CalcII mod06
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CalcII mod06


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próprio autor

Primeiramente vamos dividir o intervalo [ ],a b em n subintervalos utilizando os pontos
0 1 1, , , , K K nx a x x x x b\u2212= \u2026 \u2026 = como se mostra na figura 17. Sejam os pontos
0 1, , nP P P\u2026 os pontos da curva correspondentes aos valores atribuídos a x.

Agora, vamos conectar estes pontos por segmentos de retas que formarão um caminho
poligonal, cujo comprimento se aproxima do comprimento do arco L da curva.

Vamos deduzir a fórmula do comprimento de um segmento de reta representativo do
caminho poligonal

Veja a figura 18.

y

x

\u2206xk

\u2206yk

f (xk-1)

xk-1 xk

Pk-1

Pk

Lk

f (xk)

FIGURA 18 \u2013 Segmento de referência LK
Fonte: próprio autor

Aplicando o teorema de Pitágoras temos:
2 2 2
K k kL x y= \u2206 + \u2206 , assim o comprimento KL é

( ) ( )2 2K k kL x y= \u2206 + \u2206 (1)

Para desenvolver esta fórmula aplicaremos o Teorema do Valor Médio, já visto no cálculo
diferencial. Geometricamente, este teorema afirma que existe pelo menos um ponto de
uma curva derivável onde a reta tangente é paralela à reta secante, conforme mostrado
na Figura 19.

Aplicações da Integral Definida 137

y
x

\u2206xk

\u2206yk

f (xk-1)

xk-1 xk

Pk-1

Pc

xc

reta tangente

reta secante

Pk

Lk

f (xk)

FIGURA 19 \u2013 Reta Tangente e Reta Secante

Fonte: próprio autor

ATENÇÃO

Vale lembrar que o valor da derivada calculada em um ponto de uma curva derivável, corres-
ponde ao valor da declividade da reta tangente à curva neste ponto. Assim, como pode ser

observada na Figura 19, a declividade da reta tangente é igual a ( )' cf x . Já a declividade da
reta secante é igual a .

Como a reta secante e a reta tangente são paralelas, o valor de suas declividades é o
mesmo, portanto,

 ou ( )' .k cy f x\u2206 = kx\u2206 (2)

Substituindo (2) em (1), temos

( )2 2( ) ( ' . )K k c kL x f x x= \u2206 + \u2206

( )( )22 2( ) ' .( )k c kx f x x= \u2206 + \u2206

( )( )2 21 ' .( )c kf x x\uf8ee \uf8f9= + \u2206\uf8f0 \uf8fb

( )( )2 21 ' . ( )c kf x x= + \u2206

 ( )( )21 ' .c kf x x= + \u2206 (porque 0kx\u2206 > )

Agora, somando os comprimentos de todos os segmentos da poligonal, obteremos o
comprimento aproximado da curva.

1 2 K nL L L L L\u2245 + +\u2026+ +\u2026+ , usando a notação sigma

( )( )2
1 1

1 ( .
n n

k c k
k k

L L f x x
= =

\u2032\u2245 = + \u2206\u2211 \u2211 (3)

A soma que aparece em (3) é uma soma de Riemann.

Aplicações da Integral Definida138

Observe, que quanto maior for o número de segmentos, mais o comprimento da poligonal
se aproxima do comprimento da curva.

Matematicamente falando, devemos fazer o número n, que é o número de partições do
intervalo [ ] ,a b , tender ao infinito, consequentemente kx\u2206 tenderá a zero. Assim,
tomando o limite da soma de Riemann, quando kx\u2206 tende a zero, obtemos o comprimen-
to L da curva,

( )( ) ( )( )2 2
max 0

1

lim 1 . 1 .
k

bn

c kx
k a

L f x x f x dx
\u2206 \u2192

=

\u2032 \u2032= + \u2206 = +\u2211 \u222b (4)

Como ( )( )21 f x\u2032+ é contínua em [ ] ,a b , existe o limite (4). Portanto, recorrendo à
definição da integral definida, concluímos que o limite (4) pode ser calculado desta maneira:

( )( ) ( )( )2 2
max 0

1

lim 1 . 1 .
k

bn

c kx
k a

L f x x f x dx
\u2206 \u2192

=

\u2032 \u2032= + \u2206 = +\u2211 \u222b

Desta forma, chegamos a integral cujo valor corresponde ao comprimento L da curva e
assim definir:

Definição I

Se ( )y f x= for uma curva lisa no intervalo [ ] ,a b , então o comprimento de arco
L dessa curva sobre [ ] ,a b , é definido por

( ) 2 21 ( ' ) . 1 ( ) .
b b

a a

yL f x dx dx
x

\u2202
= + = +

\u2202\u222b \u222b (5)

Da maneira análoga podemos demonstrar a seguinte definição:

Definição II

Se ( )x g y= for uma curva lisa no intervalo [ ] , c d , então o comprimento de arco L
dessa curva sobre [ ] , c d , é definido por

( ) 2 21 ( ' ) . 1 ( ) .
d d

c c

xL g y dy dy
y

\u2202
= + = +

\u2202\u222b \u222b (6)

TOME NOTA

A escolha entre o uso da fórmula (5) ou da fórmula (6) é opcional. Sugerimos que você
escolha aquela cuja integral é mais fácil de calcular, certificando-se que a derivada da função
exista para todo ponto do arco.

Veja outros exemplos para que você consiga compreender melhor os procedimentos de
cálculo.

Exemplo 1

Encontre o comprimento de arco da curva
3
2y x= de ( )1 ,1 até ( )2 , 2 2 , mostrado na

figura 20.

