Cálculo II - Módulo 01 - FUMEC Virtual

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Cálculo II
APLICAÇÕES 
DA DERIVADA: 
CRESCIMENTO, 
DECRESCIMENTO, 
EXTREMOS LOCAIS, 
CONCAVIDADES E 
PONTOS DE INFLEXÃO
APRESENTAÇÃO
Prezado(a) aluno(a), você está iniciando uma experiência fascinante e enriquecedora. Bem-vindo(a) à nossa discussão.
Espero que você aproveite todo o conteúdo que lhe for oferecido, para que possa atingir 
o seu objetivo neste novo processo de aprendizagem.
Neste módulo, vamos começar a colocar em prática os conceitos que aprendemos até 
então, da derivada de uma função.
Sabemos que a derivada é utilizada para diversas finalidades, algumas delas vamos explo-
rar neste módulo.
Começaremos com a determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento de 
uma função, os pontos de extremos localizados, os intervalos de concavidade e finalmen-
te os pontos de inflexão.
Estas informações irão nos auxiliar na construção de gráficos e serão utilizadas em algu-
mas aplicações práticas, como veremos adiante.
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final deste módulo, você será capaz de:
• Utilizar a primeira derivada na determinação das regiões de crescimento, decrescimento e 
extremos locais;
• Definir a concavidade e os pontos de inflexão através da segunda derivada;
• Construir o gráfico de uma função
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes P. Araújo
Transposição Pedagógica
Flávia Juliana da Silva
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Nathan Ackerman Chagas de Souza
Raphael Gonçalves Porto Nascimento
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA 
Profa. Dayse Magda Fialho Sodré
Prof. Renaldo Sodré
BELO HORIZONTE - 2014
APLICAÇÕES DA DERIVADA: 
CRESCIMENTO, DECRESCIMENTO, 
EXTREMOS LOCAIS, CONCAVIDADES 
E PONTOS DE INFLEXÃO
Aplicações da Derivada
Então aluno(a), para falarmos das aplicações da derivada, precisamos 
antes, conhecer um teorema que estabelece uma importante relação 
entre a função e sua derivada, o Teorema do Valor Médio.
Geometricamente, este teorema afirma o seguinte:
Se uma função ( )y f x= é contínua no intervalo fechado [ ],a b e existe a derivada
( ) 'f x no intervalo aberto ( ),a b , então existe pelo menos um ponto c entre a e b tal que 
a reta tangente ao gráfico da função no ponto ( )( ),P c f c é paralela à corda que passa 
pelos pontos ( )( ) ,A a f a e ( )( ),B b f b , como indicado na figura 1.
y
x
( )f b
( )f a
a bc
A
B
P
Figura 1 – Reta tangente paralela à corda AB
Observe que a declividade da corda AB é: ( ) ( )f b f a
b a
−
−
.
Conforme já visto na definição da derivada, a declividade da reta tangente é igual ao valor 
da derivada calculada no ponto c , ou seja, ( )'f c .
Como a corda AB e a reta tangente são paralelas, suas declividades são iguais, portanto 
conclui-se que:
( ) ( ) ( )
f b f a
f c
b a
−
′ =
−
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão 7
A demonstração deste teorema você encontrará em todos os livros indicados na bibliogra-
fia, é muito importante que você faça esta consulta!
O teorema do valor médio é aplicado na dedução de outros importantes teoremas, entre 
eles, aquele que estabelece as condições para o crescimento e decrescimento de uma 
função, como veremos adiante.
Funções Crescentes, 
Decrescentes e Constantes
Você se lembra das definições de funções crescentes e decrescentes?
Então vamos recordar!
Ao percorrermos o gráfico de uma função da esquerda para a direita, descrevemos o 
comportamento da função como crescente, decrescente ou constante em um intervalo, 
conforme pode ser visto na figura 2.
x
crescente decrescente constante
( )f x
3 6
Figura 2 – Gráfico da função f (x)
Podemos descrever a função ( )f x como crescente no intervalo ( ],3−∞ , decrescente 
no intervalo [ ] 3,6 e constante no intervalo [ )6,+∞ .
ATENÇÃO
Uma função que cresce ou decresce em um intervalo é chamada de monotônica no intervalo.
Vamos então à seguinte definição, como ilustrado na figura 3.
Definição: Seja a função ( )f x , definida em um intervalo e sejam 1x e 2x pontos do 
intervalo.
(a) ( )f x é crescente no intervalo, se ( ) ( )1 2f x f x< para 1 2x x<
(b) ( ) f x é decrescente no intervalo, se ( ) ( )1 2f x f x> para 1 2x x<
(c) ( ) f x é constante no intervalo, se ( ) ( )1 2f x f x= para 1 2x x<
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão8
x x x
crescente decrescente constante( )f x ( )f x ( )f x
1x 2x 1x 2x 1x 2x
1 2( ) ( )f x f x< 1 2( ) ( )f x f x> 1 2( ) ( )f x f x=
Figura 3 – Funções monotônicas e função constante
Para a determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento de uma função, 
vamos recorrer a um corolário do teorema do valor médio, isto é, um teorema que é dedu-
zido a partir do teorema do valor médio.
Teorema: Seja f (x) uma função contínua no intervalo fechado [ ],a b e derivável em (a, b).
(a) se ( ) 0f x′ > para todo ( ) , x a b∈ , então ( )f x é crescente em [ ],a b
