LIsta de Derivadas

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3ª Lista de exercícios – Cálculo I – 26/05/16 Professor: Lucas Ruan 
1. Reta tangente, Derivadas e Derivadas laterais 
01 Calcule as derivadas de cada função, isto é, 푓 ′(푥): 
a) 푓(푥) = 5푥2 + 6푥 − 1. b) 푓(푥) = √푥, no ponto 푥 = 9. 
c) 푓(푥) = 1−푥푥2+3. d) 푓(푥) = √푥3 . 
e) 푓(푥) = (2푥3 − 1)(푥4 + 푥2). 
f) 푓(푥) = (푥+1)(5−푥)푥−4 . g) 푓(푥) = sen(푥) + cos(푥). 
h) 푓(푟) = 휋푟2. 
i) Se 푓(푥) = 푥2 + 푎푥 e 푔(푥) = 푏푥, ache 푎 e 푏 reais tais que: 푓 ′(푥) + 푔′(푥) = 1 + 2푥 e 푓(푥) − 푔(푥) = 푥2. 
j) 푓(푥) = 3푥2 − 1, ache 푓 ′(2). 
03 Sendo 푓(푥) = 5 − 2푥 e 푔(푥) = 3푥2 − 1, determine: 
a) 푓 ′(1) + 푔′(1). b) 2푓 ′(0) − 푔′(2). 
c) 푓(52) − 푓′(52)�′(52). d) [푔′(0)]2 + 12 푔′(0) + 푔(0). 
04 Se 퐹(푥) = 푓(푥)푔(푥), 퐺(푥) = 푚(푥)푛(푥) , 푔(푥) = 3푥 + 2, 푛(푥) = 푥3 − 2, 푓 ′(2) = −1, 푓(2) = 5푔(2), 푚′(0) = −1 e 푚(0) = 5푛(0)ache o valor de 퐹 ′(2) + 퐺′(0). 
05 Usando a definição de derivada, determine 푓 ′(푥): 
a) 푓(푥) = 1푥. b) 푓(푥) = 푥2 + 4푥. 
c) 푓(푥) = 푎푥. d) 푓(푥) = log푎 푥. 
e) Calcule as derivadas das funções abaixo, usando regras de 
derivação e o que foi feito acima: i) 푦 = 2푥5−4푥3+1, ii) 푦 = log3(푥4 − 3푥2 + 푥 − 1), iii) 푦 = 푒푥, iv) 푦 = ℓn(푥). 
06 Faça o que se pede: 
a) 푓(푥) = {3푥 − 1, 푥 < 27 − 푥, 푥 ≥ 2 . Mostre que 푓 é contínua em 2; em 
seguida calcule 푓−′ (2) e 푓+′ (2). 
b) 푓(푥) = {14 − 푥, 푥 < 27 − 푥, 푥 ≥ 2 . Calcule 푓 ′(2). Mostre que 푓 é 
contínua em 2, usando uma maneira diferente do item a). 
c) 푓(푥) = {2 − 푥2, 푥 < −2−2, |푥| ≤ 22푥 − 6, 푥 < 2 . Calcule 푓
′(−2) e 푓 ′(2), se 
possível, justificando em qualquer caso. 
d) 푓(푥) = (푥 − 2) ⋅ |푥|. Existe 푓 ′(0)? Justifique. 
07 Ache a equação da reta tangente de cada função no ponto 
indicado. 
a) 푓(푥) = 1 − 푥2, 푃(2, −3). 
b) 푓(푥) = 2푥+13푥−4 no ponto de abscissa 푥 = −1. 
c) 푓(푥) = sen(푥) no ponto de abscissa 푥 = 휋3. 
08 Em que pontos o gráfico da função 푦 = 13 푥3 − 32 푥2 + 2푥 
tem reta tangente horizontal? 
09 Se 푦 = 푎푥2 + 푏푥, encontre 푎 e 푏 de modo que a reta 
tangente ao gráfico de 푓 no ponto (1,5) tem inclinação 푚 = 8. 
