4 RESMAT II P4

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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 
 
 
As anotações, fotos, gráficos e tabelas contidas neste texto, 
foram retiradas dos seguintes livros: 
 
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Ferdinand P. Beer 
 - E. Russel Johnston Jr. Ed. 
PEARSON - 3ª edição – 1995 
 
 
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - R. C. Hibbeler 
Ed. PEARSON - 5ª edição – 2004 
 
 
Parte 04: 
Flexão Pura 
- Definição; 
- Fórmula de flexão: Tensões e Deformações Normais por flexão 
no regime elástico; 
 
Cisalhamento na flexão 
- Definição; 
- Fórmula de cisalhamento: Tensões de cisalhamento no regime 
elástico; 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1- Flexão Pura 
1.1 - Definição 
 Em elementos estruturais (vigas, eixos e barras) sob flexão pura a seção crítica 
(Momento fletor máximo) está localizada no trecho em que o esforço normal e o 
cortante são nulos. 
 Flexão pura � M ≠ 0 , N = 0; Q = 0; 
 
A seguir são apresentados alguns casos em que elementos estruturais (vigas, 
barras e eixos) estão submetidos à Flexão Pura. 
 
CASO 1: Elemento sob a ação de uma carga Momento ou com várias cargas momentos: 
 �TODAS AS SEÇÕES TRANSVERSAIS ESTÃO SOB FLEXÃO PURA; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L 
DN = 0; DQ =0 M 
A B DM 
Ex1 
M Seção crítica: todas as 
seções do trecho AB � Mmáx= M 
� Fibra inferior tracionada 
M L 
DN = 0; DQ =0 2M 
A B 
DM 
Ex2 
2M 
Seção crítica: todas as 
seções do trecho AB � Mmáx= 2M 
� Fibra superior tracionada 
L 
DN = 0; DQ =0 
A B C DM 
Ex3 
2M 
Seção crítica: todas as 
seções do trecho AC � Mmáx= 3M 
� Fibra inferior tracionada 
M L 
DN = 0; DQ =0 4M 
D 
DM 
Ex4 
4M 
Seção crítica: todas as 
seções do trecho CB � Mmáx= 4M 
� Fibra superior tracionada 
2M M 
3M 3M 
A B C 
5M 
4M 
M M 
3M 
2M 2M 
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CASO 2: Elemento sob a ação de uma carga distribuída uniforme (q): 
 
�APENAS A SEÇÃO TRANSVERSAL CENTRAL ESTÁ SOB FLEXÃO PURA; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L DN = 0; 
A B 
DM 
Ex1 
Mmáx = qL2/8 
Seção crítica: apenas a seção no meio 
do vão � Flexão pura: N=0; Q=0; M≠0 
� Mmáx= q.L2/8 
� Fibra inferior tracionada 
q (kN/m) 
R = q.L 
VA = q.L/2 VB = q.L/2 
DQ 
+ q.L/2 
- q.L/2 
L DN = 0; 
A B 
DM 
Ex2 
Mmáx = qL2/8 
Seção crítica: apenas a seção no meio 
do vão � Flexão pura: N=0; Q=0; M≠0 
� Mmáx= q.L2/8 
� Fibra superior tracionada 
q (kN/m) 
R = q.L 
VA = q.L/2 VB = q.L/2 
DQ 
- q.L/2 
+ q.L/2 
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CASO 3: Elemento sob a ação de carregamento simétrico: 
 
�APENAS AS SEÇÕES TRANSVERSAIS ENTRE O PAR INTERNO DE FORÇAS 
(força externa ou reação de apoio) ESTÃO SOB FLEXÃO PURA; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L 
DN = 0; A B 
DM 
Ex1 
Mmáx = P.d 
Seção crítica: todas as seções entre o 
par interno de forças 
� Flexão pura: N=0; Q=0; M≠0 
� Mmáx= P.d 
� Fibra inferior tracionada 
P P 
VA = P VB = P 
DQ 
+ P 
- P 
P 
d d 
P 
L 
DN = 0; A B 
DM 
Ex1 
Mmáx = P.d 
Seção crítica: todas as seções entre o 
par interno de forças 
� Flexão pura: N=0; Q=0; M≠0 
� Mmáx= P.d 
� Fibra superior tracionada 
P P 
VA = P VB = P 
DQ 
- P 
+ P 
P 
d d 
P 
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1.2 - Fórmula de flexão 
 Em qualquer seção transversal de um elemento estrutural (vigas, eixos e barras) 
sob a ação de um momento fletor resultante surge nesta seção transversal uma 
distribuição de tensão normal conforme ilustrado na figura a seguir, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando que o material do elemento estrutural trabalha no regime elástico a 
tensão normal em qualquer ponto p na seção transversal é definida por: 
� � �
�		.		�
�
			
��çã�	�; 								� � �
�		.		�
�
			��������ã�	�																													�� 
Em que: 
 σ � tensão normal; 
 M � momento fletor resultante que atua na seção analisada; 
 y � distância perpendicular do ponto p até a linha neutra da seção transversal; 
 I � Momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo centroidal; 
 
OBS1: 
 L. N � A linha neutra ou eixo neutro passa pelo CG (centro de gravidade) da 
seção transversal do elemento estrutural (vigas, eixos, barras), valendo lembrar que 
existem inúmeros tipos de seção transversal, conforme ilustrado a seguir 
 
 
 
 
 
OBS2: 
 Tensão Normal nula � Analisando a equação (1) verifica-se que pontos 
localizados sobre a Linha Neutra ( y = 0) possui tensão normal nula; 
OBS3: 
Tensão Normal máxima Absoluta em dada seção (σmáx) � Analisando a 
equação (1) verifica-se que pontos mais afastados da Linha Neutra, ou seja, y = ymáx. 
 
Deformação normal 
 Considerando um comportamento elástico, a lei de Hooke pode ser utilizada, o 
que permite escrever: 
� � �	. �			 → 										� �
�
�
																												�� 
 
Portanto, onde a tensão normal é máxima � a deformação normal é máxima 
 
P 
L.N. 
L.N. � Linha Neutra, ou, 
� eixo neutro 
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Exemplo1: A viga tem seção transversal retangular e está submetida ao momento 
indicado. Determine: 
a) O valor da máximatensão normal de tração e da máxima tensão normal de 
compressão na seção crítica e desenhe a distribuição de tensão na seção crítica; 
b) A tensão normal máxima absoluta; 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- seção crítica � seção com Mmáx 
 Todas as seções do trecho AB; 
Com fibra inferior tracionada e superior comprimida; 
 
 
 
 
 
 
- Máxima tensão de tração ocorre na fibra inferior; 
- Máxima tensão de compressão ocorre na fibra superior; 
- Linha Neutra ou eixo neutro � localizado sobre o C.G. da seção transversal; 
 
 
 
 
 
 
- I da seção transversal: I = b.h3/12 = 0,020 . 0,0603/12 = 36 . 10-8 m4 
 
a) Máxima tensão na seção crítica: 
M = 4 kN.m = 4.103 N.m 
� tração (+): σ = + M.y/I � 4.103 . 0,030/36.10-8 = 333,33 .106 N/m2 
 σ = + 333,33 MPa 
 
� compressão (-): σ = - M.y/I � 4.103 . 0,030/36.10-8 = 333,33 .106 N/m2 
 σ = - 333,33 MPa 
 
 
 
 
 
 
b) Tensão normal máxima absoluta: Comparando os valores das tensões máximas de 
compressão e de tração a tensão normal máxima absoluta � σmáx = 333, 33 MPa 
 (fibra inferior ou superior) 
M = 4 kN.m Seção transversal; 
 60 mm 
 20 mm 
DM 
4.103 N.m 
Seção crítica: todas as 
seções do trecho AB � Mmáx= 4 103 N.m 
� Fibra inferior tracionada; 
� Fibra superior comprimida; 
A B 
 60 mm 
 20 mm 
 ycompressão = 30 mm 
 ytração = 30 mm 
 compressão 
 tração 
L.N. 
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Exemplo 2: Para a viga submetida à ação de uma carga P indicada na figura a seguir. 
Determine: 
a) O valor da máxima tensão normal de tração e da máxima tensão normal de 
compressão na seção crítica devido à carga P = 300 N. Desenhe a distribuição de tensão 
na seção crítica; 
b) A tensão normal máxima absoluta devido à carga P = 300 N; 
c) O valor máximo de P
 
que pode ser aplicado nesta viga considerando que o material 
da viga possui tensão admissível de tração de 5 kN/cm2 e tensão admissível de 
compressão de tração de 25 kN/cm2; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- seção crítica � seção com Mmáx 
 Todas as seções do trecho BC; 
Com fibra superior tracionada e inferior comprimida; 
 
