Apostila - Introdução ao Desenho | UFPE | Área II

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UFPE - Área 2 - Departamento de Expressão Gráfica 
 
 
 
Introdução ao Desenho 
 
Sistemas de Representação Gráfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
João Duarte Costa 
 
 
 
 1o semestre de 2008 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 
 
 
 
 
 
 
Índice 
 
 
 
 Introdução.......................................................... pág. 1 
 
 Instrumentos de desenho.................................... pág. 1 
 
 Sistemas de representação gráfica...................... pág. 2 
 
 Desenho a mão livre........................................... pág. 3 
 
 Desenho com esquadros..................................... pág. 4 
 
 Cavaleira............................................................. pág. 5 
 
 Isometria............................................................. pág. 12 
 
 Exercícios resolvidos.......................................... pág. 17 
 
 Respostas dos exercícios .................................... pág. 22 
 
 Exercícios propostos............................................ pág. 27 
 
 Sistema Mongeano .............................................. pág. 29 
 
 Exercícios resolvidos........................................... pág. 35 
 
 Respostas dos exercícios ..................................... pág. 49 
 
 Exercícios propostos............................................ pág. 68 
 
 Vista auxiliar ....................................................... pág. 70 
 
 Vista parcial ........................................................ pág. 71 
 
 Exercícios resolvidos............................................ pág. 72 
 
 Respostas dos exercícios ...................................... pág. 75 
 
 Peças com interseções de cilindros e cones ......... pág. 78 
 
 Introdução às normas técnicas.............................. pág. 82 
 
 Revisão de geometria............................................ pág. 87 
 
 Peças para montar ................................................ pág. 89 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 1 
 
 
 
Introdução 
 
 
A disciplina “Introdução ao Desenho” tem como objetivo desenvolver a capacidade de visualização espacial e a habilidade de 
expressão e de interpretação gráfica. 
 
É recomendável trazer essa apostila para as aulas de desenho para acompanhar melhor as explicações quando o professor indicar 
desenhos contidos nas suas páginas. 
 
No site virtus.homeftp.org acesse a sala virtual “Introdução ao Desenho – Área 2” para obter mais informações sobre a disciplina. 
Esta sala virtual contém a central de documentos e a biblioteca de links. 
A central de documentos contém textos e softwares didáticos, o plano de ensino, etc. 
A biblioteca de links indica outros sites com textos e softwares didáticos. 
 
As páginas 87 e 88 contém uma revisão de geometria. 
 
As peças contidas nas páginas 89 e 90 poderão ajudar na visualização espacial. É aconselhável montar e desenhar essas peças. 
Para facilitar a montagem, essas peças estão desenhadas com a escala duplicada em um arquivo na central de documentos. 
 
As questões das provas dos semestres anteriores, a partir do ano 2000, estão incluídas nos exercícios desta apostila. 
 
Instrumentos de desenho 
 
 
Enquanto a Área 2 não tiver cópias de softwares gráficos (MicroStation, AutoCAD, etc.) na quantidade suficiente para atender aos 
alunos de todas as turmas dessa disciplina, serão utilizados, no ensino e na avaliação, os instrumentos relacionados abaixo. 
 
Como é um material de uso restrito às disciplinas de desenho (o futuro engenheiro só usará computador), não é necessário adquirir 
modelos sofisticados. 
 
1 – Lápis - Embora possa ser usado lápis de madeira, recomenda-se o uso de lapiseira com grafite de espessura 0,5 mm ou menor, 
 para evitar o trabalho de afinar a ponta. 
 
 Os grafites são denominados, de acordo com sua dureza, de 6B, 5B,4B,3B,2B,B (moles), HB, F (médios), H,2H, 
 3H,....,9H (duros). Se usar apenas uma dureza, recomenda-se o grafite HB (ou número 2 para lápis de madeira). 
 
2 – Borracha - Qualquer borracha para apagar grafite. 
 
 
3 - Régua - Pode ser de qualquer material, com 20 cm ou 30 cm. 
 
 
4 – Esquadros - Servem para desenhar retas paralelas, perpendiculares e formando 
 ângulos de 30º , 45º e 60º. 
 Têm a forma de um triângulo retângulo com ângulos de 45o e de um 
 triângulo retângulo com ângulos de 30o e 60o. 
 
 O tamanho do par de esquadros é determinado pela hipotenusa do 
 esquadro de 45o ou pelo cateto maior do outro esquadro. 
 Recomenda-se um tamanho médio (por exemplo 20 cm). 
 
 
5 – Compasso – Usado para desenhar circunferência e arco de circunferência. 
 Existem diversos modelos. Adquira um modelo simples e pequeno. 
 
 
6 – Papel - Liso, de preferência folhas soltas (papel ofício ou A4), para facilitar o uso dos esquadros. 
 
 
 
 
 
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Sistemas de representação gráfica 
 
 
Um sistema de representação gráfica é uma forma de linguagem, que serve para comunicar idéias através da representação no 
desenho plano de objetos tridimensionais. 
Os sistemas de representação gráfica são classificados de acordo com o tipo de projeção e com a posição de um ortoedro (poliedro 
com faces ortogonais) auxiliar que envolva o objeto em relação ao plano de projeção. 
 
Nos desenhos abaixo, a mesma peça está desenhada em vários sistemas de representação gráfica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesta disciplina serão estudados 3 sistemas de representação gráfica: Cavaleira, Isometria e Mongeano. 
 
Na cavaleira, o objeto é projetado no plano do desenho (plano de projeção) através de um feixe de retas (projetantes) paralelas, 
inclinadas em relação ao plano do desenho. Um ortoedro auxiliar que envolva o objeto é posicionado com uma de suas faces 
paralela ao plano do desenho (fig. 1). 
 
Na Isometria,o feixe de retas paralelas é ortogonal ao plano do desenho e o ortoedro envolvente é posicionado com suas faces 
formando ângulos iguais com o plano do desenho (fig. 2). 
Obs.: A Isometria é um caso particular do sistema Axonometria Ortogonal que, dependendo dos ângulos que as faces do ortoedro 
formam com o plano de projeção, se classifica em: Isometria, Dimetria e Trimetria. 
 