10 As retas푟, 푠, 푡 e 푢 são tangentes ao gráfico da função 푓 
nos pontos 푎, 푏, 푐 e 푑, respectivamente, conforme o gráfico: 
Sabendo que 푓 é derivável em (1,11), assinale V ou F: 
a) 푓 ′(푎) > 푓 ′(푏). b) 푓 ′(푑) > 푓 ′(푎). 
c) 푓 ′(푐) = 0. d) 푓 ′(푏)푓 ′(푐) > 0. 
e) 푓 ′(푎) + 푓 ′(푏) > 0. f) 푥 ∈ (푎, 푐) ⇒ 푓 ′(푥) > 0. 
g) 푥 ∈ (푐, 푑) ⇒ 푓 ′(푥) < 0. 
2. Regra da cadeia 
10 Calcule as derivadas usando a regra da cadeia, isto é, 
achando a função 푢como feito em sala de aula. 
a) 푦 = (푥2 + 5푥 + 2)7. b) 푦 = (3푥+22푥+1)5. 
c) 푦 = (3푥2 + 1)3 ⋅ (푥 − 푥2)2. d) 푦 = sen(푥6). 
e) 푦 = (sen 푥)6. f) 푦 = ℓn(푥6 + 3). 
g) 푦 = 3(푥3+2푥2+푥−1). h) 푦 = sen((3푥2 + 푥)5). 
i) 푦 = 5 tan(푥2 + 푥). j) 푦 = (ℓn(2푥4 − 푥))5. 
k) 푦 = (3푥2 + 푥)푥4+2푥 (não fazer, só depois de integral) 
3. Derivada implícita 
12 Sendo 푦 = 푓(푥), calcule푑푦/푑푥 por derivação implícita: 
a) 푓: ℝ − {2} → ℝ, 2푦 − 푥푦 = 3. 
b) 푓: [−3,3] → ℝ, 푥2 + 푦2 = 9. 
c) 푓: ℝ − {− 52} → ℝ, 5푦 + 2푥푦 = 6. 
4. Derivada de ordem superior 
13 Calcule todas as derivadas até a ordem 푛 indicada: 
a) 푓(푥) = 푥5 − 2푥3 + 푥, 푛 = 6. b) 푓(푥) = 1푥, 푛 = 4. 
c) 푓(푥) = √푥, 푛 = 4. d) 푓(푥) = √푥2 + 1, 푛 = 2. 
e) 푓(푥) = 4 cos 푥2, 푛 = 3. f) 푓(푥) = 2 tan(3푥), 푛 = 3. 
g) 푔(푥) = 2푥−1, 푛 = 4. h) 푓(푥) = {푥
2|푥| , 푥 ≠ 00, 푥 = 0 ,푛 = 2. 
i) 푓(푥) = cos(푥) , 푛 = 872. 
j) Suponha que a função 푓 seja definida no intervalo aberto (0,1) e 푓(푥) = sen(휋푥)푥(푥−1) . Defina 푓 em 0 e 1, de modo que 푓 seja 
contínua em [0,1]. 
5. Taxa de variação instantânea 
14 Se푥 = 푥(푡), 푦 = 푦(푡), ache 푑푥푑푡 quuando 푥 = 2, sabendo que 푥푦 = 20 e 푑푦푑푡 = 10. 
15 Uma pipa está voando a uma altura de 40 m. Uma 
criança está empnando-a de tal forma que ela se mova 
horizontalmente, a uma velocidade de m/s. Se a linha estiver 
esticada, com que velocidade a linha estará sendo “dada” 
quando o comprimento da linha desenrolada for de 50 m? 
3ª Lista de exercícios – Cálculo I – 26/05/16 Professor: Lucas Ruan 
16 Um homem com 1,80 m de altura caminha em direção a 
um edifício, com uma velocidade de 1,5 m/s. Se existe um 
ponto de luz no chão a 15 m do edifício, com que velocidade a 
sombra do homem no edifício estará diminuindo, quando ele 
estiver a 9m do edifício? 
