1 RESMAT II P1

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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
1 
 
 
 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 
 
 
As anotações, fotos, gráficos e tabelas contidas neste texto, 
foram retiradas dos seguintes livros: 
 
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Ferdinand P. Beer 
 - E. Russel Johnston Jr. 
Ed. PEARSON - 3ª edição – 1995 
 
 
 
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - R. C. Hibbeler 
Ed. PEARSON - 5ª edição – 2004 
 
 
Parte 01: 
Propriedades geométricas de superfícies planas; 
- Centróide de uma área; 
- Momento de inércia; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 
 
y 
x 
CG 
�� 
�� 
A 
y 
x 
A1 
y1 
x1 
A2 
A3 
y2 
y3 
x2 
x3 
 
1- Centróide ou centro de gravidade de uma superfície plana 
 A localização do centróide de uma superfície plana qualquer de área A ilustrada 
na figura 1 é definida por meio das coordenadas �� � �� . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: centróide ou centro de gravidade de uma superfície plana qualquer 
 
 As coordenadas �� � �� do centróide de uma superfície plana qualquer são 
determinadas pelas seguintes equações: 
 
X� = ∑ Ai. x�ii ∑
 Aii
 (1) 
 
Y� = ∑ Ai. y�ii ∑
 Aii
 (2) 
 
 Para aplicar as equações (1) e (2) é necessário dividir a superfície plana 
qualquer em n superfícies planas de geometria simples (retângulos, quadradas, 
triângulos, círculos, etc), cujas coordenadas do centróide são conhecidas, conforme 
ilustra a figura 2. A tabela 1 ilustrada a seguir apresenta as coordenadas x e y do 
centróide de algumas superfícies planas de geometria simples. 
 
 
 
 
X� = A1. 
� + A2. 
� + A3. 
�A1 + A2 + A3 
 
Y� = A1. �� + A2. �� + A3. ��A1 + A2 + A3 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2: Divisão em superfície de geometria simples 
 
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3 
 
 
Tabela 1: Coordenadas x e y do centróide ou centro de gravidade de algumas 
superfícies planas de geométricas simples; 
Superfície 
Plana 
 
x� 
 
y� 
 
Área 
 
 
Retângulo 
e 
Quadrado 
 
 
 
 
x� = �2 
 
 
y� = ℎ2 
 
 
� = �. ℎ 
 
 
Triângulo 
retângulo 
 
 
 
 
 
 
x� = �3 
 
 
y� = ℎ3 
 
 
� = �. ℎ 2� 
 
 
Círculo 
 
 
 
 
x� = 0 
 
 
y� = 0 
 
 
� = �. �� 
 
 
Semicírculo 
 
 
 
 
 
 
x� = 0 
 
 
y� = 4�3� 
 
 
� = �. �� 2� 
 
 
 
 
1/4 círculo 
 
 
 
 
 
 
x� = 4�3� 
 
 
y� = 4�3� 
 
 
� = �. �� 4� 
 
 
Losango 
 
 
 
 
 
 
x� = 0 
 
 
y� = 0 
 
 
� = �� 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
CG 
a a 
x 
y 
CG 
r 
x 
y 
r 
CG 
x 
y 
CG 
r 
x 
y 
CG 
b 
h 
x 
y 
CG 
b 
h 
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4 
 
y 
x 
y 
x 
A3 
A2 
A4 
y 
x 
A1 
A2 
A1 
y 
x 
y 
x 
A3 
A1 
A2 
A4 
y 
x 
A1 
A2 
 
OBS1: Caso a superfície plana apresente área vazada ou chanfro: 
- Para simplificar a análise recomenda-se considerar a superfície plana cheia 
(completa) e descontar a contribuição da área vazada ou chanfro, conforme 
apresentado nos casos 1 e 2 ilustrados a seguir nas figuras 3 e 4. 
Caso1: 
 
 
 
 
 
 
 Mais trabalhoso Mais prático 
X� = A1. 
� + A2. 
� + A3. 
� + A4. 
�A1 + A2 + A3 + A4 ; X
�
 =
A1. 
� − A2. 
�
A1 − A2 ; 
Y� = A1. �� + A2. �� + A3. �� + A4. ��A1 + A2 + A3 + A4 ; Y
�
 =
A1. �� − A2. ��
A1 − A2 ; 
 Figura 3: Superfície plana com área vazada (furo); 
 
