CalcII mod06
5 pág.

CalcII mod06


DisciplinaCálculo II22.499 materiais682.774 seguidores
Pré-visualização5 páginas
Cálculo II

 APLICAÇÕES DA
INTEGRAL DEFINIDA

OS PROCEDIMENTOS
DA INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRAL DEFINIDA NO CÁLCULO
DA ÁREA DE UMA REGIÃO PLANA

E MAIS...

APRESENTAÇÃO

Caro (a) aluno (a), você já aprendeu a integral definida, a sua definição e a forma de calculá-la.
Conheceu o famoso Teorema Fundamental do Cálculo, que aplicado no cálculo da inte-
gral definida, tornou mais simples esta operação, como você pôde perceber nos exemplos
dados.

Também foi mencionado que a integral definida é aplicada na solução de inúmeros proble-
mas ligados não só à engenharia como nas ciências de uma maneira geral.

Neste módulo, iniciaremos o nosso estudo sobre as aplicações da integral definida, come-
çando com o cálculo da área de uma região e depois o cálculo do comprimento de um
arco de uma curva.

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final deste módulo você estará apto (a) a:

\u2022 Conhecer e aplicar os procedimentos da integral definida.

\u2022 Aplicar a integral definida no cálculo da área de uma região plana.

\u2022 Calcular por integração o comprimento de um arco de uma curva plana.

FI
CH

A
 T

ÉC
N

IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE

EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes P. Araújo
Transposição Pedagógica
Ediane Cardoso

Produção de
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Nathan Ackerman Chagas de Souza
Raphael Gonçalves Porto Nascimento

Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva

AUTORIA DA DISCIPLINA

Profa. Dayse Magda Fialho Sodré
Prof. Renaldo Sodré

BELO HORIZONTE - 2013

APLICAÇÕES DA
INTEGRAL DEFINIDA

Cálculo de Áreas

Esta é a aplicação mais natural da integral definida, afinal, a sua definição teve como base
o cálculo de áreas planas delimitadas por gráficos de funções.

Vamos rever este conceito?
Se f é uma função contínua e positiva no intervalo [ ],a b , o resultado da integral definida
corresponde ao valor da área da região R.

y=f (x)y

x

1x\u2206 2x\u2206 ix\u2206 nx\u2206

1x 2x2c1c0x i-1x ic ix n-1x nc nx b

1 1(c , (c ))f
i i(c , (c ))f

n n(c , (c ))f

2 2(c , (c ))f

FIGURA 1 - Região R dividida em retângulos
Fonte: próprio autor

( ) ( )
max 0

1

 lim
i

b n

i ix
ia

A f x dx f c x
\u2206 \u2192

=

= = \u2206\u2211\u222b (soma de Riemann)

Veja na figura 2, a correspondência entre a integral definida e a soma de Riemann.

( )
1

.
n

i i
i

f C x
=

\u2206\u2211
\u2193 \u2193 \u2193

( )

b

a

f x dx\u222b
FIGURA 2 \u2013 Correspondência entra a soma e a integral

Fonte: próprio autor

Aplicações da Integral Definida 121

TOME NOTA

\u2022 O valor da integral da abscissa iC torna-se a variável x

\u2022 O comprimento de intervalo ix\u2206 é igual a dx

\u2022 O intervalo [ ] ,a b que é a soma de todos os intervalos ix\u2206 , é representado pelos limi-
tes de integração inferior e superior na integral definida.

Agora você poderá fazer a seguinte leitura da integral:

( )
b

a

f x dx\u222b , aplicada para o cálculo de uma área:

Vamos somar de a até b a área de todos os retângulos de altura ( )f x e base dx .
Daqui em diante, vamos usar somente a integral definida para o cálculo das áreas, sem a
necessidade de recorrer à soma de Riemann e seu limite.

Porém, você não pode esquecer que ao usar a integral definida no cálculo de uma área de
uma região estará sempre somando a área de infinitos retângulos que dividiram a região,
conforme a soma de Riemann.

Neste momento, você está preparado para usar a integral definida para o cálculo das
áreas planas.

Vamos analisar três casos que vão sintetizar o cálculo de áreas em diversas situações.

1º caso: Calcular a área da região delimitada pela curva ( )f x , o eixo x entre as retas
 x a= e x b= , conforme a figura 3.

a bx

y

x

( )f x

( )f x

\u2206x = dx

FIGURA 3 \u2013 Região acima do eixo x
Fonte: próprio autor

Como faremos o cálculo da área? Faremos a representação de apenas um único retângulo,
que será o nosso elemento de área, identificado como A\u2206 .

Como você pode perceber, a ordenada ( )f x tem sempre um valor positivo.
Assim podemos escrever que a área do retângulo de referência é:

( ).A f x x\u2206 = \u2206

Aplicações da Integral Definida122

Neste caso, a área é assim calculada:

( )
b

a

A f x dx= \u222b
Vamos a um exemplo:

Encontre a área limitada pela curva ( ) 2 1y f x x= = + , o eixo x, no intervalo [ ]1,2\u2212 ,
conforme a figura 4.

x-1 2

y

x

( )f x

\u2206x = dx

y = f (x) = x2 + 1

FIGURA 4 \u2013 Área sob a curva y = f (x) = x2 + 1
Fonte: próprio autor

Área do retângulo:

( ) ( )2. 1A f x x x x\u2206 = \u2206 = + \u2206

Área da região:

