Questão 2 de Métodos Deterministicos I

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AD1 - Gabarito da Questa˜o 2 - 2016–1
Notac¸a˜o: Antes de ir para o enunciado da questa˜o, vamos definir a representac¸a˜o a seguir, em que
consideramos a e b dois nu´meros, tais que a < b. Consideramos tambe´m x como sendo um nu´mero
real. Quando escrevemos:
• a < x < b: estamos dizendo que x > a e que x < b.
• a ≤ x < b: estamos dizendo que x ≥ a e que x < b.
• a < x ≤ b: estamos dizendo que x > a e que x ≤ b.
• a ≤ x ≤ b: estamos dizendo que x ≥ a e que x ≤ b.
Enunciado da questa˜o: Considere o conjunto
A =
{
x ∈ Z |
(
−11
2
< x <
3
2
)
∧ (x ≥ −2)
}
,
isto e´, A e´ o conjunto formado pelos nu´meros inteiros que tornam verdadeira a proposic¸a˜o composta(
−11
2
< x <
3
2
)
∧ (x ≥ −2).
Considere tambe´m o conjunto
B = {x ∈ Z | (−1 ≤ x < 1) ∨ (6− 3x = 36)},
isto e´, B e´ o conjunto formado pelos nu´meros inteiros que tornam verdadeira a proposic¸a˜o composta
(−1 ≤ x < 1) ∨ (6− 3x = 36).
Sabendo disso:
a) (0.5 pt) Escreva os nu´meros que esta˜o no conjunto A.
b) (0.5 pt) Escreva os nu´meros que esta˜o no conjunto B.
c) Decida se cada uma das proposic¸o˜es abaixo e´ verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
i) (0.6 pt) ∀ x ∈ A,
(
x2 −
x
2
< 8
)
ii) (0.4 pt) ∀ x ∈ B, (3x+ 31) e´ ı´mpar
iii) (0.5 pt) ∃ x ∈ B, que satisfaz a equac¸a˜o E(x) = 0.
Considere E(x) como sendo a expressa˜o E(x) = 3x−
5
2
.
Soluc¸a˜o:
a) O conjunto A e´ formado pelos nu´meros inteiros que satisfazem (ou tornam verdadeira) a con-
junc¸a˜o
(
−11
2
< x <
3
2
)
∧ (x ≥ −2).
Os nu´meros inteiros que satisfazem a proposic¸a˜o elementar
(
−11
2
< x <
3
2
)
sa˜o: −5, −4, −3,
−2, −1, 0, 1. Logo,
(
−11
2
< x <
3
2
)
e´ verdadeira quando x ∈ {−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1}
Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 1 2
Os nu´meros inteiros que satisfazem (ou tornam verdadeira) a proposic¸a˜o elementar (x ≥ −2)
sa˜o os nu´meros inteiros maiores ou iguais a −2.
Como uma conjunc¸a˜o e´ verdadeira quando ambas as proposic¸o˜es elementares que a compoe˜m
sa˜o verdadeiras, segue que
(
−11
2
< x <
3
2
)
∧ (x ≥ −2) e´ verdadeira para x ∈ {−2, −1, 0, 1}.
Portanto, A = {−2, −1, 0, 1}.
b) O conjunto B e´ formado pelos nu´meros inteiros que satisfazem (ou tornam verdadeira) a dis-
junc¸a˜o (−1 ≤ x < 1) ∨ (6− 3x = 36).
Os nu´meros inteiros que satisfazem a proposic¸a˜o elementar (−1 ≤ x < 1) sa˜o: −1, 0. Logo,
(−1 ≤ x < 1) e´ verdadeira quando x ∈ {−1, 0}
O nu´mero inteiro que satisfaz a proposic¸a˜o elementar (6 − 3x = 36) e´ determinado resolvendo
a equac¸a˜o. Assim,
6− 3x = 36⇐⇒ −3x = 36− 6⇐⇒ −3x = 30⇐⇒ x = −10.
Logo, (6− 3x = 36) e´ verdadeira quando x = −10.
Como uma disjunc¸a˜o e´ verdadeira quando alguma das proposic¸o˜es elementares que a compoe˜m
e´ verdadeira, segue que (−1 ≤ x < 1) ∨ (6− 3x = 36) e´ verdadeira para x ∈ {−10, −1, 0}.
Portanto, B = {−10, −1, 0}.
c) Temos
i) Verdadeira.
Vamos primeiro reescrever a proposic¸a˜o. “Para todo x que pertence ao conjunto A, tem-se
que
(
x2 −
x
2
< 8
)
”. Dessa forma, para que a proposic¸a˜o seja verdadeira, e´ necessa´rio que
para todo elemento x de A, a diferenc¸a entre o quadrado de x com a metade de x seja
menor do que 8.
Isto e´ verdadeiro pois
• para x = −2 ∈ A, segue que (−2)2 −
(−2)
2
= 4 + 1 = 5 e 5 < 8.
• para x = −1 ∈ A, segue que (−1)2 −
(−1)
2
= 1 +
1
2
=
2 + 1
2
=
3
2
e
3
2
< 8.
• para x = 0 ∈ A, segue que (0)2 −
0
2
= 0− 0 = 0 e 0 < 8.
• para x = 1 ∈ A, segue que (1)2 −
1
2
= 1−
1
2
=
2− 1
2
=
1
2
e
1
2
< 8.
ii) Falsa.
Vamos primeiro reescrever a proposic¸a˜o. “Para todo x que pertence ao conjunto B, tem-se
que (3x+ 31) e´ ı´mpar”. Para que a proposic¸a˜o seja verdadeira, e´ necessa´rio que para todo
elemento x de B, a soma do triplo de x com 31 seja par. Isto e´ falso, pois existe um
elemento do conjunto B, tal que a soma do triplo de x com 31 na˜o e´ ı´mpar. De fato, o
elemento x = −1 ∈ B e´ tal que 3x+ 31 = 3(−1) + 31 = 28 na˜o e´ ı´mpar.
iii) Falsa.
Vamos primeiro reescrever a proposic¸a˜o. “Existe x que pertence ao conjunto B, tal que
E(x) = 0”. Isto e´, “Existe x que pertence ao conjunto B, tal que 3x−
5
2
= 0”
Para que a proposic¸a˜o acima seja verdadeira, devemos encontrar pelo menos um elemento
do conjunto B de modo que 3x−
5
2
= 0. Isto e´ falso, pois, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o 3x−
5
2
= 0
e´ x =
5
6
e este nu´mero na˜o e´ um elemento de B.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