinomial
2012/2
Seção 5
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Função Polinomial do 1º Grau
Uma função polinomial é dita do 1o grau se...
com , onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear.
A função polinomial do 1º grau também é chamada de função Afim.
2012/2
Seção 5
*
A função polinomial do 1o grau cuja lei de formação é dada por é dita Função Linear se b = 0:
	
	Se a = 1 e b = 0, a função é chamada de Função Identidade:
Função Polinomial do 1º Grau
2012/2
Seção 5
*
Geralmente, a letra y é utilizada para designar o valor da função em um ponto genérico x, isto é, a função polinomial do 1º grau pode ser escrita como...
Função Polinomial do 1º Grau
2012/2
Seção 5
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Função Polinomial do 1º Grau - Representação Gráfica
2 é a taxa de variação de y
em relação a x
7
0
x
y
2012/2
Seção 5
*
Função Polinomial do 1º Grau - Representação Gráfica
-2/3 é a taxa de variação de y em relação a x
2012/2
Seção 5
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Função Polinomial do 1º Grau - Representação Gráfica
2012/2
Seção 5
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A LCL Eletromecânica Ltda. tem um custo unitário de produção de geradores em função da quantidade mensal produzida. Para uma produção de 30 unidades, o custo unitário é de R$20,00 e, para uma produção de 100 unidades, esse custo é de R$10,00. Apresente matematicamente a função que descreve o valor do custo unitário em função da quantidade produzida.
Caso LCL Eletromecânica Ltda.
2012/2
Seção 5
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Caso LCL Eletromecânica Ltda. - Solução
2012/2
Seção 5
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A LCL Financeira Ltda. realiza operações de CDC (Crédito Direto ao Consumidor). Como uma vantagem competitiva sobre a concorrência, ela divulga que seus empréstimos utilizam a cobrança de juros simples, isto é, um percentual de 10% a.m. sobre o capital inicial do empréstimo. Um cliente deseja tomar um CDC no valor de R$100.000,00 e devolver em três meses o valor do empréstimo acrescido dos juros. Quanto o cliente terá que devolver ao final do período?
Caso LCL Financeira Ltda.
2012/2
Seção 5
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O valor de juros é de 10% ao mês sobre o valor emprestado.
O que desejamos saber é a função que descreve o saldo devedor do empréstimo em função do número de meses entre o início e o final do empréstimo.
No mês zero (momento do empréstimo), o valor do saldo devedor é igual ao valor do empréstimo, isto é, para x=0, o valor do saldo é igual a R$100.000,00.
Ao final do 1º mês (x = 1), o valor do saldo devedor é igual a R$110.000,00 (juros=0,10 x 100000).
Caso LCL Financeira Ltda. - Solução
2012/2
Seção 5
*
Caso LCL Financeira Ltda. - Solução
2012/2
Seção 5
*
Função Polinomial do 1º Grau - Gráficos em 2
2012/2
Seção 5
*
Função Polinomial do 1º Grau - Gráficos em 2
2012/2
Seção 5
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Função Polinomial do 1º Grau - Gráficos em 2
2012/2
Seção 5
*
Função Polinomial do 1º Grau - Gráficos em 2
2012/2
Seção 5
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Função Polinomial do 1º Grau - Gráficos em 2
2012/2
Seção 5
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Função Polinomial do 1º Grau - Gráficos em 2
2012/2
Seção 5
*
Função Polinomial do 1º Grau - Gráficos em 2
2012/2
Seção 5
*
Função Polinomial do 1º Grau - Gráficos em 2
5
2012/2
Seção 5
*
Função Polinomial do 1º Grau - Gráficos em 2
2012/2
Seção 5
*
A LCL Motores Ltda. está à procura de um modelo matemático que exprima o valor de suas receitas mensais em função da quantidade de motores vendidos no mês. O departamento de marketing fixou o preço de venda em R$25,00. Como a operação da empresa precisa ser lucrativa, o departamento de produção precisa descobrir qual o custo total máximo que ele pode ter para uma produção de 50 unidades.
Caso LCL Motores Ltda.
2012/2
Seção 5
*
O custo de produção deve ser menor que o total da receita. 
O preço de venda é constante para qualquer nível de produção.
Por hipótese, tudo o que é produzido é vendido, isto é, não existem perdas nem estoque.
A função receita (y) pode, então, ser descrita como uma reta.
Caso LCL Motores Ltda. - Solução
2012/2
Seção 5
*
Caso LCL Motores Ltda. - Solução
Logo, a operação não pode 
 custar mais de R$ 1250,00.
2012/2
Seção 5
*
Geralmente, a letra y é utilizada para designar o valor da ordenada em um ponto genérico x, isto é, o valor da abscissa.
Equação Geral da Reta
2012/2
Seção 5
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Equação Geral da Reta Representação Gráfica
Coeficiente angular (a):
Valor da tangente do 
ângulo que a reta faz
com o eixo das
Abscissas.
2012/2
Seção 5
*
Equação Geral da Reta Representação Gráfica
2012/2
Seção 5
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Equação Geral da Reta - Representação Gráfica
2012/2
Seção 5
*
Equação de Reta
A equação da reta que passa por dois pontos, P1(x1, y1) e P2(x2, y2), é dada por...
O coeficiente angular a é definido por...
2012/2
Seção 5
*
Equação de Reta
Forma Ponto-Declividade
	em que a é o coeficiente angular e (x1, y1) é um ponto da reta.

