solucionário - eletromagnetismo - alaor e chaves

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Fundamentos de/Introdução a Eletromagnetismo é um curso que é reconhecido por sua dificuldade, por isso me dispus a ajudar outros estudantes nessa matéria resolvendo o livro que é mais usado na UFMG na matéria. Em Física Básica, Eletromagnetismo, do professor Alaor, há problemas de diversos níveis e aqui você encontrará a solução de diversos deles – pelo menos por hora – mas futuramente encontrará todos os problemas resolvidos. Antes que sujam questionamentos digo que os Exercícios, por serem mais elementares, não disporão de resolução nesse arquivo (mais uma vez, pelo menos por hora). Observação: Geralmente, procuro deixar as respostas finais na mesma forma em que apresenta o livro do prof. Alaor, isso para evitar confusão. Mesmo assim, sua resposta porde não coincidir exatamente com as apresentadas, então confira os algarismos significativos ou se não é a mesma coisa, porém apresentada de outra maneira. Já, no caso de nossas respostas serem totalmente diferentes e você não se convencer da resolução aqui apresentada, você ou eu poderemos estar errados, então me contate por e-mail. Digo mais, quaisquer problemas, como, por exemplo, erros de conta, digitação e até mesmo conceito, entrem em contato. Espero estar ajudando a muitos. Bons estudos! Atenciosamente, Danilo. Segue aqui um quadro com o número das questões já resolvidas. Prob.\ Cap. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 X X X X X 2 X X X X 3 X X 4 X X 5 X X 6 X X - 7 X X - 8 X X - 9 X X - 10 X X - 11 X - 12 X - 13 - X - - 14 - X X - - 15 - - - X - - - - 16 - - - X - - - - 17 - - - - - - - - 18 - X - - - - - - - - 19 - - - - - - - - - - - 20 - - - - - - - - - - - - “X” = resolvido “ - “ = não há exercício com esse número 
 
 
Sumário Capítulo 1 .................................................................................................................................................................. 4 
P.1.1) ...................................................................................................................................................................... 4 
P.1.2) ...................................................................................................................................................................... 4 
P.1.8) ...................................................................................................................................................................... 6 Capítulo 2 .................................................................................................................................................................. 7 
P.2.18) .................................................................................................................................................................... 7 Capítulo 3 .................................................................................................................................................................. 9 
P.3.1) ...................................................................................................................................................................... 9 
P.3.14) .................................................................................................................................................................. 11 Capítulo 4 ................................................................................................................................................................ 13 
P.4.1) .................................................................................................................................................................... 13 
P.4.2) .................................................................................................................................................................... 13 
P.4.3) .................................................................................................................................................................... 14 
P.4.4) .................................................................................................................................................................... 14 
P.4.5) .................................................................................................................................................................... 14 
P.4.6) .................................................................................................................................................................... 14 
P.4.7) .................................................................................................................................................................... 15 
P.4.8) .................................................................................................................................................................... 15 
P.4.9) .................................................................................................................................................................... 16 
P.4.10) .................................................................................................................................................................. 17 
P.4.11) .................................................................................................................................................................. 17 
P.4.12) .................................................................................................................................................................. 18 
P.4.13) .................................................................................................................................................................. 19 
P.4.14) .................................................................................................................................................................. 20 
P.4.15) .................................................................................................................................................................. 20 Capítulo 5 ................................................................................................................................................................ 23 Capítulo 6 ................................................................................................................................................................ 24 
P.6.1) .................................................................................................................................................................... 24 
P.6.2) .................................................................................................................................................................... 24 
P.6.3) .................................................................................................................................................................... 25 
P.6.4) .................................................................................................................................................................... 25 
P.6.5) .................................................................................................................................................................... 26 
P.6.6) .................................................................................................................................................................... 27 
P.6.7) .................................................................................................................................................................... 27 
P.6.9) ....................................................................................................................................................................27 
 
 
P.6.10) .................................................................................................................................................................. 28 
P.6.15) .................................................................................................................................................................. 29 
P.6.16) .................................................................................................................................................................. 30 Capítulo 7 ................................................................................................................................................................ 32 
P.7.1) .................................................................................................................................................................... 32 Capítulo 8 ................................................................................................................................................................ 35 Capítulo 9 ................................................................................................................................................................ 36 Capítulo 10 .............................................................................................................................................................. 37 Capítulo 11 .............................................................................................................................................................. 38 
 
 
Capítulo 1 P.1.1) A força resultante é dada por: 
⃗ܨோ = ෍⃗ܨ௜௡
௜
 
 Então, 
෍⃗ܨ௜
௡
௜
= ૙ → ܨ௤.௤ᇲ − ܨଶ௤.௤ᇲ = 0 ∴ ܨ௤.௤ᇲ = ܨଶ௤.௤ᇲ 
݇.ݍ.ݍᇱ(ܮ − ݔ)ଶ = ݇. 2.ݍ.ݍᇱݔଶ 1(ܮ − ݔ)ଶ = 2ݔଶ 
ݔ = (ܮ − ݔ).√2 
ݔ + √2.ݔ = ൫1 + √2൯.ݔ = ܮ.√2 
ݔ
ܮ
= √21 + √2 = 2 − √2 P.1.2) Como as esferas possuem raios idênticos possuem capacitâncias idênticas. Logo, após contato, pelo fio, as cargas se distribuirão identicamente entres as esferas. Então, as esferas ficarão com carga igual à media aritmética das cargas iniciais. 
ݍ௙ = ݍଵ + (−ݍଶ)2 = ݍଵ − ݍଶ2 , se, 
ݍଵ = ݍଶ → ݍ௙ = 0 caso contrário, como as cargas ficarão com cargas idênticas elas, necessariamente, se repelirão. Inicialmente, tem-se: 
ܨ = ݇. |ݍଵ|. |−ݍଶ|
ݎଶ
= ݇. ݍଵ. ݍଶ
ݎଶ
 Para a configuração desejada é necessário que: 
ܨ = ܨᇱ 
 
 
݇. ݍଵ. ݍଶ
ݎଶ
= ݇. ቀݍଵ − ݍଶ2 ቁଶ
ݎଶ
 ∴ ݍଵ. ݍଶ = (ݍଵ − ݍଶ)ଶ4 4. ݍଵ. ݍଶ = ݍଵଶ − 2.ݍଵ. ݍଶ + ݍଶଶ 
ݍଵ
ଶ − 6.ݍଵ.ݍଶ + ݍଶଶ = 0 Resolvendo essa ultima equação para ݍଶ , ou seja, considerando ݍଶ a variável e resolvendo como uma equação de 2º grau em função de ݍଵ: 
ݍଶ = −6.ݍଵ ± ඥ(6.ݍଵ)ଶ − 4.ݍଵଶ2 = −6 ± √36 − 42 .ݍଵ = ൫−3 ± √8൯.ݍଵ 
ݍଶ
ݍଵ
= −3 ± √8 = −3 ± 2√2 
 
