CalcII mod06

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Cálculo II
 APLICAÇÕES DA 
INTEGRAL DEFINIDA
OS PROCEDIMENTOS 
DA INTEGRAL DEFINIDA
INTEGRAL DEFINIDA NO CÁLCULO 
DA ÁREA DE UMA REGIÃO PLANA
E MAIS...
APRESENTAÇÃO
Caro (a) aluno (a), você já aprendeu a integral definida, a sua definição e a forma de calculá-la.
Conheceu o famoso Teorema Fundamental do Cálculo, que aplicado no cálculo da inte-
gral definida, tornou mais simples esta operação, como você pôde perceber nos exemplos 
dados.
Também foi mencionado que a integral definida é aplicada na solução de inúmeros proble-
mas ligados não só à engenharia como nas ciências de uma maneira geral.
Neste módulo, iniciaremos o nosso estudo sobre as aplicações da integral definida, come-
çando com o cálculo da área de uma região e depois o cálculo do comprimento de um 
arco de uma curva.
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final deste módulo você estará apto (a) a:
• Conhecer e aplicar os procedimentos da integral definida.
• Aplicar a integral definida no cálculo da área de uma região plana.
• Calcular por integração o comprimento de um arco de uma curva plana.
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes P. Araújo
Transposição Pedagógica
Ediane Cardoso
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Nathan Ackerman Chagas de Souza
Raphael Gonçalves Porto Nascimento
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA DA DISCIPLINA 
Profa. Dayse Magda Fialho Sodré
Prof. Renaldo Sodré
BELO HORIZONTE - 2013
APLICAÇÕES DA 
INTEGRAL DEFINIDA
Cálculo de Áreas
Esta é a aplicação mais natural da integral definida, afinal, a sua definição teve como base 
o cálculo de áreas planas delimitadas por gráficos de funções.
Vamos rever este conceito? 
Se f é uma função contínua e positiva no intervalo [ ],a b , o resultado da integral definida 
corresponde ao valor da área da região R.
y=f (x)y
x
1x∆ 2x∆ ix∆ nx∆
1x 2x2c1c0x i-1x ic ix n-1x nc nx b
1 1(c , (c ))f
i i(c , (c ))f
n n(c , (c ))f
2 2(c , (c ))f
FIGURA 1 - Região R dividida em retângulos
Fonte: próprio autor
( ) ( )
max 0
1
 lim
i
b n
i ix
ia
A f x dx f c x
∆ →
=
= = ∆∑∫ (soma de Riemann)
Veja na figura 2, a correspondência entre a integral definida e a soma de Riemann.
( )
1
.
n
i i
i
f C x
=
∆∑
↓ ↓ ↓
 
( ) 
b
a
f x dx∫
FIGURA 2 – Correspondência entra a soma e a integral
Fonte: próprio autor
Aplicações da Integral Definida 121
TOME NOTA
• O valor da integral da abscissa iC torna-se a variável x
• O comprimento de intervalo ix∆ é igual a dx
• O intervalo [ ] ,a b que é a soma de todos os intervalos ix∆ , é representado pelos limi-
tes de integração inferior e superior na integral definida.
Agora você poderá fazer a seguinte leitura da integral:
( ) 
b
a
f x dx∫ , aplicada para o cálculo de uma área:
Vamos somar de a até b a área de todos os retângulos de altura ( )f x e base dx .
Daqui em diante, vamos usar somente a integral definida para o cálculo das áreas, sem a 
necessidade de recorrer à soma de Riemann e seu limite.
Porém, você não pode esquecer que ao usar a integral definida no cálculo de uma área de 
uma região estará sempre somando a área de infinitos retângulos que dividiram a região, 
conforme a soma de Riemann.
Neste momento, você está preparado para usar a integral definida para o cálculo das 
áreas planas.
Vamos analisar três casos que vão sintetizar o cálculo de áreas em diversas situações.
1º caso: Calcular a área da região delimitada pela curva ( )f x , o eixo x entre as retas 
 x a= e x b= , conforme a figura 3.
a bx
y
x
( )f x
( )f x
∆x = dx 
FIGURA 3 – Região acima do eixo x
Fonte: próprio autor
Como faremos o cálculo da área? Faremos a representação de apenas um único retângulo, 
que será o nosso elemento de área, identificado como A∆ .
Como você pode perceber, a ordenada ( )f x tem sempre um valor positivo.
Assim podemos escrever que a área do retângulo de referência é:
( ).A f x x∆ = ∆
Aplicações da Integral Definida122
Neste caso, a área é assim calculada:
( )
b
a
A f x dx= ∫
Vamos a um exemplo:
Encontre a área limitada pela curva ( ) 2 1y f x x= = + , o eixo x, no intervalo [ ]1,2− , 
conforme a figura 4.
x-1 2
y
x
( )f x
∆x = dx 
y = f (x) = x2 + 1
FIGURA 4 – Área sob a curva y = f (x) = x2 + 1
Fonte: próprio autor
Área do retângulo:
( ) ( )2. 1A f x x x x∆ = ∆ = + ∆
 