No sistema Mongeano (vistas ortogonais), o ortoedro envolvente é posicionado com uma de suas faces paralela ao plano do 
desenho e a projeção é ortogonal ao plano de desenho. Nesse sistema são usadas várias projeções associadas entre si (fig.3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Desenho a mão livre 
 
 
Quando o engenheiro não dispuser de material de desenho, seja computador ou esquadros, ele deve ser capaz de expressar suas 
idéias a mão livre. Assim como a caligrafia, o desenho tem que ser legível. 
 
1 – Em Cavaleira 
 
Execute os procedimentos seguintes para desenhar a mão livre a peça mostrada na fig. 1 no sistema Cavaleira: 
 
Começando pelo bloco inferior, desenhe a face que contém os vértices A, B e C (fig. 2) do seguinte modo: 
Desenhe 2 segmentos perpendiculares AB e BC (fig. 3) procurando manter (sem medir) as mesmas proporções das arestas da peça 
(AB = 2/5 BC). 
Desenhe por A e C retas paralelas a AB e BC (fig. 4). Desenhe uma reta com qualquer direção a partir de A, C ou D (fig. 5). 
Desenhe mais 2 retas paralelas pelos outros 2 pontos (fig. 6). 
Marque em uma das 3 retas um ponto qualquer E e trace por esse ponto 2 retas paralelas aos lados do retângulo (fig. 7). 
 
Para desenhar o bloco superior, marque o ponto médio (G) da reta AF e um ponto H na reta FE a 2/5 de FE a partir de F e trace por 
G e H paralelas a AF e FE (fig. 8). Desenhe pelos pontos G, H e I retas verticais com tamanho AB (fig. 9). 
Complete a peça com mais retas paralelas a AF e FE. Apague as arestas que não são visíveis (fig. 10). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – Em Isometria 
 
Execute os procedimentos seguintes para desenhar a mão livre a mesma peça no sistema Isometria: 
 
Começando pelo bloco inferior, desenhe uma reta horizontal, uma reta vertical e duas retas inclinadas de modo que o ângulo α seja 
a metade do ângulo β ou 1/3 de 90o (fig. 11), procurando manter (fig. 12) as mesmas proporções das arestas da peça (BD = 5/2 AB 
e BC =2 AB). 
Desenhe por A,C e D retas paralelas às outras retas (fig.13) e complete o ortoedro com mais duas retas paralelas (fig. 14). 
 
Para desenhar o bloco superior, proceda do mesmo modo que foi feito nas fig. 8, 9 e 10, observando que GI e HI são paralelas a 
BD e BC (fig. 15). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3 – No Mongeano 
 
Execute os procedimentos seguintes para desenhar a mão livre a mesma peça no sistema Mongeano: 
 
Começando pelo bloco inferior, desenhe 2 retas perpendiculares (BC = 5/2 AB). Por B e C trace linhas de chamada verticais 
(linhas finas) para associar as vistas frontal e superior e desenhe a 3ª dimensão (BD = 2 AB) na vertical, deixando um espaço 
qualquer entre as 2 vistas (fig.1). 
 
Na fig. 2, complete as 2 vistas com retas paralelas, trace linhas de chamada horizontais e desenhe a dimensão BD na horizontal. 
Complete a vista lateral com 2 retas paralelas. 
 
Para desenhar o 1º bloco, determine os pontos G (na metade de BD) e H (2/5 de BC) e desenhe na vertical a mesma altura do 
primeiro bloco (fig. 3). A fig. 4 mostra as 3 vistas da peça. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para facilitar a visualização dessa peça nos 3 sistemas, monte os blocos 2 e 5 da pág. 89 e posicione esses blocos na mesma posição 
da peça desenhada. Tente repetir os desenhos com as proporções das dimensões desses blocos. 
 
Após montar os outros blocos, combine 2 ou 3 desses blocos, formando novas peças, e tente desenhar essas peças nos 3 sistemas. 
 
 
Desenho com esquadros 
 
 
Os esquadros podem ser posicionados de vários modos para o traçado de retas paralelas e perpendiculares. 
Nos desenhos seguintes veja um exemplo de posição dos esquadros. 
 
Na fig. 5 o desenho da régua representa o outro esquadro servindo de apoio em qualquer posição. O esquadro desenhado tem um 
dos catetos alinhado com BC e o apoio está na sua hipotenusa. 
 
Para desenhar a perpendicular AB à reta BC passando no ponto B (fig. 6), desloque o esquadro até que o cateto vertical passe no 
ponto B e trace a reta vertical. 
 
Para desenhar a reta paralela a BC passando no ponto A, desloque o esquadro até que o cateto horizontal passe no ponto A e trace a 
reta horizontal (fig. 7). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Cavaleira 
As arestas paralelas ao plano de projeção, como AC e AD (fig, 1), se projetam em A’C’ e A’D’ com o mesmo tamanho e a mesma 
direção. As arestas ortogonais ao plano de projeção, como AB, se projetam deformadas, como A’B’. A deformação depende da 
direção das projetantes (AA’) no espaço. 
A direção das projetantes no espaço pode ser determinada por 2 ângulos: 
O primeiro ângulo (α) é formado por uma horizontal A’C’ no plano de projeção e a interseção A’O do plano AOA’(ortogonal ao 
plano de projeção e contendo AA’) com o desenho. O ângulo α é chamado de direção da cavaleira. 
O segundo ângulo (β) está contido no plano AOA’ e é formado pela aresta AB e pela projetante AA’. 
A tangente de β é chamada de fator de conversão (K) e determina a relação entre o tamanho da projeção A’B’ e o tamanho real AB 
da aresta ortogonal ao plano de projeção. 
Alterando o valor de K, apenas as projeções das arestas ortogonais ao plano de projeção são alteradas na mesma proporção. 
As projeções das arestas paralelas ao plano de projeção, como A’C’ e A’D’, permanecem com o tamanho real. 
 