 
 
P.1.3) P.1.4) P.1.5) P.1.6) P.1.7) P.1.8) Devido à simetria, campos elétricos – no centro do cubo – de cargas opostas pelos vértices se cancelarão. Então apenas uma carga não terá seu campo elétrico cancelado no centro do cubo, essa é a que não tem outra carga no vértice oposto. Sendo a carga positiva, deduz-se que a direção do campo coincide com essa diagonal e, ainda, que tem sentido do vértice com carga para o sem carga. Finalmente, seu módulo será: 
ܧ = ݇. ݍ
ݎଶ
= ݇.ݍ
ቆܽ.√32 ቇଶ =
4. ݇.ݍ3. ܽଶ 
ܧ = 4.݇.ݍ3. ܽଶ P.1.9) P.1.10) P.1.11) P.1.12) 
 
 
Capítulo 2 P.2.1) P.2.2) P.2.3) P.2.4) P.2.5) P.2.6) P.2.7) P.2.8) P.2.9) P.2.10) P.2.11) P.2.12) P.2.13) P.2.14) P.2.15) P.2.16) P.2.17) P.2.18) O fio infinito cria um campo elétrico em um ponto de intensidade igual a 
ܧଵ = ߣଵ2. ߝ଴ .ߨ. ݎ Em que “r” é a distância entre o fio e o ponto. A densidade do fio “ab” pode ser dada por: 
ߣଶ = ݀ݍ݀ݔ → ݀ݍ = ߣଶ .݀ݔ (ܫ) Ainda, sabe-se que cada elemento de carda do fio “ab” sofre um elemento de força, devido o campo elétrico ܧଵ. Para encontrar a força total – resultante – devemos somar todos esses elementos de força, ou seja, integrar a seguinte equação: 
 
 
 ݎ݀ . ݎ .ߨ .଴ߝ .2ଶߣ .ଵߣ = ܨ݀ ሮ⎯ሱ ௥ୀ௫ ݔ݀. ݎ .ߨ. ଴ߝ .2ଶߣ . ଵߣ = ܨ݀ ሰልሳ )ூ( ݍ݀. ݎ .ߨ . ଴ߝ .2ଵߣ = ݍ݀. ଵܧ = ܨ݀
 ௔௕ݎ݀ ݎ1 නߨ .଴ߝ .2ଶߣ . ଵߣ = ௔௕ݎ݀. ݎ .ߨ. ଴ߝ .2ଶߣ .ଵߣ න = ܨ݀න
 )ܽnl − ܾnl( ߨ . ଴ߝ .2ଶߣ .ଵߣ = ௕௔|)ݎ nl( ߨ. ଴ߝ .2ଶߣ .ଵߣ = ܨ
 ൰ܾܽ൬ nl . ߨ . ଴ߝ .2ଶߣ . ଵߣ = ܨ
 
 
Capítulo 3 P.3.1) Chamemos os vértices do quadrado de 1, 2, 3 e 4. Então a energia potencial eletrostática do sistema será dada por: 
ܷ = 12 .෍෍ ௜ܷ௝௡
௝ஷ௝
௡
௜ୀଵ
= ଵܷଶ + ଵܷଷ + ଵܷସ + ଶܷଷ + ଶܷସ + ଷܷସ= ݍଵ.ݍଶ4. ߝ଴ . ߨ. ݎଵଶ + ݍଵ .ݍଷ4. ߝ଴ .ߨ. ݎଵଷ + ݍଵ. ݍସ4. ߝ଴ . ߨ. ݎଵସ + ݍଶ.ݍଷ4. ߝ଴ .ߨ. ݎଶଷ + ݍଶ.ݍସ4. ߝ଴. ߨ. ݎଶସ + ݍଷ .ݍସ4. ߝ଴ .ߨ. ݎଷସ 
ܷ = 14. ߝ଴ . ߨቆ−ݍଶܮ + ݍଶܮ.√2 − ݍଶܮ − ݍଶܮ + ݍଶܮ.√2 − ݍଶܮ ቇ = ݍଶ4. ߝ଴ . ߨ. ܮ ൬−4 + 2√2൰ = ݍଶߝ଴ . ߨ. ܮ ൬ 12.√2 − 1൰ 
ܷ = ݍଶ
ߝ଴. ߨ. ܮ ൬ 1√8− 1൰ 
 
 
 P.3.2) P.3.3) P.3.4) P.3.5) P.3.6) P.3.7) P.3.8) P.3.9) P.3.10) P.3.11) P.3.12) P.3.13) 
 
 
P.3.14) A) O desenho deve ser algo parecido com o seguinte. O importante é desenhar linhas de campo mais densas na ponta da agulha. 
 B) Como aproximação, devemos considerar a ponta da agulha como uma esfera de raio 
ݎ = 0,01ߤ݉ = 1. 10ି଼݉ e que essa possui um potencial igual a 10 volts. Assim: 
ܧ. ݎ ≅ ܸ ∴ ܧ ≅ ܸ
ݎ
 
ܧ ≅
101. 10ି଼ = 10ଽ ܸ ݉ൗ 
ܧ ≅ 10ଽ ܸ ݉ൗ 
 
 
 P.3.15) P.3.16) P.3.17) P.3.18) 
 