Área da região:
( )
2
2
1
( 1)
b
a
A f x dx x dx
−
= = +∫ ∫
Calculando a integral indefinida
3
2 2( 1)
3
xx dx x dx dx x C+ = + = + +∫ ∫ ∫
Então,
2 3
2 2
1
1
( 1) [ ]
3
xA x dx x −
−
= + = +∫
Substituindo os limites de integração
( ) ( ) ( ) ( )
3 32 1
2 1
3 3
A
   −
= + − + −   
      
8 12 1
3 3
A    = + − − −      
14 4 6
3 3
A    = − − =      
 unidades de área ( ). .u a
Aplicações da Integral Definida 123
2º caso: Calcule a área da região delimitada pela curva ( )f x , o eixo x e as retas x a= 
e x b= , conforme a figura 5.
x
y
x
( )f x
( )f x
∆x = dx 
a b
FIGURA 5 – Região abaixo do eixo x
Fonte: próprio autor
Você pode reparar que a região indicada no gráfico está totalmente abaixo do eixo x, 
portanto, a ordenada é negativa para todo x no intervalo [ ]a b .
Assim, para o cálculo da área do retângulo de referência, devemos considerar a altura h 
como o módulo de ( )f x , já que a altura é sempre um valor positivo.
Então, podemos escrever que a área do retângulo de referência é:
( ) ( ) A f x x f x x∆ = ∆ = − ∆
E a área da região é calculada através da seguinte integral definida:
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
A f x dx f x dx f x dx= = − = −∫ ∫ ∫
Acompanhe este exemplo:
Calcule a área da região delimitada pela curva ( ) 2 4y f x x= = − , o eixo x , no intervalo 
[ ]2 , 2− .
Vamos desenhar o gráfico da função e marcar a região solicitada.
x
y
x
∆x = dx 
-2 2
( )f x
( ) 2 4y f x x= = −
FIGURA 6 – Área sobre a curva f (x) = x1 – 4
Fonte: próprio autor
Aplicações da Integral Definida124
Observe que no intervalo [ ]2 , 2− a função é negativa.
Assim, a área do retângulo é:
( ) ( )A f x x f x x∆ = ∆ = − ∆
( )2 4A x x∆ = − − ∆
A área da região é:
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
A f x dx f x dx f x dx= = − = −∫ ∫ ∫
( )
2 2 3
2 2 2
2
2 2
4 ( 4) [ 4 ] 
3
xA x dx x dx x −
− −
= − − = − + = − +∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
3 32 2
4. 2 4. 2
3 3
A
   −
= − + − − + −   
      
