CalcII mod06
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CalcII mod06


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próprio autor
Primeiramente vamos dividir o intervalo [ ],a b em n subintervalos utilizando os pontos 
0 1 1, , , , K K nx a x x x x b\u2212= \u2026 \u2026 = como se mostra na figura 17. Sejam os pontos 
0 1, , nP P P\u2026 os pontos da curva correspondentes aos valores atribuídos a x.
Agora, vamos conectar estes pontos por segmentos de retas que formarão um caminho 
poligonal, cujo comprimento se aproxima do comprimento do arco L da curva.
Vamos deduzir a fórmula do comprimento de um segmento de reta representativo do 
caminho poligonal
Veja a figura 18.
y
x
\u2206xk
\u2206yk
f (xk-1)
xk-1 xk
Pk-1
Pk
Lk
f (xk)
FIGURA 18 \u2013 Segmento de referência LK
Fonte: próprio autor
Aplicando o teorema de Pitágoras temos:
2 2 2
K k kL x y= \u2206 + \u2206 , assim o comprimento KL é 
( ) ( )2 2K k kL x y= \u2206 + \u2206 (1) 
Para desenvolver esta fórmula aplicaremos o Teorema do Valor Médio, já visto no cálculo 
diferencial. Geometricamente, este teorema afirma que existe pelo menos um ponto de 
uma curva derivável onde a reta tangente é paralela à reta secante, conforme mostrado 
na Figura 19.
Aplicações da Integral Definida 137
y
x
\u2206xk
\u2206yk
f (xk-1)
xk-1 xk
Pk-1
Pc
xc
reta tangente
reta secante
Pk
Lk
f (xk)
FIGURA 19 \u2013 Reta Tangente e Reta Secante
Fonte: próprio autor
ATENÇÃO
Vale lembrar que o valor da derivada calculada em um ponto de uma curva derivável, corres-
ponde ao valor da declividade da reta tangente à curva neste ponto. Assim, como pode ser 
observada na Figura 19, a declividade da reta tangente é igual a ( )' cf x . Já a declividade da 
reta secante é igual a .
Como a reta secante e a reta tangente são paralelas, o valor de suas declividades é o 
mesmo, portanto,
 ou ( )' .k cy f x\u2206 = kx\u2206 (2) 
Substituindo (2) em (1), temos
( )2 2( ) ( ' . )K k c kL x f x x= \u2206 + \u2206
 
( )( )22 2( ) ' .( )k c kx f x x= \u2206 + \u2206
 
( )( )2 21 ' .( )c kf x x\uf8ee \uf8f9= + \u2206\uf8f0 \uf8fb
 
( )( )2 21 ' . ( )c kf x x= + \u2206 
 ( )( )21 ' .c kf x x= + \u2206 (porque 0kx\u2206 > )
Agora, somando os comprimentos de todos os segmentos da poligonal, obteremos o 
comprimento aproximado da curva.
1 2 K nL L L L L\u2245 + +\u2026+ +\u2026+ , usando a notação sigma
( )( )2
1 1
1 ( .
n n
k c k
k k
L L f x x
= =
\u2032\u2245 = + \u2206\u2211 \u2211 (3)
A soma que aparece em (3) é uma soma de Riemann.
Aplicações da Integral Definida138
Observe, que quanto maior for o número de segmentos, mais o comprimento da poligonal 
se aproxima do comprimento da curva.
Matematicamente falando, devemos fazer o número n, que é o número de partições do 
intervalo [ ] ,a b , tender ao infinito, consequentemente kx\u2206 tenderá a zero. Assim, 
tomando o limite da soma de Riemann, quando kx\u2206 tende a zero, obtemos o comprimen-
to L da curva,
( )( ) ( )( )2 2
max 0
1
lim 1 . 1 .
k
bn
c kx
k a
L f x x f x dx
\u2206 \u2192
=
\u2032 \u2032= + \u2206 = +\u2211 \u222b (4)
Como ( )( )21 f x\u2032+ é contínua em [ ] ,a b , existe o limite (4). Portanto, recorrendo à 
definição da integral definida, concluímos que o limite (4) pode ser calculado desta maneira:
( )( ) ( )( )2 2
max 0
1
lim 1 . 1 .
k
bn
c kx
k a
L f x x f x dx
\u2206 \u2192
=
\u2032 \u2032= + \u2206 = +\u2211 \u222b
Desta forma, chegamos a integral cujo valor corresponde ao comprimento L da curva e 
assim definir:
Definição I
Se ( )y f x= for uma curva lisa no intervalo [ ] ,a b , então o comprimento de arco 
L dessa curva sobre [ ] ,a b , é definido por
( ) 2 21 ( ' ) . 1 ( ) .
b b
a a
yL f x dx dx
x
\u2202
= + = +
\u2202\u222b \u222b (5)
Da maneira análoga podemos demonstrar a seguinte definição:
Definição II
Se ( )x g y= for uma curva lisa no intervalo [ ] , c d , então o comprimento de arco L 
dessa curva sobre [ ] , c d , é definido por
( ) 2 21 ( ' ) . 1 ( ) .
d d
c c
xL g y dy dy
y
\u2202
= + = +
\u2202\u222b \u222b (6)
TOME NOTA
A escolha entre o uso da fórmula (5) ou da fórmula (6) é opcional. Sugerimos que você 
escolha aquela cuja integral é mais fácil de calcular, certificando-se que a derivada da função 
exista para todo ponto do arco.
Veja outros exemplos para que você consiga compreender melhor os procedimentos de 
cálculo.
Exemplo 1
Encontre o comprimento de arco da curva 
3
2y x= de ( )1 ,1 até ( )2 , 2 2 , mostrado na 
figura 20.
Aplicações da Integral Definida 139
y
x
(1,1)
y = x3/2
( )2,2 2
FIGURA 20 \u2013 Curva 
3
2y x=
Fonte: próprio autor
Solução:
Usaremos a fórmula (5)
( ) 2 21 ( ' ) . 1 ( ) . 
b b
a a
dyL f x dx dx
dx
= + = +\u222b \u222b
Sendo 
3
2y x= , vamos calcular a derivada 
1
23
2
dy x
dx
= , que é definida para todo 1 2x\u2264 \u2264 
e como a curva se estende de 1x = a 2x = , podemos usar a fórmula (5) e assim obter:
2 21
22
1 1
3 91 ( ) . 1 .
2 4
L x dx x dx= + = +\u222b \u222b
Vamos calcular esta integral pelo método da substituição:
1
1 12
2 29 4 41 . . .
4 9 9
x dx f df f df\uf8eb \uf8f6+ = =\uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8\u222b \u222b \u222b
9 9 41 
4 4 9
f x df dx dx df= + \u2192 = \u2192 =
 
