CalcII mod09 volume de sólidos de revolução

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Cálculo II
VOLUME DE SÓLIDOS 
DE REVOLUÇÃO
HABILIDADES NO CAMPO DA 
PERCEPÇÃO ESPACIAL
AS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
NO CÁLCULO DE VOLUMES
CÁLCULO DO VOLUME DE 
SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
APRESENTAÇÃO
Caro (a) aluno (a), contemplaremos neste módulo mais uma aplicação da Integral Definida.
Já vimos que o cálculo de integrais permite calcular tanto a área de algumas regiões num 
plano quanto o comprimento de um arco de uma curva plana.
Neste módulo, dando continuidade às aplicações da integral definida, vamos conhecer 
uma das aplicações mais interessantes da integral: calcularemos volume de sólidos, deno-
minados Sólidos de Revolução.
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final deste módulo você estará apto (a):
• Desenvolver habilidades no campo da percepção espacial;
• Aplicar as técnicas de integração no cálculo de volumes;
• Calcular o Volume de Sólidos de Revolução.
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes P. Araújo
Transposição Pedagógica
Ediane Cardoso
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Nathan Ackerman Chagas de Souza
Raphael Gonçalves Porto Nascimento
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA DA DISCIPLINA 
Profa. Dayse Magda Fialho Sodré
Prof. Renaldo Sodré
BELO HORIZONTE - 2013
VOLUME DE SÓLIDOS 
DE REVOLUÇÃO
O que é um sólido de revolução? É um sólido gerado pela 
rotação de uma região plana em torno de uma reta situada no 
mesmo plano da região.
Esta reta é denominada Eixo de Rotação ou Eixo de Revolução 
do sólido.
Para que você entenda melhor esta definição, apresentamos na figura 1 algumas seções 
planas com os seus respectivos eixos de rotação e os sólidos de revolução gerados por elas.
Eixo da revolução
Figura 1 – Sólidos de revolução elementares
Fonte: Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis – Cálculo, volume 1
Antes de apresentarmos os métodos para o cálculo do volume destes sólidos, vamos 
relembrar a metodologia utilizada para o cálculo de áreas planas.
RECAPITULANDO 
Procedimentos para o cálculo de área plana:
1. Dividimos a região em retângulos (Elementos de área)
2. Somamos a área de cada um deles, obtendo uma soma de Riemann.
3. Tomamos o limite da Soma de Riemann, fazendo o número de retângulos tender ao infinito.
4. Calculamos este limite através de uma integral definida.
Para o cálculo do volume, aplicaremos o mesmo princípio básico utilizado no cálculo das 
áreas.
Com base neste princípio, existem vários métodos para o cálculo do volume dos sólidos 
de revolução.
Veja agora dois destes métodos na resolução de alguns problemas.
Volume de Sólidos de Revolução 187
Método do Disco
Exemplo 1 
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva ( )f x , 
o eixo x e as retas x a= e x b= , conforme a figura 2.
y=f (x)y
x
1x∆ 2x∆ ix∆ nx∆
1x 2x2c1c0x i-1x ic ix n-1x nc nx b
1 1(c , (c ))f
i i(c , (c ))f
n n(c , (c ))f
2 2(c , (c ))f
(a)
(b)
Figura 2 – Região dividida em retângulos (a), sólido de revolução (b)
Fonte: próprio autor