 
Capítulo 4 P.4.1) A) Para um capacitor de placas esféricas concêntricas a capacitância é: 
ܥ = 4.ߨ. ߝ଴ ܴ. ݎܴ − ݎ = 4.ߨ. ߝ଴ 0,1.0,050,1− 0,05 = 1,112. 10ିଵଵ ܨ 
ܥ = 11 ݌ܨ B) Num ponto médio teremos o raio (̅ݎ) médio que será: ̅ݎ = ோା௥
ଶ
 . Então, tracemos uma superfície Gaussiana com esse raio médio, concêntrica às esferas. Teremos: 
Φ = ݍ
ߝ଴
= රܧሬ⃗ ∙ ݀⃗ܣ 
 Como o campo elétrico é constante na superfície: 
ݍ
ߝ଴
= ܧ.ර݀ܣ = ܧ.ܣ = ܧ. 4.ߨ. ̅ݎଶ 
ܧ = ݍ
ߝ଴ . 4.ߨ. ̅ݎଶ = ݍߝ଴ . 4.ߨ. ቀܴ + ݎ2 ቁଶ = 1,0. 10
ି଺
ߝ଴ . 4. ߨ. ቀ0,1 + 0,052 ቁଶ = 1,598. 10଺ ܸ ݉ൗ 
ܧ = 1,6. 10଺ ܸ ݉ൗ P.4.2) A) Para capacitores esféricos tem-se que a capacitância é dada por: ܥ = 4.ߨ. ߝ଴ ோ.௥ோି௥ Porém, só há a espera interior. Para resolver esse caso devemos considerar que o raio da espera maior tende ao infinito. lim
ோ→ஶ
ܥ = lim
ோ→ஶ
4. ߨ. ߝ଴ ܴ. ݎܴ − ݎ = 4.ߨ. ߝ଴ .ݎ. limோ→ஶ ܴܴ − ݎ = 4.ߨ.ߝ଴ . ݎ Assim, 
ܥோ→ஶ = 4.ߨ. ߝ଴ . ݎ = 4.ߨ.ߝ଴ . 0,1 = 1,1121. 10ିଵଵ 
ܥ = 11 ݌ܨ B) Simplesmente faça a substituição na fórmula: 
ܷ = ܥ.ܸଶ2 = 11. 10ିଵଶ. (100)ଶ2 = 5,5. 10ି଼ ܬ 
ܷ = 5,5. 10ି଼ ܬ = 55.݊ܬ 
 
 
P.4.3) A questão é apenas aplicação de fórmulas. A) ݍ = ܥ.ܸ → ܸ = ௤
஼
= ଷ.ଵ଴షఴ
ଶ଴଴.ଵ଴షభమ = 1,5. 10ଶ ܸ݋݈ݐݏ 
ܸ = 1,5. 10ଶ ܸ B) ݑ = ௎
௏
 , em que u é a densidade de energia, U é a energia do capacitor e V o volume entre as placas. 
ݑ = ܷ
ܸ
= ݍଶ2.ܥ
ܸ
= ݍଶ2.ܥ.ܸ = (3. 10ି଼)ଶ2.200. 10ିଵଶ. 100. 10ି଺ = 2,25. 10ିଶ ܬ ݉ଷൗ 
ݑ = 2,25. 10ିଶ ܬ ݉ଷൗ = 2,25 ݉ܬ ݉ଷൗ 
 P.4.4) Temos que ݀ܨ = ܧ. ݀ݍ, como o campo elétrico é constante, devido a ser placas planas e paralelas teremos: ܨ = ܧ.ݍ Como as cargas de um placa não podem sentir força devido o campo gerado por elas mesmas, a força exercida entre as placas será devido o campo de uma placa que age sobre as cargas das outras. Então como: 
ܧ = ߪ2. ߝ଴ = ݍ2.ߝ଴ .ܣ Tem-se: 
ܨ = ܧݍ = ݍ2. ߝ଴ .ܣ .ݍ 
ܨ = ݍଶ2. ߝ଴.ܣ P.4.5) 
ܨ = ݍଶ2. ߝ଴.ܣ = (ܥ.ܸ)ଶ2.ߝ଴ . ቀ݀.ܥߝ଴ ቁ = ܥ.ܸ
ଶ2.݀ = 200. 10ିଵଶ. 50ଶ2.0,001 = 2,5. 10ିସܰ 
ܨ = 2,5. 10ିସܰ P.4.6) Sabe-se que para uma esfera metálica podemos usar a seguinte equação: 
ܧ = ݍ4. ߨ. ߝ଴. ݎଶ → ݍ = 4.ߨ. ߝ଴ . ݎଶ .ܧ 
 
 
ݍ௠á௫. = 4.ߨ.ߝ଴ . ݎଶ .ܧ௠á௫. = 4.ߨ. ߝ଴ . 0,005ଶ. 3. 10଺ = 8,34. 10ିଽܥ 
ݍ௠á௫. = 8. 10ିଽܥ = 8 ݊ܥ P.4.7) A) Da equação para a intensidade de um campo elétrico em um capacitor de placas paralelas e da equação do capacitor em função de sua geometria temos: 
ܧ = ߪ
ߝ଴
= ݍ
ߝ଴ .ܣ → ݍெá௫. = ߝ଴ .ܣ.ܧெá௫. (ܫ) 
ܥ = ߝ଴ .ܣ
݀
 (ܫܫ) Substituindo (I) e (II) na equação da energia: 
ܷ = ݍଶ2.ܥ → ܷெá௫ . = (ߝ଴ .ܣ.ܧெá௫.)ଶ2. ߝ଴ .ܣ݀ = ߝ଴ .ܣ.ܧெá௫ .ଶ .݀2 = ߝ଴ .ܧெá௫.ଶ2 .ܸ 
ܷெá௫. = ߝ଴ .ܧெá௫ .ଶ2 .ܸ B) substituindoos valores dados na equação encontrada: 
ܷெá௫ . = ߝ଴ .ܧெá௫.ଶ2 .ܸ = ߝ଴2 (3. 10଺)ଶ. 200. 10ି଺ = 79,65. 10ିସ 
ܷெá௫. = 8,0. 10ିଷܬ = 8,0 ݉ܬ P.4.8) No caso de um capacitor cilíndrico, haverá capacitância apenas onde houver o cilindro interno. Isso pode ser provado pela lei de Gauss. Tracemos uma superfície internamente ao cilindro maior, onde não haja o menor, veremos que não há fluxo de campo elétrico, ou seja, a carga nessa região é nula. Concluímos que a capacitância também é nula nessa região. Onde o cilindro estiver presente haverá capacitância. Essa será dada por uma função de y, parcela do cilindro interno no externo. 
ܥ = 2.ߨ. ߝ଴ . ݕln ቀܾܽቁ Substituindo essa fórmula na de energia teremos ܷ(ݕ), ou seja, a função energia potencial em função da posição y. 
 