(b) se ( ) 0f x′ < para todo ( ) , x a b∈ , então ( )f x é decrescente em [ ]a b
(c) se ( ) 0f x′ = para todo ( ) , x a b∈ , então ( )f x é constante em [ ],a b
Demonstração (a): Sejam 1 x e 2x dois números quaisquer em [ ] ,a b , sendo 1 2x x< . 
Precisamos mostrar que f ( x 2 ) > f ( x 1 ). Seja ( )f x contínua em 1 2[ , ]x x e derivável 
em 1 2( , )x x . Pelo teorema do valor médio, segue que: existe algum ponto c, no intervalo 
aberto 1 2( , )x x tal que: 
( ) ( ) ( )2 1
2 1
f x f x
f c
x x
−
′ =
−
 (1)
Ou de forma equivalente,
( ) ( ) ( )2 1 2 1 ( )f x f x f c x x′− = − (2)
Por hipótese, ( ) 0f x′ > para todo ( ) ,x a b∈ . Então ( ) 0f c′ > .
Como x 2 > x 1 , x 2 – x 1 > 0.
Analisando a igualdade (2) concluímos que ( ) ( )2 1 0f x f x− > , ou seja, ( ) ( )2 1f x f x> , 
logo, ( )f x é crescente em [ ],a b , conforme você pode observar na figura 4.
2( )f x
1( )f x
( )f x
y
xc1x 2x
Figura 4 – Função crescente
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão 9
As demonstrações de (b) e (c) são análogas e deixaremos como exercícios para você.
IMPORTANTE
É importante ressaltar que embora o teorema tenha sido enunciado no intervalo fechado 
[ ],a b , ele é aplicável a qualquer intervalo I, desde que a função seja contínua e derivável 
neste intervalo.
Agora, vamos mostrar a aplicação deste teorema na determinação dos intervalos de cres-
cimento e decrescimento, através dos seguintes exemplos:
Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
(a) ( ) 2 2f x x x= −
Solução
Para solucionar este problema, basta calcular a derivada e fazer uma análise de seu 
sinal, portanto,
Calculando a derivada da função temos:
( ) 2 2f x x′ = −
Vamos agora analisar o sinal da derivada:
( ) 0f x′ < , isto é, 2 2 0 2 2 1x x x− < → < → <
( ) 0f x′ > , isto é, 2 2 0 2 2 1x x x− > → > → >
Assim, deduzimos do teorema que:
Se ( ) ( )1 0x f x f x′< → < → é decrescente
Se ( ) ( )1 0x f x f x′> → > → é crescente
Estas conclusões estão em conformidade com o gráfico de ( )f x na figura 5.
y
x
'( ) 0f x < '( ) 0f x >
crescentedecrescente ( )f x( )f x
1
1
2( ) 2f x x x= −
Figura 5 – Gráfico da função ( ) 2 2y f x x x= = −
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão10
(b) ( ) 3f x x=
Solução
Cálculo da derivada:
( ) 23f x x′ =
Análise do sinal da derivada:
( ) 23 0f x x′ = > para todo x diferente de zero.
Assim, concluímos que para todo x R∈ , a função é crescentee escrevemos:
( ) ( )0x R f x f x′∈ → > → é crescente.
A figura 6 ilustra este exemplo
y
x
'( ) 0f x >
crescente( )f x
3( )f x x=
0
−∞ +∞
Figura 6 – Gráfico da função ( ) 3y f x x= =
(c) ( ) 3 23 1f x x x= − +
Solução
Cálculo da derivada:
( ) 2' 3 6f x x x= −
Análise do sinal da derivada
A derivada da função é um polinômio do segundo grau. Assim, vamos aplicar o teorema 
do sinal do polinômio do segundo grau cujo enunciado é o seguinte:
O polinômio do segundo grau 2ax bx c+ + tem sempre o sinal de a , exceto no intervalo 
entre as raízes.
Para calcular as raízes, igualamos a função derivada à zero.
23 6 0x x− = ( )3 2 0x x − =
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão 11
Então, 0x = e 2x =
Como 3a = e portanto positivo, a derivada da função tem os seguintes sinais:
+
0
+ −
2
Concluímos:
( ) ( )0 0x f x f x′< → > → é crescente 
( ) ( )0 2 0x f x f x′< < → < → é decrescente
x f x f x> → ′( ) > → ( )2 0 é crescente 
O gráfico de ( )f x apresentado na figura 7, mostra os intervalos onde ( )f x é monotô-
nica, ou seja, onde ( ) f x é crescente e onde é decrescente.
y
x
'( ) 0f x > '( ) 0f x >'( ) 0f x <
crescente( )f x crescente( )f x
decrescente
( )f x0
0
2
2
3 2( ) 3 1f x x x= − +
Figura 7 - Gráfico da função 3 23 1y x x= − +
Viu como é fácil determinar as regiões de crescimento e 
decrescimento de uma função? Basta calcular a função derivada e 
analisar o seu sinal.
E agora, vamos desenvolver métodos para encontrar os pontos altos 
e baixos do gráfico de uma função, chamados de Extremos Locais. 
Nestes pontos a função passa de crescente a decrescente, ou 
vice-versa.
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão12
Extremos Locais – 
Máximos e Mínimos Relativos
Os extremos locais ou relativos são os pontos de valor máximo e de valor mínimo de uma 
função, que iremos definir a seguir.
Uma função f tem um valor Máximo Local (ou Relativo) em um ponto c em seu domí-
nio D se ( ) ( )f c f x≥ para qualquer x pertencente a D em um intervalo aberto que 
contenha c.
Analogamente se diz que a função f tem um Mínimo Local (ou Relativo) em um ponto c 
do seu domínio D , se ( ) ( )f c f x≤ para qualquer x pertencente a D em um intervalo 
aberto que contenha c.
Os máximos e mínimos locais são os pontos mais altos e mais baixos relativos a uma deter-
minada vizinhança de um ponto x c= , daí a denominação Extremos Locais ou Relativos. 
O máximo relativo de maior valor é denominado máximo absoluto e o mínimo relativo de 