8 88 8
3 3
A    = − + − −      
16 16
3 3
A    = − −      
32 . .
3
A u a=
E agora caro (a) aluno (a), veremos neste próximo exemplo, que podemos utilizar os dois 
casos que acabamos de abordar, no cálculo da área de uma região. Confira!
Calcule a área da região limitada pela curva ( )y f x senx= = , o eixo x, no intervalo de 
0 a 2π .
y
x
∆x 
2π
0 π
∆x 
( )y sen x=
( )f x
(x)g 
FIGURA 7 – Área de região mista
Fonte: próprio autor
No intervalo de 0 a π , a região está acima do eixo x , ( ) 0f x senx= ≥ e no intervalo 
de π a 2π , a região está abaixo do eixo x, então ( ) 0f x senx= ≤
Aplicações da Integral Definida 125
Portanto, as áreas dos retângulos de referência são:
No intervalo de 0 a ( )1 1: A f x x A senx xπ ∆ = ∆ →∆ = ∆
No intervalo de π a ( )2 22 : A f x x A senx xπ ∆ = − ∆ →∆ = − ∆
E a área total da região será a soma dessas duas áreas:
2
2
0
0
A senxdx senxdx
π π
π
π
= + −∫ ∫
2 2
0 0] ]A cosx cosx
π π π
π = − + 
( ) ( ) ( ) ( )20 cos cos 0 cos 2 cosA π π π π= − − −  +   −         
( ) ( ) ( ) ( )20 1 1 1 1A π = − − − − + − −
2
0 1 1 1 1A
π = + + +
2
0 4 . .A u a
π =
Vamos agora ao último caso, no qual a área a ser calculada corresponde à região limitada 
por duas funções de x, f e g e pelas retas x a= e x b= .
3º caso: Sejam f e g funções contínuas em um intervalo [ ] , a b e tais que ( ) ( )f x g x≥ 
para a x b≤ ≤ . Nestas condições, calcule a área da região delimitada acima por y = f ( x), 
abaixo por ( )y g x= e lateralmente pelas retas x a= e x b= .
Para resolver este problema, vamos considerar as seguintes situações:
Situação I – Vamos considerar as funções ( )f x e ( )g x , positivas, desta forma, os 
gráficos estão acima do eixo x , conforme a figura 8.
y
x
∆x = dx 
h
xa b
y2 = f (x)
y1 = g (x)
( )f x
(x)g 
FIGURA 8 – Área entre funções positivas
Fonte: próprio autor
Para iniciarmos o cálculo, devemos determinar primeiramente a área do retângulo de refe-
rência que é o nosso elemento de área A∆ .
 altura x base
Aplicações da Integral Definida126
Antes de calcularmos a altura, que tal revermos um tópico da 
geometria analítica? Você o conhece e irá precisar dele!
Medida algébrica de um segmento orientado 
Fazendo corresponder a dois pontos A e B, do eixo y, os números 1y e 2y respectiva-
mente, a distância orientada de A a B é dada por:
y
A B
y2y1
2 1AB y y= −
Como podemos verificar na Figura 8, o valor da altura do retângulo corresponde à medida 
do segmento orientado h.
O valor da ordenada f (x) corresponde ao número 2y e a ordenada g (x) ao número 1y .
Assim, a altura do retângulo é
( ) ( )2 1h y y h f x g x= − → = −
A base do retângulo é igual a x∆ , portanto
( ) ( ) .A f x g x x∆ =  −  ∆ 
Neste caso, a área é assim calculada
Situação II – Vamos considerar agora, a função ( )f x positiva, acima do eixo x e a 
função ( )g x negativa, abaixo do eixo x, conforme a figura 9.
y
x
∆x = dx 
h
a b
y2 = f (x)
y1 = g (x)
( )f x
(x)g 
FIGURA 9 – Área entre uma função positiva e uma função negativa
Fonte: próprio autor
Aplicações da Integral Definida 127
A área do retângulo de referência é:
 altura x base
A altura do retângulo, como já foi visto, tem o valor do segmento orientado h, portanto,
( ) ( )2 1h y y h f x g x= − → = −
Como a base do retângulo é x∆ , temos:
( ) ( ) .A f x g x x∆ =  −  ∆ 
E a área da região é calculada através da integral:
( ) ( ) .
b
a
A f x g x dx=  −  ∫
Situação III – Vamos considerar nesta última situação, as duas funções negativas, ou 
seja, ( )f x e ( )g x abaixo do eixo das abscissas, conforme a figura 10.
y
x
∆x = dx 
h
a bx
y2 = f (x)
y1 = g (x)
( )f x
(x)g 
FIGURA 10 – Área entre funções negativas
Fonte: próprio autor
A área do retângulo de referência é:
A∆ = altura x base
Também neste caso, a altura tem o valor do segmento orientado h, assim
( ) ( )2 1h y y h f x g x= − → = −
Como a base do retângulo tem o valor de x∆ , temos
( ) ( ) .A f x g x x∆ =  −  ∆ 
Assim sendo, a área da região é calculada pela integral:
Nas três situações apresentadas, percebe-se que a posição da região em relação ao eixo 
x não interfere no resultado. A área das regiões foi obtida pela mesma integral. Portanto, 
podemos definir a seguinte fórmula para o cálculo da área:
Aplicações da Integral Definida128
A área A da região limitada pelas curvas ( )y f x= , ( )y g x= e pelas retas x a= e 
x b= , onde f e g são contínuas e ( ) ( )f x g x≥ para todo x em [ ] , a b , é
( ) ( )
b
a
A f x g x dx=  −  ∫
Vimos até aqui, a integral definida sendo utilizada no cálculo da área 
de regiões delimitadas por funções de x, mas este cálculo pode se 
estender também para regiões delimitadas por funções de y. Veja!
Integração em relação à y
Podemos calcular a área de uma região delimitada por curvas descritas por funções de y, 
aplicando a metodologia de cálculo já apresentada.
Vamos considerar uma região delimitada por curvas com equações ( )x f y= , ( )x g y= 
e as retas y c= e y d= , onde f e g são continuas e ( ) ( )f y g y≥ para todo y em 
[ ] , c d , conforme a Figura 11.
y
x
∆y = dy 
h
c
d
x2 = f (y)
f (y)g (y)
x1 = g(y)
y
FIGURA 11- Área entre funções em y
Fonte: próprio autor
Neste caso, para calcular a área, a região será dividida em retângulos horizontais. Assim, 
o retângulo de referência terá a base igual a y∆ , e a altura ( ) ( )h f y g y= − . Desta 
forma, o retângulo terá a seguinte área:
( ) ( ) .A f y g y y∆ =  −  ∆ 
A área da região será calculada pela integral:
A simples memorização das fórmulas e a sua aplicação de maneira 
mecânica aos problemas de áreas, não é nada recomendável.
O mais importante é que você domine o método, pense 
geometricamente e construa a fórmula adequada para cada problema.
Aplicações da Integral Definida 129
Veja agora um procedimento sistemático para se achar a área por integração.
TOME NOTA
Passo 1 – Faça um desenho da região, esboçando as curvas e definindo os limites de inte-
gração, que em alguns casos podem ser os pontos de interseção das curvas. A região que 
apresenta duas ou mais curvas em seu contorno superior ou inferior, deverá ser dividida em 
sub-regiões, que serão calculadas separadamente.
Passo 2 – Desenhe no interior da região ou das sub-regiões o retângulo de referência que 
poderá ser posicionado de forma vertical ou horizontal. 
Passo 3 – Programe a integral definida entre os limites de integração x ou y apropriados, 
indicados no esboço da região.
Passo 4 – Calcule a integral definida.
Vamos agora dar alguns exemplos de cálculo de área de região compreendida entre curvas.
Exemplo 1
Determine a área da região compreendida entre as curvas y = x2 e y = x + 6.
Solução
Inicialmente, vamos esboçar a região, traçando o gráfico das duas equações. Veja:
y
xa b
f (x) = x + 6
g(x) = x2
Figura12 – Área da região entre as funções y = x2 e y = x + 6
Fonte: próprio autor
Podemos denotar a função superior por ( )f x e a inferior por ( )g x .
Vamos agora determinar os limites de integração a e b, que neste caso, são os pontos de 
interseção entre as funções ( ) f x e ( )g x , como você pode observar.
Então, para encontrarmos estes valores, vamos igualar as funções ( ) f x e ( )g x .
Assim, 26 x x+ =
2 6 0x x− − = , aplicando a fórmula de Bhaskara, encontramos as raízes
2x = − e 3x =
Portanto estes são os limites de integração
2 a = − e 3b = .
Aplicações da Integral Definida130
Após o esboço da região, vamos desenhar no seu interior o retângulo de referência, deter-
minando a equação de sua altura e o valor de sua base.
Para este problema, vamos optar pelo retângulo com posicionamento vertical, isto é, 
vamos integrar em relação a x.
É importante ressaltar que a escolha do local, no interior da região, para desenhar o 
retângulo é arbitrária.
y
x-2 3
g(x)
∆x = dx
f (x)
Figura 13 – Área com o retângulo de referência
Fonte: próprio autor
Esta região apresenta em seu contorno superior uma única função ( ( )f x ), o mesmo 
ocorrendo em seu contorno inferior ( ( )g x ).
Assim, não haverá necessidade de dividir a região em sub-regiões, pois o retângulo de 
referência, qualquer que seja o seu posicionamento, terá uma única fórmula de área.
( ) ( ) . A f x g x x∆ =  −  ∆  , portanto, a área da região é:
Calculando a integral e substituindo os limites de integração:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 32 3
3
2
3 3 2 2
[ 6 ] 6 3 6 2
2 3 2 3 2 3
x xA x −
   − −
= + − = + − − + − −   
      