Caso2: 
 
 
 
 
 
 
 Mais trabalhoso Mais prático 
X� = A1. 
� + A2. 
� + A3. 
� + A4. 
�A1 + A2 + A3 + A4 ; X
�
 =
A1. 
� − A2. 
�
A1 − A2 ; 
Y� = A1. �� + A2. �� + A3. �� + A4. ��A1 + A2 + A3 + A4 ; Y
�
 =
A1. �� − A2. ��
A1 − A2 ; 
 
 Figura 4: Superfície plana com área chanfro (recorte); 
 
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5 
 
y 
x 
20 cm 
35 cm 
24 cm 
y 
x 
20 cm 
15 cm 
24 cm 10 cm 
12 cm 
8,0 cm 
5,0 cm 
A1 
A2 
y 
 
Exemplo 1: Determinar as coordenadas �� � �� do centróide da superfície plana 
ilustrada a seguir; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Dividir a superfície plana em superfícies de geometria simples de centróide conhecido; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A1 = 24 . 20 = 480 cm2 
A2 = 24 . 15/2 = 180 cm2 
 
x1 = 10 cm 
x2 = 20 + 5,0 = 25,0 cm 
 
y1 = 12 cm 
y2 = 8,0 cm 
 
X� = �� . 
� + �� . 
��� + ��!
= "480 . 10$ + "180 . 25,0$480 + 180 = 14,09 () 
 
Y� = �� . �� + �� . ���� + ��!
= "480 . 12$ + "180 . 8,0$480 + 180 = 10,91 () 
 
 
 
Tabela 1 x� y� 
Área 
 
x� = �2 
 
 
y� = ℎ2 
 
 
� = �. ℎ 
 
 
 
x� = �3 
 
 
y� = ℎ3 
 
 
� = �. ℎ 2� 
 
 
x CG 
b 
h 
x 
y 
CG 
b 
h 
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6 
 
y 
x 
60 cm 
30 cm r = 15 cm 
y 
x 
60 cm 
30 cm 30 cm 
15 cm 
r = 15 cm 
6,37 cm 
A1 
A2 
r = 15 cm 
*+
,- = ., ,/ 01 
 
Exemplo 2: Determinar as coordenadas �� � �� do centróide da superfície plana 
ilustrada a seguir; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Dividir a superfície plana em superfícies 
de geometria simples de centróide 
conhecido; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A1 = 60 . 30 = 1800 cm2 
A2 = pi. 152/2 = 353,4cm2 
 
x1 = 30 cm 
x2 = 60 – 6,37 = 53,63 cm 
 
y1 = 15 cm 
y2 = 15 cm 
 
X� = �� . 
� − �� . 
��� − ��!
= "1800 . 30$ − "353,4 . 53,63$1800− 353,4 = 24,23 () 
 Y� = �� . �� − �� . ���� − ��!
= "1800 . 15$ − "353,4 . 15$1800 − 353,4 = 15 () 
 
Tabela 1 x� y� 
Área 
 
x� = �2 
 
 
y� = ℎ2 
 
 
� = �. ℎ 
 
 
 
x� = 0 
 
 
y� = 4�3� 
 
 
� = �. �
�
2 
 
 
 
 
x 
y 
r 
CG 
x 
y 
CG 
b 
h 
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7 
 
y 
x 
50 cm 
25 cm 
r = 12,5 cm 
r = 6,25 cm 
y 
x 
25 cm 
25 cm 12,5 cm 
A1 
A2 
r 1 = 12,5 cm 
12,5 cm 
25 cm 
8,33 cm 
r2 = 6,25 cm 
5,31cm 
A3 
A4 
8,33 cm 
2,65 cm 
*+3
,- = 4, ,3 01 
*+5
,- = 5, .4 01 
 
Exemplo 3: Determinar as coordenadas �� � �� do centróide da superfície plana 
ilustrada a seguir; 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Dividir a superfície plana em superfícies 
de geometria simples de centróide conhecido; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A1 = pi. 12,52/2 = 245,4 cm2 A2 = 25 . 25 = 625 cm2 
A3 = 25 . 25 /2 = 312,5 cm2 A4 = pi. 6,252/2 = 61,4 cm2 
 
x1 = 12,5 cm x2 = 12,5 cm 
x3 = 25 + 8,33 = 33,33 cm x4 = 25 cm 
 
y1 = 25 + 5,31 = 30,31 y2 = 12,5 cm 
y3 = 8,33 cm y4 = 2,65 cm 
 
X� = �� . 
� + �� . 
� + �� . 
� − �� . 
��� + �� + �� − ��!
 