 
ܷ = ݍଶ2.ܥ = ݍଶ2. 2.ߨ. ߝ଴ .ݕln ቀܾܽቁ → ܷ(ݕ) =
ݍଶ. ln ቀܾܽቁ4.ߨ. ߝ଴ .ݕ 
Como já se sabia, em uma dimensão: 
ܨ = −ܷ݀
݀ݕ
 
ܨ = −݀ቌ
ݍଶ. lnቀܾܽቁ4.ߨ. ߝ଴ .ݕቍ
݀ݕ
= −ݍଶ. ln ቀܾܽቁ4.ߨ. ߝ଴ . ݀ ቀ1ݕቁ݀ݕ = ݍଶ. ln ቀܾܽቁ4.ߨ. ߝ଴ . 1ݕଶ → ܨ = ݍଶ. lnቀܾܽቁ4.ߨ. ߝ଴ . 1ݕଶ Como foi pedido para que a força eletrostática compense a gravitacional, teremos a seguinte igualdade: 
ܨ௘௟௘௧௥௢௦௧á௧௜௖௔ = ܨ௚௥௔௩௜௧௔௖௜௢௡௔௟ 
ݍଶ. ln ቀܾܽቁ4.ߨ. ߝ଴ . 1ݕଶ = ݉݃ Explicitando o y: 
ݕଶ = ݍଶ. ln ቀܾܽቁ4. ߨ. ߝ଴ .݉݃ 
ݕ = ቌ ݍଶ. ln ቀܾܽቁ4.ߨ. ߝ଴ .݉݃ቍ
ଵ
ଶ 
 P.4.9) Chamemos de ܥ௦ a capacitância da parte superior e ܥ௜ , da inferior. Se dissermos, sem perda de generalidade, que as placas superiores distam de x, teremos: 
ܥ௦ = ߝ଴.ܣݔ (ܫ) 
ܥ௜ = ߝ଴ .ܣܮ − ݈ − ݔ (ܫܫ) Pela figura fica evidente que ܥ௦ e ܥ௜ estão em série. Calculemos a capacitância equivalente para esse caso: 
1
ܥ௘௤. = ෍ 1ܥ௜ →௡௜ 1ܥ௘௤. = 1ܥ௦ + 1ܥ௜ → ܥ௘௤ . = ܥ௦ .ܥ௜ܥ௦ + ܥ௜ (ூ),(ூூ) ሱ⎯⎯⎯⎯ሮ ܥ௘௤. =
ߝ଴.ܣ
ݔ . ߝ଴ .ܣܮ − ݈ − ݔ
ߝ଴ .ܣ
ݔ + ߝ଴ .ܣܮ − ݈ − ݔ 
 
 
ܥ௘௤. = (ߝ଴ .ܣ)ଶ ቀ1ݔ . 1ܮ − ݈ − ݔቁ(ߝ଴ .ܣ). ቀ1ݔ + 1ܮ − ݈ − ݔቁ = ߝ଴ .ܣ. ൬
1(ܮ − ݈ − ݔ).ݔ൰
൬
ܮ − ݈ − ݔ + ݔ
ݔ. (ܮ − ݈ − ݔ)൰ = ߝ଴.ܣ.
൬
1(ܮ − ݈ − ݔ).ݔ൰
൬
ܮ − ݈
ݔ. (ܮ − ݈ − ݔ)൰ = ߝ଴ .ܣܮ − ݈ 
ܥ௘௤ . = ߝ଴ .ܣܮ − ݈ Como se vê, claramente, a capacitância equivalente não depende da posição do bloco, depende unicamente da geometria dos elementos. P.4.10) Foi dado que ௔ܸ௕ = 0. Para que isso ocorra, as quedas de potencial nos capacitores ܥ௩ e ܥ௫ devem ser iguais. Analisando o sistema, obrigatoriamente, as quedas em ܥଵ e ܥଶ, também, são idênticas. Disso, pode-se escrever: 
௩ܸ = ௫ܸ ௏ୀ௤஼ ሳልልሰ ݍ௩ܥ௩ = ݍ௫ܥ௫ (ܫ) 
 ଵܸ = ଶܸ ௏ୀ௤஼ ሳልልሰ ݍଵܥଵ = ݍଶܥଶ (ܫܫ) Das informações dadas conclui-se, ainda, que ܥ௩ e ܥଶ estão em série, assim como o estão ܥ௫ e 
ܥଵ. Disso pode-se inferir que: 
ݍ௫ = ݍଵ ݁ ݍ௩ = ݍଶ Substituindo essas ultimas igualdades em (I) e (II): 
ݍଵ
ܥ௫
= ݍଶ
ܥ௩
 (ܫܫܫ) 
 ݍଵ
ܥଵ
= ݍଶ
ܥଶ
 (ܫܸ) 
 Dividindo a equação (IV) por (III): 
ݍଵ
ܥଵ ݍଵ
ܥ௫
൙ = ݍଶܥଶ ݍଶ
ܥ௩
൙ ∴ ܥ௫
ܥଵ
= ܥ௩
ܥଶ
 
ܥ௫ = ܥ௩ .ܥଵܥଶ P.4.11) Inicialmente, como a chave está em “a”, ܥଵ e ܥଶ estão na mesma ddp. Então a carga inicial em ܥଵ é: 
 
 
ݍଵ = ܸ.ܥଵ (ܫ) Ao desligar a conexão a carga em ܥଵ permanecerá a mesma. Finalmente, liga-se a chave em “b”, ao fazê-lo a carga ݍଵ se distribui por essa parte do circuito fechado, até que a diferença de potencial entre os capacitores ܥଵ e ܥଷ sejam idênticas. Com a lei da conservação das cargas elétricas: 
ݍଵ + ݍଷ = ݍ′ଵ + ݍ′ଷ Consideremos que o capacitor ܥଷ inicie descarregado: 
ݍଵ = ݍ′ଵ + ݍ′ଷ (ܫܫ) Como as ddp’s entre ܥଵ e ܥଷ são as mesmas. 
ݍ′ଵ = ܸᇱ.ܥଵ ; ݍ′ଷ = ܸᇱ.ܥଷ → ݍ′ଵܥଵ = ݍ′ଷܥଷ → ݍ′ଷ = ݍ′ଵ.ܥଷܥଵ (ܫܫܫ) Substituindo (III) em (II): 
ݍଵ = ݍ′ଵ + ݍ′ଵ.ܥଷܥଵ = ݍ′ଵ. ൬1 + ܥଷܥଵ൰ 
ݍ′ଵ = ݍ = ݍଵ
ቀ1 + ܥଷܥଵቁ (ூ) ሱ⎯ሮ ݍ = ܸ.ܥଵቀ1 + ܥଷܥଵቁ 
ݍ = ܸ.ܥଵଶ(ܥଵ + ܥଷ) P.4.12) Inicialmente, pode-se inferir que: 
଴ܷ = ݍଶ2.ܥଵ = ܥଵ. ଴ܸଶ2 (ܫ) 
ݍ = ܥଵ. ଴ܸ (ܫܫ) Ao fechar o circuito a carga “q” se distribuirá pelos dois capacitores até que a ddp entre os condensadores sejam iguais. Também, como a carga se conserva, a soma das cargas distribuídas entre os capacitores deve ser igual à inicial. 
ݍ = ݍଵ + ݍଶ (ூூ) ሱ⎯⎯ሮ ܥଵ. ଴ܸ = ܥଵ . ௙ܸ + ܥଶ. ௙ܸ ∴ ௙ܸ = ܥଵ. ଴ܸܥଵ + ܥଶ 
௙ܸ = ܥଵ. ଴ܸܥଵ + ܥଶ (ܫܫܫ) Da equação (III): 
 
