Lista de Limites

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2ª Lista de exercícios – Cálculo I – 02/05/16 Professor: Lucas Ruan 
 
1. Introdução aos Limites 
01 Calcule os limites: 
a) lim푥→9 3. b) lim푥→−2 푥. 
c) lim푥→−1(2푥 + 1). d) lim푥→−2(7 − 푥). 
e) lim푥→2(푥3 − 2푥2 + 푥 − 1). f) lim푥→−2 √푥4 − 4푥 + 1. 
g) lim푥→12 푥+1푥−1. h) lim푥→1[(푥 + 5)(9 − 2푥)]. 
i) lim푥→−1(2푥 + 5)3. j) lim푥→−3 푥2−9푥+3 . 
k) lim푥→1[(9푥 − 1)3(푥 + 2)5] l) lim푥→−1 푥+1푥2−1. 
m) lim푥→4 √푥−2푥−4 . 
n) Se 푓(푥) = {1,0000 푥 = 22푥 − 1, 푥 ≠ 2, mostre que lim푥→2 푓(푥) ≠ 푓(2). 
02 Usando a definição de limites, prove que: 
a) lim푥→2(3푥 + 1) = 7. 
b) lim푥→푎(푚푥 + 푛) = 푚푎 + 푛, onde 푚 ≠ 0. 
2. Limites Laterais 
03 Seja 푓 definida por 
푓(푥) = {−1,푥 < 00, 푥 = 01, 푥 > 0 . 
a) Faça um esboço do gráfico de 푓 . 
b) Determine se lim푥→0− 푓(푥), se ele existir. 
c) Determine lim푥→0+ 푓(푥), se ele existir. 
d) Calcule lim푥→0 푓(푥), caso contrário, justifique. 
04 Seja 푔 definida por 
푔(푥) = {|푥|, 푥 ≠ 02, 푥 = 0 . 
a) Faça um esboço do gráfico de 푔. 
b) Ache, se existir, lim푥→0 푔(푥), caso contrário, justifique. 
05 Seja 푓 definida por 
푓(푥) = { 푥 + 5, 푥 < −3√9 − 푥2, −3 ≤ 푥 < 33 − 푥, 푥 > 3 . 
Determine se existe lim푥→−3− 푓(푥), lim푥→−3+ 푓(푥), lim푥→3− 푓(푥), lim푥→3− 푓(푥), lim푥→3+ 푓(푥) e lim푥→3 푓(푥). Faça um gráfico da 
função. 
06 Dada a função 
푓(푥) = { 푥2, 푥 ≤ −2푎푥 + 푏, −2 < 푥 < 22푥 − 6, 푥 ≥ 2 . 
Ache os valores de 푎 e 푏, tais que lim푥→−2 푓(푥) e lim푥→2 푓(푥) 
ambos existam. 
07 Seja 푓(푥) = {−1, 푥 < 01, 푥 > 0 . Mostre que lim푥→0 푓(푥) não 
existe, mas lim푥→0|푓(푥)| existe. 
3. Limites infinitos 
08 Calcule os limites infinitos. 
a) lim푥→0+ 1푥. b) lim푥→0− 1푥. 
c) lim푥→3+ 2푥푥−3. d) lim푥→3− 2푥푥−3. 
e) lim푥→1+ 푥+21−푥. f) lim푥→1− 푥+21−푥. 
g) lim푥→0− 푥2−3푥+11푥3 . h) lim푥→0+(1푥 + 5). 
i) lim푥→2+ −9푥−2. j) lim푥→0+(1푥 + 4푥). 
k) lim푥→2+ 푥+2푥2−4. l) lim푥→4+ √16−푥2푥−4 . 
m) lim푥→−4−( 2푥2+3푥−4 − 3푥+4). n) lim푥→1+ 푥−1√2푥−푥2−1. 
o) lim푥→2− 푥−22−√4푥−푥2. p) lim푥→1− 2푥3−5푥2푥2−1 . 
q) lim푥→−2+ 6푥2+푥−22푥2+3푥−2. 
09 Usando a definição, mostre que: 
a) lim푥→0 1푥6 = +∞. b) lim푥→−3∣5−푥3+푥∣ = +∞. 
4. Limites no infinito 
10 Calcule os limites abaixo. 
a) lim푥→+∞ 2푥+15푥−2. b) lim푥→+∞ 2푥6+3푥4+2푥−1푥6+8푥+5 . 
c) lim푥→+∞ 1푥5. . d) lim푥→+∞ −3푥2+45푥2−3푥. 
e) lim푥→−∞ 2푥−4푥 . f) lim푥→+∞ 푥+43푥2−5. 
g) lim푥→+∞ 푥2+5푥3 . 
5. MIX de limites infinitos e no infinito. 
11 Calcule os limites abaixo. 
a) lim푥→+∞(3푥 + 1푥2). b) lim푥→+∞( 2푥2 − 4푥). 
c) lim푥→−∞ √푥2+4푥+4 . d) lim푥→−∞ √푥4+12푥2−3. 
e) lim푥→−∞ 5푥3−12푥+74푥2−1 . 
12 Calcule os limites. (Dica: obtenha uma fração com 
numerador racional) 
a) lim푥→+∞(√푥2 + 푥 − 푥). b) lim푥→+∞ √푥+√푥+√푥√푥+1 . 
5. Assíntotas 
13 Através da figura determine se o gráfico da função possui 
assíntota horizontal/vertical. 
 