X� = "245,4 . 12,5$ + "625 . 12,5$ + "312,5 . 33,33$ − "61,4 . 25$245,4 + 625 + 312,5 − 61,4 = 17,62 () 
 
 
Y� = �� . �� + �� . �� + �� . 
� − �� . ���� + �� + �� − ��!
 
Y� = "245,4 . 30,31$ + "625 . 12,5$ + "312,5 . 8,33$ − "61,4 . 2,65$245,4 + 625 + 312,5 − 61,4 = 15,77 () 
 
 
 
Tabela 1 x� y� Área 
x� = �2 
 
 
y� = ℎ2 
 
 
� = �. ℎ 
 
 
x� = �3 
 
 
y� = ℎ3 
 
 
� = �. ℎ 2� 
 
 
x� = 0 
 
 
y� = 4�3� 
 
 
� = �. �
�
2 
 
 
 
 
x 
y 
r CG 
x 
y 
CG 
b 
h 
x 
y 
CG 
b 
h 
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2 - Momento de Inércia de uma superfície plana 
 O momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima no 
dimensionamento dos elementos de construção (vigas, colunas, etc), pois fornece 
através de valores numéricos, uma noção de resistência da peça. 
 
 Quanto maior for o momento de inércia da secção transversal de uma peça, 
maior será a resistência da peça. 
 
 A figura 5 ilustra bem o conceito de momento de inércia de elemento de 
construção;
 
 
 
 Figura 5: Ilustração do conceito de momento de inércia 
 
 
 A unidade do Momento de inércia no sistema internacional é dada em metros a 
quarta. 
 
 I � No SI: m4 
 
 
 
 
A 
A 
Corte AA: 
seção transversal 
 
Corte AA: 
seção transversal 
 
X’ X’ 
Ix1 >>> Ix2 
A 
P 
P 
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y 
x 
y 
x 
X' 
Y' 
c 
 
 Os momentos de inércia de uma superfície plana qualquer podem ser calculados 
em relação a quaisquer eixos de referência x e y. 
 
 A figura 6 ilustra dois exemplos de sistemas de eixos x e y de referência para os 
quais os momentos de inércia podem ser verificados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6a) Cálculo dos Momentos de Inércia 6b) Cálculo dos Momentos de Inércia 
 da superfície plana em relação da superfície plana em relação 
 aos eixos de referência x e y; aos eixos centroidas X’ e Y’ 
 ou eixos baricêntricos 
 da superfície plana; 
 
 
OBS: Eixos centroidais = eixos baricêntricos ���� eixo x e y que passa pelo 
centróide da superfície 
 
 
 
 
Figura 6: Exemplos de sistemas de eixos de referência para os quais os momentos 
podem ser verificados; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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y' 
x' 
Y 
X 
A1 
dy1 
dx1 
A2 
A3 dy2 
dy3 
dx2 
dx3 
y' 
x' 
y' 
x' y' 
x' 
Y 
X 
A1 
dy1 
dx1 
A2 
A3 
dy2 
dy3 
dx2 
dx3 
y' 
x' 
y' 
x' 
X' 
Y' 
 
 Os momentos de inércia ( Ix e Iy ) em relação a qualquer eixo de referência x e 
y de uma superfície plana qualquer (figura 1) são determinados pelas seguintes 
equações: 
Ix= 7"I8xi
i
 + Aidyi2 $ (3) 
 Teorema dos Eixos Paralelos 
Iy= 7"I8yi
i
 + Aidxi2 $ (4) 
 
 Para aplicar as equações (3) e (4) é necessário dividir a superfície plana 
qualquer em n superfícies planas de geometria simples conforme ilustram as figuras 7a 
e 7b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7a) Cálculo dos Momentos de Inércia 7b) Cálculo dos Momentos de Inércia 
 da superfície plana em relação da superfície plana em relação 
 aos eixos de referência x e y; aos eixos centroidas X’ e Y’ 
 da superfície plana; 
 