2012/2
Seção 5
*
Forma Ponto-Declividade – P1(0 ; 5)
Equação de Reta
2012/2
Seção 5
*
Equação da Reta - Especiais
2012/2
Seção 5
*
Duas retas distintas, L1 e L2, não verticais, são paralelas, somente se tiverem o mesmo coeficiente angular.
Retas Paralelas - Teorema


L1
L2
2012/2
Seção 5
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Retas Paralelas
2012/2
Seção 5
*
Retas Paralelas
2012/2
Seção 5
*
Duas retas distintas, L1 e L2, não verticais, são perpendiculares entre si, somente se o produto dos seus coeficientes angulares for igual a –1.
Retas Perpendiculares - Teorema
2012/2
Seção 5
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Função Polinomial do 1º Grau - Retas Perpendiculares
2012/2
Seção 5
*
Os membros de uma família de retas possuem alguma propriedade geométrica comum, tal como a declividade, mas possuem outra característica diferente.
Exemplos...
Retas com mesma declividade e diferentes coeficientes lineares.
Retas que passam por um ponto em comum e têm declividade diferente.
Famílias de Retas
2012/2
Seção 5
*
 Exemplo de retas que passam pelo ponto (–2, –1 ).
Famílias de Retas
2012/2
Seção 5
*
Curva de Demanda
Representa a quantidade de um bem ou serviço demandados em função do preço.
Geralmente tem declividade negativa.
Aplicações Reais
Q
P
D
2012/2
Seção 5
*
Curva de Oferta
Representa a quantidade de um bem ou serviço oferecidos em função do preço.
Geralmente tem
declividade positiva.
Aplicações Reais
Q
P
S
2012/2
Seção 5
*
É o ponto onde as curvas de oferta e demanda se encontram, onde a um dado preço, as quantidades demandadas e oferecidas são idênticas.
Aplicações Reais - Equilíbrio de Mercado
Q
P
S
D
Q
P
S
D
Q
P
S
D
Equilíbrio
Significativo
Equilíbrio não significativo
2012/2
Seção 5
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Aplicações Reais - Custo Linear
Quantidade
Custo 
Total ($)
2012/2
Seção 5
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Aplicações Reais - Receita Linear
Receita 
Total ($)
Quantidade
Declividade = Preço = Receita Marginal
2012/2
Seção 5
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Aplicações Reais - Análise do Ponto de Equilíbrio
Custo,
Receita ($)
Quantidade
Custo Fixo
Custo Total
Receita
 Total
Ponto de Equilíbrio
QE
CE , RE
Lucro
Prejuízo
2012/2
Seção 5
*
A LCL Tratores Ltda. está estudando a implantação de uma fábrica no Brasil. A decisão da implantação está na dependência da viabilidade econômico-financeira desse empreendimento. O retorno do investimento de R$500.000,00 deve ocorrer em três anos. Para tal, a demanda no período foi estimada em 200 unidades. O preço de venda do trator é de R$50.000,00, e seu custo de fabricação, de R$30.000,00. A fábrica deve ou não ser implementada?
Caso LCL Tratores Ltda.
2012/2
Seção 5
*
Considerando as demandas e receitas proporcionais à quantidade vendida e/ou produzida (produção por encomenda), temos os seguintes modelos:
Caso LCL Tratores Ltda. - Modelo
2012/2
Seção 5
*
No ponto de equilíbrio, o custo total é igual à receita total.
Igualando a Receita Total ao Custo Total, temos apenas uma equação de uma variável...
A quantidade de equilíbrio é de 25 tratores; portanto, a fábrica deve ser instalada.
Caso LCL Tratores Ltda. - Solução Analítica
2012/2
Seção 5
*
Caso LCL Tratores Ltda. - Solução Gráfica
Receita Total
Custo Total
2012/2
Seção 5
*
Uma função polinomial é dita do 2º grau se...
	