Para a Cavaleira ficar determinada são necessários 2 parâmetros: α � Direção 
 K � Fator de conversão 
 
 
No triângulo retângulo AOA’: 
 
K = tg (β) = A’O / AO = A’B’ / AB � A’ B’ = K x AB 
 
 
Se K = 1 então A’B’ = AB (fig. 2) 
Se K = 0,5 então A’B’ = 0,5 x AB (fig. 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a projeção da peça ficar com um aspecto parecido com o aspecto da peça vista diretamente, recomenda-se um valor de K 
variando de 0,5 a 1. 
Para mostrar toda a face destacada na fig. 4 pela abertura da face de frente, devemos reduzir o valor do ângulo β para olhar mais de 
frente, portanto K deve ser reduzido (A’B’ = 0,4 AB). 
Para mostrar toda a face destacada também podemos aumentar o valor de α (fig. 5), olhando mais de cima, e conseqüentemente 
destacando a face superior em relação à face lateral. Se abertura estiver na face lateral (fig. 6), devemos reduzir o ângulo α. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 6 
 
 
 
Regra prática para escolher a direção α em função das faces visíveis: 
A primeira face do ortoedro desenhada (que se projeta em verdadeira grandeza)geralmente é a mais importante ou a que mostra 
mais detalhes. Se chamarmos essa face de face frontal ou de frente, um modo prático de escolher a direção α da cavaleira em 
função das outras duas faces que queremos mostrar é a seguinte: 
Imagine que cada lado do contorno da face de frente corresponde a uma face (fig. 1). Se quiser mostrar as faces superior e 
direita, comece a desenhar a projeção da espessura do ortoedro a partir do vértice de interseção das retas correspondentes a essas 
faces, escolhendo o ângulo α entre as retas mostradas na fig. 1. Para mostrar outras faces veja o vértice inicial nas fig. 3, 5 e 7. 
Evite ângulos múltiplos de 90o, porque com esses valores só é possível mostrar 2 faces do ortoedro (fig. 9). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 Mostre toda a face hachurada da peça desenhada na fig. 10. 
 
 
A solução mostrada na fig. 11, alterando apenas o valor de K, deforma muito a peça. 
É melhor rotacionar primeiro o ortoedro, de preferência em torno de um eixo vertical, de modo que outra face do ortoedro fique 
paralela ao plano de projeção. Na fig. 12, após desenhar em verdadeira grandeza a face em forma de J e chamando essa face de 
face de frente, escolha a direção α de modo a mostrar a face hachurada (veja a fig. 3). Tente desenhar todas as retas destacadas 
na fig. 13 com apenas um deslocamento do esquadro. 
Para mostrar toda a face hachurada, determine o valor de K desses modos: meça o maior tamanho visível da aresta que parte do 
ponto M (0,6 cm) e calcule o valor de K = 0,6/2 = 0,3 ou, por tentativa, determine o valor de K de modo que K x 2 = 0,6. 
Marque 6 mm em uma das retas desenhadas na fig. 13 e tente desenhar, com apenas um deslocamento do esquadro, todas as 
retas destacadas na fig. 14. A fig. 15 mostra as arestas visíveis da peça. 
Na fig. 16 o valor de α foi modificado para mostrar a face hachurada pela abertura superior. Nesse caso, para qualquer valor de 
K a face hachurada ficará visível. 
Obs.: O aspecto da projeção será o mesmo se começar a desenhar a partir da face posterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 7 
 
 
 
Exemplo 2 Desenhe a peça da fig. 1 em cavaleira com K = 1 (blocos 1 e 2 da pág. 89). 
 
 
Se não conseguir imaginar a peça, tente decompor a peça em 2 blocos (um ortoedro e um prisma de base triangular) e determinar a 
posição relativa dos blocos (fig. 2). 
Desenhe o ortoedro, dividindo todas as arestas perpendiculares ao plano de projeção na fig. 2 por 0,5 (K= 0,5) para a obtenção de 
seus tamanhos reais (K=1) na fig. 3. 
Determine o ponto A por suas coordenadas. Determine as arestas AB, BC e AD. A aresta inclinada AC é obtida ligando seus 
extremos (fig. 4). A face que falta pode ser desenhada traçando paralelas às duas arestas que já foram desenhadas. Apague a aresta 
que não é visível (fig. 5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3 Desenhe a peça da fig. 1 em cavaleira com K = 1 mostrando sua face esquerda. 
 
 
Desenhe o bloco inferior da peça, escolhendo a direção α de modo a mostrar a face esquerda. Localize o ponto A por suas 
coordenadas e desenhe as arestas destacadas na fig. 6. Para desenhar a aresta inclinada AC localize seu extremo C desenhando a 
aresta BC (fig. 7). Complete a peça traçando mais duas paralelas e apagando a aresta que não é visível (fig. 8). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 8 
 
 
 
Cilindro e cone na Cavaleira 
 
 
Quando o cilindro estiver posicionado com o eixo perpendicular ao plano de projeção, trace o seu eixo AB com qualquer direção e 
com tamanho multiplicado por K. Com centro em A desenhe a circunferência com o raio da base e com centro em B um arco de 
mesmo raio (fig. 1). 
Desenhe as geratrizes de contorno paralelas ao eixo (fig. 2) e apague o trecho do arco que não é visível (fig. 3). 
Para desenhar um tronco de cone, proceda do mesmo modo, aumentando o raio da base de centro B e traçando as geratrizes de 
contorno tangenciando as duas circunferências (fig. 4). A determinação do vértice V do cone facilita o traçado das tangentes, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se o eixo do cilindro for paralelo ao plano de projeção, desenhe as tangentes (multiplique por K as projeções de uma das 
dimensões dos quadrados que envolvem as circunferências), marque os pontos médios das tangentes e trace por esses pontos arcos 
de elipse tangenciando as projeções dos lados dos quadrados (fig. 5). Complete as elipses. Não precisa desenhar a parte da curva 
que não é visível (fig. 6). Desenhe 2 geratrizes de contorno paralelas ao eixo do cilindro e tangenciando as elipses (fig. 7). 
A fig. 8 mostra as linhas visíveis da peça. Nos exercícios escolares destaque essas linhas sem apagar as linhas auxiliares para 
facilitar a correção. 
Na Cavaleira, como não é possível determinar os eixos de simetria da elipse, seu desenho é de difícil execução, mesmo com o 
auxílio do computador (na isometria é fácil). Existem vários processos para determinar pontos da elipse. 
 