Para solucionarmos este problema, vamos dividir a região da Figura 2 em um número 
finito de retângulos, da mesma maneira como fizemos para o cálculo da área da região.
Para tanto, o intervalo [ ] ,a b será dividido em n subintervalos, escolhendo aleatoria-
mente pontos tais que:
0 1 2 1i i na x x x x x x b−= < < <…< < <…< =
Sendo 1i i ix x x −∆ = − , o comprimento do subintervalo [ ]1,i ix x− .
Em cada subintervalo [ ]1,i ix x− será escolhido, também aleatoriamente, um ponto iC .
Volume de Sólidos de Revolução188
Desta maneira, construímos um retângulo iR de base ix∆ e altura ( )if C .
Fazendo cada retângulo iR girar em torno do eixo x , o sólido de revolução obtido é um 
disco, ou um cilindro, cujo volume que denotaremos por iV∆ é dado por:
2.iV R Hπ∆ =
Como você pode verificar o raio R é igual a ( )if C e a altura, ou espessura H é igual 
a ix∆ , assim:
( ) 2[ ] .i i iV f C xπ∆ = ∆ 
Teremos um cálculo aproximado do volume do sólido, se somarmos os volumes de cada disco.
A soma, representada por nV , é dada por:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 2 2] . ] . ] . ] .n i i n nV f x x f x x f x x f x xπ π π π   = ∆ + ∆ +…+ ∆ +…+ ∆   
Usando a notação sigma, temos:
( ) 2
1
[ ] .
n
n i i
i
V f x xπ
=
= ∆∑
Observe que quanto maior for o número de discos, mais o volume nV se aproxima do 
volume V do sólido.
Podemos aumentar indefinidamente o número de discos, fazendo o número n de partições 
tender ao infinito, consequentemente ix∆ tenderá a zero.
Matematicamente, para se obter o volume V do sólido, calcularemos o seguinte limite:
( ) 2
max 0
1
lim [ ] . 
i
n
i ix
i
V f x xπ
∆ →
=
= ∆∑ (1)
A soma que aparece em (1) é uma soma de Riemann da função ( ) 2[ ]if x . Como f é 
contínua, o limite em (1) existe e então, pela definição da integral definida, temos:
( ) ( ) 22
max 0
1
lim [ ] . .
i
bn
i ix
i a
V f x x f x dxπ π
∆ →
=
 = ∆ =  ∑ ∫
A seguir mostraremos exemplos de cálculo de volumes de sólidos de revolução.
Você verá que na prática, vamos calcular os volumes somente com o uso da integral defi-
nida. Portanto, torna-se desnecessário formatar a soma de Riemann e seu limite.
Porém, você não pode esquecer que ao calcular a integral definida, você estará somando 
o volume de infinitos discos.
Volume de Sólidos de Revolução 189
Exemplo 2
A região entre a curva ( ) , 0 4y f x x x= = ≤ ≤, ( ) , 0 4y f x x x= = ≤ ≤ , e o eixo x gira em torno do eixo x 
para gerar um sólido. Determine seu volume.
x dx∆ =
( )f x
( )f x x=
0 4
y
x
H
R
Região
(a)
Disco
(b)
Sólido
(c)
Figura 3 – Região (a), disco (b) e sólido de revolução (c)
Fonte: próprio autor
Solução
Dividimos a região em retângulos, aqui representados pelo retângulo de referência. Este 
retângulo ao girar em torno do eixo x gera um disco, que é o elemento de volume , 
conforme mostrado na Figura 3.
Assim, o volume do disco é:
2. .V R Hπ∆ =
Observe que a medida do raio R do disco equivale à ordenada ( )f x e a sua altura H 
equivale à x∆ , assim:
( ) 2[ ] .V f x xπ∆ = ∆
Para o cálculo do volume V do sólido, usaremos, como já visto, a integral definida:
( ) 2[ ] .
b
a
V f x dxπ= ∫
4
2
0
 [ ] .x dxπ= ∫
4
0
 xdxπ= ∫
2
4
0 [ ]2
xπ=
( ) ( )2 24 0 
2 2
π
 