9 8 18 9 2 12
2 3
A    = + − − − +       
125 . .
6
A u a=
Exemplo 2
Calcule a área da região limitada pelas funções ( ) 2f xx= − , ( ) 24g x x= − e a reta 
3x = conforme a figura 14.
Aplicações da Integral Definida 131
y
x
g(x) = 4 - x2
f (x) = 2 - x
a = -1 b = 2
R2
R1
3
Figura 14 – Área entre as funções f (x) = 2 –x, g (x) = 4 – x2 e a reta x = 3
Fonte: próprio autor
Solução:
Após o esboço das curvas dadas vamos determinar os limites de integração a e b, igua-
lando as funções ( )f x e ( )g x , já que são os pontos de interseção de seus gráficos.
Então, 2 2 4x x− = − ou
2 2 0x x− − =
Aplicando a fórmula de Bhaskara, encontramos as raízes:
1 x = − e 2x =
Portanto, 1 a = − e 2b = .
ATENÇÃO
Antes de desenhar o retângulo de referência, observe que a região tem o contorno superior 
constituído por duas curvas diferentes, o mesmo ocorrendo com o contorno inferior. Assim é 
necessário dividir a região em duas sub-regiões 1R e 2R . Se 1A é a área de 1R e 2A a área 
de 2R , então a área A procurada é dada por 1 2A A A= + .
Cálculo de 1A , no intervalo [ ]1,2−
Área do retângulo de referência, que denotaremos por 1A∆
( ) ( )1 .A g x f x x∆ =  −  ∆  , portanto, a área 1A é calculada pela integral definida:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
1
1 1 1
. 4 2 2A g x f x dx x x dx x x dx
− − −
 =  −  = − − − = − +   ∫ ∫ ∫
Aplicações da Integral Definida132
Calculando a integral e substituindo os limites de integração temos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2 3 23 2
2
1 1
2 2 1 1
[2 ] 2 2 2 1
3 2 3 2 3 2
x xA x −
   − −
= − + = − + − − − +   
      