14 Ache a(s) assíntota(s) vertical(is) de cada função, se 
existir(em). 
a) 푓(푥) = 2푥−4. b) 푓(푥) = 4(푥−5)2. c) 푓(푥) = 1푥2+5푥+6. 
15 Ache a(s) assíntota(s) horizontal(is) e vertical(is) de cada 
função, se existir(em). 
2ª Lista de exercícios – Cálculo I – 02/05/16 Professor: Lucas Ruan 
 
a) 푓(푥) = 2푥+1푥−3 . b) 푓(푥) = 1 + 1푥2. 
c) 푓(푥) = − 3푥√푥2+3. d) 푓(푥) = 2푥6푥2+11푥−10 . 
e) 푓(푥) = 푥24−푥2. f) 3푥푦 − 2푥 − 4푦 − 3 = 0. 
16 Ache as assíntotas (verticais, horizontais e obliquas), caso 
existam. 
a) 푓(푥) = 푥2+푥−6푥+4 . b) 푓(푥) = 푥3. 
17 Usando a definição, mostre que 
a) lim푥→+∞ 푥푥−1 = 1. b) lim푥→+∞(푥2 − 4) = +∞. 
6. Continuidade 
18 Através do gráfico, determine o que se pede. 
 
a) lim푥→−3− 푓(푥). b) lim푥→−3+ 푓(푥). 
c) lim푥→−2− 푓(푥). d) lim푥→−2+ 푓(푥). 
f) lim푥→2 푓(푥) existe? Justifique. 
g) lim푥→0− 푓(푥). h) lim푥→0+ 푓(푥). 
i) lim푥→−∞ 푓(푥). j) lim푥→+∞ 푓(푥). 
k) 푓(3) = 
l) 푓(푥) é contínua em 푥 = 3? Justifique. 
m) 푓(푥) é contínua em 푥 = −3? Justifique. 
n) Quais são as assíntotas verticais e horizontais? 
19 Determine 푎 para que a função seja contínua em 2. 
푓(푥) = {4푥2 − 3푥 + 1, se 푥 ≠ 25푎 − 1, se 푥 = 2 . 
20 Determine todos os números reais para o qual a função 
seja contínua. 
a) 푓(푥) = 푥3+1푥2−9. b) 푓(푥) = {2푥 − 3, 푥 ≤ 1푥2, 푥 > 1 . 
21 Se 푓(푥) = {−푥, 푥 < 01, 푥 ≥ 0 e 푔(푥) = {1, 푥 < 0푥, 푥 ≥ 0. Prove que 푓 e 푔 são descontínuas em 0, mas a função produto 푓(푥) ⋅ 푔(푥) é 
contínua em 0. 
22 Determine o maior intervalo para que a função seja 
contínua 
푓(푥) =
√25 − 푥2푥 − 3 . 
Tópicos avançados 
7 Limite da composta 
23 Defina 푓 ∘ 푔 e determine os números nos quais 푓 ∘ 푔 é 
contínua. 
a) 푓(푥) = √푥 e 푔(푥) = 16 − 푥2. 
b) 푓(푥) = 푥3 e 푔(푥) = √푥. 
c) 푓(푥) = 1푥 e 푔(푥) = 푥 − 2. 
d) 푓(푥) = √푥2−1√4−푥 e 푔(푥) = |푥|. 