= − 
  
 8 π= unidades de volume (u.v.)
Volume de Sólidos de Revolução190
Exemplo 3
A região limitada pela curva 2
1
4
y x= − , o eixo x e as retas 1x = e 4x = , gira em 
torno do eixo x.
Encontre o volume do sólido de revolução gerado.
x dx∆ =
( )f x
y
x
x
21( )
4
y f x x= = −
H
R
1 4
Região
(a)
Disco
(b)
Sólido
(c)
Figura 4 – Região (a), disco (b) e sólido de revolução (c)
Fonte: próprio autor
Solução
Dividimos a região em retângulos e representamos apenas o retângulo de referência.
Este retângulo ao girar em torno do eixo x, gerará um disco cujo volume V∆ é dado por:
2. .V R Hπ∆ =
Observe na figura 4, que a ordenada ( )f x é negativa, uma vez que a região está total-
mente abaixo do eixo x.
Portanto, a medida do raio do disco equivale ao valor positivo de ( )f x , isto é:
( )R f x= ou ( )R f x= −
A altura H do disco equivale ao valor x∆ , assim, o volume do disco é:
( ) 2[ ] .V f x x∆ = − ∆
O volume do sólido será obtido ao calcularmos a integral definida:
( )
4
2
1
[ ] .V f x dxπ= −∫
24
2
1
1 .
4
x dxπ  =  
 ∫
4
4
1
1 .
16
x dxπ= ∫
5
4
1 [ ]16 5
xπ
=
5 5 4 1
80
π  = − 
1023 
80π= unidades de volume (u.v.)
Volume de Sólidos de Revolução 191
Exemplo 4
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por 3y x= , 8 y = 
e 0x = ao redor do eixo y.
y
x
yy dy∆ =
1
3( )g y y=
( )x g y=0
8
H
R
Região
(a)
Disco
(b)
Sólido
(c)
Figura 5 - Região (a), disco (b) e sólido de revolução (c)
Fonte: próprio autor
Como a região gira em torno do eixo y, vamos dividi-la em retângulos perpendiculares ao 
eixo y.
Antes, vamos determinar a função ( )x g y= , assim,
( )
1
3 3 y x x g y y= → = =
Conforme procedimento de cálculo, vamos agora determinar o volume do disco V∆ , que 
é dado por:
2. .V R Hπ∆ =
Como mostrado na figura 5,
 ( )R g y= e H y= ∆
Assim,
( ) 2 [ ] .V g y dyπ∆ =
O sólido está definido entre 0 y = e 8y = , desta forma, seu volume é:
( )
8
2
0
[ ] .V g y dyπ= ∫
8 1
23
0
 [ ] .y dyπ= ∫
8 2
3
0
 .y dyπ= ∫
5
83
0
3 96 [ ] . .
5 5
y u vπ π= =
Volume de Sólidos de Revolução192
Método do Anel
Você já ouviu falar no método do anel? Ele é utilizado nos casos em 
que o sólido de revolução é gerado pela rotação de uma região em 
torno de um eixo externo a ela. Portanto, o sólido assim obtido terá 
espaços vazios em seu interior.
A solução dos problemas que se seguem exemplificam essa situação.
Exemplo 5
A região delimitada pelas curvas ( ) f x e ( )g x e as retas x a= e x b= gira em torno 
do eixo x. Determine o volume do sólido.
Região
(a)
Anel
(b)
Sólido
(c)
y
xx
x dx∆ =
( )g x
( )f x
( )g x
a b
( )f x
H
r
R
Figura 6 - Região (a), anel (b) e sólido de revolução (c)
Fonte: próprio autor
Solução
Observe que o retângulo de referência não toca o eixo de rotação, assim, o elemento 
de volume V∆ gerado, tem a parte central vazada. Então, o volume V∆ de um anel é 
obtido pela diferença de volumes do maior cilindro pelo menor cilindro, assim,
2 2V R H r Hπ π∆ = −
2 2( ).V R r Hπ∆ = −
Desta forma, devemos identificar no problema, a medida do raio correspondente ao cilin-
dro maior ( )R , a medida correspondente ao raio do cilindro menor ( )r e a altura do 