Aplicações da Integral Definida 139

y
x

(1,1)

y = x3/2

( )2,2 2

FIGURA 20 \u2013 Curva
3
2y x=

Fonte: próprio autor

Solução:

Usaremos a fórmula (5)

( ) 2 21 ( ' ) . 1 ( ) .
b b

a a

dyL f x dx dx
dx

= + = +\u222b \u222b

Sendo
3
2y x= , vamos calcular a derivada

1
23

2
dy x
dx

= , que é definida para todo 1 2x\u2264 \u2264

e como a curva se estende de 1x = a 2x = , podemos usar a fórmula (5) e assim obter:
2 21

22

1 1

3 91 ( ) . 1 .
2 4

L x dx x dx= + = +\u222b \u222b

Vamos calcular esta integral pelo método da substituição:
1

1 12
2 29 4 41 . . .

4 9 9
x dx f df f df\uf8eb \uf8f6+ = =\uf8ec \uf8f7

\uf8ed \uf8f8\u222b \u222b \u222b

9 9 41
4 4 9

f x df dx dx df= + \u2192 = \u2192 =

3
3 32
2 24 8 8 9 (1 )39 27 27 4

2

f C f C x C= + = + = + + , portanto o comprimento L será
determinado assim:

2 3
2

1

29 8 91 . (1 )
14 27 4

L x dx x
\uf8ee \uf8f9

= + = +\uf8ef \uf8fa
\uf8f0 \uf8fb

\u222b

( ) ( )
3 3
2 28 9 9 1 2 1 1

27 4 4

\uf8ee \uf8f9
\uf8eb \uf8f6 \uf8eb \uf8f6\uf8ef \uf8fa= + \u2212 +\uf8ec \uf8f7 \uf8ec \uf8f7\uf8ef \uf8fa\uf8ed \uf8f8 \uf8ed \uf8f8
\uf8f0 \uf8fb

3 3
2 28 22 13 ( ) ( )

27 4 4
\uf8ee \uf8f9

= \u2212\uf8ef \uf8fa
\uf8f0 \uf8fb

22. 22 13 13 2,09

27
\u2212

= \u2245 unidades de comprimento

Aplicações da Integral Definida140

Exemplo 2

Determine o comprimento da curva

2
3

2
xy \uf8eb \uf8f6= \uf8ec \uf8f7

\uf8ed \uf8f8
de 0x = até 2x = , mostrado na Figura 21.

y

x

(2,1)

210

y = (x/2)2/3

FIGURA 21 \u2013 curva

2
3

2
xy \uf8eb \uf8f6= \uf8ec \uf8f7

\uf8ed \uf8f8
Fonte: próprio autor

Solução:

Inicialmente, vamos optar pela fórmula (5)

21 ( ) .
b

a

dyL dx
dx

= +\u222b , portanto, vamos calcular a derivada da função
2
3

2
xy \uf8eb \uf8f6= \uf8ec \uf8f7

\uf8ed \uf8f8
1 1
3 3

1
3

2 1 1 1 1 2. .
3 2 2 3 3

2

dy x
dx xx

\u2212
\uf8eb \uf8f6 \uf8eb \uf8f6= = =\uf8ec \uf8f7 \uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8 \uf8ed \uf8f8\uf8eb \uf8f6

\uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8

Você pode perceber que a derivada não é definida em 0x = , portanto não podemos
determinar o comprimento do arco com a fórmula (5).

Assim, vamos inverter a equação da curva para a utilização da fórmula (6).
2
3

2
xy \uf8eb \uf8f6= \uf8ec \uf8f7

\uf8ed \uf8f8
 elevando ambos os lados à potência

3
2

( )
2

33 3
22 [ ]

2
xy \uf8eb \uf8f6= \uf8ec \uf8f7

\uf8ed \uf8f8
 determinado x

3 3
2 22

2
xy x y= \u2192 =

Então, agora vamos determinar o comprimento da curva
3
22x y= de 0 y = até 1y = ,

usando a fórmula (6)

21 ( ) .
d

c

dxL dy
dy

= +\u222b

Sendo
3
22x y= , vamos calcular a derivada

1 1
2 232. 3

2
dx y y
dy

= =

Como a derivada é definida, consequentemente contínua em [ ]0 ,1 , podemos usar a
fórmula (6), assim:

1 11
22

0 0

1 (3 ) . 1 9 .L y dy y dy= + = +\u222b \u222b

Aplicações da Integral Definida 141

Calculando a integral pelo método da substituição temos:

( )
3

1 11 2
2 22

1 1 11 9 . . 39 9 9
2

fy dy f df f df C+ = = = +\u222b \u222b \u222b

11 9 9
9

f y df dy dy df= + \u2192 = \u2192 =

3 3
2 22 2 (1 9 )

27 27
f C y C= + = + +

 assim determinaremos o comprimento L do arco

( ) ( )
1 3 3 3

12 2 2
0

0

2 2 2 21 9 . [ (1 9 ) ] 1 9 1 ] 1 9 0 ] 10 10 1 2,27
27 27 27 27

L y dy y
\uf8ee \uf8ee \uf8ee \uf8f9= + = + = + \u2212 + = \u2212 \u2245\uf8ef \uf8ef \uf8f0 \uf8fb\uf8f0 \uf8f0

\u222b

unidades de comprimento

Algumas vezes o cálculo do comprimento de arcos, nos leva a integrais
muito difíceis ou mesmo impossíveis de serem calculadas. Nestes
casos, calculamos a integral por aproximação utilizando métodos
numéricos que você já conhece, como por exemplo, a Regra de
Simpson, a Regra do Trapézio etc. Este cálculo aproximado é chamado
de integração numérica.

Pois bem aluno (a), espero que você tenha compreendido os vários exemplos de cálculo
de áreas e comprimento de curvas que ilustraram este