17 Um ponto 푃(푥, 푦) se move ao longo do gráfico da função 푦 = 1/푥. Se a abscissa varia a razão de 4 unidades por segundo, 
qual é a taxa de variação da ordenada quando a abscissa é 푥 = 1/10? 
18 Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone 
onde a altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia 
cresce a uma taxa de 10 m3/h, a que razão aumenta a área da 
base quando a altura do monte é de 4 m? 
19 Um avião voa a 152,4 m/s paralelamente ao solo, a uma 
altitude de 1220 m no sentido oeste, tomando como referência 
um holofote fixado no solo que o focaliza e que se encontra à 
esquerda da projeção vertical do avião em relação ao solo. 
Sabendo que a luz do holofote deverá permanecer iluminando o 
avião, qual deverá ser a velocidade angular (de giro) do 
holofote, no instante em que a distância horizontal entre ele e a 
projeção vertical do avião for de 610 m? 
20 A medida de um ângulo agudo de um triângulo retângulo 
está decrescendo a uma taxa de 휋36 rad/s. Se o compimrneto da 
hipotenusa for constante e igual a 40 cm, ache a velocidade com 
que a área está variando, quando a medida do ângulo agudo for 
de 휋/6. 
Ache os números críticos de cada função. 
6. Número crítico, valor máximo/mínimo absoluto 
21 Ache os números críticos das funções: 
a) 푓(푥) = 푥3 + 7푥2 − 5푥. 
b) 푓(푥) = sen2(3푥), 푥 ∈ [0,2휋). 
c) 푓(푥) = √(푥2 − 4)23 . 
d) Ache os extremos absolutos da função 푓(푥) = 4(푥−3)2 em 
 [−2,2]. 
22 Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas 
abertas a partir de pedaços de papelão com 12 cm2 cortando 
quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando os lados para 
cima. Encontre o comprimento do lado do quadrado a ser 
cortado para obter uma caixa com maior volume possível. 
23 Uma rede de água potável ligará uma central de 
abastecimento situada à margem de um rio de 500 metros de 
largura a um conjunto habitacional situado na outra margem 
do rio, 2000 metros abaixo da central. O custo da obra através 
do rio é de R$ 640,00 por metro, enquanto, em terra, custa R$ 
312,00. Qual é a forma mais econômica de se instalar a rede de 
água potável? 
24 Ache as dimensões do cilindro circular reto de maior 
volume que possa ser inscrito num cone circular reto com um 
raio de 5 cm e 12 cm de altura. 
7. Teorema de Rolle e do Valor médio 
25 Verifique se a função 푓(푥) = 3 cos2 푥 satisfaz o teorema de 
Rolle, para o intervalo [휋2 , 3휋2 ]. 
26 Verifique se a função 푓(푥) = 푥2+4푥푥−7 satisfaz o teorema do 
valor médio para [2,6]. Caso afirmativo, tente achar 푐. 
27 Prove, pelo teorema de Rolle, que a equação 4푥5 + 3푥3 +3푥 − 2 = 0 possui exatamente uma raiz no intervalo (0,1). 
28 Usando o teorema de que toda função cuja derivada é 
nula em todo seu domínio, prove que se 푓(푥) = sen2 푥 + cos2 푥, ∀푥 ∈ ℝ, então 푓(푥) = 1, ∀푥 ∈ ℝ. 
8. Teste da 1ª derivada, crescimento e decrescimento. 
29 i) ache os extremos relativos de 푓 pelo teste da 1ª 
derivada; ii) determine os valores de 푥 nos quais os extremos 
relativos ocorrem; iii) determine os intervalos de 
crescimento/decrescimento da função. 
a) 푓(푥) = 푥2 − 4푥 − 1. b) 푓(푥) = 푥3 − 3푥2 − 9푥. 
c) 푓(푥) = 4 sen(푥2). d) 푓(푥) = 푥−2푥+2. 
e) 푓(푥) = 푥√5 − 푥2. 
f) 푓(푥) = ⎩{⎨
{⎧ 12 − (푥 + 5)25 − 푥√100 − (푥 − 7)2
, 푥 ≤ −30000., −3 < 푥 ≤ −1,−1 < 푥 ≤ 17 . 