cilindro ( )H .
Observe na figura 6, que ( )R f x= , ( ) r g x= e H x= ∆
Assim, ( ) ( )(2 2 [( ) )V f x g x xπ ∆ = − ∆
Volume de Sólidos de Revolução 193
O volume do sólido será definido pela seguinte integral:
( ) ( )(2 2[( ) ) .
b
a
V f x g x dxπ = − ∫
Vamos agora a um exemplo prático.
Exemplo 6
Determine o volume gerado pela rotação da região limitada pelas funções 
( ) 2y f x x= = e ( ) y g x x= = , em torno do eixo x, conforme a figura 7:
y
xa bx∆
( ) 2g x x=
( )f x x=
H
r
R
Região
(a)
Anel
(b)
Sólido
(c)
Figura 7 - Região (a), anel (b) e sólido de revolução (c)
Fonte: próprio autor
Solução
Primeiramente, vamos calcular os pontos de interseção (a e b) entre as funções para 
obtermos os limites de integração.
Igualando as funções:
2x x=
2 2( 2 )x x= Elevando ambos os lados ao quadrado
22x x=
2 2 0x x− =
( )2 0 0x x x− = → = e 2x =
Então, 0 a = e 2b = .
Naturalmente você já deve ter observado na figura que como a região vai girar em torno 
do eixo x, teremos uma parte central vazada, tratando-se, portanto, de um anel.
Então, o volume do anel V∆ é dado por:
2 2( ).V R r Hπ∆ = −
Volume de Sólidos de Revolução194
Repare que ( ) 2R f x x= = , ( ) r g x x= = e H x= ∆
Substituindo temos:
( ) ( )(2 2 [( ) )V f x g x xπ ∆ = − ∆
Então, ( 2 2 [ 2 )V x x xπ ∆ = − ∆
2 2V x x xπ  ∆ = − ∆ 
E o volume do sólido é calculado pela seguinte integral definida:
( )
2
2
0
2V x x dxπ= −∫
2 3
2
0
2 [ ]
2 3
x xπ= −
( )8 4 0
3
π
  = − −    
4 . .
3
u vπ=
Você seria capaz de resolver este mesmo exercício com a rotação em torno do eixo y?
Ache as funções inversas e vá em frente!
E agora, vamos a um exemplo onde faremos um sólido girar em torno 
de vários eixos.
Desta vez, iremos apenas programar as integrais.
Os cálculos ficarão por sua conta. Aproveite para aprimorar a sua visão 
espacial. Boa sorte!
Exemplo 7
Programe as integrais para o cálculo do volume do sólido limitado pela função 
3y x= , a reta 2 x = e o eixo ( ) 0x y = , conforme figura 8 , gerado pela rotação em 
torno dos seguintes eixos:
(a) Eixo x (b) Reta 1 y = − (c) Eixo y (d) Reta 2 x = .
y
x
3y x=
0 2
Figura 8 – Sólido limitado por 3y x= , reta 2x = e 0y =
Fonte: próprio autor
Volume de Sólidos de Revolução 195
Solução
(a) Eixo x 
Como a rotação é no eixo x, observe que o elemento de volume será um disco. Confira!
y
x
3y x=
0 2
x∆
H
R
Região
(a)
Disco
(b)
Sólido
(c)
Figura 9 - Região (a), disco (b) e sólido de revolução (c)
Fonte: próprio autor
A fórmula para o volume do disco é:
2. .V R Hπ∆ =
3R x= e H x= ∆
Assim, 3 2( )V x xπ∆ = ∆
6 V x xπ∆ = ∆
E o volume do sólido é assim calculado:
2
6
0
V x dxπ= ∫
(b) Reta 1 y = − 
y
x
3y x=
0
2
x∆
1y = −
H
R
r
Região
(a)
Disco
(b)
Sólido
(c)
Figura 10 - Região (a), anel (b) e sólido de revolução (c)
Fonte: próprio autor
Neste caso, como você pode ver, trata-se de um anel. Portanto, para o volume do anel 
usamos a fórmula:
2 2( ).V R r Hπ∆ = −
Volume de Sólidos de Revolução196
Onde, ( )3 31 1R x x= − − = +
( )1 1r = − − =
H x= ∆
Então, ( 2 2 [ 1) 1V x xπ ∆ = + − ∆
E para o volume do sólido, montamos a seguinte integral:
( )
2
2
0
1 1V x dxπ  = + − ∫
 