Processo para determinar os pontos da elipse nas diagonais: 
Para determinar os pontos de interseção da elipse com as diagonais da projeção do quadrado, marque em um dos lados dessa 
projeção 2 segmentos medindo um valor igual ao raio da circunferência multiplicado por 0,3 (AB na fig. 9) e trace duas paralelas 
ao outro lado. As interseções dessas retas com as diagonais são pontos da elipse. Se marcar os segmentos na outra dimensão do 
quadrado, multiplique por K. A justificativa desse processo (veja na fig. 10) é que AB = OB – OA = r – r cos(45o) = (1-cos(45o)) r 
= (1-0,707) r = 0,293r. Então o ponto D é a projeção do ponto C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 9 
 
 
 
Processo para determinar mais pontos da elipse: 
Com o seguinte processo pode-se determinar qualquer quantidade de pontos da elipse: Depois de determinar as tangentes e seus 
pontos médios, divida os segmentos (veja no apêndice A) destacados na fig. 1 em qualquer quantidade de partes iguais (3 partes na 
fig. 1). Ligue o ponto A ao primeiro ponto do segmento horizontal e o ponto B ao primeiro ponto do outro segmento, prolongando 
esta reta até a reta anterior, determinando o ponto C da elipse. 
Na fig. 2 está a demonstração desse processo: Os 2 triângulos retângulos destacados são semelhantes e seus lados são 
perpendiculares. O ponto C de interseção das hipotenusas pertence ao arco capaz de 90o em relação à AB, logo o ponto C pertence 
à circunferência de diâmetro AB, e na fig. 1, C é a projeção desse ponto. Para determinar mais pontos, repita o processo para o 
segundo ponto e para os outros 3 quadrantes (fig. 3). 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4 Determine um furo cilíndrico que atravesse a peça da fig. 4, com diâmetro igual a 3 cm e eixo vertical. 
Após desenhar as tangentes das duas metades de elipse nas faces horizontais α e β, determine, usando o primeiro processo, 2 
pontos da elipse nas diagonais na face α, e, usando o segundo processo, 2 pontos da elipse na face β, dividindo os segmentos em 2 
partes iguais (fig. 5). Para traçar as tangentes da elipse na face inferior, faça uma translação do pontos A, B, C e D, baixando 3 cm 
A eB e 1 cm C e D (fig. 6). Também pode fazer uma translação de pontos obtidos nas curvas. A fig. 7 mostra as arestas visíveis. 
Se a peça puder ser vista com as faces α e β paralelas ao plano de projeção (fig. 8), desenhe o eixo do cilindro ABC e desenhe com 
o compasso 3 arcos de circunferência com centros em A, B e C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem de 2008 - pág. 10 
 
 
 
Exemplo 5 Desenhe uma cavaleira com K = 0,8 mostrando as faces da peça que não aparecem na fig. 1. 
 
Imagine a peça decomposta em 2 blocos envolvidos por ortoedros e escreva uma letra em cada vértice do bloco inferior (fig. 2). 
Imagine o ortoedro inferior visto em uma direção ortogonal a uma de suas faces invisíveis, como a face ADHE (veja a seta na 
fig.2). Desenhe essa face em verdadeira grandeza (fig. 3), dividindo AE por 0,7. Chamando essa face de face de frente, escolha a 
direção α de modo a mostrar as outras duas faces invisíveis HGFE (esquerda) e DCGH (inferior). Complete o ortoedro 
(multiplique DC por 0,8) e escreva as mesmas letras nos seus vértices. Mesmo que ainda não tenha imaginado o aspecto da 
projeção, destaque as arestas da peça pertencentes às arestas do ortoedro comparando as letras (pode usar proporção) (fig. 4) e 
complete o bloco inferior . Repita esse processo para o bloco superior, determinando o vértice I por coordenadas (fig. 5). A elipse 
contém o ponto J. Só desenhe sua parte visível (fig. 6). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando desenvolver a capacidade de visualização espacial e a habilidade de expressão e de interpretação gráfica (que é o objetivo 
dessa disciplina), o aluno pode dispensar o ortoedro e as letras, determinando os vértices por coordenadas, a partir de um ponto M 
qualquer (fig. 7). Também pode começar a cavaleira a partir de um plano de referência (fig. 8 e 9) ou a partir de 3 eixos ortogonais 
de referência (fig. 10). 
 
O valor de K deve sempre ser indicado no desenho para permitir a medida da espessura real, a não ser que a cavaleira seja cotada 
(tamanhos reais das arestas indicados no desenho). 
 
Os processos citados acima podem ser usados no desenho a mão livre, no desenho com esquadros, ou usando os comandos 
bidimensionais de um software gráfico. 
Quando o aluno estiver apto a usar os comandos tridimensionais de um software gráfico, a peça será determinada combinando 
formas tridimensionais predeterminadas e desenhada em outros sistemas de representação. 
 
Observe que apenas uma projeção (em qualquer sistema de representação) não determina a peça, mesmo que estejam indicados no 
desenho os eixos de referência ou a direção α. O desenho da fig. 11 pode representar várias peças. 
Com uma segunda projeção (em β ou em γ, por exemplo) a peça fica determinada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 11 
 
 
 
Exemplo 6 Junte alguns dos blocos das pág. 89 e 90 para compor peças e desenhe essas peças em cavaleira. 
 Veja alguns exemplos abaixo. Os extremos das linhas inclinadas estão determinados por suas coordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 12 
 
 
 
Isometria 
 
 
Na isometria exata, todas as arestas da peça que possuem direção igual a uma das direções das arestas de um ortoedro envolvente 
(AB, AC ou AD) têm a mesma inclinação em relação ao plano de projeção. Portanto as projeções ortogonais dessas arestas têm a 
mesma deformação: A’B’= 0,816 x AB, A’C’= 0,816 x AC e A’D’= 0,816 x AD (fig.1). 
Veja a demonstração na fig. 2: Os pontos E, F e G são as interseções dos prolongamentos das arestas AB, AC e AD com o plano de 
projeção. Traçando por A e B perpendiculares a EG determina-se o segmento A’’ B’’ . 
A’’B’’ = AB x cos(45o) = A’B’ x cos(30o) � A’B’= cos(45o) / cos(30o) x AB = 0,816 x AB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na isometria simplificada (fig. 3), as projeções das arestas não são reduzidas (A’B’= AB, A’C’= AC e A’D’= AD). 
No desenho feito com o auxílio dos comandos bidimensionais de um software gráfico, as arestas podem ser desenhadas com o 
tamanho real e quando terminar o desenho pode ser aplicado o comando para reduzir a escala. 
Usando os comandos tridimensionais de um software gráfico, as arestas são determinadas com seus tamanhos reais e suas 
projeções são reduzidas automaticamente. 
Os desenhos feitos com esquadros nessa disciplina serão executados adotando a isometria simplificada. 
Na isometria são sempre mostradas 3 faces do ortoedro envolvente, como nos exemplos mostrados nas figuras abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 13 
 
 
 
Observe que, em algumas das posições, a coincidência das projeções das arestas dificulta a compreensão desenho. Se o desenho for 
criado com comandos tridimensionais de um software gráfico, essa coincidência pode ser eliminada facilmente transformando a 
isometria em trimetria ou em axonometria cônica. 
 