30 Ache 푎, 푏, 푐 e 푑 para que a função da da por 푓(푥) = 푎푥3 +푏푥 + 푐푥 + 푑 tenha extremos relativos em (1,2) e em (2,3). 
31 A função 푓 é crescente no intervalo 퐼. Prove que: a) 푔(푥) = −푓(푥) é decrescente em 퐼; ii) ℎ(푥) = 1/푓(푥) e 푓(푥) > 0 
em 퐼, então ℎ é decrescente em 퐼. 
9. Concavidade e ponto de inflexão 
32 Ache os pontos de inflexão do gráfico,se existirem, e 
também em que intervalo o gráfico da função é côncavo para 
cima ou côncavo para baixo. 
a) 푓(푥) = 푥3 + 9푥. b) 푓(푥) = (푥 + 2)3. 
c) 푓(푥) = 푥푥2+4. d) 푓(푥) = 2 sen(3푥), 푥 ∈ [−휋, 휋]. 
e) 푓(푥) = {2 + 푥2, 푥 ≤ 14 − 푥2, 1 < 푥. 
33 Determine 푎, 푏, 푐 e 푑 de modo que o gráfico da função 푓(푥) = 푎푥3 + 푏푥2 + 푐푥 + 푑 tenha um extremo relativo em (0,3) 
e um ponto de inflexão em (1,−1). 
34 Se 푓(푥) = 푎푥4 + 푏푥3 + 푐푥2 + 푑푥 + 푒, determine os valores 
de 푎, 푏, 푐, 푑 e 푒, de forma que o gráfico de 푓 tenha um ponto de 
inflexão em (1,−1), passe pela origem e seja simétrico com 
respeito ao eixo 푦. Obs; (1,−1) denota um ponto no plano 푥푂푦. 
35 Se 푓(푥) = 3푥2 + 푥|푥|, prove que 푓 ′′(0) não existe, mas o 
gráfico de 푓 é côncavo para cima em todo o domínio. 
10. Teste da derivada segunda 
36 Aplique o teste da 2ª derivada em cada função: 
a) 푓(푥) = 3푥2 − 2푥 + 1. b) 푓(푥) = 푥3 − 5푥 + 6. 
c) 푓(푥) = 푥3 − 3푥2 + 3. d)푓(푥) = cos(3푥), 푥 ∈ [− 휋6 , 휋2]. 
e) 푓(푥) = 푥√푥 − 3. f)푓(푥) = 9푥 + 푥29 . 
37 Se 푓(푥) = 푎푥2 + 푏푥 + 푐, use o teste da 2ª derivada para 
mostrar que 푓 tem um valor máximo relativo, se 푎 < 0. Ache o 
número onde ele ocorrer. 
11. Problemas de máximo/mínimo 
38 
3ª Lista de exercícios – Cálculo I – 26/05/16 Professor: Lucas Ruan 
a) Se 푓: ℝ+∗ → ℝ tal que 푓(푥) = 푥33 − 2푥2 + 5. Determinar, 
caso exista, o valor mínimo absoluto de 푓 . 
b) Qual é o raio do cilindro circular reto de volume máximo, 
inscrito em um cone circular reto de altura 8 cm e raio da base 
6 cm? 
c) Um cilindro circular reto de volume máximo está inscrito 
em uma esfera de raio 5 m. Obter o volume do cilindro. 
12. Esboço de gráficos 
39 Esboce o gráfico das funções: 
a) 푓(푥) = 2푥 + 4. b) 푓(푥) = 푥2 − 푥 − 6. 
c) 푓(푥) = 푥3 + 1. d) 푓(푥) = 1푥 
e) 푓(푥) = √푥. f) 푓(푥) = 푥3 − 3푥2 + 3. 
g) 푔(푥) = 푥+3푥−2 h) 푓(푥) = 푥2+3푥−1 , 
i) 푓(푥) = 푥2푥2−4. j) 푓(푥) = 5√푥23 − √푥53 . 
k) 푓(푥) = sen 푥 + cos 푥, 푥 ∈ [−2휋, 2휋]. 