	
	com .
	Seu gráfico é uma curva chamada parábola, que tem um eixo de simetria (paralelo ao eixo das ordenadas) passando pelo seu vértice.
Função Polinomial do 2º Grau
2012/2
Seção 5
*
0
Função Polinomial do 2º Grau - Gráficos em 2
2012/2
Seção 5
*
Suas raízes x1 e x2 são dadas pelas expressões:
Função Polinomial do 2º Grau
Fórmula de Bháskara
2012/2
Seção 5
*
O número de raízes de cada função do segundo grau varia de acordo com delta ():
O vértice da parábola passa pelo ponto:
O eixo de simetria é uma linha vertical que passa pelo vértice.
Função Polinomial do 2o Grau
2012/2
Seção 5
*
Função Polinomial do 2º Grau - Gráficos em 2
Eixo de Simetria
Vértice
2012/2
Seção 5
*
O coeficiente a está ligado à concavidade da parábola
Se a > 0, então a parábola está voltada (aberta) para cima.
Se a < 0, então a parábola está voltada (aberta) para baixo.
Função Polinomial do 2º Grau
2012/2
Seção 5
*
Função Polinomial do 2º Grau
Estudo do Sinal da Função
0
2012/2
Seção 5
*
Função Polinomial do 2º Grau
Estudo do Sinal da Função
0
2012/2
Seção 5
*
O coeficiente a está ligado à concavidade da parábola: se a aumenta...
Função Polinomial do 2º Grau - Gráficos em 2
2012/2
Seção 5
*
Se a diminui...
Função Polinomial do 2º Grau - Gráficos em 2
2012/2
Seção 5
*
Se a é negativo.
Função Polinomial do 2º Grau - Gráficos em 2
2012/2
Seção 5
*
O coeficiente b está ligado ao deslocamento da parábola: se b é positivo. 
Função Polinomial do 2º Grau - Gráficos em 2
2012/2
Seção 5
*
Se b é negativo.
Função Polinomial do 2º Grau - Gráficos em 2
2012/2
Seção 5
*
O coeficiente c está ligado ao deslocamento vertical da parábola: se c é positivo.
Função Polinomial do 2º Grau - Gráficos em 2
2012/2
Seção 5
*
Se c é negativo.
Função Polinomial do 2º Grau - Gráficos em 2
2012/2
Seção 5
*
Função Polinomial do 2º Grau - Gráficos em 2
2012/2
Seção 5
*
Função Polinomial de Grau Maior que 2 - Gráficos em 2
2012/2
Seção 5
*
Função Polinomial de Grau Maior que 2 - Gráficos em 2
2012/2
Seção 5
*
Função Polinomial de Grau Maior que 2 - Gráficos em 2
2012/2
Seção 5
*
Faça o gráfico das seguintes funções, determinando seu domínio e sua imagem.
 
 
Funções Polinomial - Exercício
2012/2
Seção 5
*
 
	
	
Funções Polinomial - Solução
2012/2
Seção 5
*
 
Funções Polinomial - Solução
2012/2
Seção 5
*
A Maçãs Verdes Agrícola Ltda. vende suas frutas para o mercado varejista. O preço de venda é variável com a quantidade de caixas que o varejista compra. Para uma caixa de 20kg, o preço é de R$200,00. Um desconto de R$1,00 é dado por cada caixa adicional, isto é, se o atacadista compra duas caixas, ele pagará por cada caixa R$199,00. O custo de produção por caixa é R$100,00. Um custo de entrega a R$2,00 por caixa é pago à transportadora. Um desconto de R$0,01 é dado por cada caixa adicional entregue a um mesmo cliente. Determine qual a quantidade comprada pelo varejista que proporciona o maior lucro para a Maçãs Verdes.
Caso Maçãs Verdes Agrícola Ltda.
2012/2
Seção 5
*
Sabemos que Lucro é igual à diferença entre Receita e Custos.
A Receita é dada pela multiplicação do preço pela quantidade. Nesse caso, o preço é uma função da quantidade pedida pelo cliente:
Caso Maçãs Verdes Agrícola Ltda. Solução
2012/2
Seção 5
*
O Custo é a soma do custo de produção com o custo de entrega.
Logo, o Lucro é dado por:
Caso Maçãs Verdes Agrícola Ltda. Solução
2012/2
Seção 5
*
Representação gráfica da função lucro
Caso Maçãs Verdes Agrícola Ltda. Solução
R$ 2.474,50
2012/2
Seção 5
*
Achando as raízes da função lucro. 
Caso Maçãs Verdes Agrícola Ltda. Solução
2012/2
Seção 5
*
O lucro máximo é a imagem (ordenada) do ponto médio entre as raízes.
Logo, a quantidade ótima é 49,995.
E o lucro máximo, R$ 2.474,50.
Caso Maçãs Verdes Agrícola Ltda. Solução
2012/2
Seção 5
*
A função Módulo, , está definida para todo 	 e é formada pela união de duas semirretas.
Quando x é positivo, o gráfico é o da função e quando x é negativo, o gráfico é o da função .
Função Módulo
2012/2
Seção 5
*
Função Módulo - Gráficos em 2
2012/2
Seção 5
*
Função Módulo - Gráficos em 2
=
2012/2
Seção 5
*
Função Módulo - Gráficos em 2
2012/2
Seção 5
*
Função Módulo - Gráficos em 2
2012/2
Seção 5
*
Função Módulo - Gráficos em 2
2012/2
Seção 5
*
Resolva as equações
 