( )
2

2

1

( 1)
b

a

A f x dx x dx
\u2212

= = +\u222b \u222b

Calculando a integral indefinida
3

2 2( 1)
3
xx dx x dx dx x C+ = + = + +\u222b \u222b \u222b

Então,
2 3

2 2
1

1

( 1) [ ]
3
xA x dx x \u2212

\u2212

= + = +\u222b

Substituindo os limites de integração

( ) ( ) ( ) ( )
3 32 1

2 1
3 3

A
\uf8ee \uf8f9 \uf8ee \uf8f9\u2212

= + \u2212 + \u2212\uf8ef \uf8fa \uf8ef \uf8fa
\uf8ef \uf8fa \uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb \uf8f0 \uf8fb

8 12 1
3 3

A \uf8ee \uf8f9 \uf8ee \uf8f9= + \u2212 \u2212 \u2212\uf8ef \uf8fa \uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb \uf8f0 \uf8fb

14 4 6
3 3

A \uf8ee \uf8f9 \uf8ee \uf8f9= \u2212 \u2212 =\uf8ef \uf8fa \uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb \uf8f0 \uf8fb
 unidades de área ( ). .u a

Aplicações da Integral Definida 123

2º caso: Calcule a área da região delimitada pela curva ( )f x , o eixo x e as retas x a=
e x b= , conforme a figura 5.

x

y

x

( )f x
( )f x

\u2206x = dx

a b

FIGURA 5 \u2013 Região abaixo do eixo x
Fonte: próprio autor

Você pode reparar que a região indicada no gráfico está totalmente abaixo do eixo x,
portanto, a ordenada é negativa para todo x no intervalo [ ]a b .
Assim, para o cálculo da área do retângulo de referência, devemos considerar a altura h
como o módulo de ( )f x , já que a altura é sempre um valor positivo.
Então, podemos escrever que a área do retângulo de referência é:

( ) ( ) A f x x f x x\u2206 = \u2206 = \u2212 \u2206

E a área da região é calculada através da seguinte integral definida:

( ) ( ) ( )
b b b

a a a

A f x dx f x dx f x dx= = \u2212 = \u2212\u222b \u222b \u222b

Acompanhe este exemplo:

Calcule a área da região delimitada pela curva ( ) 2 4y f x x= = \u2212 , o eixo x , no intervalo
[ ]2 , 2\u2212 .
Vamos desenhar o gráfico da função e marcar a região solicitada.

x

y

x

\u2206x = dx

-2 2

( )f x

( ) 2 4y f x x= = \u2212

FIGURA 6 \u2013 Área sobre a curva f (x) = x1 \u2013 4
Fonte: próprio autor

Aplicações da Integral Definida124

Observe que no intervalo [ ]2 , 2\u2212 a função é negativa.
Assim, a área do retângulo é:

( ) ( )A f x x f x x\u2206 = \u2206 = \u2212 \u2206

( )2 4A x x\u2206 = \u2212 \u2212 \u2206

A área da região é:

( ) ( ) ( )
b b b

a a a

A f x dx f x dx f x dx= = \u2212 = \u2212\u222b \u222b \u222b

( )
2 2 3

2 2 2
2

2 2

4 ( 4) [ 4 ]
3
xA x dx x dx x \u2212

\u2212 \u2212

= \u2212 \u2212 = \u2212 + = \u2212 +\u222b \u222b

( ) ( ) ( ) ( )
3 32 2

4. 2 4. 2
3 3

A
\uf8ee \uf8f9 \uf8ee \uf8f9\u2212

= \u2212 + \u2212 \u2212 + \u2212\uf8ef \uf8fa \uf8ef \uf8fa
\uf8ef \uf8fa \uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb \uf8f0 \uf8fb

8 88 8
3 3

A \uf8ee \uf8f9 \uf8ee \uf8f9= \u2212 + \u2212 \u2212\uf8ef \uf8fa \uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb \uf8f0 \uf8fb

16 16
3 3

A \uf8ee \uf8f9 \uf8ee \uf8f9= \u2212 \u2212\uf8ef \uf8fa \uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb \uf8f0 \uf8fb

32 . .
3

A u a=

E agora caro (a) aluno (a), veremos neste próximo exemplo, que podemos utilizar os dois
casos que acabamos de abordar, no cálculo da área de uma região. Confira!

Calcule a área da região limitada pela curva ( )y f x senx= = , o eixo x, no intervalo de
0 a 2\u3c0 .

y

x

\u2206x
2\u3c0

0 \u3c0
\u2206x

( )y sen x=
( )f x

(x)g

FIGURA 7 \u2013 Área de região mista

Fonte: próprio autor

No intervalo de 0 a \u3c0 , a região está acima do eixo x , ( ) 0f x senx= \u2265 e no intervalo
de \u3c0 a 2\u3c0 , a região está abaixo do eixo x, então ( ) 0f x senx= \u2264

Aplicações da Integral Definida 125

Portanto, as áreas dos retângulos de referência são:

No intervalo de 0 a ( )1 1: A f x x A senx x\u3c0 \u2206 = \u2206 \u2192\u2206 = \u2206
No intervalo de \u3c0 a ( )2 22 : A f x x A senx x\u3c0 \u2206 = \u2212 \u2206 \u2192\u2206 = \u2212 \u2206
E a área total da região será a soma dessas duas áreas:

2
2
0

0

A senxdx senxdx
\u3c0 \u3c0

\u3c0

\u3c0

= + \u2212\u222b \u222b

2 2
0 0] ]A cosx cosx
\u3c0 \u3c0 \u3c0

\u3c0\uf8ee \uf8ee= \u2212 +\uf8f0 \uf8f0

( ) ( ) ( ) ( )20 cos cos 0 cos 2 cosA \u3c0 \u3c0 \u3c0 \u3c0= \uf8ee\u2212 \uf8f9