 
 
 
 
 
- Máxima tensão de tração ocorre na fibra superior; 
- Máxima tensão de compressão ocorre na fibra inferior; 
- Linha Neutra ou eixo neutro � localizado sobre o C.G. da seção transversal; 
 Lembrando que Linha Neutra passa pelo CG = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�� �
Σ	�. ��	
Σ	�	 = 	90	. 20�. 50% + 	30	. 40�. 20%	 	90	. 20� +		30	.40�% = 38	)) 
 
I = momento de inércia em relação eixo centroidal (Linha neutra L.N.): 
I = ∑ (Ix + A . y2) = ∑ [ (bh3)/12 + A . y2 ] 
 
I = [(90 . 203)/12 + (90 . 20) .122] + [ (30 . 403)/12 + (30 . 40) . 182] = 868000 mm4 
I = 86,8 . 10-8 m4 
Seção transversal; 
90 mm 
30 mm 
P 
20 mm 
40 mm 
120 mm 300 mm 120 mm 
P 
 A B C D 
DM 
Seção crítica: todas as seções entre o 
par interno de forças � TRECHO BC 
� Flexão pura: N=0; Q=0; M≠0 
� Mmáx= P.d 
� Fibra superior tracionada; 
� Fibra inferior comprimida; 
L. N. 
40 mm 
20 mm 
y = ? ---------- y = 38mm 
y
y
1
y
2
y
90 mm 
30 mm 
CG 
x
y
 ycompressão = 38 mm 
 ytração = 22 mm 
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a) Máxima tensão na seção crítica: 
 M = P.d = 300 . 0,12 = 36 N.m 
� tração (+): σ = + M.y/I � 36 . 0,022/86,8 .10-8 = 0,912 .106 N/m2 
 σ = + 0,912 MPa 
 
� compressão (-): σ = - M.y/I � 36.103 . 0,038/86,8.10-8 = 1,58 .106 N/m2 
 σ = - 1,58 MPa 
 
 
 
 
 
 
b) Tensão normal máxima absoluta: Comparando os valores das tensões máximas de 
compressão e de tração a tensão normal máxima absoluta � σmáx = 1,58 MPa 
 (fibra inferior) 
c) P = ? 
Sabendo: 
 tensão admissível de tração: σt_adm = + 5 kN/cm2 = 5 .103 N/1.10-4 m2 
 σt_adm = + 5 .107 N/m2 
 
 tensão admissível de compressão: σc_adm = - 25 kN/cm2 = - 25 .103 N/1.10-4 m2 
 σc_adm = - 25 .107 N/m2 
 
 Momento na seção crítica: M = P . d = P . 0,12 N.m 
 M = 0,12.P N.m 
 
 
� tração máxima (+): σt_adm = σ = + M.y/I 
 5,0 .107 = 0,12 . P . 0,022/86,8 .10-8 
 P = (5,0 .107 . 86,8 .10-8 ) / (0,12 . 0,022) 
 P = 16439,40 N = 16,44 kN 
 
� tração compressão (-): σc_adm = σ = - M.y/I 
 -25 .107 = - 0,12 . P . 0,038/86,8 .10-8 
 P = (25 .107 . 86,8 .10-8 ) / (0,12 . 0,038) 
 P = 47587,7 N = 47,60 kN 
 
 
Analisando os dois valores encontrados para a carga P verifica-se que o maior 
valor para a carga P de MODO A RESPEITAR OS DOIS LIMITES (TRAÇÃO E 
COMPRESSÃO) deve ser P = 16,44 kN. 
 
 
 
 
 
 
 
 compressão 
 tração 
L.N. 
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Exemplo 3: Para a viga submetida à ação de uma carga distribuída indicada na figura a 
seguir. Determine: 
a) O valor da máxima tensão normal de tração e da máxima tensão normal de 
compressão na seção crítica devido à q = 5 kN/m. Desenhe a distribuição de tensão na 
seção crítica e determine a tensão nos seguintes pontos: p1� 20 mm da face superior 
da seção crítica e p2 �na face inferior da seção crítica e represente o estado de tensão 
destes por meio de elementos infinitesimais de volume localizados nestes pontos; 
b) A tensão normal máxima absoluta devido à esta carga q; 
c) O valor máximo de q
 
que pode ser aplicado nesta viga considerando que o material 
da viga possui tensão admissível de tração e de compressão de tração de 21,7 kN/cm2; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- seção crítica � seção com Mmáx 
 Apenas a seção no meio do vão; 
Com fibra superior comprimida e inferior tracionada; 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Máxima tensão de tração ocorre na fibra inferior; 
- Máxima tensão de compressão ocorre na fibra superior; 
- Linha Neutra ou eixo neutro � localizado sobre o C.G. da seção transversal; 
 Lembrando que Linha Neutra passa pelo CG = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
I = momento de inércia em relação eixo centroidal (Linha neutra L.N.): 
I = ∑ (Ix + A . y2) =∑ [ (bh3)/12 + A . y2 ] 
 
I = 2 [(250 . 203)/12 + (250 . 20).1602] + [ (20 . 3003)/12 + (20 . 300). 02] = .108 mm4 
I = 3,013 .108 mm4 = 3,013 . 10-4 m4 
 
Seção transversal; 
250 mm 
300 mm 
20 mm 
20 mm 
 6 m 
q 
 A B 
L. N. 
150 mm 
20 mm 
y = ? ---------- y = 170 mm 
y
y 1
y2
y
250 mm 
250 mm 
CG 
x
y
 ytração = 170 mm 
 ycompressão = 170 mm 
20 mm 
DM 
Mmáx = qL2/8 
Seção crítica: apenas a seção no meio 
do vão � Flexão pura: N=0; Q=0; M≠0 
� Mmáx= q.L2/8 
� Fibra inferior tracionada; 
� Fibra superior comprimida 
3
y
150 mm 
20 mm 
Ponto 1 
Ponto 2 
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a) Máxima tensão na seção crítica: 
 M = qL2/8 = 5. 103 . 62/8 = 22,5 . 103 N.m 
� tração (+): σ = + M.y/I � 22,5 . 103 . 0,17/3,013 .10-4 = 12,70 .106 N/m2 
 σ = + 12,70 MPa 
 
� compressão (-): σ = - M.y/I � 22,5.103 . 0,170/3,013.10-4 = 12,70 .106 N/m2 
 σ = - 12,70 MPa 
 
 
 
 
 
 
Tensão nos pontos 1 e 2: 
Ponto1: y1 = 0,15 m �compressão (-): σ = - M.y/I � - 22,5 . 103 . 0,15/3,013 .10-4 
 σ = - 11,20 MPa 
 
 
Ponto2: y2 = 0,17 m � tração (+): σ = + M.y/I � 22,5 . 103 . 0,17/3,013 .10-4 
 σ = 12,70 .106 N/m2 =+ 12,70 MPa 
 
 
 
b) Tensão normal máxima absoluta: Comparando os valores das tensões máximas de 
compressão e de tração a tensão normal máxima absoluta � σmáx = 12,7 MPa 
 (fibra inferior ou superior) 
c) q = ? 
Sabendo: 
 tensão admissível de tração: σt_adm = + 21,7 kN/cm2 = 217 .106 N/m2 
 tensão admissível de compressão: σc_adm = - 21,7 kN/cm2 = - 217 .106 N/m2 
 
