CalcII mod06
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CalcII mod06


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Cálculo II
 APLICAÇÕES DA 
INTEGRAL DEFINIDA
OS PROCEDIMENTOS 
DA INTEGRAL DEFINIDA
INTEGRAL DEFINIDA NO CÁLCULO 
DA ÁREA DE UMA REGIÃO PLANA
E MAIS...
APRESENTAÇÃO
Caro (a) aluno (a), você já aprendeu a integral definida, a sua definição e a forma de calculá-la.
Conheceu o famoso Teorema Fundamental do Cálculo, que aplicado no cálculo da inte-
gral definida, tornou mais simples esta operação, como você pôde perceber nos exemplos 
dados.
Também foi mencionado que a integral definida é aplicada na solução de inúmeros proble-
mas ligados não só à engenharia como nas ciências de uma maneira geral.
Neste módulo, iniciaremos o nosso estudo sobre as aplicações da integral definida, come-
çando com o cálculo da área de uma região e depois o cálculo do comprimento de um 
arco de uma curva.
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final deste módulo você estará apto (a) a:
\u2022 Conhecer e aplicar os procedimentos da integral definida.
\u2022 Aplicar a integral definida no cálculo da área de uma região plana.
\u2022 Calcular por integração o comprimento de um arco de uma curva plana.
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes P. Araújo
Transposição Pedagógica
Ediane Cardoso
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Nathan Ackerman Chagas de Souza
Raphael Gonçalves Porto Nascimento
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA DA DISCIPLINA 
Profa. Dayse Magda Fialho Sodré
Prof. Renaldo Sodré
BELO HORIZONTE - 2013
APLICAÇÕES DA 
INTEGRAL DEFINIDA
Cálculo de Áreas
Esta é a aplicação mais natural da integral definida, afinal, a sua definição teve como base 
o cálculo de áreas planas delimitadas por gráficos de funções.
Vamos rever este conceito? 
Se f é uma função contínua e positiva no intervalo [ ],a b , o resultado da integral definida 
corresponde ao valor da área da região R.
y=f (x)y
x
1x\u2206 2x\u2206 ix\u2206 nx\u2206
1x 2x2c1c0x i-1x ic ix n-1x nc nx b
1 1(c , (c ))f
i i(c , (c ))f
n n(c , (c ))f
2 2(c , (c ))f
FIGURA 1 - Região R dividida em retângulos
Fonte: próprio autor
( ) ( )
max 0
1
 lim
i
b n
i ix
ia
A f x dx f c x
\u2206 \u2192
=
= = \u2206\u2211\u222b (soma de Riemann)
Veja na figura 2, a correspondência entre a integral definida e a soma de Riemann.
( )
1
.
n
i i
i
f C x
=
\u2206\u2211
\u2193 \u2193 \u2193
 
( ) 
b
a
f x dx\u222b
FIGURA 2 \u2013 Correspondência entra a soma e a integral
Fonte: próprio autor
Aplicações da Integral Definida 121
TOME NOTA
\u2022 O valor da integral da abscissa iC torna-se a variável x
\u2022 O comprimento de intervalo ix\u2206 é igual a dx
\u2022 O intervalo [ ] ,a b que é a soma de todos os intervalos ix\u2206 , é representado pelos limi-
tes de integração inferior e superior na integral definida.
Agora você poderá fazer a seguinte leitura da integral:
( ) 
b
a
f x dx\u222b , aplicada para o cálculo de uma área:
Vamos somar de a até b a área de todos os retângulos de altura ( )f x e base dx .
Daqui em diante, vamos usar somente a integral definida para o cálculo das áreas, sem a 
necessidade de recorrer à soma de Riemann e seu limite.
Porém, você não pode esquecer que ao usar a integral definida no cálculo de uma área de 
uma região estará sempre somando a área de infinitos retângulos que dividiram a região, 
conforme a soma de Riemann.
Neste momento, você está preparado para usar a integral definida para o cálculo das 
áreas planas.
Vamos analisar três casos que vão sintetizar o cálculo de áreas em diversas situações.
1º caso: Calcular a área da região delimitada pela curva ( )f x , o eixo x entre as retas 
 x a= e x b= , conforme a figura 3.
a bx
y
x
( )f x
( )f x
\u2206x = dx 
FIGURA 3 \u2013 Região acima do eixo x
Fonte: próprio autor
Como faremos o cálculo da área? Faremos a representação de apenas um único retângulo, 
que será o nosso elemento de área, identificado como A\u2206 .
Como você pode perceber, a ordenada ( )f x tem sempre um valor positivo.
Assim podemos escrever que a área do retângulo de referência é:
( ).A f x x\u2206 = \u2206
Aplicações da Integral Definida122
Neste caso, a área é assim calculada:
( )
b
a
A f x dx= \u222b
Vamos a um exemplo:
Encontre a área limitada pela curva ( ) 2 1y f x x= = + , o eixo x, no intervalo [ ]1,2\u2212 , 
conforme a figura 4.
x-1 2
y
x
( )f x
\u2206x = dx 
y = f (x) = x2 + 1
FIGURA 4 \u2013 Área sob a curva y = f (x) = x2 + 1
Fonte: próprio autor
Área do retângulo:
( ) ( )2. 1A f x x x x\u2206 = \u2206 = + \u2206
 