 
Desenho de um ortoedro em isometria com os esquadros. 
A construção do ortoedro envolvente na isometria começa com o desenho de retas formando 30o com uma horizontal ou 60o com 
uma vertical (fig. 1). Por exemplo, comece desenhando uma reta vertical e posicione os esquadros como indicado na fig. 2. 
Desloque o esquadro de 30o na direção da seta e desenhe a reta destacada. Em seguida posicione os esquadros como indicado na 
fig. 3 e desenhe a reta destacada nessa figura. Determine a altura, a largura e a espessura da peça de acordo com a fig. 4 e complete 
o ortoedro traçando as paralelas indicadas. Dependendo da posição escolhida para a peça, a largura e a espessura podem ser 
permutadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 7 Desenhe a peça da fig. 5 em isometria. 
 
Desenhe o bloco inferior, lembrando de dividir a espessura da cavaleira por 0,5 e determine o vértice A do outro bloco por suas 
coordenadas (fig. 6). As arestas AB, AC e BD são paralelas às arestas do ortoedro. Para marcar uma aresta inclinada como AD, 
primeiro determine seus extremos e depois ligue esses pontos (fig. 7). Complete a face inclinada com paralelas (fig. 8). 
 
 
Exemplo 8 Mostre em isometria as faces da peça que não aparecem na fig. 5. 
 
O ortoedro tem que mostrar a face inferior. O processo é simétrico ao mostrado na fig. 2, em relação a uma reta horizontal (fig. 9). 
Imagine a peça girando 180o, de preferência em torno do eixo vertical (fig. 10). Para desenhar a peça, pode usar o processo das 
letras descrito no exemplo 5 (pág. 10). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 14 
 
 
 
Esfera e Cilindro na isometria 
 
 
Desenho da circunferência. 
O desenhoda projeção de uma circunferência (elipse) é de fácil execução no computador. Com os esquadros, a elipse pode ser 
desenhada usando os mesmos processos descritos no estudo da Cavaleira. Desenhe as tangentes à elipse (projeção do quadrado que 
envolve a circunferência) e trace arcos de elipse tangenciando os lados do quadrado nos seus pontos médios (fig. 1). 
Na figura 2, na metade esquerda da elipse, foram determinados os seus pontos nas diagonais, de acordo com o processo descrito na 
pág. 8. Na metade direita da elipse foram determinados 4 pontos usando o processo descrito na pág. 9. 
 
Desenho da esfera. 
A projeção da esfera na isometria exata é uma circunferência com o mesmo raio da esfera. Na isometria simplificada, que estamos 
usando nessa apostila, deve-se dividir o raio da esfera por 0,816 para desenhar sua projeção. Na figura 2, foi desenhado um arco de 
circunferência com centro C e raio 2/0,816 concordando com a elipse para obter a projeção de uma semi-esfera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho da falsa elipse. 
Quando não houver problemas de concordância entre os elementos que formam a peça, pode ser desenhada uma falsa elipse (oval 
regular de 4 centros) usando o compasso. 
Na fig. 3, a falsa elipse está desenhada em linha contínua e a elipse (obtida da forma descrita na fig. 2) está desenhada tracejada. 
Depois de desenhar as tangentes, trace perpendiculares às tangentes por seus pontos médios. A interseção dessas perpendiculares 
determinam os centros A, B, C e D dos 4 arcos de circunferência cujos pontos de concordância são os pontos médios das tangentes. 
Esse processo é uma aplicação da propriedade dos arcos concordantes, que têm centros M e N na perpendicular à tangente t, 
comum às curvas, no ponto de concordância T (fig. 4). 
 
Na fig. 2, se fosse desenhada a falsa elipse, essa curva não iria concordar com a projeção da esfera. 
 
Desenho do cilindro. 
A falsa elipse na face oposta do cilindro pode ser traçada deslocando os centros e pontos de concordância da primeira curva na 
direção e com o tamanho do eixo do cilindro e completando a peça com 2 tangentes paralelas ao eixo (fig. 5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 15 
 
 
 
Exemplo 9 Desenhe a peça da fig. 1 em isometria. 
 
Após desenhar as arestas retas (fig. 2), desenhe as tangentes aos arcos indicados na fig. 3. 
Trace perpendiculares às tangentes pelos seus pontos médios para determinar os centros dos arcos. 
Para desenhar o furo (fig. 4) trace suas tangentes e as perpendiculares às mesmas. 
As demais curvas podem ser obtidas por translação dos centros e dos pontos de concordância dos arcos (fig. 5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 10 Desenhe a peça da fig. 5 em isometria. 
 
Imagine a peça decomposta em blocos (fig. 6) e determine a posição relativa dos mesmos. O ponto M parece estar posicionado na 
frente de N, mas está 1cm abaixo e 1 cm à esquerda de N. 
Comece a isometria desenhando o Bloco 1 (pode envolver cada bloco por um ortoedro). Comece o Bloco 2 pelo ponto A , que deve 
coincidir com B, assim como o ponto C deve coincidir com D. 
Na fig. 7 estão desenhadas a elipse (em linha pontilhada) e a falsa elipse (em linha contínua). Basta desenhar uma das duas curvas. 
Também estão desenhadas em linha fina contínua todas as linhas auxiliares necessárias para o desenho da peça (não apague essas 
linhas na prova). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 16 
 
 
 
Exemplo 11 Desenhe a peça da fig.1 em isometria. 
 