1
8 1 1 4 2 2
3 3 2
A    = − + − − + +      
1
27 . .
6
A u a=
Cálculo de 2A , no intervalo [ ]2,3
Área do retângulo de referência 2A∆
( ) ( )2 .A f x g x x∆ =  −  ∆  , calculando 2A
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
2 2
2
2 2 2
2 4 ( 2A f x g x dx x x dx x x dx   =  −  = − − − = − − +    ∫ ∫ ∫
Calculando a integral e substituindo os limites de integração temos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 32 3
3
2 2
3 3 2 2
[ 2 ] 2 3 2 2
2 3 2 3 2 3
x xA x
   
= − − + = − − + − − − +   
      
2
9 8 6 9 4 2
2 3
A    = − − + − − − +      
2
11 . .
6
A u a=
A área total
1 2A A A= +
27 11 38
6 6 6
A = + =
Exemplo 3
Determine a área da região do primeiro quadrante que é delimitada acima por 
( )y f x x= = e abaixo pelo eixo x e pela reta ( ) 2y g x x= = − , conforme a figura 15.
y
x
g(x) = x - 2
a = 2h(x) = 00 b = 4
( )f x x=
Figura 15 – Área entre as funções ( ) f x x= , ( ) 2g x x= − e o eixo x
Fonte: próprio autor
Aplicações da Integral Definida 133
Vamos calcular os limites de integração.
Para o cálculo de a, basta acharmos a raiz da reta ( ) 2g x x= − .
Assim, 2 0 2x x− = → = logo 2a = .
O valor de b, será obtido fazendo a interseção entre as funções ( ) f x e ( )g x .
Igualando as duas funções
2x x= − elevando os dois lados ao quadrado
2( 2)x x= − resolvendo o produto notável
2 4 4x x x= − + ou
2 5 4 0x x− + = calculando as raízes aplicando a fórmula de Bhaskara
1x = e 4x =
Como o limite b é maior que o limite a, somente b = 4 satisfaz esta condição já que a = 2.
O esboço da região nos mostra que temos de dividi-la em duas sub-regiões 1R e 2R , 
já que o contorno inferior muda de ( ) 0h x = , com 0 2x≤ ≤ para ( ) 2g x x= − , com 
2 4x≤ ≤ .
Assim, as áreas dos dois retângulos de referência que chamaremos por 1A∆ e 2A∆ é:
No intervalo [ ]0 , 2
( ) ( )1 .A f x h x x∆ =  −  ∆ 
No intervalo [ ]2 , 3
( ) ( )2 .A f x g x x∆ =  −  ∆ 
Considerando 1A como a área de 1R e 2A a área de 2R , a área procurada é dada por:
 1 2A A A= +
( ) ( ) ( ) ( )
2 3
0 2
A f x h x dx f x g x dx=  −  +  −    ∫ ∫
 ↓ ↓
Área de 1R Área de 2R
Resolvendo as integrais
2
3/2 2 3/2 4
0 2
2 2] 2 ]
3 3 2
xA x x x = + − +  
Substituindo os limites de integração
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 23 3 3 3
2 2 2 2
4 22 2 2 22 0 4 2 4 2 2 2
3 3 3 2 3 2
A
          = − + − + − − +                      
2 2 28 0 64 8 2
3 3 3
A = − + − −
Aplicações da Integral Definida134
Simplificando e resolvendo
2 10.8 2 . .
3 3
A u a= − =
Exemplo 4
Determine a área da região no Exemplo 3, integrando em relação a y.
Para integrar em relação a y, vamos inverter as equações, determinando assim as funções 
de y que constituem a fronteira da região. 
Para a fronteira à direita determinaremos a função que será denotada por ( )x f y= , 
assim ( )2 2 2x y x y x f y y− = → = + → = = + .
Para a fronteira à esquerda a função denotada por ( )x g y= terá a seguinte equação:
 x y= elevando ao quadrado os dois lados
( )2 2x y x g y y= → = =
Veja o gráfico a seguir. 
y
y
x
x = g(y)
x = f (y)
x2 = f (y)x1 = g (y)c = 0
d = 2
∆y = dy 
Figura 16 - Área da região entre as funções f (y) = y + 2, g (y) = y2, e o eixo x
Fonte: próprio autor
O limite inferior de integração é 0y = , então 0C = 
O limite superior de integração, y d= , será obtido igualando as duas funções, já que se 
trata de um ponto de interseção de seus gráficos, portanto:
( ) ( )f y g y=
22y y+ = ou
2 2 0y y− − = aplicando a fórmula de Bhaskara, resolvemos
1y = − e 2y =
Como o valor de 1y = − resulta em um ponto de interseção abaixo do eixo x, o limite 
superior de integração é 2d = .
Esta região apresenta em seu contorno à direita uma única função ( ( )f y ), o mesmo 
ocorrendo em seu contorno à esquerda ( ( )g y ).
Desta forma, não haverá necessidade de dividir a região em sub-regiões, já que o retângu-
lo típico horizontal terá uma única fórmula de área, qualquer que seja a sua posição dentro 
da região. Assim, a área do retângulo é:
( ) ( ) . A f y g y y∆ =  −  ∆  
Aplicações da Integral Definida 135
A área da região será calculada pela integral:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
0 0 0
. 2 2 A f y g y dy y y dy y y dy =  −  = + − = + −   ∫ ∫ ∫
Calculando a integral e substituindo os limites de integração, temos:
( ) ( ) ( ) ( )
2 22 3 3 3
2
0
2 0(2) (0)[ 2 ] 2 2 2 0
2 3 2 3 2 3
y yA y
   