(c) Eixo y
Região
(a)
Anel
(b)
Sólido
(c)
y
x0
8
2
y∆
r
H
R
Figura 11 - Região (a), anel (b) e sólido de revolução (c)
Fonte: próprio autor
Já que agora a rotação é no eixo y, precisamos achar a função inversa, ( )x f y= , 
assim:
3 y x= → ( )
1
3x f y y= =
E agora, determinamos o limite de integração:
3 y x= → para 2 8x y= → =
Como podemos observar, o elemento de volume neste caso, é um anel.
Então, 2 2( ).V R r Hπ∆ = −
1
32, R r y= = e H y= ∆
Substituindo, temos:
1
2 23 (2) ( )V y yπ
 
∆ = − ∆ 
 
Volume de Sólidos de Revolução 197
O volume do sólido é dado pela seguinte integral:
8 2
3
0
4V y dxπ
 
= − 
 
∫
(d) Reta 2x =
Região
(a)
Anel
(b)
Sólido
(c)
y
x0
8
2
y∆ H
R
1
3x y=
Figura 12 - Região (a), anel (b) e sólido de revolução (c)
Fonte: próprio autor
O giro desta vez é em torno da reta 2x = .
Neste caso trata-se de um disco, cuja fórmula é:
2. .V R Hπ∆ =
Onde 
1
32 R y= − e H y= ∆
Então, 
1
23(2 )V y yπ∆ = − ∆
E o volume do sólido é determinado pela integral:
8 1
23
0
(2 )V y dyπ= −∫
Neste mesmo exemplo, você pode imaginar outros eixos de rotação e mãos à obra!
Para os exemplos a seguir, faça você mesmo (a) os desenhos em perspectiva dos sólidos. 
Aproveite para treinar um pouco mais a sua percepção espacial. 
Vamos lá?
Exemplo 8
Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região, em torno do eixo x, limitada 
pela curva 
2
 3
3
y
x x
=
−
, as retas 0,5 x = , 2,5x = e o eixo x.
Volume de Sólidos de Revolução198
y
x0 0,5 2,5
( )f x
2
3( )
3
y f x
x x
= =
−
x dx∆ =
Figura13 – Região do exemplo 8
Fonte: Autor
Solução
O elemento de volume é um disco cujo volume é:
2. .V R Hπ∆ =
Onde ( )R f x= e H x= ∆
Assim,
( ) 2. .V f x xπ  ∆ = ∆ 
2
2
 3 ( ) .
3
x
x x
π= ∆
−
2
 9 . .
3
x
x x
π= ∆
−
O volume do sólido será assim calculado:
2,5
2
0,5
 9 .
3
V dx
x x
π=
−∫
2,5
2
0,5
 9
3
dx
x xπ=
−∫
A tarefa de finalizar este exercício, visando o seu treinamento, deixaremos por sua conta. 
Observe que na solução desta integral você pode aplicar a técnica da decomposição em 
frações parciais.
O resultado do problema é: 3 . 25 . .V ln u vπ=
Com certeza você chegará a este resultado!
Volume de Sólidos de Revolução 199
Exemplo 9
A região limitada pelo eixo y, a reta 
4
y π= e a curva ( ) x f y tg y= = , gira em torno do 
eixo y. Determine o volume do sólido.
y
x0
4
π
yy dy∆ =
( )x f y tgy= =
Figura 14 - Região do exemplo 9
Fonte: próprio autor
Solução
O elemento de volume é um disco de volume:
2. .V R Hπ∆ =
( )R f y=
 e H y= ∆
Assim,
( ) 2. .V f y yπ  ∆ = ∆ 
( )2. .V tg y yπ∆ = ∆
O volume do sólido é:
4
2
0
.V tg y dy
π
π= ∫
Deixaremos, também, esta finalização para você!
Para você conferir, a resposta deste problema é:
24 . .
4
V u vπ π−=
Escolha entre as técnicas de integração que você conhece, aquela 
mais adequada e boa sorte!
Neste último exemplo, você vai verificar que numa única rotação, podem surgir os dois 
elementos de volume, o disco e o anel. Confira!
Volume de Sólidos de Revolução200
Exemplo 10 
Determine o volume gerado pela rotação limitada pelas funções ( )y f x x= = e 
( ) 2y g x x= = − em torno do eixo x, conforme o gráfico da figura 15.
y
0 a b
2y x= −
y x=
Figura 15 - Região do exemplo 10
Fonte: próprio autor
Solução
Vamos calcular os limites de integração (a e b) sendo o ponto a, a interseção da reta com 
o eixo x e o ponto b, a interseção da reta 2y x= − com a curva y x= .
Para calcular o ponto a, fazemos:
2 0 2x x− = → = portanto 2a =
Para calcular o ponto b, igualamos as funções:
2x x− = 
( ) ( )222 x x− = Elevando ambos os lados ao quadrado
2 4 4x x x− + = 
2 5 4 0x x− + = 
5 25 16
2
x ± −= Aplicando Bhaskara
5 9 5 3
2 2
x ± ±= =
 
1 1x = e 2 4x = , como o ponto a é igual a 2, o ponto b que está à sua direita terá o 
valor 4, então os limites de integração são:
2a = e 4b =
Agora, vamos determinar os elementos de volume que serão gerados pela rotação dos 
retângulos típicos em torno do eixo x.
Volume de Sólidos de Revolução 201
Conforme a figura 15, podemos notar que no intervalo [ ]0, 2 , a base do retângulo se apoia 
sobre o eixo de rotação, gerando um disco, cujo volume que chamaremos de 1V∆ é:
2
1V R Hπ∆ = 
Repare que ( )R f x x= = e H x= ∆
Substituindo temos,
( ) 21 .V f x xπ  ∆ = ∆  
Então,
2
1V xπ  ∆ =   x∆
1V xπ∆ = x∆
Já no intervalo [ ]2, 4 , como o retângulo não se apoia sobre o eixo de rotação, o elemento 
de volume é um anel, cujo volume 2V∆ é:
2 2
2 .V R r Hπ  ∆ = −  
Observe que ( )R f x x= = , r = g(x) = x – 2 e H x= ∆ .
Então o volume 2V∆ é dado por:
( ) ( ){ }2 22 .V f x g x xπ    ∆ = − ∆    
2V π∆ = ( ) ( )
2 22 . x x x − − ∆  
2V π∆ = 
2( 4 4) . x x x x − − + ∆ 
2V π∆ = ( )2 5 4 . x x x− + − ∆
O volume do sólido será obtido pela soma de duas integrais definidas que estarão somando 
nos respectivos intervalos, os volumes dos infinitos discos e dos infinitos anéis, portanto:
( )
2 4
2
0 2
5 4 V xdx x x dxπ π= + − + −∫ ∫
 