13. Diferencial 
40 Encontre 푑푦 e ∆푦 para os valores indicados de 푥 e ∆푥, 
sabendo que 푦 = 푥2, 푥 = 2 e ∆푥 = 1. 
41 Se 푥 e 푦 são funções de uma terceira variável, calcule 푑푦/푑푥, encontrando a diferencial termo a termo: 
a)3푥2 + 4푦2 = 48. 
b)2푥2푦2 − 3푥3 + 5푦3 + 6푥푦2 = 5. 
42 Uma caixa de metal na forma de um cubo deve ter um 
volume interior de 1000 cm3. Os seis lados são feitos de metal, 
com 0,5 cm de espessura. Se o custo do material for de R$ 
0,20/cm3, use diferenciais para encontrar o custo aproximado 
do metal a ser usado na confecção da caixa. 
43 Calcule um valor aproximado para 
√65,53 usando 
diferenciais. 
44 Obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina 
coroa cilíndrica de altura 12m, raio interior 7 m e espessura 
0,05 m. Qual o erro decorrente se resolvermos usando 
diferenciais? 
14. Derivada da inversa 
45 Faça o que se pede: 
a) 푓: ℝ − {2} → ℝ − {1} tal que 푓(푥) = 푥+1푥−2, cuja inversa é 푔, 
calcule 푔′(4). 
b) Dada a função푓: ℝ+∗ → (−4,+∞) tal que 푓(푥) = 푥2 − 4, 
cuja inversa é 푔, calcule 푔′(3). 
c) Seja 푓 invertível tal que 푓(5) = 8 e o coeficiente angular 
da reta tangente ao gráfico de 푓 no ponto de abscissa 5 é igual 
a 34. Qual é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da 
função 푓−1 no ponto (8,5)? 
46 Calcule as derivadas: 
a) 푦 = arcsen 7푥. b) 푦 = arccos 푥2. 
c) 푓(푥) = arctan 푥푥2 , calcule 푓 ′(−1). 
d) 푦 = 푥2 arccos 푥. e) 푦 = arcsen 푥푥 . 
f) 푦 = arctan(1−cos 푥sen 푥 ). g) 푦 = (arcsen(ℓn 푥))3. 
h) Determine a equação da reta tangente à hipérbole de 
equação 푥2 − 푦2 = 1 no ponto 푃(√2, 1). 
15. Regra de L’Hôpital 
47 Calcule os limites usando L’Hôpital: 
a) lim푥→2 푥2−4푥+4푥2−푥−2 . b) lim푥→0 푥2+6푥푥3+7푥2+5푥. 
c) lim푥→+∞ 푒푥푥2. d) lim푥→휋2 cos 푥(푥−휋2)2. 
e) lim푥→+∞ ℓn푥√푥3 . f) lim푥→+∞ 2푥2푥−1. 
g) lim푥→2(푥 sen(휋푥)). H) lim푥→0 푥푒푥−cos 푥. 
16. Taylor 
48 Determinar o polinômio de Taylor de grau 6 da função 푓(푥) = sen(2푥) no ponto c = pi4. Usar este polinômio para 
determinar um valor aproximado para sen(휋3). Fazer uma 
estimativa para o erro. 
GABARITO 
01. a)3. b)−2. c) −1. d) 9. e) 1. f) 5. g) 1311. h) 42. i) 27. j) −6. 
k) 0. l) − 12. m) 16. 
48. 푝6(푥) = 1 − 222! (푥 − 휋4)2 + 244! (푥 − 휋4)4 − 266! (푥 − 휋4)6 
sen(휋3) = 푝6(휋6) + 푟6(휋6) = 0,86602526, e o erro é|푟6(휋6)| ≤2,1407 ⋅ 10−6