menor valor é denominado mínimo absoluto da função.
Para o seu melhor entendimento, apresentamos na figura 8 os tipos de máximos e míni-
mos de uma função.
x
Ml - Máximo local
ml - Mínimo local
Ma - Máximo absoluto
ma - Mínimo absoluto
Legenda:
a c d e b
( )ml f a=
( )Ml f c=
( )Ma f e=
( )ma f d=
( )ml f b=( )y f x=
Figura 8 – Identificação de extremos relativos de uma função no intervalo [ ],a b
Para funções contínuas, os extremos locais relativos ocorrem em pontos onde a derivada 
( ) 0f c′ = ou ( )'f c não existe, são os chamados pontos críticos da função.
Uma função ( )f x só terá um extremo relativo, naquele ponto crítico em que a derivada 
( )f x′ troca de sinal, conforme você pode observar na figura 9.
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão 13
x
y
crescente decrescente
(a)
'( ) 0f x > '( ) 0f x <
c
( )Ml f c=
'( ) 0f c =
x
y
(b)
crescente
'( ) 0f x >
decrescente
'( ) 0f x <
c x
y
crescente decrescente
(c)
'( ) 0f x > '( ) 0f x <
c
( )Ml f c=
( )ml f c= '( )f c
'( )f c
Figura 9 – Extremos relativos
Vamos fazer alguns comentários a respeito de cada gráfico da figura 9:
Figura 9(a): Trata-se de um extremo local onde a derivada é igual à zero, portanto a reta 
tangente neste ponto é paralela ao eixo x.
Verifica-se também que a derivada trocou de sinal neste ponto, passando de 
positiva para negativa, caracterizando assim, neste caso, um Máximo local.
As curvas que têm extremos com derivada igual a zero, são denominadas 
Curvas Suaves ou Curvas Lisas.
Figura 9(b): Neste caso, a derivada no ponto c não existe, por não possuir uma reta 
tangente definida. Este ponto é chamado de Ponto Anguloso. 
Novamente verifica-se a troca de sinal da derivada, passando de negativa 
para positiva, definindo desta forma, um mínimo local.
Figura 9(c): Também neste caso, a derivada no ponto c não existe, pois trata-se de um 
ponto dotado de reta tangente vertical. 
Este ponto é denominado Ponto de Cúspide ou Ponto Cuspidal. 
Como houve a troca do sinal da derivada de positivo para negativo, caracte-
rizou-se um ponto de Máximo local.
A seguir, apresentamos pontos que apesar de serem críticos, não são extremos locais, 
uma vez que nestes pontos, a derivada não troca de sinal. Alguns exemplos destes casos 
são mostrados na figura 10.
x
y
crescente
(a)
c
( ) f c
'( ) 0f c =
'( )f c
'( )f c
' 0f >
crescente
' 0f >
x
y
crescente
(b)
c
' 0f >
crescente
' 0f >
x
y
decrescente
(c)
c
( )f c ( )f c
' 0f <
decrescente
' 0f <
Figura 10 – Pontos Críticos que não são extremos locais.
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão14
Aqui, também iremos fazer alguns comentários a respeito de cada gráfico da figura 10.
Figura 10(a): Trata-se de um ponto crítico onde a derivada é igual à zero. Verifica-se 
também, que a derivada é sempre positiva, não mudando de sinal no ponto 
crítico. Portanto, a função é crescente no seu domínio e o ponto não é um 
extremo local.
Figura 10(b): Neste ponto crítico, a derivada não existe. Trata-se de um ponto anguloso 
(P.A), com reta tangente indefinida. Verifica-se que a derivada não troca o 
sinal no ponto crítico. Assim, este ponto não é um extremo local da função.
Figura 10(c): Observa-se que a reta tangente à curva no ponto crítico é perpendicular ao 
eixo x. Desta forma, a derivada não existe neste ponto e também não troca 
de sinal, permanecendo negativa à esquerda e à direita do ponto crítico. A 
função é decrescente, não possuindo extremo neste intervalo.
Caro(a) aluno(a), de acordo com o conteúdo apresentado até aqui 
sobre extremos locais, podemos concluir que:
Uma função f tem um extremo relativo naqueles pontos críticos 
em que f ' troca de sinal.
Para a determinação dos extremos de uma função, devemos inicialmente encontrar os 
pontos críticos e aplicar o teste da Derivada Primeira, que nos permite identificar e clas-
sificar os extremos da função.
Teste da Derivada Primeira
Seja ( )f x contínua no intervalo ( ),a b , no qual c é único ponto crítico. Se ( )f x é 
derivável no intervalo (exceto possivelmente no próprio ponto c) então, ( )f c pode ser 
classificada como um máximo relativo, um mínimo relativo ou nenhum dos dois.
Desta forma:
a) se ( )'f x é negativa à esquerda de x c= e positiva à direita de x c= , então 
( )f c é um mínimo relativo.
b) se ( )'f x é positiva à esquerda de x c= e negativa à direita de x c= , então 
( )f c é um máximo relativo.
c) se ( )'f x tem o mesmo sinal à esquerda e à direita de x c= , então ( )f c não é 
um extremo relativo.
Vamos apresentar no quadro a seguir, de forma esquemática, o teste da Derivada Primeira, 
que vai facilitar o seu trabalho na determinação dos extremos locais de uma função.
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão 15
Quadro 1: Teste da Derivada Primeira
a)
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ()
0 
 0 
0 
a x c f x f x decrescente
x c f c ou nãoexiste f c é ml
c x b f x f x crescente
 ′< < → < →