Trace tangentes à elipse paralelas aos lados da face inclinada para determinar AB e CD (fig. 2). 
Determine na isometria as tangentes às curvas (fig. 3). No plano inclinado determine os pontos médios das tangentes e os pontos da 
elipse nas diagonais, ou determine quantos pontos quiser usando o processo mostrado na página 9. Desenhe a projeção da 
circunferência traçando a falsa elipse. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 12 Junte os blocos 2, 4 e 6 da página 89 de modo a obter a isometria da fig. 4 e desenhe: 
 1 – Outra isometria, escondendo o plano α (fig. 5). 
 2 – Uma cavaleira, mostrando inteiramente a face inclinada (fig. 6). 
 3 – Outra cavaleira, mostrando inteiramente a face inclinada e a face α (fig. 7). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios resolvidos 
 
 
1) Desenhe a peça 5 em cavaleira, com K = 0,5 mostrando toda a face α. 
2) Desenhe a peça 6 em cavaleira, mostrando toda a face α. 
3) Desenhe a peça 7 em cavaleira, mostrando toda a aresta m. 
4) Desenhe uma cavaleira da peça 8 mostrando inteiramente a aresta m e toda a face α. A aresta m tem 4 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 18 
 
 
 
5) Desenhe as peças de 9 a 12 em cavaleira, mostrando inteiramente a face α. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6) Desenhe as peças de 13 a 15 em isometria. 
7) Desenhe a peça 16 em isometria, mostrando inteiramente a face α. 
8) Desenhe a peça 17 em isometria, mostrando todas as faces que não aparecem na cavaleira. 
9) Desenhe a peça 18 em isometria, mostrando as mesmas faces que aparecem na cavaleira. Determine na isometria um furo 
 cilíndrico que atravesse a peça, com diâmetro igual a 3 cm e eixo AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 20 
 
 
10 - Imagine a peça 19 composta pelos blocos 2, 9 e 10 da pág. 89. Desenhe uma isometria dessa peça mostrando inteiramente 
a face α. 
11- Imagine uma peça 20 composta pelos blocos 1, 3 e 7, posicionando os blocos de modo que uma das faces quadradas do 
 bloco 3 coincida com a face quadrada do bloco 1 e o centro da outra face quadrada do bloco 3 coincida com o centro de 
 uma das bases do cilindro. Desenhe uma cavaleira dessa peça com K = 0,7 e posicionando a face do bloco 3 que contém o 
 número 3 paralela ao plano do desenho. 
12 - A peça 21 encaixa na peça 22 (como a chave na fechadura). Desenhe outra isometria da peça 21 mostrandotoda a face 
 inclinada. Desenhe a peça 22 em cavaleira mostrando toda a face inclinada. 
13 - Desenhe uma cavaleira da peça 23 mostrando inteiramente a face hachurada. Imagine uma peça 24 que encaixe na peça 23 
formando um cilindro e desenhe a peça imaginada em isometria mostrando inteiramente a face inclinada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 21 
 
 
14 - Imagine a peça que complementa a peça 25 formando um cubo e desenhe a peça imaginada em isometria mostrando 
 inteiramente a face inclinada. 
15 – A peça 26 é formada pelos blocos 3, 4 e 6. Desenhe essa peça em cavaleira sem mostrar a aresta m. 
16 - A peça 27 é formada pelos blocos 6, 8 e 10. Desenhe essa peça em isometria. 
17 - Imagine a peça que complementa a peça 28 formando um cone e desenhe a peça imaginada em cavaleira com K = 0,7 
 mostrando inteiramente a face que tem a forma de um trapézio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Respostas dos exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios propostos 
 
 
1 – Desenhe as peças de 29 a 36 em isometria. 
2 – Desenhe as peças de 37 a 40 em cavaleira. 
3 – Desenhe uma cavaleira ou uma isometria mostrando as faces que não aparecem nas peças de 29 a 30. 
4 – Desenhe uma cavaleira mostrando inteiramente todas as arestas que contém o vértice A da peça 35. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 28 
 
 
 
5 – Desenhe as peças de 41 a 44 em isometria. 
6 – Desenhe as peças 45 e 46 em cavaleira, mostrando todas as faces inclinadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 1 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 1008 - pág. 19 
 
 
 
Sistema Mongeano 
 
 
A primeira técnica de representação gráfica que pode ser considerada um sistema de representação gráfica foi estruturada por 
Gaspar Monge, que utilizou a expressão Geometria Descritiva para designar o seu sistema. A definição que ele empregou para esta 
expressão abrange todos os sistemas de representação gráfica atuais. Para evitar confusão, seu sistema é chamado de Mongeano, 
Vistas Ortogonais ou Vistas Ortográficas. 
Nesse sistema, o ortoedro envolvente é posicionado com uma de suas faces paralela ao plano do desenho e a projeção é ortogonal 
ao plano do desenho (fig. 1). Esta primeira projeção é chamada de vista principal (fig. 2). 
A peça também é projetada ortogonalmente em outros planos ortogonais ao plano do desenho. Quando os planos são paralelos às 
faces do ortoedro envolvente, as projeções são chamadas de vistas secundárias. Na fig. 3, a peça foi projetada em um segundo 
plano de projeção, que foi rebatido para coincidir com o plano do desenho. Observe na fig. 4 que as duas projeções de cada vértice 
da peça estão associadas por retas, denominadas de linhas de chamada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 30 
 
 
 
A fig. 1 mostra a obtenção de outra vista secundária, sempre associada com a vista principal por meio de linhas de chamada (fig. 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A fig. 3 mostra a peça projetada nas 6 faces de um ortoedro que envolve a peça. Uma das vistas é a vista principal e as outras 5 são 
vistas secundárias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 31 
 
 
 
Imagine as faces do ortoedro abrindo até serem rebatidas na face que contém a vista principal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As vistas rebatidas ficam na posição abaixo. Se a vista principal for a frontal (F), as outras vistas são: direita (D), esquerda (E), 
superior (S), inferior (I) e posterior (P). 
Nessa disciplina, as arestas invisíveis serão sempre projetadas tracejadas nas vistas ortogonais.UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 32 
 
 
 
Peça no 3o diedro 
 
 
Dois planos de projeção dividem o espaço em 4 diedros (fig. 1). Nas figuras das páginas 29, 30 e 31, a peça está posicionada no 1o 
diedro, ou seja, antes dos planos de projeção, em relação ao observador. Esta é a posição da peça adotada na Europa. 
 
Nos Estados Unidos, a peça é posicionada no 3o diedro, depois dos planos de projeção (fig. 2). Quando o segundo plano de 
projeção é rebatido para coincidir com o primeiro, a segunda projeção fica situada acima da primeira (fig. 3). Observe que são as 
mesmas vistas desenhadas na pág.29, com as posições invertidas. 
 
Se projetarmos a peça nas 6 direções mostradas na pág. 31, teremos as vistas desenhadas abaixo na fig. 4. 
 