 Figura 7: Distâncias dx e dy para o cálculo dos momentos de Inércia; 
 
Nas equações 3 e 4 tem-se: 
I 8xi , I 8yi � momento de inércia de cada superfície plana de geometria simples em 
 relação ao seu eixo x’ centroidal e ao eixo y’ centroidal, respectivamente; 
 
Ai � área de cada superfície de geometria simples; 
 
dxi , dyi � distância entre o eixo centroidal de cada superfície plana de geometria 
 simples até o eixo no qual o momento é verificado; 
 
OBS: A tabela 2 ilustrada a seguir apresenta os momentos de inércia I 8xi , I8yi em 
relação os eixos centroidais x’ e y’ respectivamente de algumas superfícies planas 
de geometria simples. 
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Tabela 2: momento de inércia em relação aos eixos centroidais de algumas 
superfícies planas de geométricas simples; 
 
 9 8:; e 9 8<; � em relação aos eixos centroidais x’e y’; 
 
Superfície 
Planas 
 Momento de Inércia 
 
 
Retângulo 
E 
Quadrado 
 
 
Forma geral: 
9 8 = =>?�� . 
 
Substituindo os valores: 
9 8:; = @A
?
�� ; 9 8<; =
A@?
�� 
 
 
 
Triângulo 
retângulo 
 
 
 
 
Forma geral: 
9 8 = =>?�B . 
 
Substituindo os valores: 
9 8:; = @A
?
�B ; 9 8<; =
A@?
�B 
 
 
 
Círculo 
 
 
 
 
9 8:; = 9 8<; = CD
E
� 
 
 
 
Semicírculo 
 
 
 
 
 
 
 9 8:; = 0,1098 �� 
 9 8<; = 0,3927 �� 
 
 
 
 
1/4 círculo 
 
 
 
 
 
 
 
 9 8:; = 9 8<; = 0,0549 �� 
 
 
 
 
 
Losango 
 
 
 
 
 
 
9 8:; = 98<; = F
E
�� 
 
 
 
 
 
x = x’ 
y = y’ 
CG 
a a 
x 
y 
CG 
r x' 
y' 
x 
y = y’ 
r 
x' CG 
x = x’ 
y = y’ 
CG 
r 
x 
y 
CG 
b 
h 
y' 
x' 
x 
y 
CG 
b 
h 
y' 
x' 
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y 
x 
3a 
a 
a a 
2a 
a 
y 
x 
4a 
2,5a 
3a 
y 
x 
3a 
1,20a 
1,20a 
0,5a 
a 
1,25a 
r = 0,5a 
Simetria vertical: 
X = 1,5 a 
Y = ? 
Simetria horizontal: 
X = ? 
Y = 1,25 a 
Simetria horizontal: 
X = ? 
Y = 1,45 a 
c 
c 
c 2,9a 
y 
x 
3a 
a 
a a 
a 
3a 
y 
x 
4a 
2,5a 
2a 
y 
x 
1,2a 
3,5 
0,5a 
1,25a 
r = 0,5a 
Simetria vertical e 
horizontal: 
X = 1,5 a 
Y = 1,5 a 
Simetria vertical e 
horizontal: 
X = 2a 
Y = 1,25 a 
Simetria vertical e 
horizontal: 
X = 1,7a 
Y = 1,75a 
c 
c 
c 
a 
a 
a 
1,2a 
1,2a 
0,5a 
1,2a 
a 
 
OBS2: Caso a superfície plana com eixos de simetria: 
 
- 1 eixo de simetria � Neste caso uma coordenada do centróide é conhecida; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 2 eixos de simetria � Neste caso as duas coordenadas do centróide são 
conhecidas; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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y 
x 
20 cm 
35 cm 
24 cm 
Coordenadas do 
centróide: 
 
�� = 3*, GH 01 
�� = 3G, H3 01 
y 
x 
20 cm 
15 cm 
24 cm 10 cm 
12 cm 
8,0 cm 
5,0 cm 
A1 
A2 
 
Exemplo 4: Utilizando a mesma superfície plana do exemplo 1 determine os momentos 
de inércia em relação os eixos x e y e em relação aos eixos centroidais ou baricêntricos 
X’ e Y’ da superfície plana no sistema internacional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Parte 1: momentos em relação aos eixos de referência x e y: 
Dividir a superfície plana em superfícies de geometria simples de centróide conhecido; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ix= 7"I 8xi
i
 + Aidyi2 $ → Ix = " I 8x1+A1dy1
2 $ + " I 8
x2+A2dy2
2 $ 
 