 Momento na seção crítica: M = q.L2/8 = q . 62/8 = 4,5 q N.m 
 
� tração máxima (+): σt_adm = σ = + M.y/I 
 217 .106 = 4,5 q . 0,17/3,013 .10-4 
 q = (217 .106 . 3,013 .10-4 ) / (4,5 . 0,17) 
 q = 85467 N/m = 85,47 kN/m 
 
� tração compressão (-): σc_adm = σ = - M.y/I 
 - 217 .106 = - 4,6 q . 0,17/3,013 .10-4 
 q = (217 .106 . 3,013 .10-4 ) / (4,5 . 0,17) 
 P = 85467 N/m = 85,47 kN/m 
 
 
Analisando os dois valores encontrados para a carga q verifica-se que o maior 
valor para a carga q de MODO A RESPEITAR OS DOIS LIMITES (TRAÇÃO E 
COMPRESSÃO) deve ser q = 85,47 kN/m 
 
 
tração 
compressão 
L.N. 
20 mm 
1 
2 
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Exemplo 4: Para uma viga de seção transversal ilustrada na figura a seguir, a tensão 
admissível é de σadm = 217 MPa e módulo de elasticidade E = 200 GPa. Determine: 
a) o momento fletor máximo M que pode ser aplicado; 
b) A tensão normal máxima absoluta a deformação máxima absoluta na seção crítica da 
viga devido ao Mmáx determinado no item a; 
c) Determinar a tensão normal de flexão nos pontos 1 e 2 na seção crítica. Represente 
o estado de tensão destes por meio de elementos infinitesimais de volume localizados 
nestes pontos; 
 
 
 
 
 
 
 
 600 mm 
 
 
 
Resolução: 
- seção crítica � seção com Mmáx 
 Todas as seções do trecho AB; 
Com fibra superior tracionada e inferior comprimida; 
 
 
 
 
 
 
- Máxima tensão de tração ocorre na fibra superior; 
- Máxima tensão de compressão ocorre na fibra inferior; 
- Linha Neutra ou eixo neutro � localizado sobre o C.G. da seção transversal; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�� �
Σ	�. ��	
Σ	�	 = 	120	. 50�. 60% + −	34	. 52�. 34%	 	120	. 50� +		−34	.		52�% = 70,86 = 71	)) 
 
I = momento de inércia em relação eixo centroidal (Linha neutra L.N.): 
I = ∑ (Ix + A . y2) = ∑ [ (bh3)/12 + A . y2 ] 
 
I = [(50 . 1203)/12 + (50 . 120) .112] - [ (34 . 523)/12 + (34 . 52) . 372] = 510,72. 104 mm4 
I = 510,72 . 10-8 m4 
Seção transversal: 
120 mm 
50 mm 
2 
1 30 mm 
M 
 A B 
52 mm 
8 mm 
8 mm 8 mm 
L. N. 120 mm 
y = ? ---------- y = 71 mm 
y
y1
y
2
y
50 mm 
CG 
x
y
 ycompressão = 71 mm 
 ytração = 49 mm 
DM 
M N.m 
Seção crítica: todas as 
seções do trecho AB � Mmáx= M = ? 
� Fibra superior tracionada; 
� Fibra inferior comprimida; 
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12 
 
 
a) Máxima tensão na seção crítica: 
 M = ? 
 � tensão admissível de tração: σt_adm = + 217 MPa = + 217 .106 N/m2 
 � tensão admissível de compressão: σc_adm = - 217 MPa = - 217 .106 N/m2 
 
tração máxima (+): σt_adm = σ = + M.y/I 
 217 .106 = M . 0,049/510,72 .10-8 
 M = 22617,6 N.m = 22,62 kN.m 
tração compressão (-): σc_adm = σ = - M.y/I 
 217 .106 = - M . 0,071/510,72 .10-8 
 M = 15609,33 N.m = 15,61 kN.m 
 
Analisando os dois valores encontrados para a carga M verifica-se que o maior 
valor para a carga M de MODO A RESPEITAR OS DOIS LIMITES (TRAÇÃO E 
COMPRESSÃO) deve ser M = 15,61 kN.m 
 
b) Tensão normal máxima absoluta e a deformação máxima absoluta na seção 
crítica � para M = 15,61 kN.m: 
 
Máxima tensão na seção crítica: 
 M = 15,61 kN.m = 15,61 . 103 N.m 
� tração (+): σ = + M.y/I � 15,61 . 103 . 0,049/510,72 .10-8 = 149,80 .106 N/m2 
 σ = + 149,80 MPa 
 
� compressão (-): σ = - M.y/I � 15,61.103 . 0,071/510,72.10-8 = 217 .106 N/m2 
 σ = - 217 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
Comparando os valores das tensões máximas de compressão e de tração 
a tensão normal máxima absoluta � σmáx = 217 MPa; 
 (fibra inferior) 
A deformação máxima absoluta � lei de Hooke: σ = E . ε 
 217 . 106 = 200 . 109 . ε 
 ε = 1,085 . 10-3 
 
c) Tensão nos pontos 1 e 2: 
Ponto1: y1 = 0,019m �tração (+): σ = + M.y/I � 15,61 . 103 . 0,019/510,72 .10-8 
 σ = + 58,1 MPa 
 
 
Ponto2: y2 = 0,063m � compressão (-): σ = - M.y/I �15,61. 103. 0,063/510,72 .10-8 
 σ = - 192,56 .106 N/m2 = - 192,56 MPa 
 
 
compressão 
tração 
L.N. 
30 mm 
1 
2 8 mm 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais2 
13 
 
 
Exemplo 5: Determinar o menor diâmetro admissível para a barra circular submetida ao 
carregamento ilustrado na figura a seguir. A tensão de flexão admissível da barra é de 
σadm = 160 MPa; 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- seção crítica � seção com Mmáx 
 Todas as seções do trecho BC; 
Com fibra inferior tracionada e superior comprimida; 
 
 
 
 
 
- Máxima tensão de tração ocorre na fibra inferior; 
- Máxima tensão de compressão ocorre na fibra superior; 
- Linha Neutra ou eixo neutro � localizado sobre o C.G. da seção transversal; 
 
 
 
 
 
 
 
I = momento de inércia em relação eixo centroidal (Linha neutra L.N.): 
I = (pi.r4)/4 
 
- Neste exercício a variável é o raio da seção circular � r = ? 
- Mesma resistência à compressão e à tração � |σt_adm |= |σc_adm |= 160 MPa 
- A tensão normal máxima absoluta ocorre no ponto mais distante da linha neutra: 
Neste caso � no topo ou na base � y = r 
 
- Basta substituir estas informações na fórmula de flexão: 
 σ = M.y/I � σ = 160 MPa = 160 . 106 N/m2 
 � M = P.d = 400 N. 0,6 = 240 N.m 
 � y = r = ? ; � I = pi.r4)/4 
 
160 . 106 = 240 . r / [(pi.r4)/4] �160 . 106 = 240 . r . [4/(pi.r4)] 
 �160 . 106 = 240 . 4/pi.r3 
 � r3 = 240 . 4/pi.160 . 106 
 � r3 = 1,91. 10-6 � r = 0,0124 m = 12,40 mm 
 O menor diâmetro admissível é de D = 24,8 mm; 
 
 
y
y
DM 
Seção transversal: 
0,6 m 1,3 m 0,6 m 
400 N 400 N 
 A B C D 
D = ? 
Mmáx = P.d 
Seção crítica: todas as 
do trecho BC � Mmáx= P. d 
� Fibra inferior tracionada; 
� Fibra superior comprimida; 
x
y
CG L. N. 
 ycompressão = r 
 ytração = r 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
14 
 
 
Exemplo 6: A viga está submetida ao carregamento mostrado. O material da viga possui 
tensão de flexão de σadm = 150 MPa, determine: 
a) a dimensão a requerida para a seção transversal da viga; 
b) determine a distribuição de tensão na seção crítica e a tensão no ponto p1 na seção 
crítica. Represente o estado de tensão deste ponto meio de elemento infinitesimal de 
volume localizado; 
c) a dimensão a requerida para a seção transversal da viga, considerando que o material 
da viga possui tensão de flexão de σadm_c = 82 MPa na compressão e tensão de flexão 
de σadm_t = 152 MPa na tração; 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- seção crítica � seção com Mmáx 
 Todas as seções do trecho BC; 
Com fibra superior tracionada e inferior comprimida; 
 