′= = →
 ′< < → > →
x
y
ca b
( )f c
b)
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
0 
 0 
0 
a x c f x f x crescente
x c f c ou nãoexiste f c é Ml
c x b f x f x decrescente
 ′< < → > →

′= = →
 ′< < → < →
x
y
ca b
( )f c
c)
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
0 
 0 
0 
a x c f x f x decrescente
x c f c ou nãoexiste f c nãoé extremo
c x b f x f x decrescente
 ′< < → < →

′= = →
 ′< < → < →
 
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
0 
 0 
0 
a x c f x f x crescente
x c f c ou nãoexiste f c nãoé extremo
c x b f x f x crescente
 ′< < → > →

′= = →
 ′< < → > →
x
y
ca b
( )f c
x
y
ca b
( )f c
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão16
Finalmente chegou a hora de calcular os extremos relativos de uma função.
Para isto, vamos listar os procedimentos necessários:
• Calcular a derivada da função
• Definir os pontos críticos, onde a derivada não existe ou é igual à zero.
 - Pontos onde a derivada não existe: são verificados analisando o domínio da derivada.
 - Pontos onde a derivada se anula: basta resolver a equação ( ) 0f x′ = .
• Aplicar o teste da derivada primeira, analisando o sinal da derivada à esquerda e à 
direita do ponto crítico.
Vamos aos exemplos!
Determine as regiões de crescimento, decrescimento e encontre os extremos relativos da 
função:
a) ( ) 3 12 5, f x x x x R= − − ∈
Solução
• Cálculo da derivada: ( ) 23 12, f x x x R′ = − ∈
• Determinação dos pontos críticos: Como a derivada é definida para todo x R∈ , não 
teremos pontos críticos onde a derivada não existe. Desta forma, se houver pontos 
críticos serão somente aqueles onde a derivada se anula.
Vamos fazer esta verificação resolvendo a equação ( ) 0f x′ = .
2 23 12 0 4 4x x x− = → = ∴ = ± 
2 x = − e 2x =
Estes são os pontos críticos da função.
Agora, vamos aplicar o teste da derivada primeira para determinar a existência ou não, 
dos extremos.
Teste da Derivada Primeira (estudo do sinal da derivada):
Devemos estudar o sinal da derivada à esquerda e à direita de 2 x = − e 2x = .
Como a derivada da função é um polinômio do segundo grau, vamos aplicar o Teorema do 
sinal do polinômio do segundo grau.
É interessante representar geometricamente o domínio da função destacando os pontos 
críticos. Esta representação facilita a visualização dos intervalos onde o sinal da derivada 
deve ser analisado.
+
-2
+ −
2−∞ +∞
x
Vamos ao teste:
( ) ( )2 0 x f x f x′< − → > → crescente
( )2 2 0x f ′= − → − = → Máximo Local ( )( ) 2 11Ml f= − =
( ) ( )2 2 0 x f x f x′− < < → < → decrescente
( )2 2 0x f ′= → = → Mínimo Local ( ) (2) 21ml f= = −
( ) ( )2 0 x f x f x′> → > → crescente
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão 17
O gráfico de ( )f x é dado na figura 11, onde você pode observar o posicionamento dos 
extremos locais encontrados, bem como a descrição das regiões de crescimento e decres-
cimento da função.
y
x
'( ) 0f x > '( ) 0f x >'( ) 0f x <
crescente crescentedecrescente0 2
Ml
ml
22−
21−
11
3 12 5y x x= − −
Figura 11 – Gráfico do exemplo (a)
ATENÇÃO
Neste gráfico, a derivada nos extremos é igual à zero, portanto nestes pontos as retas 
tangentes são paralelas ao eixo x.
Curvas como estas, que possuem somente extremos onde as retas tangentes são horizontais, 
são chamadas de curvas suaves ou lisas.
b) ( ) ( )2/31 2, y f x x x R= = − + ∈
Solução
Cálculo da derivada:
( ) ( )
( )
1/3
1/3
2 21 , 1
3 3 1
f x x x
x
−′ = − = ≠
− 
Determinação dos pontos críticos:
Sabemos que os pontos críticos são aqueles cuja derivada ( ) 0f x′ = ou ( )f x′ .
 1x = é um ponto crítico, pois ( )1f ′ .
( )
( )1/3
2 0 0
3 1
f x
x
′ = → ≠
−
, a derivada não se anula, portanto, o único ponto crítico é x=1.
Teste da derivada (Análise do sinal da derivada)
( )
( )1/3
2
3 1
f x
x
′ =
− 1
+_
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão18
( ) ( )1 0 x f x f x′< → < → é decrescente
( )'1 1x f= → → Mínimo Local (ml) = f (1) = 2
( ) ( )1 0 x f x f x′> → > → é crescente
Outro recurso prático para analisar o sinal de uma derivada é o uso do ponto teste.
Como mostrado, a troca do sinal da derivada, quando ocorre, é antes ou depois do ponto 
crítico. Portanto, a derivada terá o mesmo sinal para todos os valores de x, no intervalo 
anterior e no intervalo posterior ao ponto crítico.
Então, para esta análise, basta selecionar arbitrariamente, dois valores amostrais de x, ou 
seja, um valor inferior e outro superior ao ponto crítico.
Após a seleção, basta substituir estes valores de x na derivada e analisar o seu sinal. Veja 
como seria aplicado o recurso do ponto teste neste exemplo:
Para o ponto crítico 1x = , selecionando como pontos testes, por exemplo, 0x = e 
2x = , vamos à análise do sinal da derivada ( )
( )1/3
2
3 1
f x
x
′ =
−
( )
( ) ( ) ( )1/3 1/3
2 2 2 20 0 0
3. 1 33 0 1 3 1
x f ′= → = = = = <
− −− − 
Portanto, a derivada é negativa para todo valor inferior a 1.
( )
( ) ( ) ( )1/3 1/3
2 2 2 22 2 0
3. 1 33 2 1 3 1
x f ′= → = = = = >
− 
Então, a derivada é positiva para todo valor superior a 1.
Conclusão:
( )1 ' 0x f x< → <
( )1 ' 0x f x> → >
Você poderá usar o ponto teste para análise de sinal da derivada em qualquer função, de 
acordo com a conveniência.
A figura 12 apresenta o gráfico da função.
y
x
'( ) 0f x >'( ) 0f x <
crescentedecrescente 1
1
ml2
Figura 12 – Gráfico de função com ponto cuspidal
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão 19
Como você pode observar, a função possui um mínimo local, 2ml = , dotado de uma 
reta tangente vertical.
Vamos caracterizar este extremo local com o uso de limites. Verificaremos o valor da 
derivada na vizinhança do ponto 1x = .
Como já sabemos, o valor da derivada em um ponto, corresponde à inclinação da reta 
tangente à curva neste ponto. Desta forma, poderíamos dizer que estamos analisando o 
posicionamento das retas tangentes à curva.
Então, vamos ao cálculo:
( )
( ) ( ) ( ) ( )1/3 1/3 1/31 1
2 2 2 2 2lim ' lim
03 03 1 3 1 1 3 0x x
f x
x− − −−− −→ →
= = = = = = −∞
− −
Este resultado pode ser interpretado assim:
Quanto mais perto do ponto 1x = pelo lado esquerdo, a reta tangente tem inclinações 
negativas cada vez maiores.
Geometricamente, podemos dizer que a reta tangente tende a uma posição vertical em 
relação ao eixo x, conforme mostrado na figura 13.
x1x x
Figura 13 – Verticalização da reta tangente (lado esquerdo)
De maneira análoga, a reta tangente à curva pelo lado direito de 1x = também tende à 
posição vertical em relação ao eixo x, conforme figura 14.
x1 xx
Figura 14 – Verticalização da reta tangente (lado direito).
Concluímos que o mínimo local desta função é um ponto cuspidal.
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão20
IMPORTANTE
Caro(a) aluno(a) é importante observar bem as características de um ponto cuspidal: 
c
ml
c
Ml
 