Iy= 7"I 8yi
i
 + Aidxi2 $ → Iy = " I 8y1+A1dx1
2 $ + " I 8y2+A2dx2
2 $ 
 
A1 = 24 . 20 = 480 cm2 A2 = 24 . 15/2 = 180 cm2 
 
d� distâncias entre os eixos centroidais de cada superfície simples até o eixos de referência x e y: 
dx1 = 10 cm dy1 = 12 cm 
dx2 = 20 + 5,0 = 25,0 cm dy2 = 8,0 cm 
 
 I 8x1 =
�ℎ�
12 =
20 . 24�
12 = 23040,0 ()
� I 8y1 =
ℎ��
12 =
24 . 20�
12 = 16000,0 ()
�
 
 
 I 8x2 =
�ℎ�
36 =
15 . 24�
36 = 5760,0 ()
� I 8y2 =
ℎ��
36 =
24 . 15�
36 = 2250,0 ()
�
 
 
 
Ix = "23040,0 + 480 . 12�$ + "5760,0 + 180 . 8, 0�$ = 109440,0 ()� = 109440109440109440109440,,,,0 0 0 0 . . . . 3GIJ 1* 
 
Iy = "16000,0 + 480 . 10�$ + "2250,0 + 180 . 25, 0�$ = 178750,0 ()� = 178750178750178750178750,,,,0 0 0 0 . . . . 3GIJ 1* 
 
 
Tabela 1 e Tabela 2 x� K y� 9 8:; e 9 8<; Área 
x� = �2 
y� = ℎ2 
 
9 8:L =
�ℎ�
12 
9 8:; =
ℎ��
12 
 
 
 
� = �. ℎ 
 
 
 
x� = �3 
y� = ℎ3 
 
 
9 8:L =
�ℎ�
36 
9 8:; =
ℎ��
36 
 
 
� = �. ℎ 2� 
 
 
x 
y 
CG 
b 
h 
y' 
x' 
x 
y 
CG 
b 
h 
y' 
x' 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
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14 
 
y 
x 
20 cm 
24 cm 10 cm 
12 cm 
8,0 cm 
A1 
A2 
c 
Y’ 
X’ 
5,0 cm 
15 cm 
 
Resolução: 
Parte 2: momentos em relação aos eixos centroidais ou baricêntricos X’ e Y’: 
O centróide possui as seguintes coordenadas: 
 
�� = 3*, GH 01; �� = 3G, H3 01; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ix= 7"I 8xi
i
 + Aidyi2 $ → Ix = " I 8x1+A1dy1
2 $ + " I 8
x2+A2dy2
2 $ 
 
Iy= 7"I 8yi
i
 + Aidxi2 $ → Iy = " I 8y1+A1dx1
2 $ + " I 8y2+A2dx2
2 $ 
 
A1 = 24 . 20 = 480 cm2 A2 = 20 . 15/2 = 180 cm2 
 
d� distâncias entre os eixos centroidais de cada superfície simples até o eixos centroidais X’ e Y’ da 
superfície plana: 
 
dx1 = 14,09 – 10 = 4,09 cm dy1 = 12,00 – 10,91 = 1,09 cm 
dx2 = 25,0 – 14,09 = 10,91 cm dy2 = 10,91 – 8,00 = 2,91 cm 
 
 
 I 8x1 =
�ℎ�
12 =
20 . 24�
12 = 23040,0 ()
� I 8y1 =
ℎ��
12 =
24 . 20�
12 = 16000,0 ()
�
 
 
 I 8x2 =
�ℎ�
36 =
15 . 24�
36 = 5760,0 ()
� I 8y2 =
ℎ��
36 =
24 . 15�
36 = 2250,0 ()
�
 
 
 
Ix = "23040,0 + 480 . 1,09�$ + "5760,0 + 180 . 2,91�$ = 30894,55 ()� = 30894308943089430894,,,,55 55 55 55 . . . . 3GIJ 1* 
 
Iy = "16000,0 + 480 . 4,09�$ + "2250,0 + 180 . 10,91�$ = 47704,55 ()� = 47704477044770447704,,,,55 55 55 55 . . . . 3GIJ 1* 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 1 e tabela 2 x� K y� 9 8:; e 9 8<; Área 
x� = �2 
y� = ℎ2 
 