24 Faça um esboço do gráfico da função que satisfaça as 
seguintes condições: 푓 é contínua em (−∞, 2] e (2,+∞); lim푥→0 푓(푥) = 4; lim푥→2− 푓(푥) = −3; lim푥→2+ 푓(푥) = +∞; lim푥→5 푓(푥) = 0. 
8 Teorema do valor intermediário 
25 Considerando o intervalo [0,3] e 푓(푥) = 2 + 푥 − 푥2, 
determine se o teorema do valor intermediário se aplica para o 
valor 푘 = 1. Em caso afirmativo, ache um número 푐 tal que 푓(푐) = 푘. 
26 Prove que o polinômio 푥3 + 푥 + 3 = 0 possui uma raiz no 
intervalo (−2,−1). 
9. Teorema do confronto 
27 Usando o teorema do confronto, calcule os limites: 
a) lim푥→0(푥 ⋅ cos(1푥)). b) lim푥→0 (푥2 ⋅ sen 1√푥3 ). 
c) Dado que |푔(푥) − 2| ≤ 3(푥 − 1)2, ∀푥 ∈ ℝ, use o teorema 
do confronto para encontrar lim푥→1 푔(푥). 
10. Limites fundamentais 
28 Calcule os limites abaixo, sendo lim푥→0 sen 푥푥 = 1: 
a) lim푥→0 sen 9푥푥 . b) lim푥→0 sen 10푥sen 7푥 . 
c) lim푥→0 1−cos 푥푥 . d) lim푥→0 tan 푥푥 . 
e) lim푥→0+ sen 푥푥2 . f) lim푥→휋2 1−sen 푥휋2−푥 . 
29 Calcule os limites abaixo, sendo lim푥→±∞(1 + 1푥)푥 = 푒: 
a) lim푥→0(1 + 푥)1푥. b) lim푥→+∞(1 + 3푥)푥. 
c) lim푥→0(1 + 5푥)1푥. d) lim푥→−∞(5푥−25푥+1)푥4 
e) lim푥→휋2(1 + 2 cos 푥)sec푥. 
30 Calcule os limites abaixo, sendo lim푥→0 푎푥−1푥 = ℓn(푎). 
a) lim푥→2 10푥−2−1푥−2 . 
b) lim푥→0 푎푥−푏푥푥 . (Dica: coloque 푏푥 em evidência) 
c) lim푥→1 푒푥−1−푎푥−1푥2−1 . d) lim푥→1 3푥−14 −1sen[5(푥−1)]. 
31 a) A função 푓: ℝ → ℝ é contínua e 푓(푥) ⋅ 푓(푓(푥)) = 1, ∀푥 ∈ ℝ. Sendo 푓(2004) = 2003, determine 푓(1999). b) Como 
explicar que 푓(2004) não é 12004? 
32 Seja 푓: [푎, 푏] → [푎, 푏] uma função contínua. Prove que 푓 
tem um ponto fixo, isto é, existe 푐 ∈ [푎, 푏] tal que 푓(푐) = 푐. 
(Dica: considere a função 푔(푥) = 푓(푥) − 푥) 
 
 
 
 
 
2ª Lista de exercícios – Cálculo I – 02/05/16 Professor: Lucas Ruan 
 
 
 