 
௙ܷ = (ܥଵ + ܥଶ). ௙ܸଶ2 (ூூூ) ሱ⎯⎯⎯ሮ ௙ܷ = (ܥଵ + ܥଶ). ቀ ܥଵ. ଴ܸܥଵ + ܥଶቁ
ଶ
2 = ܥଵଶ. ଴ܸଶ2(ܥଵ + ܥଶ) = ܥଵ(ܥଵ + ܥଶ) .ܥଵ . ଴ܸଶ2 (ூ) ሱ⎯⎯ሮ ௙ܷ= ܥଵ(ܥଵ + ܥଶ) . ଴ܷ 
௙ܷ = ܥଵ(ܥଵ + ܥଶ) . ଴ܷ P.4.13) A) Esse caso é imediato: 
ܥ଴ = ߝ଴ . ܮଶ݀ B) Para solucionar o problema deve-se separar o condensador em dois elementos em paralelo, já que cada metade está na mesma ddp. ܥ஻ é o capacitor com a barra, ܥௌ o sem a barra. Com todas essas informações e as dadas temos: 
ܥௌ = ߝ଴ .ܮ. ܮ2݀ = 12 . ߝ଴ .ܮଶ݀ = ܥ଴2 
ܥௌ = ܥ଴2 (ܫ) Para encontrar ܥ஻ recorreremos ao Problema 4.9, caso análogo a essa parte do prroblema. Vemos nele que a capacitância equivalente será: 
ܥ஻ = ߝ଴ .ܣܮ − ݈ = ߝ଴ .ܮ. ܮ2݀ − ݀2 = 12 . ߝ଴. ܮଶ݀2 = ܥ଴ 
ܥ஻ = ܥ଴ (ܫܫ) Inicialmente dividimos o condensador em duas metades, calculamos a capacitância em cada uma e agora retomemos ao capacitor como um todo, ou seja, calcularemos a capacitância equivalente. Como os condensadores estão em paralelo: 
ܥ௅
ଶ
= ܥ௦ + ܥ஻ (ூ) ௘ (ூூ) ሱ⎯⎯⎯⎯⎯ሮ ܥ௅
ଶ
= ܥ଴ + ܥ଴2 
ܥ௅
ଶ
= 32 .ܥ଴ C) Repito, como visto no P.4.9: 
 
 
ܥ௅ = ߝ଴ .ܣܮ − ݈ = ߝ଴ . ܮ. ܮ݀ − ݀2 = 2. ߝ଴. ܮଶ݀ 
ܥ௅ = 2.ܥ଴ P.4.14) Para evitar confusão entre o “d” da derivada e o “d” de distância, chamaremos a distância de y. No final, retomaremos ݕ = ݀ para a resposta ficar idêntica ao gabarito não causado confusão. Primeiramente, deve-se expressar a energia (U) em função de da posição da barra (x). Pode-se separar o capacitor em duas partes, uma com o bloco metálico (ܥ௫), outra sem (ܥ௅ି௫). Esses estão em paralelo entre si, pois estão à mesma ddp. Assim, tem-se: 
ܥ = ܥ௫ + ܥ௅ି௫ ܥ௫ pode ser encontrado a partir do P.4.9. 
ܥ = 2. ߝ଴ .ܣ௫
ݕ
+ ߝ଴ .ܣ௅ି௫
ݕ
= ߝ଴
ݕ
. ൫2.ܮ. ݔ + ܮ. (ܮ − ݔ)൯ 
ܥ = ߝ଴ . ܮ. (ܮ + ݔ)
ݕ
 (ܫ) 
ܷ = ݍଶ2.ܥ (ூ) ሱ⎯ሮ ܷ(ݔ) = ݍଶ2. ߝ଴. ܮ. (ܮ + ݔ)ݕ = ݕ.ݍ
ଶ2. ߝ଴ .ܮ. (ܮ + ݔ) 
 Foi dado que: 
ܨ = −݀൫ܷ(ݔ)൯
݀ݔ
= −݀ ൬ ݕ.ݍଶ2. ߝ଴ .ܮ. (ܮ + ݔ)൰
݀ݔ
= − ݕ. ݍଶ2.ߝ଴ .ܮ.݀ ൬ 1(ܮ + ݔ)൰݀ݔ 
ܨ = − ݕ.ݍଶ2. ߝ଴ . ܮ . ൬− 1(ܮ + ݔ)ଶ൰ = ݕ. ݍଶ2. ߝ଴ .ܮ. (ܮ + ݔ)ଶ 
ܨ = ݀.ݍଶ2. ߝ଴. ܮ. (ܮ + ݔ)ଶ P.4.15) Solução 1: Poderíamos aproximar a placa superior por diversas placas em série na forma de escada. Assim teríamos que a capacitância entre a placa inferior e as placas superiores seriam: 
ܥ ௘௤ ≈෍ܥ௜௡
௜ୀଵ
= ෍ߝ଴ .ܣ
݀(ݔ)௡
௜ୀଵ
= ෍ߝ଴ . ܮ.∆ݔ
݀(ݔ)௡
௜ୀଵ
 
 
 
 Onde ݀଴ foi tomado como a distância entre as placas, para não confundir com o “d” da notação de derivada, ∆ݔ é o comprimento da pequena placa e ݀(ݔ) é a distância, que varia com a posição no eixo x. Tomando no limite quando n tende ao infinito a capacitância tende ao valor exato, então: 
ܥ ௘௤ = නߝ଴ .ܮ.݀ݔ݀(ݔ) = න ߝ଴. ܮx. tanߠ + ݀଴௅଴ . ݀ݔ = ൬ ߝ଴ . ܮtanߠ . ln(ݔ. tanߠ + ݀଴)൰଴௅ = ߝ଴ .ܮtan ߠ . ln ൬1 + ܮ. tan ߠ݀଴ ൰ O valor encontrado é exato, porém faremos duas coisas importantes para a solução do exercício. Faremos a aproximação tanߠ ≈ ߠ uma vez que foi dito que o ângulo ߠ é muito pequeno. E ainda, faremos a expansão do logaritmo, essa é: 
ln(1 + ݕ) = ෍(−1)௡ ݕ௡ାଵ
݊ + 1ஶ
଴
 