9 8:L =
�ℎ�
12 
9 8:; =
ℎ��
12 
 
 
 
� = �. ℎ 
 
 
 
x� = �3 
y� = ℎ3 
 
 
9 8:L =
�ℎ�
36 
9 8:; =
ℎ��
36 
 
 
� = �. ℎ 2� 
 
 
x 
y 
CG 
b 
h 
y' 
x' 
x 
y 
CG 
b 
h 
y' 
x' 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
15 
 
y 
x 
20 mm40 mm 
20 mm 
r =7,5 mm 
10 mm 
y 
x 
20 mm 
40 mm 
20 mm 
r =7,5 mm 
10 mm 
Y’ 
X’ 
A1 
A2 
c 
 
Exemplo 5: determine os momentos de inércia em relação aos eixos centroidais ou 
baricêntricos X’ e Y’ da superfície plana a seguir no sistema internacional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Devido à simetria: as coordenadas do centróide são conhecidas: X=20 mm; Y=10 mm; 
Dividir a superfície plana em superfícies de geometria simples de centróide conhecido; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ix= 7"I 8xi
i
 + Aidyi2 $ → Ix = " I 8x1+A1dy1
2 $ + " I 8
x2+A2dy2
2 $ 
 
Iy= 7"I 8yi
i
 + Aidxi2 $ → Iy = " I 8y1+A1dx1
2 $ + " I 8y2+A2dx2
2 $ 
 
A1 = 20 . 40 = 800 mm2 A2 = pi . 7,52 = 176,71 mm2 
 
d� distâncias entre os eixos centroidais de cada superfície simples até o eixos centroidais X’ e Y’ da 
superfície plana: 
dx1 = 0 mm dy1 = 0 mm 
dx2 = 0 mm dy2 = 0 mm 
 
 I 8x1 =
�ℎ�
12 =
40 . 20�
12 = 26666,67 ))
� I 8y1 =
ℎ��
12 =
20 . 40�
12 = 106666,67 ))
�
 
 
 I 8x2 =
���
4 =
� . 7,5�
4 = 2485,05 ))
� I 8y2 =
���
4 =
� . 7,5�
4 = 2485,05 ))
�
 
 
 
Ix = "26666,67 + 800 . 0�$ ---- "2485,05 + 176,71. 0�$ = 24181,62 m)� = 24181241812418124181,,,,62 62 62 62 . . . . 3GI35 1* 
 
Iy = "106666,67 + 800 . 0�$ ---- "2485,05 + 176,71 . 0�$ = 104181,62 m)� = 104181104181104181104181,,,,62 62 62 62 . . . . 3GI35 1* 
 
Tabela 1 e tabela 2 x� K y� 9 8:; e 9 8<; Área 
x� = �2 
y� = ℎ2 
 
9 8:L =
�ℎ�
12 
9 8:; =
ℎ��
12 
 
 
 
� = �. ℎ 
 
 
x� = 0 
y� = 0 
 
 
9 8:; = 
���
4 
9 8<; =
���
4 
 
 
� = �. �� 
 
 
x = x’ 
y = y’ 
CG 
r 
x 
y 
CG 
b 
h 
y' 
x' 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
16 
 
y 
x 
15 dm 
25 dm 
r = 7,5 dm 
Coordenadas do 
centróide: 
 
�� = H, 4* O1 
�� = 3,, *4 O1 
y 
x 
15 dm 
25 dm 
r = 7,5 dm 
7,5 dm 
12,5 dm 
3,18 dm 
17,5 dm 
c 
Y’ 
X’ 
18,18 dm 
 
 
*+
,- = ,, 3J O1 
 
Exemplo 6: determinar os momentos de inércia em relação aos eixos centroidais ou 
baricêntricos X’ e Y’ da superfície plana a seguir no sistema internacional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Conhecido as coordenadas do centróide os momentos de inércia em relação aos eixos 
centroidais ou baricêntricos X’ e Y’ podem ser determinados; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�� = H, 4* O1; �� = 3,, *4 O1; 
 A1 = 15 . 25 = 375 dm2 A2 = pi. 7,52/2 = 88,36 dm2 
 
d� distâncias entre os eixos centroidais de cada superfície simples até o eixo centroidal X’ e Y’ da 
superfície plana: 
 dx1 = 9,54 - 7,5 = 2,04 dm dy1 = 13,45 - 12,5 = 0,95 dm 
 dx2 = 18,18 - 9,54 = 8,64 dm dy2 = 17,5 - 13,45 = 4,05 dm 
 