Área da região:
( )
2
2
1
( 1)
b
a
A f x dx x dx
\u2212
= = +\u222b \u222b
Calculando a integral indefinida
3
2 2( 1)
3
xx dx x dx dx x C+ = + = + +\u222b \u222b \u222b
Então,
2 3
2 2
1
1
( 1) [ ]
3
xA x dx x \u2212
\u2212
= + = +\u222b
Substituindo os limites de integração
( ) ( ) ( ) ( )
3 32 1
2 1
3 3
A
\uf8ee \uf8f9 \uf8ee \uf8f9\u2212
= + \u2212 + \u2212\uf8ef \uf8fa \uf8ef \uf8fa
\uf8ef \uf8fa \uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb \uf8f0 \uf8fb
8 12 1
3 3
A \uf8ee \uf8f9 \uf8ee \uf8f9= + \u2212 \u2212 \u2212\uf8ef \uf8fa \uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb \uf8f0 \uf8fb
14 4 6
3 3
A \uf8ee \uf8f9 \uf8ee \uf8f9= \u2212 \u2212 =\uf8ef \uf8fa \uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb \uf8f0 \uf8fb
 unidades de área ( ). .u a
Aplicações da Integral Definida 123
2º caso: Calcule a área da região delimitada pela curva ( )f x , o eixo x e as retas x a= 
e x b= , conforme a figura 5.
x
y
x
( )f x
( )f x
\u2206x = dx 
a b
FIGURA 5 \u2013 Região abaixo do eixo x
Fonte: próprio autor
Você pode reparar que a região indicada no gráfico está totalmente abaixo do eixo x, 
portanto, a ordenada é negativa para todo x no intervalo [ ]a b .
Assim, para o cálculo da área do retângulo de referência, devemos considerar a altura h 
como o módulo de ( )f x , já que a altura é sempre um valor positivo.
Então, podemos escrever que a área do retângulo de referência é:
( ) ( ) A f x x f x x\u2206 = \u2206 = \u2212 \u2206
E a área da região é calculada através da seguinte integral definida:
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
A f x dx f x dx f x dx= = \u2212 = \u2212\u222b \u222b \u222b
Acompanhe este exemplo:
Calcule a área da região delimitada pela curva ( ) 2 4y f x x= = \u2212 , o eixo x , no intervalo 
[ ]2 , 2\u2212 .
Vamos desenhar o gráfico da função e marcar a região solicitada.
x
y
x
\u2206x = dx 
-2 2
( )f x
( ) 2 4y f x x= = \u2212
FIGURA 6 \u2013 Área sobre a curva f (x) = x1 \u2013 4
Fonte: próprio autor
Aplicações da Integral Definida124
Observe que no intervalo [ ]2 , 2\u2212 a função é negativa.
Assim, a área do retângulo é:
( ) ( )A f x x f x x\u2206 = \u2206 = \u2212 \u2206
( )2 4A x x\u2206 = \u2212 \u2212 \u2206
A área da região é:
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
A f x dx f x dx f x dx= = \u2212 = \u2212\u222b \u222b \u222b
( )
2 2 3
2 2 2
2
2 2
4 ( 4) [ 4 ] 
3
xA x dx x dx x \u2212
\u2212 \u2212
= \u2212 \u2212 = \u2212 + = \u2212 +\u222b \u222b
( ) ( ) ( ) ( )
3 32 2
4. 2 4. 2
3 3
A
\uf8ee \uf8f9 \uf8ee \uf8f9\u2212
= \u2212 + \u2212 \u2212 + \u2212\uf8ef \uf8fa \uf8ef \uf8fa
\uf8ef \uf8fa \uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb \uf8f0 \uf8fb
8 88 8
3 3
A \uf8ee \uf8f9 \uf8ee \uf8f9= \u2212 + \u2212 \u2212\uf8ef \uf8fa \uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb \uf8f0 \uf8fb
16 16
3 3
A \uf8ee \uf8f9 \uf8ee \uf8f9= \u2212 \u2212\uf8ef \uf8fa \uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb \uf8f0 \uf8fb
32 . .
3
A u a=
E agora caro (a) aluno (a), veremos neste próximo exemplo, que podemos utilizar os dois 
casos que acabamos de abordar, no cálculo da área de uma região. Confira!
Calcule a área da região limitada pela curva ( )y f x senx= = , o eixo x, no intervalo de 
0 a 2\u3c0 .
y
x
\u2206x 
2\u3c0
0 \u3c0
\u2206x 
( )y sen x=
( )f x
(x)g 
FIGURA 7 \u2013 Área de região mista
Fonte: próprio autor
No intervalo de 0 a \u3c0 , a região está acima do eixo x , ( ) 0f x senx= \u2265 e no intervalo 
de \u3c0 a 2\u3c0 , a região está abaixo do eixo x, então ( ) 0f x senx= \u2264
Aplicações da Integral Definida 125
Portanto, as áreas dos retângulos de referência são:
No intervalo de 0 a ( )1 1: A f x x A senx x\u3c0 \u2206 = \u2206 \u2192\u2206 = \u2206
No intervalo de \u3c0 a ( )2 22 : A f x x A senx x\u3c0 \u2206 = \u2212 \u2206 \u2192\u2206 = \u2212 \u2206
E a área total da região será a soma dessas duas áreas:
2
2
0
0
A senxdx senxdx
\u3c0 \u3c0
\u3c0
\u3c0
= + \u2212\u222b \u222b
2 2
0 0] ]A cosx cosx
\u3c0 \u3c0 \u3c0
\u3c0\uf8ee \uf8ee= \u2212 +\uf8f0 \uf8f0
( ) ( ) ( ) ( )20 cos cos 0 cos 2 cosA \u3c0 \u3c0 \u3c0 \u3c0= \uf8ee\u2212 \uf8f9