ܥ ௘௤ = ߝ଴ . ܮߠ . ln ൬1 + ܮ.ߠ݀଴ ൰ = ߝ଴ . ܮߠ .෍(−1)௡ ൬ܮ. ߠ݀଴ ൰
௡ାଵ
݊ + 1ஶ
଴
 
 Para os dois primeiros termos (݊ = 0 ݁ ݊ = 1): 
ܥ ௘௤ = ߝ଴ . ܮߠ .
⎝
⎛ܮ. ߠ
݀଴
−
൬
ܮ. ߠ
݀଴
൰
ଶ
2
⎠
⎞ = ߝ଴. ܮ
ߠ
.ቆܮ.ߠ
݀଴
−
ܮଶ. ߠଶ2. ݀଴ଶ ቇ 
ܥ ௘௤ = ߝ଴ . ܮଶ݀଴ . ൬1 − ܮ. ߠ2.݀଴൰ Solução 2: Aproximando a placa superior por uma placa paralela à inferior a uma distância da inferior igual à distância média dos extremos da placa superior teremos o seguinte capacitor: 
 Onde: 
ℎ = ݀଴ + L. tan ߠ2 ≈ ݀଴ + ܮ. ߠ2 Logo: 
ܥ ≈
ߝ଴. ܮଶ
݀଴ + ܮ.ߠ2 Da expansão seguinte: 11 + ݕ = ෍ݕ௡݊!ஶ
଴
 
 
 
ܥ ≈
ߝ଴ . ܮଶ
݀଴
. 11 + ܮ.ߠ2.݀଴ = ߝ଴ . ܮ
ଶ
݀଴
.෍൬ ܮ. ߠ2.݀଴൰௡
݊!ஶ
଴
௧௢௠௔௡ௗ௢ ௔௣௘௡௔௦ ௢௦ ௗ௢௜௦ ௣௥௜௠௘௜௥௢௦ ௧௘௥௠௢௦
ሱ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ሮ ܥ ≈
ߝ଴.ܮଶ
݀଴
. ൬1 − ܮ.ߠ2.݀଴൰ 
ܥ = ߝ଴ .ܮଶ
݀଴
. ൬1 − ܮ.ߠ2.݀଴൰ 
 
 
Capítulo 5 
 
 
Capítulo 6 P.6.1) A) Tem-se que: 
(ܫ) ܸ = ܴ. ܫ ∴ ܴ = ܸ
ܫ
→ [ܴ] = [ܸ][ܫ] = ܳܳ. ܮ
ܶ
= ܶ
ܮ
 
(ܫܫ) ܥ = ݇. ߝ଴ .ܣ
݀
→ [ܥ] = [ܣ][݀] = ܮଶܮ = ܮ Onde ܮ é dimensão de comprimento e ܶ, tempo. Assim: [ܴ.ܥ] = ܶ
ܮ
.ܮ = ܶ [ܴ.ܥ] = ܶ B) A capacitância de um condensador pode ser dada pela seguinte equação: ܥ = ݍ/ܸ e a da ddp por ܸ = ܴ. ܫ Como a corrente passa pelo capacitor ele será considerado uma resistência elétrica, assim podemos relacionar as duas equações da seguinte forma: 
ܥ = ݍ
ܸ
= ݍ
ܴ. ܫ ∴ ܫ = ݍܴ.ܥ 
ܫ = ݍ
ܴ.ܥ C) Das equações (II) e ܴ = ߩ. ݈/ܣ teremos: 
ܴ.ܥ = ݇. ߝ଴ .ܣ
݀
. ߩ. ݈
ܣ
= ݇. ߝ଴ . ߩ 
ܴ.ܥ = ݇. ߝ଴ . ߩ Onde ݈ = ݀ e ܣ são características do capacitor, que também é resistor. P.6.2) Dividamos a resistência cilíndrica em cascas cilíndricas, concêntricas em um mesmo eixo. Daí vemos que cada uma dessas cascas será um elemento de resistência tal que: 
ܴ݀ = ߩ. ݀ݎ
ܣ
= ߩ2.ߨ.ℎ . ݀ݎݎ Assim sendo, essas cascas estarão em série entre si, logo: 
ܴ = නܴ݀ = න ߩ2.ߨ. ℎ .݀ݎݎ௕௔ = ߩ2.ߨ. ℎ . ln ൬ܾܽ൰ 
ܴ = ߩ2.ߨ.ℎ . ln ൬ܾܽ൰ B) Sabe-se que a capacitância de um condensador cilíndrico é dada por: 
 
 
ܥ = 2. ߨ. ݇. ߝ଴. ℎln ቀܾܽቁ Logo: 
ܴ.ܥ = ߩ2.ߨ. ℎ . ln൬ܾܽ൰ . 2. ߨ. ݇. ߝ଴ . ℎln ቀܾܽቁ 
ܴ.ܥ = ߩ.݇. ߝ଴ P.6.3) Para o capacitor esférico faremos de forma análoga ao Problema 6.2. Consideremos que haja uma ddp entre o interior e a parte externa, que o raio interno seja “a” e o externo, “b”. Então: 
ܴ݀ = ߩ.݀ݎ
ܣ
= ߩ4. ߨ .݀ݎݎଶ 
ܴ = නܴ݀ = න ߩ4. ߨ .݀ݎݎଶ௕௔ = ߩ4. ߨ .൬1ܽ − 1ܾ൰ 
ܴ = ߩ4. ߨ . ൬ܾ − ܽܽ.ܾ ൰ Sendo sua capacitância dada por: 
ܥ = 4.ߨ.݇. ߝ଴ . ൬ ܽ. ܾܾ − ܽ൰ Assim a constante de tempo para o dielétrico esférico será: 
ܴ.ܥ = ߩ4.ߨ . ൬ܾ − ܽܽ.ܾ ൰ . 4.ߨ. ݇. ߝ଴ . ൬ ܽ.ܾܾ − ܽ൰ 
ܴ.ܥ = ߩ.݇. ߝ଴ P.6.4) Dividindo o cone em pequenos cilindros como no desenho a seguir: 
 A resistência no resistor cilíndrico em forma de fio será: 
ܴ = ߩ. ℎ
ܣ
= ߩ. ݔ
ߨ. ݎଶ 
 
 
Façamos x tender a zero, ou seja, pegaremos o elemento de resistência: 
ܴ݀ = ߩ. ݀ݔ
ߨ. ݎଶ Como o sistema será um conjunto de resistências em séria, teremos: 
ܴ = ෍ܴ௡ Porém “n” tenderá ao infinito quando x tende a zero, logo devemos integrar de zero a “h”. Com um detalhe: 
ݎ = ܽ + ൬ܾ − ܽ
ℎ
൰ . ݔ Então: 
ܴ = නߩ
ߨ
. 1
ݎଶ
݀ݔ = ߩ
ߨ
.න 1
ቀܽ + ቀܾ − ܽℎ ቁ . ݔቁଶ ݀ݔ 
ܴ = ߩ
ߨ.ܽଶ .න 1
ቀ1 + ቀܾ − ܽܽ. ℎ ቁ . ݔቁଶ ݀ݔ
௛
଴
 