( )lim '
x C
f x
−→
= +∞
 
( )lim '
x C
f x
−→
= −∞
 
( )lim '
x C
f x
+→
= −∞
 
( )lim '
x C
f x
+→
= +∞
Observe que o limite é o da derivada, pois estamos analisando a inclinação da reta tangen-
te à curva, no ponto c.
c) ( )
2
2
4 , 11, 1
x x
y f x
x x x
 − ≤
= = 
+ + >
Cálculo da derivada:
( )
2 , 1
'
2 1, 1
x x
f x
x x
− <
=  + >
Vamos analisar a existência da derivada no ponto x = 1, utilizando os limites:
( ) ( )
1 1
lim ' lim 2 2 1 2
x x
f x x
− −→ →
= − = − = −
( ) ( )
1 1
lim ' lim 2 1 2 1 1 3
x x
f x x
+ +→ →
= + = + =
Observamos que no ponto 1x = , temos duas declividades diferentes. Isto indica que não 
temos uma única reta tangente definida, logo a derivada no ponto 1x = , ( )' 1f , não existe. 
Desta forma, o ponto 1x = passa a ser um ponto crítico. Trata-se de um ponto anguloso.
Determinação dos pontos críticos: 
1x = , pois ( ) ' 1f
Vamos procurar pelos pontos críticos onde ( ) 0f x′ = .
Para isto, devemos igualar as duas equações da derivada a zero, considerando como 
pontos críticos apenas aqueles que pertencem ao domínio de cada equação.
( ) 0f x′ = (1ª equação) 2 0 0x x→ − = → =
É ponto crítico porque 0 pertence ao domínio da 1ª equação da derivada.
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão 21
( ) 0f x′ = (2ª equação) 12 1 0 
2
x x→ + = → = −
Não é ponto crítico porque 
1
2
− não pertence ao domínio da 2ª equação.
Concluímos portanto, que a função possui dois pontos críticos: 0x = e 1x = .
Análise do sinal da derivada:
+
0
+ −
1
( ) ( )0 0 x f x f x′< → > → crescente
( )0 0 0x f ′= → = → Máximo Local ( )( ) 0 4Ml f= =
( ) ( )0 1 0 x f x f x′< < → < → decrescente
( )'1 1x f= → → Mínimo Local ( )( ) 1 3ml f= =
( ) ( )1 0 x f x f x′> → > → crescente
O gráfico desta função é apresentado na figura 15.
y
x
crescente crescente
decrescente
0 1
Ml
ml(PA)3
0 1
4
' 0f > ' 0f >' 0f <
Figura 15 – Gráfico de função com ponto anguloso
Caro(a) aluno(a), já vimos os procedimentos para se determinar as regiões de crescimento, 
decrescimento e extremos localizados de uma função.
Veremos agora, que o crescimento e o decrescimento da derivada primeira indicará onde 
o gráfico da função se encurva para cima ou para baixo.
Esta noção de encurvamento é definida como concavidade do gráfico de uma função.
Concavidade e Ponto de Inflexão
Vamos inicialmente definir a concavidade de uma função.
Seja f derivável em um intervalo aberto I. O gráfico de f é:
a) Côncavo para cima em I, se 'f é crescente no intervalo.
b) Côncavo para baixo em I, se 'f é decrescente no intervalo.
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão22
Pela figura 16, temos a seguinte interpretação gráfica da concavidade:
x
y
(a)
função côncava para 
cima f ’ é crescente
x
y
(b)
função côncava para 
baixo f ’ é decrescente
Figura 16 – Curvas Côncavas
Percorrendo a curva da figura 16(a) da esquerda para a direita, percebemos que os coefi-
cientes angulares das retas tangentes estão crescendo, logo, a derivada da função é 
crescente, isto é, ( )f x′ é crescente.
Da mesma forma, percorrendo o gráfico da figura 16(b), verificamos que os coeficientes 
angulares das retas tangentes estão decrescendo, logo, a derivada da função é decres-
cente, ou seja, ( )f x′ é decrescente.
Como foi mostrado anteriormente:
Se ( ) ( )0f x f x′ > → é crescente
Se ( ) ( )0f x f x′ < → é decrescente
Aplicaremos este mesmo teorema para a função derivada primeira, que tem como deriva-
da, a derivada segunda.
Assim:
Se ( ) ( )0 'f x f x′′ > → é crescente
Se ( ) ( )' 0 'f x f x′ < → é decrescente
Podemos então determinar a concavidade de uma função, através do teste da derivada segunda.
Teste da Derivada Segunda
Seja f duas vezes derivável em um intervalo aberto I:
a) Se f ''(x) > 0 em I, então f (x) é côncava para cima
b) Se f ''(x) < 0 em I, então f (x) é côncava para baixo
Vamos a um exemplo:
Determine os intervalos em que o gráfico da função ( ) 3 23 1, y f x x x x R= = − + ∈ é 
côncavo para cima e côncavo para baixo.
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão 23
Solução
Calculando as derivadas primeira e segunda de f , obtemos:
( ) 23 6f x x x′ = − , x R∈
( )' 6 6f x x′ = − , x R∈
Vamos agora, analisar o sinal da derivada segunda, ( )' 6 6f x x′ = − .
Como a derivada segunda é um polinômio do primeiro grau cuja raiz é 1x = , aplicando o 
teorema do sinal, temos: 
1
+_
Teste da derivada segunda:
( ) ( )1 '' 0x f x f x< → < → é côncava para baixo ( )cpbf
( ) ( )1 '' 0x f x f x> → > → é côncava para cima ( )cpcf 
Aqui também você pode utilizar o recurso do ponto teste para análise do sinal da deri-
vada segunda.
A figura 17 mostra o gráfico da função.
y
x
f (x) côncava para baixo (cpb) f (x) côncava para cima (cpc)
-1
1
1
3 2( ) 3 1f x x x= − +
''( ) 0f x >''( ) 0f x <
Figura 17 – Gráfico da função ( ) 3 23 1f x x x= − +
Pontos de Inflexão
Vimos no último exemplo, que o gráfico de ( ) 3 23 1f x x x= − + muda de côncavo para 
baixo para côncavo para cima no ponto 1x = . 
ATENÇÃO
