CalcII mod06
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\u2212 \uf8ee\u2212 \uf8f9 + \uf8ee \uf8f9 \u2212 \uf8ee \uf8f9\uf8f0 \uf8fb \uf8f0 \uf8fb \uf8f0 \uf8fb \uf8f0 \uf8fb

( ) ( ) ( ) ( )20 1 1 1 1A \u3c0 = \u2212 \u2212 \u2212 \u2212 + \u2212 \u2212
2
0 1 1 1 1A
\u3c0 = + + +

2
0 4 . .A u a
\u3c0 =

Vamos agora ao último caso, no qual a área a ser calculada corresponde à região limitada
por duas funções de x, f e g e pelas retas x a= e x b= .

3º caso: Sejam f e g funções contínuas em um intervalo [ ] , a b e tais que ( ) ( )f x g x\u2265
para a x b\u2264 \u2264 . Nestas condições, calcule a área da região delimitada acima por y = f ( x),
abaixo por ( )y g x= e lateralmente pelas retas x a= e x b= .
Para resolver este problema, vamos considerar as seguintes situações:

Situação I \u2013 Vamos considerar as funções ( )f x e ( )g x , positivas, desta forma, os
gráficos estão acima do eixo x , conforme a figura 8.

y

x

\u2206x = dx

h

xa b

y2 = f (x)

y1 = g (x)

( )f x

(x)g

FIGURA 8 \u2013 Área entre funções positivas
Fonte: próprio autor

Para iniciarmos o cálculo, devemos determinar primeiramente a área do retângulo de refe-
rência que é o nosso elemento de área A\u2206 .

 altura x base

Aplicações da Integral Definida126

Antes de calcularmos a altura, que tal revermos um tópico da
geometria analítica? Você o conhece e irá precisar dele!

Medida algébrica de um segmento orientado

Fazendo corresponder a dois pontos A e B, do eixo y, os números 1y e 2y respectiva-
mente, a distância orientada de A a B é dada por:

y

A B

y2y1

2 1AB y y= \u2212

Como podemos verificar na Figura 8, o valor da altura do retângulo corresponde à medida
do segmento orientado h.

O valor da ordenada f (x) corresponde ao número 2y e a ordenada g (x) ao número 1y .
Assim, a altura do retângulo é

( ) ( )2 1h y y h f x g x= \u2212 \u2192 = \u2212

A base do retângulo é igual a x\u2206 , portanto

( ) ( ) .A f x g x x\u2206 = \uf8ee \u2212 \uf8f9 \u2206\uf8f0 \uf8fb
Neste caso, a área é assim calculada

Situação II \u2013 Vamos considerar agora, a função ( )f x positiva, acima do eixo x e a
função ( )g x negativa, abaixo do eixo x, conforme a figura 9.

y

x

\u2206x = dx

h

a b

y2 = f (x)

y1 = g (x)

( )f x

(x)g

FIGURA 9 \u2013 Área entre uma função positiva e uma função negativa
Fonte: próprio autor

Aplicações da Integral Definida 127

A área do retângulo de referência é:

 altura x base

A altura do retângulo, como já foi visto, tem o valor do segmento orientado h, portanto,
( ) ( )2 1h y y h f x g x= \u2212 \u2192 = \u2212

Como a base do retângulo é x\u2206 , temos:

( ) ( ) .A f x g x x\u2206 = \uf8ee \u2212 \uf8f9 \u2206\uf8f0 \uf8fb

E a área da região é calculada através da integral:

( ) ( ) .
b

a

A f x g x dx= \uf8ee \u2212 \uf8f9\uf8f0 \uf8fb\u222b

Situação III \u2013 Vamos considerar nesta última situação, as duas funções negativas, ou

seja, ( )f x e ( )g x abaixo do eixo das abscissas, conforme a figura 10.

y

x

\u2206x = dx

h

a bx

y2 = f (x)

y1 = g (x)

( )f x

(x)g

FIGURA 10 \u2013 Área entre funções negativas
Fonte: próprio autor

A área do retângulo de referência é:

A\u2206 = altura x base

Também neste caso, a altura tem o valor do segmento orientado h, assim
( ) ( )2 1h y y h f x g x= \u2212 \u2192 = \u2212

Como a base do retângulo tem o valor de x\u2206 , temos

( ) ( ) .A f x g x x\u2206 = \uf8ee \u2212 \uf8f9 \u2206\uf8f0 \uf8fb

Assim sendo, a área da região é calculada pela integral:

Nas três situações apresentadas, percebe-se que a posição da região em relação ao eixo
x não interfere no resultado. A área das regiões foi obtida pela mesma integral. Portanto,
podemos definir a seguinte fórmula para o cálculo da área:

Aplicações da Integral Definida128

A área A da região limitada pelas curvas ( )y f x= , ( )y g x= e pelas retas x a= e
x b= , onde f e g são contínuas e ( ) ( )f x g x\u2265 para todo x em [ ] , a b , é

( ) ( )
b

a

A f x g x dx= \uf8ee \u2212 \uf8f9\uf8f0 \uf8fb\u222b

Vimos até aqui, a integral definida sendo utilizada no cálculo da área
de regiões delimitadas por funções de x, mas este cálculo pode se
estender também para regiões delimitadas por funções de y. Veja!