 
 
Equações Modulares
2012/2
Seção 5
*
Solução a)
Equações Modulares
2012/2
Seção 5
*
Solução b)
Equações Modulares
2012/2
Seção 5
*
Solução c)
Equações Modulares
2012/2
Seção 5
*
Resolva as inequações a seguir:
Inequações
2012/2
Seção 5
*
Solução
Inequações
2012/2
Seção 5
*
Inequações
Numerador
Denominador
Solução:
2012/2
Seção 5
*
Inequações
2012/2
Seção 5
*
Resolva as inequações abaixo:
a)
b) 
Inequações Modulares
2012/2
Seção 5
*
Solução a)
Pelo Teorema
Inequações Modulares
2012/2
Seção 5
*
Inequações Modulares
2012/2
Seção 5
*
Solução b)
	
Inequações Modulares
Pelo Teorema:
Devemos, portanto, estudar duas situações:
2012/2
Seção 5
*
Estudando
Inequações Modulares
2012/2
Seção 5
*
Inequações Modulares
Numerador
Denominador
2012/2
Seção 5
*
Inequações Modulares
Estudando
2012/2
Seção 5
*
Inequações Modulares
Numerador
Denominador
2012/2
Seção 5
*
A solução final é 
Inequações Modulares
2012/2
Seção 5
*
Inequações Modulares
2012/2
Seção 5
*
CD-ROM do Livro-texto 1 – Matemática I
Capítulo 5 – Funções Polinomiais, Inequações
Exercícios
Exercício Conceitual
Capítulo 9 – O Plano Cartesiano
Exercícios
Exercício Conceitual
Exercícios Propostos
*
*
*
*
*
*
Prezado Professor
Chamar a atenção para o domínio da função
*
Prezado Professor
Chamar a atenção para o domínio da função
*
Prezado Professor
Chamar a atenção para o domínio da função
*
Prezado Professor
Chamar a atenção para o domínio de cada uma das funções e mostrar que y2=x-3 não é uma função e sim uma relação pois para um x existem dois ys 
*
*
*
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*
11
*
11
*
*
*
*
16
*
*
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*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Exercícios propostos: Capítulo 1 – vol 1
*
*
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*
*
*
16
*
15
*
17
*
*
*
*
*
*
*
*
24
*
Exercícios propostos: Capítulo 2 – vol 1
*
2
*
3
*
4
*
5
*
6
*
7
*
*
*
*
*
11
*
*
*
*
4
*
11
*
11
*
11
*
11
*
11
*
11
*
11
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*
Prezado Professor
Comentar em sala que numa função de produção o valor fracionário da quantidade corresponde a uma parcela do produto. Se estivermos apenas trabalhando com valores de quantidades inteiras estaríamos falando de otimização inteira que será tratado em métodos quantitativos no 4º semestre.
*
Prezado Professor
Comentar em sala que numa função de produção o valor fracionário da quantidade corresponde a uma parcela do produto. Se estivermos apenas trabalhando com valores de quantidades inteiras estaríamos falando de otimização inteira que será tratado em métodos quantitativos no 4º semestre.
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Obs: Estes exemplos podem ser dados como exercícios e depois a solução é apresentada.
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Obs: Estes exemplos podem ser dados como exercícios e depois a solução é apresentada.
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Obs: Estes exemplos podem ser dados como exercícios e depois a solução é apresentada.
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