 
 
- Máxima tensão de tração ocorre na fibra superior; 
- Máxima tensão de compressão ocorre na fibra inferior; 
- Linha Neutra ou eixo neutro � localizado sobre o C.G. da seção transversal; 
 Lembrando que Linha Neutra passa pelo CG = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
### OBS: (a/3) / 2 = a/6 
�� �
Σ	�. ��	
Σ	�	 = ./
03 . 01 . /0 + 0612 + ./0	. 021 . 022 /03 . 01 +	/0. 021% =
3470518 67 + 34054 67
 5086 % =
34460572 67
 5086 % = 0,770 
 
I = momento de inércia em relação eixo centroidal (Linha neutra L.N.): 
I = ∑ (Ix + A . y2) = ∑ [ (bh3)/12 + A . y2 ] 
 
9 = :0	. 	03	�512 + /03 . 01 . /0 + 06 − 0,77018; + :
02	. 	0	�512 + /0. 021 . /02 − 0,77018; = 
 9 = 0,0030860< + 0,052450<% + 0,041170< + 0,036450<% = 0,13320< 
 A B C D 
DM 
Seção transversal: 
1,0 m 2,0 m 1,0 m 
20 kN 20 kN 
Mmáx = P.d 
Seção crítica: todas as 
do trecho BC � Mmáx= P. d 
� Fibra superior tracionada; 
� Fibra inferior comprimida; 
a/2 
a 
a/3 
a 
L. N. 
a 
a/3 
y = ? ---------- y = 0,77a 
y
y
1
y
2
y
a 
a/2 
CG 
x
y
 ycompressão = 0,77a 
 ytração = a/3 + 0,23a = 0,56a 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
15 
 
 
a) dimensão da seção: 
 a = ? 
 - neste item � |σt_adm |= |σc_adm |= 150 MPa 
- Portanto, basta aplicar fórmula de flexão para o ponto mais distante da 
linha neutra: 
 � este ponto esta na base � compressão 
 σ = - M.y/I 
� σ = - 150 MPa = - 150 . 106 N/m2 
� M = P.d = 20 . 103 N. 1,0 m = 20 . 103 N.m 
 � y = 0,77a ( ponto mais distante da linha neutra); 
� I = 0,1332a4 
 
- 150 . 106 = - 20 . 103 . 0,77a /0,1332a4 
- 150 . 106 = - 15,4 . 103 /0,1332a3 
a3 = 15,4 . 103 / (0,1332 . 150 . 106) � a = 0,09169 m = 91,69 mm 
 
b) a distribuição de tensão na seção crítica: 
 Máxima tração � no topo 
 σ = M.y/I 
� M = P.d = 20 . 103 N. 1,0 m = 20 . 103 N.m 
 � y = 0,56a = 0,56. 0,09169 = 0,05135 m 
� I = 0,1332a4 = 0,1332 .0,091694 = 9,41 .10-6 m4 
 
σ = 20 . 103 . 0,05135 /9,41 .10-6 = 109,14 .106 N/m2 = 109,14 MPa 
 
Máxima compressão � na base � não é necessário, pois foi definida como 
limite no item a, mas para efeito de demonstração: 
 σ = - M.y/I 
� M = P.d = 20 . 103 N. 1,0 m = 20 . 103 N.m 
 � y = 0,77a = 0,77. 0,09169 = 0,07060 m 
� I = 0,1332a4 = 0,1332 .0,091694 = 9,41 .10-6 m4 
 
σ = - 20 . 103 . 0,07060 /9,41 .10-6 = 150,0 .106 N/m2 = - 150 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensão no ponto 1: 
Ponto1: y1 = 0,23a �tração (+): σ = + M.y/I � + 20 . 103 . 0,02109/9,41 .10-6 
 y1 = 0,23 . 0,09169 σ = + 44,82 MPa 
 y1 = 0,02109 m 
 
 
tração 
L.N. 
compressão 
1 
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 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
16 
 
 
c) dimensão da seção: 
 a = ? 
 - neste item � |σt_adm | ≠ |σc_adm | 
 σt_adm = 152 MPa 
 σc_adm = - 82 MPa 
 
- Portanto, neste caso é necessário aplicar fórmula de flexão para os dois 
pontos mais distante da linha neutra e realizar a análise: 
 
Máxima tração � no topo 
 σ = M.y/I 
� σ = 152 MPa = 152 . 106 N/m2 
� M = P.d = 20 . 103 N. 1,0 m = 20 . 103 N.m 
 � y = 0,56a 
� I = 0,1332a4 
 
152 . 106 = 20 . 103 . 0,56a /0,1332a4 
152 . 106 = 11,2 . 103 /0,1332a3 
a3 = 11,2 . 103 / (0,1332 . 152 . 106) � a = 0,08209 m = 82,09 mm 
 
Máxima compressão � na base 
 σ = - M.y/I 
� σ = - 82 MPa = -82 . 106 N/m2 
� M = P.d = 20 . 103 N. 1,0 m = 20 . 103 N.m 
 � y = 0,77a 
� I = 0,1332a4 
 
- 82 . 106 = - 20 . 103 . 0,77a /0,1332a4 
- 82 . 106 = - 15,4 . 103 /0,1332a3 
a3 = 15,4 . 103 / (0,1332 . 82 . 106) � a = 0,11213 m = 112,13 mm 
 
 
Análise dos resultados encontrados: 
 Para suportar o carregamento aplicado e tensão limite de tração � a ≥ 82,09 mm 
 Para suportar o carregamento aplicado e tensão limite de compressão � a ≥ 112,13 mm 
 
 Portanto, para suportar o carregamento aplicadoe atender simultaneamente 
os dois limites de tensão (de compressão e de tração) 
 � a ≥ 112,13 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
17 
 
 
Exemplo 7: A viga submetida à ação de uma carga distribuída q indicada na figura a 
seguir. O material da viga possui tensão de flexão de σadm_c = 110 MPa na compressão 
e tensão de flexão de σadm_t = 124 MPa na tração, Determine: 
a) a dimensão a requerida para a seção transversal da viga; 
b) determine a distribuição de tensão na seção crítica com as dimensões definidas no 
item a, bem como a tensão no ponto p1 na seção crítica. Represente o estado de tensão 
deste ponto meio de elemento infinitesimal de volume localizado; 
c) O maior vão L que a viga pode resistir, considerando a mesma carga distribuída q 
indicada na figura a seguir e de seção transversal com a = 40 cm; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
- seção crítica � seção com Mmáx 
 Apenas a seção no meio do vão; 
Com fibra superior tracionada e inferior comprimida; 
 
 
 
 
 
 
 
- Máxima tensão de tração ocorre na fibra superior; 
- Máxima tensão de compressão ocorre na fibra inferior; 
- Linha Neutra ou eixo neutro � localizado sobre o C.G. da seção transversal; 
 Lembrando que Linha Neutra passa pelo CG = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
I = momento de inércia em relação eixo centroidal (Linha neutra L.N.): 
I = (bh3)/12 
 
I = (a/4 . a3)/12 = 0,02083a4 
 
 
 
 
Seção transversal; 
a/4 
a 
a/4 
 6 m 
q = 50 kN/m 
 A B 
DM 
Mmáx = qL2/8 
Seção crítica: apenas a seção no meio 
do vão � Flexão pura: N=0; Q=0; M≠0 
� Mmáx= q.L2/8 
� Fibra superior tracionada; 
� Fibra inferior comprimida; 
Ponto 1 
L. N. a 
y = ? ---------- y = 0,5a 
y
y
2
y a/4 
CG 
x
y
 ycompressão = 0,5a 
 ytração = 0,5a 
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 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
18 
 
 
a) dimensão da seção: 
 a = ? 
 - neste item � |σt_adm | ≠ |σc_adm | 
 σt_adm = 124 MPa 
 σc_adm = - 110 MPa 
 
- Portanto, neste caso é necessário aplicar fórmula de flexão para os dois 
pontos mais distante da linha neutra e realizar a análise: 
 