As normas brasileiras permitem desenhos com a peça no 1o ou no 3o diedro, mas no mesmo desenho só pode haver uma das duas 
posições. As peças dessa apostila estão no 1o diedro. As provas devem ser resolvidas posicionando as peças no 1o diedro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 33 
 
 
 
Desenho das vistas principal e secundárias 
 
 
Para desenhar a peça da fig. 1 no sistema mongeano, meça todos os segmentos nas direções das arestas do ortoedro envolvente. 
Escolha em que direções vai projetar a peça (geralmente ortogonais às faces da peça) e a direção da vista principal (vista 1 nas 
fig. 2 e 7). Desenhe duas retas perpendiculares (fig. 2) e determine os tamanhos dos segmentos nas 2 dimensões da vista principal. 
Deixe um espaço entre as vistas e marque apenas a 3a dimensão na 1a vista secundária. Para facilitar o traçado, essa 3a dimensão 
pode ser transportada para a 2a vista secundária com o compasso ou com o esquadro de 45o . Pelos pontos determinados, desenhe 
retas horizontais e verticais formando uma malha. Tente desenhar todas as retas com apenas um deslocamento do esquadro (fig. 3). 
 
Imagine quais são as faces visíveis em cada direção (destacadas nas fig. 4, 5 e 6) e destaque essas faces na malha, nas vistas 
correspondentes. Se denominar a vista principal de vista frontal, então as outras vistas das fig. 2 e 7 são as vistas direita e superior. 
Nos exercícios escolares, desenhe em linha tracejada as arestas invisíveis e deixe bem finas e contínuas as retas auxiliares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na fig. 8 a vista principal é a vista direita. A vista superior rotacionou 90º em relação à mesma vista na fig. 7. 
Na fig. 9 a vista principal é a vista superior. A vista direita rotacionou 90º em relação à mesma vista na fig. 7. 
Junte os blocos montados 1 e 2 da pág. 89 na posição dessa peça e rotacione-os para entender melhor essas vistas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 34 
 
 
 
Escolha das vistas 
 
A quantidade de vistas necessárias para determinar uma peça depende da escolha das vistas. 
Uma única vista (fig. 1) pode representar várias peças (fig. 2 a 6, por exemplo). 
Duas vistas (fig. 7) podem representar várias peças (fig. 8 a 10), dependendo da escolha dessas vistas. 
Com as 2 vistas da fig. 11, a peça da fig. 8 fica determinada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geralmente são desenhadas 3 vistas da peça para tornar o desenho mais legível. 
Quando 2 vistas forem iguais, a peça (fig. 12) pode ser representada por 2 vistas (fig. 13). 
Nas provas dessa disciplina, quando forem pedidas 3 vistas de uma peça, projete a peça em 3 planos ortogonais entre si (vistas de 
frente, superior e lateral, por exemplo). Se 2 planos de projeção forem paralelos (fig. 14), a peça pode ficar indeterminada (fig. 15). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se não souber escolher as vistas, pode ser que mesmo com 3 vistas (fig. 16) a peça fique indeterminada (fig. 17 e 18). 
As 3 vistas da fig. 19 determinam a peça da fig. 18. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 35 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
 
1) Imagine várias peças que tenham as 2 vistas da fig. 47 e desenhe, para cada peça, 2 vistas, escolhendo essas vistas de modo que 
 cada peça fique determinada apenas com as 2 vistas escolhidas. 
2) Imagine várias peças que tenham a vista da fig. 48 e desenhe para cada uma mais 2 vistas e uma perspectiva. 
3) Imagine que a fig. 49 é a projeção de uma peça recortada de um prisma e desenhe mais 2 vistas e uma perspectiva. 
 Repita esse exercício imaginando a peça recortada de uma pirâmide e a peça recortada de um cone (blocos 11 e 12 da pág.90). 
4) Imagine várias peças com a isometria da fig. 50 e desenhe 2 vistas de cada uma. 
5) Desenhe mais 1 vista da peça 51. 
6) Acrescente nas vistas da peça 52 as projeções de um cilindro com altura de 1,5 cm e base com diâmetro de 1,5 cm, com uma 
base contida na face inclinada (eixo ortogonal à face inclinada). 
7) Desenhe 3 vistas ortogonais da peça 53. 
8) Desenhe uma vista lateral e uma isometria da peça 54. 
9) Imagine a face da fig. 55 girando em torno da reta indicada 270o . Desenhe as vistas frontal e superior e uma perspectiva da 
peça gerada por essa rotação. 
10) Monte diversas peças com os blocos das pág. 89 e 90 e desenhe para cada peça as vistas necessárias para sua determinação. 
Aproveite as peças montadas no exemplo 6 da pág. 11. 
11) Desenhe as vistas necessárias para determinar as 18 peças desenhadas nas páginas 27 e 28. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 36 
 
 
 
12) Para cada peça abaixo, desenhe mais uma vista secundária e uma perspectiva (cavaleira ou isometria). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Desenhe uma perspectiva de cada peça abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa –1º sem. de 2008 - pág. 37 
 
 
 
14) Desenhe 3 vistas ortogonais da peça 64. 
15) Desenhe uma isometria da peça 65. 
16) Desenhe uma cavaleira da peça 66 com K = 0,8. 
17) Desenhe a peça 67 em isometria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 38 
 
 
 
18) Desenhe 3 vistas ortogonais da peça 68. 
19) Desenhe a peça 69 em isometria. 
20) Desenhe uma isometria da peça70. 
21) Desenhe 3 vistas ortogonais da peça 71. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 39 
 
 
 
22) Dadas as vistas frontal e superior, desenhe a vista direita e uma isometria da peça 72 e acrescente nas 3 vistas e na 
 isometria a projeção de um com aresta medindo 1 cm e com uma face contida na face α da peça. 
23) Dada a peça 73 em isometria, desenhe 3 vistas ortogonais. 
24) Desenhe 3 vistas ortogonais da peça 74. 
25) Desenhe a peça 75 em isometria, mostrando toda a face α. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 40 
 
 
 
26) Desenhe a vista superior e uma isometria da peça 76. 
27) Desenhe 3 vistas ortogonais da peça da figura 77. Acrescente nas 3 vistas as projeções de um prisma de altura 2 cm e com 
 bases na forma de triângulo eqüilátero de lado AB. Uma das bases está contida na face inclinada da peça 2. 
28) Desenhe uma isometria da peça 78. 
29) Imagine uma peça formada com as 3 peças que estão desenhadas em cavaleira na fig. 79 e que tenha a vista frontal dada. 
 Desenhe as vistas esquerda e superior e uma isometria da peça imaginada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 41 
 