3
3 32
2 24 8 8 9 (1 )39 27 27 4
2
f C f C x C= + = + = + + , portanto o comprimento L será 
determinado assim: 
2 3
2
1
29 8 91 . (1 )
14 27 4
L x dx x
\uf8ee \uf8f9
= + = +\uf8ef \uf8fa
\uf8f0 \uf8fb
\u222b
 
( ) ( )
3 3
2 28 9 9 1 2 1 1
27 4 4
\uf8ee \uf8f9
\uf8eb \uf8f6 \uf8eb \uf8f6\uf8ef \uf8fa= + \u2212 +\uf8ec \uf8f7 \uf8ec \uf8f7\uf8ef \uf8fa\uf8ed \uf8f8 \uf8ed \uf8f8
\uf8f0 \uf8fb
 
3 3
2 28 22 13 ( ) ( )
27 4 4
\ufffd\ufffd\ufffd \uf8f9
= \u2212\uf8ef \uf8fa
\uf8f0 \uf8fb
 
22. 22 13 13 2,09 
27
\u2212
= \u2245 unidades de comprimento 
Aplicações da Integral Definida140
Exemplo 2
Determine o comprimento da curva 
2
3
 
2
xy \uf8eb \uf8f6= \uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8
de 0x = até 2x = , mostrado na Figura 21.
y
x
(2,1)
210
y = (x/2)2/3
FIGURA 21 \u2013 curva 
2
3
2
xy \uf8eb \uf8f6= \uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8
Fonte: próprio autor
Solução:
Inicialmente, vamos optar pela fórmula (5)
21 ( ) .
b
a
dyL dx
dx
= +\u222b , portanto, vamos calcular a derivada da função 
2
3
 
2
xy \uf8eb \uf8f6= \uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8
1 1
3 3
1
3
2 1 1 1 1 2. .
3 2 2 3 3
2
dy x
dx xx
\u2212
\uf8eb \uf8f6 \uf8eb \uf8f6= = =\uf8ec \uf8f7 \uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8 \uf8ed \uf8f8\uf8eb \uf8f6
\uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8
Você pode perceber que a derivada não é definida em 0x = , portanto não podemos 
determinar o comprimento do arco com a fórmula (5).
Assim, vamos inverter a equação da curva para a utilização da fórmula (6).
2
3
2
xy \uf8eb \uf8f6= \uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8
 elevando ambos os lados à potência 
3
2
( )
2
33 3
22 [ ]
2
xy \uf8eb \uf8f6= \uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8
 determinado x
3 3
2 22
2
xy x y= \u2192 =
Então, agora vamos determinar o comprimento da curva 
3
22x y= de 0 y = até 1y = , 
usando a fórmula (6)
21 ( ) .
d
c
dxL dy
dy
= +\u222b
Sendo 
3
22x y= , vamos calcular a derivada 
1 1
2 232. 3
2
dx y y
dy
= =
Como a derivada é definida, consequentemente contínua em [ ]0 ,1 , podemos usar a 
fórmula (6), assim:
1 11
22
0 0
1 (3 ) . 1 9 .L y dy y dy= + = +\u222b \u222b
Aplicações da Integral Definida 141
Calculando a integral pelo método da substituição temos:
( )
3
1 11 2
2 22
1 1 11 9 . . 39 9 9
2
fy dy f df f df C+ = = = +\u222b \u222b \u222b
 
11 9 9 
9
f y df dy dy df= + \u2192 = \u2192 =
 
3 3
2 22 2 (1 9 )
27 27
f C y C= + = + +
 assim determinaremos o comprimento L do arco
( ) ( )
1 3 3 3
12 2 2
0
0
2 2 2 21 9 . [ (1 9 ) ] 1 9 1 ] 1 9 0 ] 10 10 1 2,27 
27 27 27 27
L y dy y
\uf8ee \uf8ee \uf8ee \uf8f9= + = + = + \u2212 + = \u2212 \u2245\uf8ef \uf8ef \uf8f0 \uf8fb\uf8f0 \uf8f0
\u222b
 
unidades de comprimento 
Algumas vezes o cálculo do comprimento de arcos, nos leva a integrais 
muito difíceis ou mesmo impossíveis de serem calculadas. Nestes 
casos, calculamos a integral por aproximação utilizando métodos 
numéricos que você já conhece, como por exemplo, a Regra de 
Simpson, a Regra do Trapézio etc. Este cálculo aproximado é chamado 
de integração numérica.
Pois bem aluno (a), espero que você tenha compreendido os vários exemplos de cálculo 
de áreas e comprimento de curvas que ilustraram este