= + − = + − − + −   
      
[ ]86 0
3
A  = − −  
10 . .
3
A u a=
Você observou que integrando em relação a y, a solução do problema 3 tornou-se muito 
mais simples?
ATENÇÃO
Antes de calcular uma área, avalie qual opção é mais favorável, integrar em relação a x 
(retângulos verticais) ou integrar em relação a y (retângulos horizontais).
A escolha deve levar em consideração não só o menor número de subdivisões da região, mas 
também as integrais resultantes mais fáceis de calcular.
Enfatizamos mais uma vez como é importante um bom esboço da região para compreender 
e aplicar estes procedimentos.
Agora que você aprendeu esta importante aplicação da integral 
definida, que tal conhecer mais uma?
Então, vamos lá! Falaremos agora sobre Comprimento de Curvas Planas.
Comprimento de Curvas Planas
Para iniciarmos este assunto é preciso que você saiba as seguintes definições:
- Arco é uma porção de curva contínua compreendida entre dois pontos.
- Função suave ou lisa é aquela que tem derivada em todo o seu domínio. O gráfico desta 
função é uma curva suave que não apresenta quebras, cantos ou cúspides.
Para deduzir uma fórmula integral para o comprimento de um arco, vamos considerar a 
função ( )y f x= lisa e contínua no intervalo [ ],a b e resolver o problema:
Determine o comprimento do arco L da curva ( )y f x= de x a= até x b= , de acordo 
com a figura 17.
Aplicações da Integral Definida136
y
xa = x0
P0 P1
P2
Pk-1
Pk
Pn
y = f (x)
b = xnx1 x2 xk-1 xk
FIGURA 17 – Traçado da poligonal
Fonte:próprio autor
Primeiramente vamos dividir o intervalo [ ],a b em n subintervalos utilizando os pontos 
0 1 1, , , , K K nx a x x x x b−= … … = como se mostra na figura 17. Sejam os pontos 
0 1, , nP P P… os pontos da curva correspondentes aos valores atribuídos a x.
Agora, vamos conectar estes pontos por segmentos de retas que formarão um caminho 
poligonal, cujo comprimento se aproxima do comprimento do arco L da curva.
Vamos deduzir a fórmula do comprimento de um segmento de reta representativo do 
caminho poligonal
Veja a figura 18.
y
x
∆xk
∆yk
f (xk-1)
xk-1 xk
Pk-1
Pk
Lk
f (xk)
FIGURA 18 – Segmento de referência LK
Fonte: próprio autor
Aplicando o teorema de Pitágoras temos:
2 2 2
K k kL x y= ∆ + ∆ , assim o comprimento KL é 
( ) ( )2 2K k kL x y= ∆ + ∆ (1) 
Para desenvolver esta fórmula aplicaremos o Teorema do Valor Médio, já visto no cálculo 
diferencial. Geometricamente, este teorema afirma que existe pelo menos um ponto de 
uma curva derivável onde a reta tangente é paralela à reta secante, conforme mostrado 
na Figura 19.
Aplicações da Integral Definida 137
y
x
∆xk
∆yk
f (xk-1)
xk-1 xk
Pk-1
Pc
xc
reta tangente
reta secante
Pk
Lk
f (xk)
FIGURA 19 – Reta Tangente e Reta Secante
Fonte: próprio autor
ATENÇÃO
Vale lembrar que o valor da derivada calculada em um ponto de uma curva derivável, corres-
ponde ao valor da declividade da reta tangente à curva neste ponto. Assim, como pode ser 
observada na Figura 19, a declividade da reta tangente é igual a ( )' cf x . Já a declividade da 
reta secante é igual a .
Como a reta secante e a reta tangente são paralelas, o valor de suas declividades é o 
mesmo, portanto,
 ou ( )' .k cy f x∆ = kx∆ (2) 
Substituindo (2) em (1), temos
( )2 2( ) ( ' . )K k c kL x f x x= ∆ + ∆
 