Ix= 7"I 8xi
i
 + Aidyi2 $ → Ix = " I 8x1+A1dy1
2 $ + " I 8
x2+A2dy2
2 $ 
 
Iy= 7"I 8yi
i
 + Aidxi2 $ → Iy = " I 8y1+A1dx1
2 $ + " I 8y2+A2dx2
2 $ 
 
 I 8x1 =
�ℎ�
12 =
15 . 25�
12 = 19531,25 P)
� I 8y1 =
ℎ��
12 =
25 . 15�
12 = 7031,25 P)
�
 
 
 I 8x2 = 0,3927 �� = 0,3927 . 7,5� = 1242,53 P)� I 8y2 = 0,1098 �� = 0,1098 7,5� = 347,41 P)� 
 
 
Ix = "19531,25 + 375 . 0,95�$ + "1242,53 + 88,36. 4,05�$ = 22561,54 P)� = = = = 22561225612256122561,,,,54 54 54 54 . . . . 1111GI* 1* 
 
Iy = "7031,25 + 375 . 2,04�$ + "347,41 + 88,36 . 8,64�$ = 15535,30 P)� = = = = 15535155351553515535,,,,30 30 30 30 . . . . 1111GI* 1* 
 
Tabela 2 x� K y� 9 8:; e 9 8<; Área 
x� = �2 
y� = ℎ2 
 
9 8:L =
�ℎ�
12 
9 8:; =
ℎ��
12 
 
 
 
� = �. ℎ 
 
 
x� = 0 
y� = 4�3� 
 
 
 9 8:L = 0,1098 �� 
 9 8<; = 0,3927 �� 
 
 
 
 
� = �. �� 
 
 
x 
y = y’ 
r 
x' CG 
x 
y 
CG 
b 
h 
y' 
x' 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
17 
 
y 
x 
25 cm 
40 cm 
80 cm 
a =14 cm 
20 cm 
a a 
y 
x 
25 cm 
40 cm 
80 cm 
a =14 cm 20 cm 
a a 
55 cm 
A1 
A2 
40 cm 
c 
Coordenadas do 
centróide: 
 
�� = 5G, G 01 
�� = *., 5 O1 
 
Exemplo 7: determine os momentos de inércia em relação aos eixos centroidais ou 
baricêntricos X e Y da superfície plana a seguir no sistema internacional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Conhecido as coordenadas do centróide os momentos de inércia em relação aos eixos 
centroidais ou baricêntricos podem ser determinados; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A1 = 40 . 80 = 3200 cm2 A2 = 14 . 14 = 196 cm2 
 
Ix= 7"I 8xi
i
 + Aidyi2 $ → Ix = " I 8x1+A1dy1
2 $ - " I 8
x2+A2dy2
2 $ 
 
Iy= 7"I 8yi
i
 + Aidxi2 $ → Iy = " I 8y1+A1dx1
2 $ - " I 8y2+A2dx2
2 $ 
 
d� distâncias entre os eixos centroidais de cada superfície simples até o eixos centroidais X’ e Y’ da 
superfície plana: dx1 = 0 cm dy1 = 46,2 - 40 = 6,2 cm 
 dx2 = 0 cm dy2 = 55 - 46,2 = 8,8 cm 
 
 I 8x1 =
�ℎ�
12 =
40 . 80�
12 = 1706666,67 ()
� I 8x2 =
��
12 =
 14�
12 = 3201,33 ()
�
 
 
 I 8y1 =
ℎ��
12 =
80 . 40�
12 = 426666,67 ()
� I 8y2 =
��
12 =
 14�
12 = 3201,33 ()
�
 
 
 
Ix = "1706666,67 + 3200 . 0�$ - "3201,33 + 196 . 0�$ = 1703465,34 ()� = 1703465170346517034651703465,,,,34 34 34 34 . . . . 1111GIJ 1* 
 