 
2 42 3 2
0 2
5 4
2 3 2
x x x xπ π
   
= + − + −   
   
 
( ) ( )
2 3 2 3 22 4 5.4 2 5.20 4.4 4.2
2 3 2 3 2
π π
      
= − + − + − − − + −      
       
 
8 22
3 3
π π
    = + − −        
 
102
3
π π= +
 
16 . .
3
u vπ= u.v.
Volume de Sólidos de Revolução202
E então? Conseguiu fazer os desenhos em perspectiva?
Você certamente observou que da teoria à prática, estes métodos de 
cálculo de volumes não nos oferecem grandes dificuldades.
Os elementos de volume serão sempre discos ou anéis cilíndricos.
O disco é obtido quando o retângulo típico toca o eixo de rotação, caso contrário, o 
elemento de volume gerado será um anel, conforme mostrado na figura 16.
H
R
H
R
r
eixo de rotação
Anel
(b)
Disco
(a)
Figura 16 - Representação do disco (a) e do anel cilíndrico (b)
Fonte: próprio autor
Volume do disco → 2V R Hπ∆ =
Volume do anel → 2 2( )V R r Hπ∆ = −
TOME NOTA
Com o propósito de facilitar a aplicação destes métodos para o cálculo dos volumes de sóli-
dos de revolução, podemos listar os procedimentos na seguinte ordem:
1. Identificar os gráficos das funções fronteiras da região.
2. Determinar os limites de integração.
3. Desenhar o retângulo típico sobre a região.
4. Verificar se o elemento de volume é um disco ou um anel.
5. Formular o volume do disco ou do anel, determinando os valores de seus respectivos raios.
6. Programar e calcular a integral definida.
A lista ordenada dos procedimentos para o cálculo de volumes de sólidos de revolução e 
os vários exemplos apresentados ao longo deste módulo, convidam você a se aventurar 
nos exercícios propostos. Sucesso!
Volume de Sólidos de Revolução 203
Síntese
Caro (a) aluno (a), você acompanhou neste módulo a teoria e a aplicação de dois métodos 
para o cálculo dos volumes dos sólidos de revolução, o método do disco e o método do 
anel cilíndrico.
São métodos que consistem no fatiamento do sólido em infinitos discos ou anéis e na 
soma de seus volumes através de uma integral definida.
Ao rotacionar as regiões em torno dos eixos indicados, você teve a oportunidade de 
desenvolver mentalmente as perspectivas dos sólidos de revolução, para em seguida, 
representá-los geometricamente, através de esboços gráficos.
Estes exercícios são fundamentais para o desenvolvimento de sua percepção e visão espacial.
Você também teve a oportunidade de aplicar diferentes técnicas de integração, no cálculo 
das integrais definidas, obtidas para o cálculo dos volumes dos sólidos.
Chegou a hora de por em prática o que você aprendeu neste módulo.
Para isto, tente resolver os exercícios propostos e se tiver dúvidas, procure esclarecê-las 
antes de seguir adiante. 
Boa sorte e bons estudos!
Referências Básicas
ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S. Cálculo: Volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2007.
FLEMMING, D. M. e GONÇALVES, M. B. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
THOMAS, G. B. Cálculo: Volume 1. São Paulo: Addison Wesley, 2002.
Referências Complementares
BOULOS, Paulo. Introdução ao Cálculo: Volume 1, Cálculo Diferencial. São Paulo: Blücher, 1988.
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica: Volume 1. São Paulo: Harbra Ltda, 1994.
LARSON, R. E., HOSTETLER, R. P. e EDWARDS, B. H. Cálculo e Geometria Analítica: Volume 1. USA: LTC, 2006.
SIMMONS G. F. Cálculo com Geometria Analítica:Volume 1. São Paulo: Makron Books, 1987.
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