 
 
30) Desenhe uma isometria da peça 80. 
31) Imagine uma peça formada com as 2 peças que estão desenhadas na fig. 81 e que tenha a vista frontal dada. 
 Desenhe as vistas direita e superior e uma isometria da peça imaginada. 
32) Desenhe 3 vistas ortogonais da peça 82. 
33) Desenhe a peça 83 em isometria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 42 
 
 
 
34) Desenhe 3 vistas ortogonais da peça 84. 
35) Desenhe a peça 85 em isometria, mostrando toda a face α. 
36) Desenhe uma isometria da peça 86. 
37) Desenhe 3 vistas ortogonais da peça 87. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 43 
 
 
 
38) Desenhe 3 vistas ortogonais da peça 88. 
39) Desenhe uma isometria da peça 89. 
40) Desenhe a vista direita e uma isometria da peça 90. 
41) Desenhe 3 vistas ortogonais da peça 91. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 44 
 
 
 
42) Desenhe 3 vistas ortogonais da peça 92. 
43) Desenhe a peça 93 em isometria. 
44) Desenhe 3 vistas ortogonais da peça 94. 
45) Desenhe uma isometria da peça 95. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 45 
 
 
 
46) Imagine uma peça composta pelos 3 blocos dados por suas perspectivas e que tenha a vista frontal dada (peça 96). 
 Desenhe as vistas esquerda e superior e uma isometria. 
47) Imagine a peça 97 dada por suas vistas decomposta em 2 blocos. 
 Desenhe uma cavaleira do bloco da direita mostrando toda a aresta MN e uma isometria do bloco da esquerda . 
48) Desenhe a peça 98 em isometria mostrando toda a face α . 
49) Desenhe uma isometria da peça 99. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 46 
 
 
 
50 - Desenhe mais 2 vistas ortogonais da peça 100. 
51 - Desenhe uma isometria da peça 101. 
52 - Desenhe uma isometria da peça 102 mostrando a face quadrada . 
53 - Desenhe 3 vistas ortogonais da peça 103. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 47 
 
 
54 - Desenhe 3 vistas ortogonais das peças 104 e 106. 
55 – Desenhe uma isometria das peças 105 e 107. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 48 
 
 
56 – Desenhe uma isometria das peças 108 e 109. Desenhe a vista direita da peça 109. 
57 – Desenhe mais 2 vistas ortogonais da peça 110. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 49 
 
 
 
Respostas dos exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 54: Nas vistas,determine os pontos da curva com linhas de chamada. 
 Na isometria, determine os pontos por coordenadas. 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 68 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
 
Desenhe uma perspectiva das peças de 111 a 124. Desenhe 3 vistas ortogonais da peça 125. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 69 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFPE – Área 2 – Departamento de Expressão Gráfica – Introdução ao Desenho – João Duarte Costa – 1º sem. de 2008 - pág. 70 
 
 
 
 
Vista auxiliar 
 
 
Quando o plano de projeção for inclinado em relação às faces do ortoedro envolvente, a projeção é chamada de vista auxiliar. 
Uma face inclinada pode ser projetada em verdadeira grandeza em um plano α (fig. 1) paralelo a essa face. O plano α é ortogonal 
ao plano β, no qual a projeção da face inclinada é uma reta. 
 
No sistema mongeano, os planos de projeção são ortogonais entre si. Então o plano β, que contém a vista 2 (fig. 2), é o plano sobre 
o qual o plano α será rebatido. As linhas de chamada que associam as vistas 2 e 4 são perpendiculares à reta que é a projeção da 
face inclinada na vista 2. 
 
Na vista 4 são determinados os tamanhos dos segmentos ortogonais ao plano β (a dimensão que não aparece na vista 2) a partir de 
um referencial qualquer, marcado em uma das vistas vizinhas à vista da qual se partiu para a obtenção da vista auxiliar (nesse 
exemplo a vista 1 que é vizinha da vista 2). Se o objetivo for mostrar apenas a face inclinada, então o referencial pode ser o início 
da face (reta m na fig. 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para determinar a verdadeira grandeza (A4B4C4) da face ABC da peça 101, projete essa face na direção de sua reta horizontal 
(A2B2).determinando uma vista auxiliar na qual a face se projete como uma reta (A3B3C3), 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A vista auxiliar pode simplificar a execução do desenho e a visualização da peça. A peça da fig. 1 está determinada na fig. 2 ou 3. 
Na vista auxiliar (fig. 2) foram desenhados 2 arcos de circunferência, ao invés dos 8 arcos de elipse desenhados na fig. 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vista parcial 
 
As vistas secundárias e auxiliares podem ser parciais (fig. 5), mostrando apenas uma face ou uma parte da peça, tornando o 
desenho mais legível. As fig. 5 ou 6 determinam a peça da fig. 4. 
Na fig. 6 não é possível determinar a forma do triângulo. Na fig. 5, a vista auxiliar completa mostraria 3 elipses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios resolvidos 
 
 
1 - Para cada peça abaixo, desenhe uma vista auxiliar mostrando apenas a face α. 
2 - Desenhe uma vista auxiliar mostrando apenas a face β da peça 80. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3 - Desenhe as vistas necessárias para determinar as peças 128, 129 e 41. 
4 - Desenhe uma perspectiva da peça 130. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5 - Desenhe a vista ortogonal principal da peça 131 mostrando a verdadeira grandeza da face α. Desenhe uma vista auxiliar 
 parcial mostrando a verdadeira grandeza da face β. Desenhe outra vista parcial mostrando os detalhes que faltaram para a 
 determinação da peça. 
6 - Desenhe duas vistas auxiliares da peça 132 mostrando apenas as faces α e β em verdadeira grandeza. 
7 –Desenhe uma isometria da peça 133 mostrando a face α. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Respostas dos exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Peças com interseções de cilindros e cones 
 
 
As dúvidas mais freqüentes dos alunos em relação às interseções de cilindros e cones estão respondidas nos exemplos seguintes. 
Após determinar pontos das interseções em um sistema, pode usar suas coordenadas para desenhar as curvas em outro sistema. 
 
A fig. 1 mostra