Iy = "426666,67 + 3200 . 6,2�$ - "3201,33 + 196 . 8,8�$ = 531295,10 ()� = 531295531295531295531295,,,,10 10 10 10 . . . . 1111GIJ 1* 
Tabela 1 e tabela 2 x� K y� 9 8:; e 9 8<; Área 
x� = �2 
y� = ℎ2 
 
9 8:L =
�ℎ�
12 
9 8:; =
ℎ��
12 
 
 
 
� = �. ℎ 
 
 
x� = 0 
y� = 0 
 
 
9 8:; = 
��
12 
9 8<; =
��
12 
 
 
� = �� 
 
 
x = x’ 
y = y’ 
CG 
a a 
x 
y 
CG 
b 
h 
y' 
x' 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
18 
 
 9Q = 83,08 cm4 = 83,08 . 10ISm4 
 
R: V�=W= 0; 
 9X =29,08 cm4 = 29,08 . 10ISm4 
 9Q =83,70 cm4 = 83,70 . 10ISm4R: V�=0; W�=2,19 cm; 
 9X =260,66 cm4 = 260,66 . 10ISm4 
 
1 Lista de exercícios: 
 
1) Determine a distância W� para o centróide C da 
área da seção transversal da viga T e calcule 
os momentos de inércia em relação ao baricentro; 
Forneça os momentos de inércia em mm4 e m4 
 
 
R: W�=206,82 mm; 
 9Q =22163,83 . 10�mm4 = 22163,83 . 10ISm4 
 9X =111510,42 . 10�mm4 = 11510,42 . 10ISm4 
 
 
2) Determine a distância x� e y� para o 
centróide C da área da seção em L e 
calcule os momentos de inércia em relação 
ao baricentro. 
Forneça os momentos em cm4 e m4. 
 
 
 
R: V�=1,5 cm; W�= 1,0 cm; 
 9Q = 4,0 cm4 = 4,0 . 10ISm4 
 9X = 8,5 cm4 = 8,5 . 10ISm4 
 
3) Determine os momentos de inércia em relação; 
ao baricentro. Forneça os momentos em cm4 e m4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Determine a distância W� para o centróide C da 
da área da seção transversal da viga e depois 
calcule os momentos de inércia em relação ao 
baricentro. Forneça os momentos de inércia em 
em cm4 e m4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 cm 1 cm 
1 cm 
1 cm 
2 cm 3 cm 
4 cm 
50 mm 
150 mm 150 mm 
250 mm 
25 mm 25 
x 
y 
x 
y 
3 cm 
1 cm 3 cm 
1 cm 
x 
y 
4 cm 
1 cm 
1 cm 
3,5 cm 
5 cm 
1 cm 
x 
y 
3 cm 2 cm 
3 cm 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
19 
 
 9Q =5,365 cm4 = 5,365 . 10ISm4 
 
R: V�=1,36 cm; W�=1,50 cm; 
 9X =5,21cm4 = 5,21 . 10ISm4 
 9Q =19,91 . 10� cm4 = 19,91 . 10I�m4 
 
R: V�=0; W�=18,3 cm; 
 9X =17,12 . 10� cm4 = 17,12 . 10I�m4 
 9Q =23,71 . 10� cm4 = 23,71 . 10I�m4 
 
R: V�=14,97 cm; W�=-0,0306 cm; 
 9X =13,70 . 10� cm4 = 13,70 . 10I�m4 
 
 
5) Determine a distância x� e y� para o 
centróide C da área da seção em L e 
calcule os momentos de inércia em relação 
ao baricentro. Forneça os momentos 
em cm4 e m4. 
 
 
 
 
 
 
 
6) Determine a distância y� para o 
centróide C da área da seção em L e 
calcule os momentos de inércia em relação 
ao baricentro. Forneça os momentos 
em cm4 e m4; 
 
 
 
 
 
 
 
7) Determine a distância V � K W� para o centróide C 
da área da seção transversal e calcule 
os momentos de inércia em relação ao baricentro 
Forneça os momentos em cm4 e m4; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 cm 
25
 
cm
 
20 cm 
35 cm 
20
 
cm
 
r1 r1 
r1 
r1 
r2 
r2 
r1 = 10 cm 
r2 = 7 cm 
x 
y 
x 
3 cm 
 1,5 cm 
r = 1,5 cm 
y 
x 
30 cm 
 10 cm 
r = 5 cm 
15 cm 
y 
 50 cm