( )( )22 2( ) ' .( )k c kx f x x= ∆ + ∆
 
( )( )2 21 ' .( )c kf x x = + ∆ 
 
( )( )2 21 ' . ( )c kf x x= + ∆ 
 ( )( )21 ' .c kf x x= + ∆ (porque 0kx∆ > )
Agora, somando os comprimentos de todos os segmentos da poligonal, obteremos o 
comprimento aproximado da curva.
1 2 K nL L L L L≅ + +…+ +…+ , usando a notação sigma
( )( )2
1 1
1 ( .
n n
k c k
k k
L L f x x
= =
′≅ = + ∆∑ ∑ (3)
A soma que aparece em (3) é uma soma de Riemann.
Aplicações da Integral Definida138
Observe, que quanto maior for o número de segmentos, mais o comprimento da poligonal 
se aproxima do comprimento da curva.
Matematicamente falando, devemos fazer o número n, que é o número de partições do 
intervalo [ ] ,a b , tender ao infinito, consequentemente kx∆ tenderá a zero. Assim, 
tomando o limite da soma de Riemann, quando kx∆ tende a zero, obtemos o comprimen-
to L da curva,
( )( ) ( )( )2 2
max 0
1
lim 1 . 1 .
k
bn
c kx
k a
L f x x f x dx
∆ →
=
′ ′= + ∆ = +∑ ∫ (4)
Como ( )( )21 f x′+ é contínua em [ ] ,a b , existe o limite (4). Portanto, recorrendo à 
definição da integral definida, concluímos que o limite (4) pode ser calculado desta maneira:
( )( ) ( )( )2 2
max 0
1
lim 1 . 1 .
k
bn
c kx
k a
L f x x f x dx
∆ →
=
′ ′= + ∆ = +∑ ∫
Desta forma, chegamos a integral cujo valor corresponde ao comprimento L da curva e 
assim definir:
Definição I
Se ( )y f x= for uma curva lisa no intervalo [ ] ,a b , então o comprimento de arco 
L dessa curva sobre [ ] ,a b , é definido por
( ) 2 21 ( ' ) . 1 ( ) .
b b
a a
yL f x dx dx
x
∂
= + = +
∂∫ ∫ (5)
Da maneira análoga podemos demonstrar a seguinte definição:
Definição II
Se ( )x g y= for uma curva lisa no intervalo [ ] , c d , então o comprimento de arco L 
dessa curva sobre [ ] , c d , é definido por
( ) 2 21 ( ' ) . 1 ( ) .
d d
c c
xL g y dy dy
y
∂
= + = +
∂∫ ∫ (6)
TOME NOTA
A escolha entre o uso da fórmula (5) ou da fórmula (6) é opcional. Sugerimos que você 
escolha aquela cuja integral é mais fácil de calcular, certificando-se que a derivada da função 
exista para todo ponto do arco.
Veja outros exemplos para que você consiga compreender melhor os procedimentos de 
cálculo.
Exemplo 1
Encontre o comprimento de arco da curva 
3
2y x= de ( )1 ,1 até ( )2 , 2 2 , mostrado na 
figura 20.
Aplicações da Integral Definida 139
y
x
(1,1)
y = x3/2
( )2,2 2
FIGURA 20 – Curva 
3
2y x=
Fonte: próprio autor
Solução:
Usaremos a fórmula (5)
( ) 2 21 ( ' ) . 1 ( ) . 
b b
a a
dyL f x dx dx
dx
= + = +∫ ∫
Sendo 
3
2y x= , vamos calcular a derivada 
1
23
2
dy x
dx
= , que é definida para todo 1 2x≤ ≤ 
e como a curva se estende de 1x = a 2x = , podemos usar a fórmula (5) e assim obter:
2 21
22
1 1
3 91 ( ) . 1 .
2 4
L x dx x dx= + = +∫ ∫
Vamos calcular esta integral pelo método da substituição:
1
1 12
2 29 4 41 . . .
4 9 9
x dx f df f df + = = 
 ∫ ∫ ∫
9 9 41 
4 4 9
f x df dx dx df= + → = → =
 
3
3 32
2 24 8 8 9 (1 )39 27 27 4
2
f C f C x C= + = + = + + , portanto o comprimento L será 
determinado assim: 
2 3
2
1
29 8 91 . (1 )
14 27 4
L x dx x
 
= + = + 
 
∫
 
( ) ( )
3 3
2 28 9 9 1 2 1 1
27 4 4
 
    = + − +       
 
 
3 3
2 28 22 13 ( ) ( )
27 4 4
 
= − 
 
 
22. 22 13 13 2,09 
27
−
= ≅ unidades de comprimento 
Aplicações da Integral Definida140
Exemplo 2
Determine o comprimento da curva 
2
3
 