Máxima tração � no topo 
 σ = M.y/I 
� σ = 124 MPa = 124 . 106 N/m2 
� M = q.L2/8 = 50 . 103 . 62 /8 = 225 . 103 N.m 
 � y = 0,5a 
� I = 0,02083a4 
 
124 . 106 = 225 . 103 . 0,5a /0,02083a4 
124 . 106 = 112,5. 103 /0,02083a3 
a3 = 112,5 . 103 / (0,02083 . 124.106) � a = 0,3518 m = 35,18 cm 
 
Máxima compressão � na base 
 σ = - M.y/I 
� σ = - 110 MPa = - 110 . 106 N/m2 
� M = q.L2/8 = 50 . 103 . 62 /8 = 225 . 103 N.m 
 � y = 0,5a 
� I = 0,02083a4 
 
- 110 . 106 = - 225. 103 . 0,5a /0,02083a4 
- 82 . 106 = - 112,5 . 103 /0,02083a3 
a3 = 112,5. 103 / (0,02083 . 110 .106) � a = 0,3662 m = 36,62 cm 
 
 
Análise dos resultados encontrados: 
Para suportar o carregamento aplicado e tensão limite de tração � a ≥ 35,18 cm 
Para suportar o carregamento aplicado e tensão limite de compressão� a ≥ 36,62 cm 
 
 Portanto, para suportar o carregamento aplicado e atender simultaneamente 
os dois limites de tensão (de compressão e de tração) 
 � a ≥ 36,62 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
19 
 
 
b) a distribuição de tensão na seção crítica: 
 Máxima tração � no topo 
 σ = M.y/I 
� M = q.L2/8 = 50 . 103 . 62 /8 = 225 . 103 N.m 
� y = 0,5a = 0,5 . 0,3662 = 0,1831 m 
� I = 0,02083a4 = 0,02083 .0,36624 = 3,75.10-4 m4 
 
σ = 225 . 103 . 0,1831 /3,75 .10-4 = 109,86 .106 N/m2 = 110 MPa 
 
Máxima compressão � na base � 
 σ = - M.y/I 
� M = q.L2/8 = 50 . 103 . 62 /8 = 225 . 103 N.m 
� y = 0,5a = 0,5 . 0,3662 = 0,1831 m 
� I = 0,02083a4 = 0,02083 .0,36624 = 3,75.10-4 m4 
 
σ = - 225 . 103 . 0,1831 /3,75 .10-4 = - 109,86 .106 N/m2 = - 110 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensão no ponto 1: 
Ponto1: y1 = 0,5a - a/4 
 � compressão (-): σ = - M.y/I � - 225 . 103 . 0,09155/3,75.10-4 
 y1 = 0,25 . 0,3662 σ = -54,93 MPa 
 y1 = 0,09155 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
tração 
L.N. 
compressão 
1 
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20 
 
 
c) L = ? 
 Em função da seção com a dimensão a = 40 cm: 
 a = 0,40 m 
|σt_adm | ≠ |σc_adm | 
 σt_adm = 124 MPa 
 σc_adm = - 110 MPa 
 
- Portanto, neste caso é necessário aplicar fórmula de flexão para os dois 
pontos mais distante da linha neutra e realizar a análise: 
 
Máxima tração � no topo 
 σ = M.y/I 
�σ = 124 MPa = 124 .106 N/m2 
� M = q.L2/8 = 50 . 103 . L2 /8 = 6,25. 103 L2 N.m 
� y = 0,5a = 0,5 . 0,40 = 0,20 m 
� I = 0,02083a4 = 0,02083 .0,404 = 5,33.10-4 m4 
 
124 .106 = 6,25.103. L2 . 0,20 /5,33.10-4 
 L2 = 124 .106 . 5,33.10-4 / (6,25.103. 0,20) 
 L = 7,27 m 
 
Máxima compressão � na base 
 σ = - M.y/I 
�σ = -110 MPa = -110 .106 N/m2 
� M = q.L2/8 = 50 . 103 . L2 /8 = 6,25. 103 L2 N.m 
� y = 0,5a = 0,5 . 0,40 = 0,20 m 
� I = 0,02083a4 = 0,02083 .0,404 = 5,33.10-4 m4 
 
- 110 .106 = - 6,25.103. L2 . 0,20 /5,33.10-4 
 L2 = 110 .106 . 5,335.10-4 / (6,25.103. 0,20) 
 L = 6,85 m 
 
 
Análise dos resultados encontrados: 
 Para suportar o carregamento aplicado e tensão limite de tração � L ≥ 7,27 m 
 Para suportar o carregamento aplicado e tensão limite de compressão � L ≥ 6,85 m 
 
 Portanto, para suportar o carregamento aplicado e atender simultaneamente 
os dois limites de tensão (de compressão e de tração) 
 � L ≥ 6,85 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
21 
 
1,5m 1,5m 2,5m 
1,5m 1,5m 2,5m 
300 mm 600 mm 
 
Lista de exercícios 1 
1) Duas forças verticais são aplicadas a uma viga de seção transversal mostrada. 
Determine as máximas tensões de tração e compressão na viga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: σmáx_t = + 73,13 MPa 
 σmáx_c = - 73,13 MPa 
2) Para a viga de seção transversal mostrada a seguir. Determine: 
a) Máxima tensão de compressão e tração devido ao momento M = 4 kN.m; 
b) Máximo valor para M, considerando tensão de flexão admissível de 65 MPa; 
R: a) σmáx_t = + 222,91 MPa; σmáx_c = - 262,06 MPa 
 b) M= 992,14 N.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Para o perfil mostrado a seguir, determinar o maior valor para a carga Pque pode ser 
aplicada sobre a viga, sem que as seguintes tensões admissíveis sejam excedidas: 
σadm_t = + 40 MPa e σadm_c = -100 MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: P= 3117,32 N 
 
 
P 
P = 1,0 kN 
A B C D 
y
y
Seção transversal: 
25 mm 
60 mm 
t = 10 mm 
25 mm 
x 
P = 1,0 kN 
y
2 
x 
y 
Seção transversal: 
75 mm 
50 mm 
12,7 mm 
12,7 mm 
P 
y
y
Seção transversal: 
30 mm 
r = 45 mm 
10 mm 
x 
M 
A B C 
30 mm 
x 
12,7 mm 
130 mm 
2,65M 
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22 
 
5,5m 
0,5m 0,5m 0,5m 
P P 
 
4) Supondo que a viga tenha seção transversal quadrada de 25 cm de lado, determine a 
tensão de flexão normal máxima absoluta; 
R: σabs = 0,211 MPa 
 
 
 
 
 
5) Determine o maior valor da carga distribuída q que pode ser aplicada à viga de modo 
que a tensão flexão da viga não exceda a tensão de flexão admissível de 100 MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: q = 211, 87 kN/m 
 
 
6) A viga tem seção transversal retangular como mostrado. Determine a maior carga P 
que pode ser suportada em suas extremidades em balanço, de modo que a tensão de 
flexão na viga não exceda o limite de 10 MPa. 
 
 
 
 
 Seção transversal: 
 
R: P = 1,67 kN 
7) Um elemento com as dimensões mostradas na figura a seguir é utilizado para resistir 
a um momento fletor interno M = 2 kN.m, Determine a tensão máxima de compressão, 
de tração, bem como a distribuição de tensão se momento for aplicado: 
a) em torno do eixo z, conforme indicado; 
b) em torno do eixo y, conforme indicado; 
 
 
 
 
 
 
a) Em torno de z b)Em torno de y 
R: a) σmáx_t = + 13,89 MPa; σmáx_c = - 13,89 MPa 
 b) σmáx_t = + 6,94 MPa; σmáx_c = - 6,94 MPa 
3,0 m 
y
y
Seção transversal: 
15 cm 
20 cm 
 5 5 cm 
25 cm 
x 
q 
100 mm 
50 mm 
M=5,5 kN. m 
10 cm 
y 
z 
M 
M 
y 
z 
x 
x 
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23 
 
 
8) Para a viga submetida ao momento M indicado na figura a seguir, determine: 
a) O valor de M de modo a criar no ponto D uma tensão de compressão de 30 MPa; 
b) O valor da tensão normal máxima absoluta gerada pelo momento definido no item a; 
 
R: a) M= 36,46 kN . m 
 b) σmáx_abs = 40 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) A viga tem seção transversal mostrada na figura a seguir. Se for feita de aço com 
tensão de flexão admissível σadm = 170 MPa, determine o maior momento ao qual ela 
pode resistir se o momento for aplicado: 
a) em torno do eixo z, conforme indicado; 
b) em torno do eixo y, conforme indicado; 
 
 
 
 
 
 a)Em torno de z b)Em torno de y 
 
R: a) M= 14,15 kN. m 
 b) M= 4,1 kN. m 
 
10) A peça de máquina de alumínio está sujeita a um momento M = 75 N.m. Determinar 
a tensão normal de flexão nos pontos B e C da seção transversal. Desenhar os 
resultados em um elemento infinitesimal de volume localizado em cada um desses 
pontos. 
 