ܴ = ߩ
ߨ.ܽଶ . ܽ.ℎ(ܾ − ܽ)ቌ 11 + ቀܾ − ܽܽ. ℎ ቁ .ݔቍ଴
௛ = ߩ
ߨ. ܽ . ℎ(ܾ − ܽ) ቎ 11 + ቀܾ − ܽܽ. ℎ ቁ . ℎ − 11 + ቀܾ − ܽܽ. ℎ ቁ . 0቏ 
ܴ = ߩ
ߨ.ܽ . ℎ(ܾ − ܽ) ቎ 11 + ቀܾ − ܽܽ ቁ − 1቏ = ߩ. ℎߨ.ܽ. ܾ 
ܴ = ߩ. ℎ
ߨ.ܽ. ܾ P.6.5) A) A corrente no circuito é: 
଴ܲ = ଴ܸ . ܫ ∴ ܫ = ଴ܲ
଴ܸ
 
 A potencia dissipada ( ௗܲ) é: 
ௗܲ = ܴ. ܫଶ = ߩ. ܮܣ . ൬ ଴ܲ଴ܸ൰ଶ = 1,68.10ି଼. 306.10ି଺ . ൬4000127 ൰ଶ = 83,328 ܹ 
ௗܲ = 83 ܹ B) Analogamente 
 
 
ௗܲ = ܴ. ܫଶ = ߩ. ܮܣ . ൬ ଴ܲ଴ܸ൰ଶ = 1,68.10ି଼. 306.10ି଺ . ൬4000220 ൰ଶ = 27,769 ܹ 
ௗܲ = 28 ܹ P.6.6) Das seguintes relações teremos: 
ܴ = ߩ. ܮ
ܣ
 (ܫ) 
ݒௗ = ܬ݊. ݁ = ܫ݊.ܣ. ݁ (ܫܫ) Onde “n” é a densidade de elétrons de condução e “e” a carga elementar (1,6.10ିଵଽ ܥ) A) De (II): 
ݒௗ = ܬ݊. ݁ = 5.10଺8,47.10ଶ଼. 1,6.10ିଵଽ = 3,6894.10ିସ ݉/ݏ 
ݒௗ = 0,37 ݉݉/ݏ B) Substituindo (I) e (II) em ܲ = ܴ. ܫଶ 
ܲ = ߩ. ܮ
ܣ
. (ܬ.ܣ)ଶ = ߩ.ܮ.ܣ. ܬଶ 
ܲ = 1,68.10ି଼. 1,0. 4,0.10ି଺. (5.10଺)ଶ = 1,68 ܹ 
ܲ = 1,7 ܹ P.6.7) Temos que; 
ܬ = ݅
ܣ
∴ ݅ = ܬ.ܣ 
ܴ = ߩ. ܮ
ܣ
 Substituindo essa duas equações na equação da potência (ܹ̇): 
ܹ̇ = ܴ. ݅ଶ = ߩ. ܮ
ܣ
. (ܬ.ܣ)ଶ = ߩ. ܬଶ.ܮ.ܣ = ߩ. ܬଶ.ܸ 
ܹ̇
ܸ
= ߩ. ܬଶ P.6.8) P.6.9) Os dois resistores superiores estão em série entre si. Assim um sistema equivalente seria: 
 
 
 
ܴ௘௤ଵ = ܴ + ܴ = 2ܴ Nesse novo sistema as duas resistências estão em paralelo, logo: 
 1
ܴ௘௤ଶ
= 12ܴ + 12ܴ ∴ ܴ௘௤ଶ = ܴ A resistência equivalente do circuito é R. P.6.10) Fomos informados que ௔ܸ௕ = 0. Para que isso ocorra, as quedas de potencial nas resistências 
ܴଵ e ܴଶ devem ser idênticas. Logo, as diferenças de potenciais em ܴ௫ e ܴ௩ são idênticas. Disso, pode-se inferir que: ଵܸ = ଶܸ ௏ୀோ.௜ ሳልልልሰ ܴଵ . ݅ଵ = ܴଶ. ݅ଶ (ܫ) 
௩ܸ = ௫ܸ ௏ୀோ .௜ ሳልልልሰ ܴ௩ . ݅௩ = ܴ௫ . ݅௫ (ܫܫ) Ainda, pode-se afirmar que, que ܴ௩ e ܴଵ estão em série, bem como ܴ௫ e ܴଶ. Disso: 
݅௩ = ݅ଵ ݁ ݅௫ = ݅ଶ Substituindo essas ultimas igualdades em (I) e (II): 
ܴ௩ . ݅ଵ = ܴ௫. ݅ଶ (ܫܫܫ) Dividindo a equação (III) pela (I): 
ܴ௩. ݅ଵ
ܴଵ. ݅ଵ = ܴ௫ . ݅ଶܴଶ . ݅ଶ ∴ ܴ௩ܴଵ = ܴ௫ܴଶ 
ܴ௫ = ܴ௩ .ܴଶܴଵ Essa ponte de resistência é chamada de Ponte de Wheatstone. A título de ficar mais prático, ai invés de decorar os índices das resistências, é só pensar como uma multiplicação cruzada das resistências, quando não houver ddp entre a e b. 
 
 
P.6.11) P.6.12) P.6.13) P.6.14) P.6.15) Solução 1: Tem-se que: 
ܬ(ݎ) = ܧ(ݎ)
ߩ
 
ܫ = ܸ
ܴ
 (ܫ) 
ܫ = නܬ(ݎ) ݀ܣ = නܬ(ݎ) .ℎ. ݀ݎ = නܧ(ݎ)
ߩ
. ℎ. ݀ݎ = ℎ
ߩ
නܧ(ݎ) ݀ݎ (ܫܫ) 
 Por (I) e (II): 
ܸ
ܴ
= ℎ
ߩ
නܧ(ݎ)݀ݎ 
 Sendo: 
ܧ(ݎ) = ܸ
ߨ. ݎ Termos: 
ܸ
ܴ
= ℎ
ߩ
.න ܸ
ߨ. ݎ௕௔ ݀ݎ = ℎ.ܸߩ. ߨ .න 1ݎ௕௔ ݀ݎ = ℎ.ܸߩ. ߨ . ln൬ܾܽ൰ 
ܸ
ܴ
= ℎ.ܸ
ߩ.ߨ . ln ൬ܾܽ൰ 
ܴ = ߩ. ߨ
ℎ. ln ቀܾܽቁ Solução 2: Dividiremos a resistência em infinitas resistências paralelas em que cada uma terá uma certa distância do centro. Essa resistência terá um comprimento ܮ = ߨ. ݎ e uma área de secção 
ܣ = ℎ.݀ݎ. O desenho ilustra uma distância a idéia. 
 