GABARITO 
01. a) 3. b)−2. c) −1. d) 9. e) 1. f) 5. g) 1311. h) 42. i) 27. j) −6. 
k) 0. l) − 12. m) 16. 
02. Caso 1: 푚 > 0. Devemos provar que ∀휖 > 0, ∃훿 > 0 tal que 0 < |푥 − 푎| < 훿 ⇒ |(푚푥 + 푛) − (푚푎 + 푛)| < 휖. 
Dado 휖 > 0, |(푚푥 + 푛) − (푚푎 + 푛)| < 휖 ⇒ |푚||푥 − 푎| < 휖, como 푚 > 0, |푚| = 푚 e obtemos |푥 − 푎| < 휖푚. Tome 훿 = 휖푚. Assim, 0 < |푥 − 푎| < 훿 = 휖푚 ⇒ 푚|푥 − 푎| < 휖 ⇒ |푚푥 − 푚푎| < 휖 ⇒|(푚푥 + 푛) − (푚푎 + 푛)| < 휖, portanto, lim푥→푎(푚푥 + 푛) = 푚푎 +푛. 
Caso 2: 푚 < 0. Basta repetir procedimento acima, salvo |푚| = −푚. 
03. b) −1. c) 1. d) não existe, pois os limites laterais são 
diferentes. 
04 b) 0. 
05 2, 0, não existe, 0, 0, existe e vale 0. 
06. 푎 = −3/2 e 푏 = 1. 
08. a) +∞. b) −∞. c) +∞. d) −∞. e) −∞. f) +∞. g) −∞. h) +∞. i) −∞. j) +∞. k) +∞. l) +∞. m) −∞. n) +∞. o) −∞. 
p) +∞. q) +∞. 
09. a) Vamos mostrar que dado 푀 > 0, existe 훿 > 0 tal que 0 < |푥 − 0| < 훿 ⇒ 1푥6 > 푀 . 
Dado 푀 > 0 tal que 1푥6 > 푀 ⇒ 푥6 < 1푀 ⇒ 푥 < 1√푀6 . Tome 훿 = 1√푀6 . Assim, se 0 < |푥 − 0| < 훿 ⇒ 0 < |푥| < 1√푀6 ⇒ 푥 <1√푀6 ⇒ 1푥6 > 푀 . Logo, lim푥→0 1푥6 = +∞. 
10. a) 52. b) 2. c) 0. d) − 35. e) 2. f) 0. g) 0. 
11. a) +∞. b) −∞. c) −1. d) 12. e) +∞. 
12. a) 1. b) ??? 
13. 푥 = −2 e 푦 = 1. 
14. a) 푥 = 4. b) 푥 = 5. c) 푥 = −3 e 푥 = −2. 
15. a) 푥 = 3/푦 = 2. b) 푥 = 0/ 푦 = 1. c) 푦 = ±3. d) 푥 = 23, 푥 = − 52, 푦 = 0. e) 푥 = ±2, 푦 = 1. f) 푥 = 43, 푦 = 23. 
16. a) 푥 = −4, obliqua 푦 = 푥 − 3. b) não possui. 
18. a) 0. b) 0. c) 3. d) 0. e) Não, pois os limites laterais são 
diferentes. f) +∞. g) +∞. h) −∞. i)+∞. j) 0. k) 5. l) Não, 
pois 푓(3) ≠ lim푥→3 푓(푥). m) Sim, pois 푓(−3) = lim푥→−3 푓(푥). 
n) vertical 푥 = 0, horizontal 푦 = 0. 
20. a) ∀푥 ≠ ±3. b) ∀푥 ≠ 1. 
21. 푓(푥)푔(푥) = −푥, se 푥 < 0 e 푓(푥)푔(푥) = 푥, se 푥 ≥ 0. 
22. [−5,3) ∪ (3,5]. 
23. a) [−4,4]. b) [0,+∞). c) 푥 ≠ 2. d) ??? 
25. Sim, 푐 = √5+12 . 
26. 푝(푥) = 푥3 + 푥 + 3, então 푝(−2) = −7 < 0 e 푝(−1) = 1 > 0, 
pelo teorema do valor intermediário existe 푐 ∈ (−2,−1) tal que 푝(푐) = 0. 
27. a) 0. b) 0. c) 2. 
28. a) 9. b) 107 . c) 0. d) 1. e) +∞. f) 0. 
29. a) 푒. b) 푒3. c) 푒5. d) 푒− 120. f) 푒2. 
30. a) ℓn(10). b) ℓn(푎푏). c) 1−ℓn(푎)2 . d) ℓn( √320 ).