 
 
 
 
 
R: σB = - 3,6 MPa; σC = - 1,54 MPa 
 
y 
z 
M 
M 
y 
z 
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24 
 
 
11) Determinar o menor diâmetro admissível para a barra circular submetida ao 
carregamento ilustrado na figura a seguir. A tensão de flexão admissível da barra é de 
σadm = 160 MPa; 
 
 
R: D = 32 mm 
 
 
 
12) A viga está submetida ao carregamento mostrado. O material da viga possui tensão 
de flexão de σadm = 150 MPa, determine: 
a) a dimensão a requerida para a seção transversal da viga; 
b) determine a distribuição de tensão na seção crítica e a tensão no ponto p1 na seção 
crítica. Represente o estado de tensão deste ponto por meio de um elemento infinitesimal 
de volume; 
c) a dimensão a requerida para a seção transversal da viga, considerando que o material 
da viga possui tensão de flexão de σadm_c = 82 MPa na compressão e tensão de flexão 
de σadm_t = 152 MPa na tração; 
 
 
 
 
 
 
 
R: a) a = 123 mm 
 b) σtopo = - 148,76 MPa; σbase = + 89,61 MPa; σp1 = + 30,47 MPa 
 c) a = 150 mm 
 
13) A viga submetida à ação de uma carga distribuída q indicada na figura a seguir. O 
material da viga possui tensão de flexão de σadm_c = 110 MPa na compressão e tensão 
de flexão de σadm_t = 124 MPa na tração, Determine: 
a) a dimensão a requerida para a seção transversal da viga; 
b) determine a distribuição de tensão na seção crítica com as dimensões definidas no 
item a, bem como a tensão no ponto p1 na seção crítica. Represente o estado de tensão 
deste ponto meio de um elemento infinitesimal de volume; 
c) O maior vão L que a viga pode resistir, considerando a seção transversal com as 
dimensões definidas no item a e sob a ação de uma carga distribuída q= 65 kN/m; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 R: a) a = 170 mm 
 b) σtopo = - 66,76 MPa; σbase = + 123,99 MPa; σp1 = + 85,84 MPa 
 c) L = 5,26 m 
 A B C D 
Seção transversal: 
1,0 m 2,0 m 1,0 m 
35 kN 35 kN 
a 
a/3 
a 
a/3 
Seção transversal; 
a/4 
a 
a/4 6 m 
q = 50 kN/m 
 A B 
Ponto 1 a 
a/4 
p1 
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25 
 
 
2 - Cisalhamento na flexão 
2. 1 - Definição 
 Em elementos estruturais (vigas, eixos e barras) submetidos à ação de esforços 
cortantes (cisalhamento) V, surge nas seções transversais destes elementos uma 
distribuição de tensão de cisalhamento não uniforme τ, a qual provoca deformações nas 
seções transversais, conforme ilustrado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O esforço cortante V GERA distribuição não uniforme de 
 tensão de cisalhamento τ. 
 
2.2 - Fórmula de cisalhamento 
 Em qualquer seção transversal de um elemento estrutural (vigas, eixos e barras) 
sob a ação de um esforço cortante surge nesta seção transversal uma distribuição de 
tensão de cisalhamento não uniforme conforme ilustrado na figura a seguir, 
 
Considerando que o material do 
elemento estrutural trabalha no regime 
elástico a tensão de cisalhamento em 
qualquer ponto p na seção transversal 
é definida por: 
 
= �
>		.		?�.
 																															@� 
 
Em que: 
 
τ � tensão de cisalhamento; 
V � esforço cortante na seção; 
Q = A’. y’ � momento estático da 
 área sombreada acima 
 ou abaixo ao nível do 
 ponto p em análise; 
I � Momento de inércia da seção transversal 
 relação ao eixo centroidal (linha neutra); 
t � largura da seção ao nível do 
 do ponto p em análise; 
P 
L.N. 
L.N. � Linha Neutra, ou, 
� eixo neutro 
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26 
 
 
Para uma viga com seção transversal retangular, a tensão de cisalhamento varia 
parabolicamente com a altura, conforme ilustrado na figura anterior. 
 
Analisando a equação (3 ), observa-se: 
 
1- Pontos localizados no topo e na base da seção transversal possui Q=0, logo, a 
tensão de cisalhamento é nula; 
 
 2- Em seções transversais com largura constante a tensão de cisalhamento 
máxima ocorre ao longo da linha neutral ou eixo neutro, conforme ilustra a figura a seguir. 
A MÁXIMA TENSÃO DE CISALHAMENTO PARA SEÇÕES DE LARGURA 
CONSTANTE OCORRE AO NÍVEL DA LINHA NEUTRA 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção longitudinal Seção transversal 
 
Para seções de largura constante � o momento estático Q é máximo na 
linha neutra � RESULTANDO NA MÁXIMA TENSÃO DE 
CISALHAMENTO. 
 
3 - Para seções com largura que varia ao longo da mesma � Nem sempre a 
máxima tensão de cisalhamento ocorre na linha neutra. 
 
NESTES CASOS É NECESSÁRIO COMPARAR A TENSÃO AO NÍVEL DA LINHA 
NEUTRA COM A TENSÃO AO NÍVEL DA MENOR LARGURA MAIS PRÓXIMA DA 
LINHA NEUTRA, NO CASO DE EXISTIR UM NÍVEL PRÓXIMO DE MEMOR LARGURA; 
 
 
 
 
 
 
 
 Neste caso a análise é feita: Neste caso a análise é feita: 
 1 NÍVEL APENAS 2 NÍVEIS 
Não existe um nível próximo Existe um nível próximo da 
da linha neutra de menor largura. linha neutra de menor largura. 
 
 
 
 
 
 
 
τmáx 
L.N. 
t = b 
 b 
 y’ 
 A’ 
L.N. 
t = b 
 b 
 L 
 e e t = 2e 
t = L + 2e 
τ = 0 
τ = 0 
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27 
 
125 
50 
12,5 
62,5 
P 
y’ = 12,5 + 25 = 37,5 
75 
y’ = 62,5 - 37,5 = 25 
 37,5 
 L.N. 
100 MEDIDAS EM : mm 100 
 
Exemplo 8: A seção transversal de uma viga de madeira está sujeita a uma força de 
cisalhamento (cortante) vertical interna resultante V = 3 kN. Determine: 
a) a tensão de cisalhamento no ponto P. Represente o 
estado de tensão do ponto p desenhando o resultado 
em um elemento infinitesimal de volume localizado 
neste ponto; 
b) a tensão de cisalhamento máxima que ocorre na seção; 
 
Resolução: 
a) tensão de cisalhamento do ponto p: 
 τ = V. Q/I.t 
 V = 3 kN = 3.103 N 
 Q = A’. y ’ � da área sombreada sempre em relação a linha neutra; 
 I = bh3/12 � da seção total em relação à linha neutra; 
 t = 100 mm = 0,10 m � sempre ao nível do ponto em análise; 
Onde está a Linha neutra? 
 Devido à simetria a L.N. está na metade da altura: 125/2 = 62,5 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q = A’. y ’ � Área acima ou abaixo do nível do ponto em análise; 
 