Atenção aluno(a)! Ponto como este, é chamado de ponto de inflexão e é assim definido:
Se o gráfico de uma função contínua possui uma tangente em um ponto onde sua conca-
vidade muda de sentido, então o ponto é um ponto de inflexão.
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão24
A figura 18 mostra três exemplos de pontos de inflexão (PI) de coordenadas ( )( ) , c f c .
x
y
(a)
c x
y
(b)
c x
y
(c)
c
c c c
( )f c( )f c( )f c
'' 0f > '' 0f < '' 0f > '' 0f <'' 0f >'' 0f <
cpc
cpc
cpc
cpb
cpb
cpb
. .P I . .P I . .P I
Legenda: Ponto de Inflexão (PI); Côncava para baixo (cpb); Côncava para cima (cpc).
Figura 18 – Pontos de Inflexão
O ponto de inflexão ocorre com a mudança de sentido da concavidade de um gráfico. 
Neste ponto, o sinal de ''f varia de positivo para negativo e vice-versa. Então, podemos 
concluir que neste ponto 0f ′′ = , conforme figuras 18(a) e 18(b).
Observe que no gráfico 18(c), a reta tangente no PI é vertical, portanto, neste ponto não 
existe a derivada primeira nem a derivada segunda.
IMPORTANTE
Desta maneira concluímos que:
uma função f tem um ponto de inflexão naqueles pontos onde ''f troca de sinal.
Caro(a) aluno(a), da mesma forma como fizemos na análise dos extremos relativos de uma 
função, vamos também listar os procedimentos para calcular os seus pontos de inflexão:
• Calcular a derivada segunda
• Definir os possíveis pontos de inflexão, como você sabe, eles estão localizados onde 
a derivada segunda não existe ou é igual à zero, isto é, ( )''f c ou ( ) 0f c′′ = .
.. Pontos onde a derivada segunda não existe, são verificados analisando o domínio 
de ( )''f x .
.. Pontos onde a derivada segunda se anula, basta resolver a equação ( ) 0f x′′ = .
• Aplicar o teste da derivada segunda, analisando o seu sinal à esquerda e à direita do 
possível ponto de inflexão.
Que tal vermos alguns exemplos?
Então vamos lá!
Analisar a concavidade e determinar os pontos de inflexão da função:
a) ( ) ( )31f x x= − , x R∈
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão 25
Solução
Vamos aos procedimentos:
Cálculo da derivada segunda:
Para isto, temos que calcular a derivada primeira:
( ) ( )23 1f x x′ = − , x R∈
Derivando novamente:
( ) ( )6 1f x x′′ = − , x R∈
Possíveis pontos de inflexão
Você já sabe, mas não custa repetir, eles estão localizados em pontos onde ( )''f x 
ou ( ) 0f x′′ = .
Neste exemplo, como você pode observar, a derivada segunda existe para todo 
 x R∈ . Destaforma, vamos pesquisar somente os locais onde ( ) 0f x′′ = , ou seja:
( )6 1 0 1x x− = → = 
Teste da derivada segunda (Análise de sinal da derivada segunda):
( ) '' 0f x < → ( )6 1 0x − < → ( )1 0x − < → 1x <
( ) '' 0f x > → ( )6 1 0x − > → ( )1 0x − > → 1x >
Então,
1x < → ( )'' 0f x < → ( ) f x cpb (Côncava para baixo)
1x = → ( )1 0f ′′ = → Ponto de Inflexão → ( )( ) ( )1, 1 1 , 0PI f= =
 1x > → ( )'' 0f x > → ( ) f x cpc (Côncava para cima)
Você deve observar que um ponto de inflexão é dado por suas coordenadas, ou seja, 
( )( ) , PI c f c= .
Veja na figura 19, o gráfico da função:
y
x
cpc
cpb
. . (1,0)P I
3( ) ( 1)f x x= −
Figura 19 – Gráfico de ( ) ( )31f x x= −
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão26
b) ( ) ( )1/32f x x= − x R∈
Solução
Cálculo da derivada segunda:
( ) ( )
( )
2/3
2/3
1 12
3 3 2
f x x
x
−′ = − =
−
, 2x ≠
( ) ( )
( )
5
3
5/3
2 22
9 9 2
f x x
x
−′′ = − − = −
−
, 2x ≠
Possíveis pontos de inflexão:
Como você pode ver, tanto ( ) f x′ quanto ( )f x′′ não existem em 2x = , onde há uma 
tangente vertical conforme a figura 20.
Como ( )f x′′ não se anula, o único possível ponto de inflexão é 2x = .
Teste da derivada segunda:
Aplicando o ponto teste, podemos verificar que ( )
( )5/3
2
9 2
f x
x
′′ = −
−
 é positiva para 
2x < e negativa para 2x > , assim, 
( ) ( )2 '' 0 x f x f x cpc< → > → (Côncava para cima)
( )2 2x f ′′= →  → Ponto de Inflexão ( )( ) ( )2, 2 2 , 0PI f→ = =
( ) ( ) 2 '' 0 x f x f x cpb> → < → (Côncava para baixo)
y
x
cpc
cpb
. . (2,0)P I
1/3( ) ( 2)f x x= −
Figura 20 – Gráfico de ( ) ( )1/32f x x= −
A derivada segunda, além de definir a concavidade e os pontos de inflexão de uma 
função, pode ser utilizada também, na determinação de extremos locais.
Trata-se de um teste que vamos mostrar agora para você.
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão 27
Teste da derivada segunda para a 
determinação de extremos relativos
Para a determinação de extremos relativos, aplicamos o teste da derivada primeira. Porém, 
há outro teste, o qual é em geral mais fácil de aplicar para a determinação de máximos e 
mínimos relativos. Trata-se do teste da derivada segunda.
Este teste baseia-se na observação geométrica de que se uma função f , tem ( ) 0f c′ = 
e o gráfico é côncavo para cima em x c= , então ( )f c é um mínimo relativo de f , veja 
a figura 21(a).
Da mesma forma, se f é uma função tal que ( ) 0f c′ = e o gráfico é côncavo para baixo 
em x c= , então ( )f c é um máximo relativo de f , veja a figura 21(b).