 
 
1ܴ
௘௤
= ෍ 1ܴ
௜
 
Como: 
ܴ = ߩ.ܮ
ܣ
= ߩ.ߨ. ݎ
ℎ.݀ݎ Termos: 1ܴ
௘௤
= න 1ߩ.ߨ.ݎ
ℎ.݀ݎ = න ℎߩ. ߨ. ݎ ݀ݎ = ℎߩ.ߨ න1ݎ ݀ݎ 1ܴ = ℎ
ߩ.ߨන 1ݎ௕௔ ݀ݎ = ℎߩ.ߨ . ln ൬ܾܽ൰ 
ܴ = ߩ. ߨ
ℎ. ln ቀܾܽቁ P.6.16) Do circuito dado (I) podemos criar os seguintes equivalentes – (II), (III) e (IV): 
 Em que ௔ܸ௕ = 20ܸ. Tomando o circuito (IV): 
ܫ் = ܸܴ(ூ௏) = 205 = 4 ܣ Analisando (II), vê-se que a corrente se divide igualmente entre os resistores de 5 ohms. Logo: 
 
 
ହܲஐ = ܴ. ܫଶ = 5. 2ଶ = 20 ܹ Analogamente, para o circuito (I): 
ଵܲ଴ஐ = ܴ. ܫଶ = 10. 1ଶ = 10 ܹ 
ହܲஐ = 20 ܹ 
ଵܲ଴ஐ = 10 ܹ 
 
 
Capítulo 7 P.7.1) A) Sabe-se que: 
⃗ܨ௠ = ݍ൫⃗ݒݔܤሬ⃗ ൯ ௩ሬ⃗ ୄ ஻ሬ⃗ ሱ⎯⎯⎯ሮ ܨ௠ = ݁. ݒ.ܤ (ܫ) 
ܭ = ݉. ݒଶ2 ∴ ݒ = ඨ2.ܭ݉ (ܫܫ) Substituindo (II) em (I): 
ܨ௠ = ݁.ܤ.ඨ2.ܭ݉ B) Como o campo magnético é perpendicular à velocidade do elétron haverá uma força sobre a partícula perpendicular ao movimento, ou seja, uma força de aceleração centrípeta. Assim o elétron descreverá trajetória circular, veja a figura de tal trajeto: 
 Sabe-se que em um campo magnético constante uma carga com velocidade perpendicular a esse campo se desloca em trajetória circular de raio igual a: 
ݎ = ݉.ݒ
ܤ.ݍ = √2.݉.ܭܤ. ݁ (ܫܫܫ) A reta ݕ = ܮ indica a posição da tela e a equação da posição do elétron é: (ݔ − ݎ)ଶ + ݕଶ = ݎଶ , assim as interseções entre essas duas equações dará a posição da abscissa (ݔ = ݀) no impacto do elétron. Então a equação será: 
(݀ − ݎ)ଶ + ܮଶ = ݎଶ ∴ ݀ = ±ඥݎଶ − ܮଶ + ݎ = ݎ ቌ1 ± ඨ1 − ܮଶ
ݎଶ
ቍ 
݀ = ݎ ቌ1 ± ቆ1 − ܮଶ
ݎଶ
ቇ
ଵ
ଶ
ቍ 
 
 
 Duas coisas importantes devem ser vistas aqui: Primeiro que essa expressão é o deslocamento exato do elétron (porém expandiremos a raiz por um polinômio de Taylor), segundo que apesar de haver duas soluções para o sistema é desejado apenas uma solução (no caso o ponto ܲି ). Logo, tomemos apenas a solução em que o valor é o menor, ou seja: 
݀ = ݎ ቌ1 − ቆ1 − ܮଶ
ݎଶ
ቇ
ଵ
ଶ
ቍ 
Lembrando que uma expansão por séries em um ponto “a” é dada por: 
݂(ݔ) = ෍݂(௡)(ܽ). (ݔ − ܽ)௡
݊!ஶ
௡ୀ଴
 
Logo a expansão que desejamos é (no ponto ܽ = 0): 
(1 − ݕ)ଵଶ = 1 − ݕ2 − ݕଶ8 −⋯ Tomando ݕ = ௅మ
௥మ
 e apenas os dois primeiros termos da expansão: 
݀ = ݎ ቆ1− ቀ1 − ݕ2ቁቇ = ݎ ቀݕ2ቁ = ݎ. ܮଶ2. ݎଶ = ܮଶ2. ݎ Do valor do raio encontrado em (III): 
݀ = ܮଶ2.√2.݉.ܭܤ. ݁ = ܮ
ଶ .ܤ. ݁2.√2.݉.ܭ 
݀ = ܮଶ.ܤ. ݁
√8.݉.ܭ P.7.2) O elétron será acelerado até a região onde há o campo magnético, nessa região o módulo da velocidadedele não mais alterará, porém a direção e o sentido serão mudados pela ação da forma magnética. A variação da energia cinética é igual a variação da potencial, logo: 
∆ܭ = ∆ܷ ∴ ݉. ݒ௙ଶ2 −݉.ݒ௜ଶ2 = ݍ.ܸ → ݉. ݒ௙ଶ2 − 0 = ݍ.ܸ 
ݒ௙ = ඨ2.ݍ.ܸ݉ (ܫ) A força magnética nesse atua como centrípeta, logo: 
 
 
 ݎଶݒ .݉ = ஼ܽ .݉ = ݒ .ݍ .ܤ ∴ ஼ܨ = ெܨ
ݎ .ݍ .ܤ = ݉
ݒ
 )ூ( 
ݎ .ݍ.ܤ = ݉ሮ⎯ሱ
ܸ.ݍ.2ට
݉
ݎ .ܤ =
 ݉.ݍඥ ܸ.2√
ݎ .ܤ = ݉√
 ݍඥ ܸ.2√
 .7.P .7.P .7.P .7.P .7.P .7.P ଶݎ . ܸ.2ଶܤ.ݍ = ݉
 
 
Capítulo 8 
 
 
Capítulo 9 
 
 
Capítulo 10 
 
 
Capítulo 11