A�ACIMA: Q = (50 . 100). 37,5 = 187,5 .103 mm3 
 Q = 187,5 .10-6 m3 
 
A�ABAIXO: Q = (75 .100) . 25,0 = 187,5 .103 mm3 
 Q= 187,5 .10-6 m3 
APENAS PARA EFEITO DE DEMONSTRAÇÃO 
 
I = bh3/12 � 100 . 1253/12 = 1627,60 .104 mm4 
I = 1627,6 .10-8 m4 
 
τ = V. Q/I.t � 3.103 . 187,5 .10-6 / (1627,6 .10-8 . 0,10) = 0,346.106 N/m2 = 0,346 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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28 
 
125 
62,5 
y’ = 62,5/2 = 31,25 
y’ = 62,5/2 = 31,25 
 L.N. 
100 MEDIDAS EM : mm 100 
62,5 
 
b) tensão de cisalhamento máxima na seção da viga: 
 - seção com largura constante �
 
τmáx � ao nível da linha neutra; 
τ = V. Q/I.t 
 V = 3 kN = 3.103 N 
 Q = A’. y ’ � da área sombreada sempre em relação a linha neutra; 
 I = 1627,6 .10-8 m4 
 t = 100 mm = 0,10 m � sempre ao nível do ponto em análise; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q = A’. y ’ � Área acima ou abaixo do nível do ponto em análise; 
 
A�ACIMA: Q = (62,5 . 100). 31,25 = 195,31.103 mm3 
 Q = 195,31 .10-6 m3 
 
 
τmáx = V. Q/I.t � 3.103 . 195,31 .10-6 / (1627,6 .10-8 . 0,10) = 0,360.106 N/m2 
τmáx = 0,360 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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29 
 
 
Exemplo 9: Uma viga de aço tem as mesmas dimensões mostradas na figura a seguir. 
Se for submetida a uma força de cisalhamento (cortante) V = 80 kN. Determine para cada 
caso: 
a) a tensão de cisalhamento no ponto P. Represente o 
estado de tensão do ponto p desenhando o resultado 
em um elemento infinitesimal de volume localizado 
neste ponto; 
b) a tensão de cisalhamento máxima que ocorre na seção; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Caso 1: Caso 2: 
 
Resolução: 
L.N. � posição da linha neutra para os dois casos; 
I � da seção total em relação à linha neutra para os dois casos; 
 
Devido à simetria a L.N. está na metade da altura para os dois casos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Caso 1: Caso 2: 
 
I = momento de inércia em relação eixo centroidal (Linha neutra L.N.): 
I = ∑ (Ix + A . y2) = ∑ [ (bh3)/12 + A . y2 ] 
 
CASO 1: 
I = 2 [ (250 . 203/12) + (250 . 20) . 1602] + [ (20 . 3003/12) + (20 . 300) . 02] 
I = 2,5633 .108 + 0,45 .108 = 3,01 .108 mm4 = 3,01 .10-4 m4 
 
 
CASO 2: 
I = 2 [ (20 . 2503/12) + (20 . 250) . 02] + [ (300 . 203/12) + (300 . 20) . 02] 
I = 0,521 .108 + 0,002.108 = 0,523 .108 mm4 = 0,523 .10-4 m4 
 
 
 
 
250 mm 
300 mm 
20 mm 
20 mm 
300 mm 
20 mm 
20 mm 
250 mm 
250 mm 
250 mm 
20 mm 
20 mm 
300 mm 
20 mm 
300 mm 
20 mm 170 mm 
250 mm 
250 mm 
20 mm 
20 mm 
250 mm 
V 
V 
20 mm 20 mm 
125 mm 
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30 
 
 
a) tensão de cisalhamento do ponto P para os dois casos: 
 τ = V. Q/I.t 
 
CASO 1 CASO 2 
V = 80 kN = 80.103 N V = 80 kN = 80.103 N 
Q = A’. y ’ � Área acima do ponto; Q = A’. y ’ � Área acima do ponto; 
 Q = (250 . 20). 160 = 800,0 .103 mm3 Q = 2[(20 . 125). 62,5] + (300 . 10) .5 
 Q = 800,0 .10-6 m3 Q = 312,5 .103 + 15,0 .103 
 Q = 327,5 .103 mm3 
 Q = 327,5 .10-6 m3 
 
I � da seção total em relação à L.N.; I � da seção total em relação à L.N.; 
I = 3,01 .10-4 m4 I =0,523 .10-4 m4 
t = 20 mm � ao nível do ponto; t = 340 mm � ao nível do ponto; 
t = 0,020 mt = 0,34 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Caso 1: Caso 2: 
 
CASO 1 
τ = V. Q/I.t � 80.103 . 800,0 .10-6 / (3,01.10-4 . 0,020) 
τ = 10,63.106 N/m2 = 10,63 MPa 
 
 
 
 
 
 
CASO 2 
τ = V. Q/I.t � 80.103 . 327,5 .10-6 / (0,523.10-4 . 0,34) 
τ = 1,47.106 N/m2 = 1,47 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
300 mm 
20 mm 
300 mm 
20 mm 170 mm 
250 mm 
250 mm 
20 mm 
20 mm 
250 mm 20 mm 20 mm 
125 mm 
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 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
31 
 
 
b) tensão de cisalhamento máxima na seção para os dois casos: 
Nos dois casos a largura da seção varia ao longo da altura nos dois casos: 
 
CASO 1 CASO 2 
Porém, neste caso o nível com Já, neste caso existe um nível com 
menor largura mais próxima da menor largura mais próxima da 
L.N. coincide com a L.N., portanto L.N. coincide com a L.N., portanto 
Neste a análise é realizada: Neste a análise é realizada: 
1 nível apenas 2 níveis de análise 
Análise na linha neutra Análise na linha neutra 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q = A’. y ’ � Área acima do ponto; Q = A’. y ’ � Área acima do ponto; 
 Q = [(20 . 250). 160] + (20 . 150) .75 Já foi realizado no item a; 
 Q = 1025,0 .10-6 m3 Q = 327,5 .10-6 m3 
 I � da seção total em relação à L.N.; I � da seção total em relação à L.N.; 
 I = 3,01 .10-4 m4 I =0,523 .10-4 m4 
 t = 0,20 m � ao nível do ponto; t = 0,34 m � ao nível do ponto; 
τ = V. Q/I.t τ = V. Q/I.t 
τ = 80.103 . 1025 .10-6 /(3,01.10-4 . 0,020) τ = 80.103 . 327,5 .10-6 / (0,523.10-4 . 0,34) 
τ = 13,62.106 N/m2 = 13,62 MPa τ = 1,47.106 N/m2 = 1,47 MPa 
τmáx= 13,62.106 N/m2 = 13,62 MPa 
 Análise ao nível com menor 
 Largura mais próxima da L.N.; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Q = A’. y ’ � Área acima do ponto; 
 Q = 2[(20 . 115).(57,5+10)] =310,5.103 mm3 
 
 
 Q = 310,5 .10-6 m3 
 I � da seção total em relação à L.N.; 
 I = 0,523 .10-4 m4 
 t = 2. 0,020 = 0,040 m � ao nível do ponto; 
 τ = V. Q/I.t 
 τ = 80.103 . 310,5 .10-6 / (0,523.10-4 . 0,04) 
 τ = 11,87.106 N/m2 = 11,87 MPa 
 Portanto para o caso 2 
 τmáx= 11,87 MPa 
 
300 mm 
20 mm 
150 mm 
20 mm 170 mm 
250 mm 
250 mm 
20 mm 
20 mm 
250 mm 20 mm 20 mm 
125 mm 
300 mm 
20 mm 
250 mm 
20 mm 20 mm 
115 mm 
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 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
32 
 
A B C 
R = 6,5 . 4 = 26 kN 
4 m 4 m 
2 m 
VA = 6,5 kN VC = 19,5 kN 
V (kN) 
 X(m) 
+6,5 +6,5 
-19,5 
A B C 
 