y
mínimo relativo
(a)
c x
'( ) 0f c =
'' 0f >
f cpc
( )ml f c=
y
máximo relativo
(b)
c x
'( ) 0f c =
'' 0f <
f cpb
( )Ml f c=
Figura 21 – Teste da derivada segunda na determinação de extremos relativos
IMPORTANTE
Desta forma, podemos assim definir o teste:
Seja f uma função duas vezes derivável em um ponto x c=
(a) Se ( ) 0 f c′ = e ( )' 0f c′ > , então ( )f c é um mínimo local (ml)
(b) Se ( ) 0 f c′ = e ( )' 0f c′ < , então ( )f c é um máximo local (Ml)
(c) Se ( ) 0 f c′ = e ( )'' 0f c = , o teste falha, neste caso, deve-se aplicar o teste da deri-
vada primeira.
E agora, estamos prontos para fazer a análise completa de uma função.
Veja nos exemplos que seguem, algumas aplicações envolvendo diferentes tipos de 
função. Observe que vamos utilizar todos os procedimentos discutidos neste módulo.
Exemplos Gerais
Dada a função ( )y f x= :
• Analise as regiões de crescimento, decrescimento e extremos locais de f
• Determine a concavidade e os pontos de inflexão de f
• Desenhe o seu gráfico
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão28
a) ( ) 3 29 24 7y f x x x x= = − + − + , x R∈
Solução
Para analisar as regiões de crescimento e decrescimento, vamos derivar a função:
( ) 23 18 24f x x x′ = − + − , x R∈
Agora, vamos igualar a derivada a zero para verificar os pontos críticos da função.
( )23 18 24 0 3x x− + − = ÷
2 6 8 0x x− + − =
Você se lembra da fórmula de Bhaskara?
2 4
2
b b acx
a
− ± −
=
Vamos aplicá-la na equação 2 6 8 0x x− + − = , vejamos como ficou!
2 6 8 0x x− + − = , 
6 36 32 2 
2
x x− ± −= → =
−
 e 4x =
Desta maneira, 2x = e 4x = são os únicos pontos críticos da função, já que o domínio 
da derivada é real.
Vamos aplicar agora o teste da derivada primeira para a determinação dos possíveis extre-
mos locais.
Para isto, vamos utilizar o teorema do sinal do polinômio do segundo grau.
−−
2
+
4 x
( ) ( )2 0 x f x f x′< → < → descrescente
( ) ( )2 2 0 2 13 x f ml f′= → = → = = −
( ) ( )2 4 0 x f x f x′< < → > → crescente
( ) ( )4 4 0 4 9 x f Ml f′= → = → = = −
( ) ( )4 0 x f x f x′> → < → descrescente
Observe que nos pontos 2 e 4 , como houve mudança de sinal da derivada, obtivemos 
dois extremos locais, um mínimo e um máximo respectivamente. 
ATENÇÃO
Caro(a) aluno(a), caso você queira calcular os extremos pelo teste da derivada segunda, veja 
como é simples:
( ) 6 18f x x′′ = − +
Para ( )2 2 6x f ′′= → = , como a derivada segunda é positiva, a função é côncava para cima 
, logo teremos um mínimo local.
Para ( )4 4 6x f ′′= → = − , como a derivada segunda é negativa, a função é côncava para 
baixo , logo neste ponto teremos um máximo local.
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão 29
Para a análise da concavidade, vamos calcular a derivada segunda:
( ) 6 18f x x′′ = − + , x R∈
Igualando a derivada segunda à zero, vamos obter um possível ponto de inflexão:
6 18 0 3x x− + = ∴ =
Como o domínio da derivada segunda é real, este é o único ponto onde vamos analisar 
o seu sinal.
Aplicando o teorema do sinal para o polinômio do primeiro grau:
_+
3
( )3 0 CPCx f x f′′< → > →
( ) ( )( ) ( )3 0 3, 3 3, 11x f x PI f′′= → = → = −
( )3 0 CPBx f x f′′> → < →
Neste caso, como houve troca de sinal da derivada segunda em 3x = , temos um ponto 
de inflexão de coordenadas (3,-11). 
Com todas estas informações, já podemos desenhar o gráfico da função. Veja a figura 22.
y
x
9−
11−
13−
2 3 4
Ml
ml
. .P I
Figura 22 – Gráfico do exemplo (a)
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão30
b) ( ) 4 3 3 4 1y f x x x= = − + , x R∈
Solução
Regiões de crescimento e decrescimento:
( ) 3 21 2 12 f x x x′ = − , x R∈
Igualando a derivada à zero:
( )3 2 212 12 0 12 1 0 0 x x x x x− = → − = → = e 1x =
Então, 0 x = e 1x = são os únicos pontos críticos da função, já que a derivada existe 
para todo x R∈ .
Analisando o sinal da derivada primeira:
+−−
1 x0
( ) ( )0 0 x f x f x′< → < → descrescente
( )0 0 0x f ′= → = → não é um extremo local
( ) ( )0 1 0 x f x f x′< < → < → decrescente
( ) ( )1 1 0 1 0 x f ml f′= → = → = =
( ) ( )1 0 x f x f x′> → > → é crescente
Observe aluno(a) que em 0x = não houve troca de sinal da derivada, portanto, não há 
extremo neste ponto.
No ponto 1x = , como a derivada passou de negativa para positiva, caracterizou-se um mínimo local.
Vamos deixar para você conferir os extremos relativos usando o teste da derivada segunda.
Você vai observar que o teste vai falhar para 0x = , pois a derivada segunda também vai zerar.
Então, mãos à obra!
Concavidade e Pontos de Inflexão
( ) 236 24 f x x x′′ = − , x R∈
Igualando a derivada segunda à zero:
( )236 24 0 12 3 2 0 0x x x x x− = → − = → = e 2
3
x =Estes são os possíveis pontos de inflexão. Vamos analisar o sinal da derivada segunda, 
aplicando o teorema do sinal do polinômio do segundo grau.
+−+
2/3 x0
( )0 0 CPCx f x f′′< → > →
( ) ( )( ) ( )0 0 0, 0 0,1x f x PI f′′= → = → =
( )20 0
3 CPB
x f x f′′< < → < →
( )2 2 2 2 110 , ,
3 3 3 3 27
x f x PI f    ′′= → = → =    
    