Integração em relação à y
Podemos calcular a área de uma região delimitada por curvas descritas por funções de y,
aplicando a metodologia de cálculo já apresentada.

Vamos considerar uma região delimitada por curvas com equações ( )x f y= , ( )x g y=
e as retas y c= e y d= , onde f e g são continuas e ( ) ( )f y g y\u2265 para todo y em
[ ] , c d , conforme a Figura 11.

y

x

\u2206y = dy

h

c

d

x2 = f (y)

f (y)g (y)

x1 = g(y)

y

FIGURA 11- Área entre funções em y
Fonte: próprio autor

Neste caso, para calcular a área, a região será dividida em retângulos horizontais. Assim,
o retângulo de referência terá a base igual a y\u2206 , e a altura ( ) ( )h f y g y= \u2212 . Desta
forma, o retângulo terá a seguinte área:

( ) ( ) .A f y g y y\u2206 = \uf8ee \u2212 \uf8f9 \u2206\uf8f0 \uf8fb
A área da região será calculada pela integral:

A simples memorização das fórmulas e a sua aplicação de maneira
mecânica aos problemas de áreas, não é nada recomendável.

O mais importante é que você domine o método, pense
geometricamente e construa a fórmula adequada para cada problema.

Aplicações da Integral Definida 129

Veja agora um procedimento sistemático para se achar a área por integração.

TOME NOTA

Passo 1 \u2013 Faça um desenho da região, esboçando as curvas e definindo os limites de inte-
gração, que em alguns casos podem ser os pontos de interseção das curvas. A região que
apresenta duas ou mais curvas em seu contorno superior ou inferior, deverá ser dividida em
sub-regiões, que serão calculadas separadamente.

Passo 2 \u2013 Desenhe no interior da região ou das sub-regiões o retângulo de referência que
poderá ser posicionado de forma vertical ou horizontal.

Passo 3 \u2013 Programe a integral definida entre os limites de integração x ou y apropriados,
indicados no esboço da região.

Passo 4 \u2013 Calcule a integral definida.

Vamos agora dar alguns exemplos de cálculo de área de região compreendida entre curvas.

Exemplo 1

Determine a área da região compreendida entre as curvas y = x2 e y = x + 6.

Solução

Inicialmente, vamos esboçar a região, traçando o gráfico das duas equações. Veja:

y

xa b

f (x) = x + 6

g(x) = x2

Figura12 \u2013 Área da região entre as funções y = x2 e y = x + 6
Fonte: próprio autor

Podemos denotar a função superior por ( )f x e a inferior por ( )g x .
Vamos agora determinar os limites de integração a e b, que neste caso, são os pontos de
interseção entre as funções ( ) f x e ( )g x , como você pode observar.
Então, para encontrarmos estes valores, vamos igualar as funções ( ) f x e ( )g x .
Assim, 26 x x+ =

2 6 0x x\u2212 \u2212 = , aplicando a fórmula de Bhaskara, encontramos as raízes
2x = \u2212 e 3x =

Portanto estes são os limites de integração

2 a = \u2212 e 3b = .

Aplicações da Integral Definida130

Após o esboço da região, vamos desenhar no seu interior o retângulo de referência, deter-
minando a equação de sua altura e o valor de sua base.

Para este problema, vamos optar pelo retângulo com posicionamento vertical, isto é,
vamos integrar em relação a x.

É importante ressaltar que a escolha do local, no interior da região, para desenhar o
retângulo é arbitrária.

y

x-2 3

g(x)

\u2206x = dx

f (x)

Figura 13 \u2013 Área com o retângulo de referência

Fonte: próprio autor

Esta região apresenta em seu contorno superior uma única função ( ( )f x ), o mesmo
ocorrendo em seu contorno inferior ( ( )g x ).
Assim, não haverá necessidade de dividir a região em sub-regiões, pois o retângulo de
referência, qualquer que seja o seu posicionamento, terá uma única fórmula de área.

( ) ( ) . A f x g x x\u2206 = \uf8ee \u2212 \uf8f9 \u2206\uf8f0 \uf8fb , portanto, a área da região é:

Calculando a integral e substituindo os limites de integração:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 32 3

3
2

3 3 2 2
[ 6 ] 6 3 6 2

2 3 2 3 2 3
x xA x \u2212

\uf8ee \uf8f9 \uf8ee \uf8f9\u2212 \u2212
= + \u2212 = + \u2212 \u2212 + \u2212 \u2212\uf8ef \uf8fa \uf8ef \uf8fa

\uf8ef \uf8fa \uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb \uf8f0 \uf8fb

9 8 18 9 2 12
2 3

A \uf8ee \uf8f9 \uf8ee \uf8f9= + \u2212 \u2212 \u2212 +\uf8ef \uf8fa \uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb \uf8f0 \uf8fb
125 . .

6
A u a=

Exemplo 2

Calcule a área da região limitada pelas funções ( ) 2f x