2
xy  =  
 
de 0x = até 2x = , mostrado na Figura 21.
y
x
(2,1)
210
y = (x/2)2/3
FIGURA 21 – curva 
2
3
2
xy  =  
 
Fonte: próprio autor
Solução:
Inicialmente, vamos optar pela fórmula (5)
21 ( ) .
b
a
dyL dx
dx
= +∫ , portanto, vamos calcular a derivada da função 
2
3
 
2
xy  =  
 
1 1
3 3
1
3
2 1 1 1 1 2. .
3 2 2 3 3
2
dy x
dx xx
−
   = = =   
    
 
 
Você pode perceber que a derivada não é definida em 0x = , portanto não podemos 
determinar o comprimento do arco com a fórmula (5).
Assim, vamos inverter a equação da curva para a utilização da fórmula (6).
2
3
2
xy  =  
 
 elevando ambos os lados à potência 
3
2
( )
2
33 3
22 [ ]
2
xy  =  
 
 determinado x
3 3
2 22
2
xy x y= → =
Então, agora vamos determinar o comprimento da curva 
3
22x y= de 0 y = até 1y = , 
usando a fórmula (6)
21 ( ) .
d
c
dxL dy
dy
= +∫
Sendo 
3
22x y= , vamos calcular a derivada 
1 1
2 232. 3
2
dx y y
dy
= =
Como a derivada é definida, consequentemente contínua em [ ]0 ,1 , podemos usar a 
fórmula (6), assim:
1 11
22
0 0
1 (3 ) . 1 9 .L y dy y dy= + = +∫ ∫
Aplicações da Integral Definida 141
Calculando a integral pelo método da substituição temos:
( )
3
1 11 2
2 22
1 1 11 9 . . 39 9 9
2
fy dy f df f df C+ = = = +∫ ∫ ∫
 
11 9 9 
9
f y df dy dy df= + → = → =
 
3 3
2 22 2 (1 9 )
27 27
f C y C= + = + +
 assim determinaremos o comprimento L do arco
( ) ( )
1 3 3 3
12 2 2
0
0
2 2 2 21 9 . [ (1 9 ) ] 1 9 1 ] 1 9 0 ] 10 10 1 2,27 
27 27 27 27
L y dy y
   = + = + = + − + = − ≅    
∫
 
unidades de comprimento 
Algumas vezes o cálculo do comprimento de arcos, nos leva a integrais 
muito difíceis ou mesmo impossíveis de serem calculadas. Nestes 
casos, calculamos a integral por aproximação utilizando métodos 
numéricos que você já conhece, como por exemplo, a Regra de 
Simpson, a Regra do Trapézio etc. Este cálculo aproximado é chamado 
de integração numérica.
Pois bem aluno (a), espero que você tenha compreendido os vários exemplos de cálculo 
de áreas e comprimento de curvas que ilustraram estemódulo.
Treine bastante fazendo mais exercícios sobre estas aplicações da integral definida. 
Bons estudos!
Aplicações da Integral Definida142
143
Síntese
Caro (a) aluno(a), neste módulo estudamos duas importantes aplicações da integral definida.
Inicialmente abordamos sua aplicação no cálculo de áreas planas de regiões de diferentes 
formas e posteriormente no cálculo do comprimento de arcos de curvas planas.
Todas as técnicas de integração que utilizamos para o cálculo das integrais que definem 
as áreas e os comprimentos de arcos eram do seu conhecimento. E este assunto não se 
esgota aqui!
Novas técnicas de integração serão abordadas e conheceremos novas aplicações da 
integral definida.
Portanto, siga em frente e não se esqueça de realizar as atividades de fixação.
Não deixe suas dúvidas acumularem! Consulte a sua professora.
Até o próximo módulo!
Referências Básicas
FLEMMING, D. M. e GONÇALVES, M. B. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
THOMAS, G. B. Cálculo - Volume 1. São Paulo: Addison Wesley, 2002.
ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S. Cálculo – Volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2007.
Referências Complementares
BOULOS, Paulo. Introdução ao Cálculo – Volume 1, Cálculo Diferencial. São Paulo: Blücher, 1988.
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica – Volume 1. São Paulo: Harbra Ltda, 1994.
LARSON, R. E., HOSTETLER, R. P. e EDWARDS, B. H. Cálculo e Geometria Analítica – Volume 1. USA: LTC, 
2006.
SIMMONS G. F. Cálculo com Geometria Analítica – Volume 1. São Paulo: Makron Books, 1987.
SWOKOWISKI, Earl William. Cálculo com Geometria Analítica – Volume 1 - 2. São Paulo: Makron Books, 1995.