( )2 0
3 CPC
x f x f′′> → > →
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão 31
Neste caso, como houve troca de sinal da derivada segunda em 0 e 2
3
, temos dois 
pontos de inflexão.
O gráfico desta função está representado na figura 23.
y
x
. .P I
. .P I11/ 27
2 / 3
1
1
ml
Figura 23 – Gráfico da função do exemplo (b).
c) ( ) 3y f x senx= = + em [ ] 0,2π
Solução
Regiões de crescimento, decrescimento e extremos locais:
( ) [ ] 0 , 2f x cosx x π′ = ∈
Pontos críticos: ( ) 0f x′ =
0 
2
cosx x π= → = e 3
2
x π=
Estudo do sinal da derivada primeira:
x
'( )f x
+ +
/ 2π 3 / 2π 2ππ
' cosy x=
−
( ) ( )0 0 
2
x f x f xπ ′< < → > → crescente
( ) 0 3 4
2 2 2
x f x Ml f senπ π π ′= → = → = = + = 
 
 
( ) ( )3 0 
2 2
x f x f xπ π ′< < → < → decrescente
( )3 3 30 3 2 
2 2 2
x f x ml f senπ π π ′= → = → = = + = 
 
( ) ( )3 2 0
2
x f x f xπ π ′< < → > → crescente
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão32
Podemos também definir os extremos relativos usando o teste da derivada segunda. Veja:
( )f x senx′′ = −
Para 1
2 2
x fπ π ′′= → = − → 
 
 derivada segunda negativa, função côncava para baixo 
, portanto em 
2
x π= temos um máximo local.
Para ''
3 3 1
2 2
x fπ π = → = → 
 
 derivada segunda positiva, função côncava para cima 
, então no ponto 
3
2
x π= temos um mínimo local.
Concavidade e Pontos de Inflexão
( ) [ ] 0 , 2f x senx x π′′ = − ∈
Pontos de Inflexão: ( ) 0f x′′ =
0 0 0 senx senx x− = ∴ = → = e x π=
Estudo do sinal da derivada segunda:
x
f x''( )
−
+
/ 2π 3 / 2π 2ππ
'' seny x= −
( )0 0 CPBx f x fπ ′′< < → < →
( ) ( )0 ,3x f x PIπ π′′= → = →
( )2 0 CPCx f x fπ π ′′< < → > →
Já podemos desenhar o gráfico da função que está representado na figura 24.
x
y
/ 2π 3 / 2π 2ππ
ml
Ml
. . ( ,3)P I π
4
3
2
0
Figura 24 – Gráfico do exemplo (c)
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão 33
Caro(a) aluno(a), como observação final, para determinação dos extremos relativos ou 
locais, você pode usar tanto o teste da derivada primeira quanto o teste da derivada 
segunda, de acordo com a conveniência.
E agora, para que você pratique todos os conhecimentos adquiridos neste módulo, resolva 
todos os exercícios de fixação e sempre que surgir alguma dúvida, procure esclarecê-la 
retomando a leitura do módulo ou consultando sua professora. Boa sorte!
Aplicações da Derivada: Crescimento, Decrescimento, Extremos Locais, Concavidades e Pontos de Inflexão34
35
Síntese
Caro(a) aluno(a),
Você percebeu que a derivada é uma importante ferramenta na discussão das proprieda-
des e características de qualquer tipo de função.
Neste módulo, você conheceu algumas aplicações da derivada na determinação das 
regiões de crescimento, decrescimento e extremos localizados, bem como na análise da 
concavidade e dos pontos de inflexão de uma função.
Vimos que estas informações nos ajudam na construção do gráfico da função e, como 
veremos em estudos posteriores, são de fundamental importância na resolução de proble-
mas cuja solução requer os valores máximos ou mínimos de uma função, ou seja, os seus 
extremos.
Foi possível você compreender todos os conceitos deste módulo? Caso não tenha 
compreendido retome a leitura do módulo e recorra também aos livros indicados na biblio-
grafia e bons estudos!
Referências Básicas
FLEMMING, D. M. e GONÇALVES, M. B. – Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
THOMAS, G. B. – Cálculo - Volume 1. São Paulo: Addison Wesley, 2002.
ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S. – Cálculo – Volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2007.
Referências Complementares
BOULOS, Paulo – Introdução ao Cálculo – Volume 1, Cálculo Diferencial. São Paulo: Blücher, 1988.
LEITHOLD, L. – O Cálculo com Geometria Analítica – Volume 1. São Paulo: Harbra Ltda, 1994.
LARSON, R. E., HOSTETLER, R. P. e EDWARDS, B. H. – Cálculo e Geometria Analítica – Volume 1. USA: LTC, 
2006.
SIMMONS G. F. – Cálculo com Geometria Analítica – Volume 1. São Paulo: Makron Books, 1987.