Exemplo 10: A viga mostrada na figura a seguir é feita de duas tábuas. Determinar a 
tensão de cisalhamento máxima necessária na cola (ponto D) para manter as tábuas 
unidas ao longo da junção. Os apoios em A e C exercem apenas reações verticais sobre 
a viga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Ponto fundamental desta questão: 
� A tensão de cisalhamento máximo ocorre na seção crítica; 
� Seção crítica � seção onde ocorre o MÁXIMO CORTANTE; 
 
� Traçar o diagrama de cortante da viga; 
 - Utilizando o método das seções; 
- convenção de sinais para o cortante: 
 Para qualquer ponto: 
 
 
Pela esquerda Pela direita 
 (+) 
 
 
 
Pela esquerda Pela direita 
 (-) 
Cortante: 
VA_d = + 6,5 kN; 
VB_e = + 6,5 kN; 
VB_d = + 6,5 kN; 
VC_e = + 6,5 – 26 = -19,5 kN; 
 
 
A seção crítica possui � V= 19,5 kN 
 
 
 
 
 
 
A C 
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 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
33 
 
30 
y. = ? � y. = 120 
D 
y’ = 45 
 L.N. 
 MEDIDAS EM : mm 
x 
y 
150 
150 
30 
 
- tensão de cisalhamento do ponto D (na cola): 
 τ = V. Q/I.t 
 V = 19,5 kN = 19,5.103 N 
 Q = A’. y ’ � da área sombreada sempre em relação a linha neutra; 
 I � da seção total em relação à linha neutra; 
 t = 30 mm = 0,030 m � sempre ao nível do ponto em análise; 
 
 Onde está a Linha neutra? 
 Calcular � y = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�� �
Σ	�. ��	
Σ	�	 = 	30.150�. 165% + 	30.150�. 75% 	30.150� +		30.150�% = 1080000 9000% = 120,0	)) 
 
I = momento de inércia em relação eixo centroidal (Linha neutra L.N.): 
I = ∑ (Ix + A . y2) = ∑ [ (bh3)/12 + A . y2 ] 
 
9 = A150	. 30	512 + 	30.150�. 458B + A30	. 150	512 + 	30.150�. 	120 − 75�8B = 
 9 = 945	. 10< + 1755	. 10< = 2700	. 10<	))< =	2700	. 10CD	)< 
 
Q = A’. y ’ � Área acima ou abaixo do nível do ponto em análise; 
 
A�ACIMA: Q = (30 . 150). 45 = 202,5 .103 mm3 
 Q = 202,5 .10-6 m3 
 
 
τ = V. Q/I.t 
τ = 19,5 .103 . 202,5 .10-6 / (2700 .10-8 . 0,030) = 4,88.106 N/m2 
τ = 4,88 MPa 
 
 
 
 
 
 
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34 
 
A B C D 
R = 6,5 . 4 = 26 kN 3 kN 
4 m 5 m 
2 m 
VA = 20,89 kN VD = 8,11 kN 
V (kN) 
 X(m) 
+20,89 
-5,11 
-8,11 
 A B C D 
A B C D 
4 m 5 m 
2 m 
6,5 kN/m 3 kN 20 1 
80 medidas 
em mm 
150 
20 
100 
2 
20Exemplo 11: A viga mostrada na figura a seguir é feita de três tábuas. Determinar a 
tensão de cisalhamento máxima necessária na cola em cada junta (ponto 1 e ponto 2) 
para manter as tábuas unidas ao longo da junção. Os apoios em A e D exercem apenas 
reações verticais sobre a viga. 
 Seção transversal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Ponto fundamental desta questão: 
� A tensão de cisalhamento máximo ocorre na seção crítica; 
� Seção crítica � seção onde ocorre o MÁXIMO CORTANTE; 
 
� Traçar o diagrama de cortante da viga; 
 - Utilizando o método das seções; 
- convenção de sinais para o cortante: 
 Para qualquer ponto: 
 
 
Pela esquerda Pela direita 
 (+) 
 
 
 
Pela esquerda Pela direita 
 (-) 
Cortante: 
VA_d = + 20,89 kN; 
VB_e = + 20,89 - 26 = - 5,11 kN; 
VB_d = - 5,11 kN; 
VC_e = - 5,11 kN; 
VC_d = - 5,11 - 3 = - 8,11 kN; 
VD_e = - 8,11 kN; 
 
A seção crítica possui � V= 20,89 kN 
 
 
 
 
 
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35 
 
20 
y. = ? � y. = 67,6 
1 
y1’ = 42,4 
 L.N. 
 MEDIDAS EM : mm x 
y 
80 
150 
20 
100 
2 
y2’ =57,6 
 32,4 
 
- tensão de cisalhamento dos pontos 1 e 2 (juntas coladas): 
 τ = V. Q/I.t 
 V = 20,89 kN = 20,89.103 N 
 Q = A’. y ’ � da área sombreada sempre em relação a linha neutra; 
 I � da seção total em relação à linha neutra; 
 t = 30 mm = 0,030 m � sempre ao nível do ponto em análise; 
 
 Onde está a Linha neutra? 
 Calcular � y = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�� �
Σ	�. ��	
Σ	�	 = 	150.20�. 110% + E	100.20�. 10% + 	20.80�. 60%F 	150.20� +		100.20� + 	20.80�% = 446000 6600% = 67,6	)) 
 
I = momento de inércia em relação eixo centroidal (Linha neutra L.N.): 
I = ∑ (Ix + A . y2) = ∑ [ (bh3)/12 + A . y2 ] 
 
9 = A150. 20	512 + 	20.150�. 42,48B + A100	. 20	512 + 	100.20�. 57,68B A20	. 80	512 + 	20.80�. 	67,6 − 60�8B 
 9 = 549,33	. 10< + 670,22	. 10< + 	94,57	. 10< = 1314,12	. 10<	))< =	1314,12	. 10CD	)< 
 
JUNTA 1: 
Q = A’. y ’ � Área acima ou abaixo do nível do ponto em análise; 
A�ACIMA: Q1 = (150 . 20). 42,4 = 127,2 .103 mm3 
 Q1 = 127,2 .10-6 m3 
 
τ = V. Q/I.t 
τ = 20,89 .103 . 127,2 .10-6 / (1314,12 .10-8 . 0,020) = 10,11.106 N/m2 
τ = 11,11 MPa 
 
JUNTA 2: 
Q = A’. y ’ � Área acima ou abaixo do nível do ponto em análise; 
A�ABAIXO: Q2 = (100 . 20). 57,6 = 115,2 .103 mm3 
 Q2 = 115,2 .10-6 m3 
 
τ = V. Q/I.t 
τ = 20,89.103 . 115,2 .10-6 / (1314,12 .10-8 . 0,020) = 9,16.106 N/m2 
τ = 9,16 MPa 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
36 
 
 
Lista de exercícios 2 
1) Se a viga for submetida a um cisalhamento V = 15 kN, 
determine a tensão de cisalhamento nos pontos A e B. 
Indique o estado de tensão destes pontos por meio de 
um elemento infinitesimal de volume localizado nestes 
pontos. Considere W = 125 mm. 
R: τ
_A = 1,99 MPa; τ_B = 1,65 MPa 
 
2) Se a viga for submetida a um cisalhamento V = 30 kN, 
determine a tensão de cisalhamento máxima. Indique o 
estado de tensão deste ponto onde ocorre a máxima tensão Exercícios: 1 e 2 
por meio de um elemento infinitesimal de volume localizado 
neste ponto. Considere W = 200 mm. 
R: τ
_máx = 4,73 MPa 
 
3) A viga tem seção transversal retangular é feita de 
Madeira com tensão admissível τadm = 11,2 MPa. 
Se for submetida a um cisalhamento V = 20 kN, 
determine o menor valor para a; 
R: a = 42,26 mm 
 
4) A viga tem seção transversal retangular. Se for 
submetida a um cisalhamento V = 20 kN, determine 
a tensão de cisalhamento máxima. Considerar para 
este caso a = 250 mm; Exercícios: 3 e 4 
 R: τ
_máx = 320 kPa 
 
5) Se o tubo estiver sujeito a um cisalhamento 
V = 75 kN, determine a tensão de cisalhamento máxima. 
Indique o estado de tensão deste ponto onde ocorre a 
máxima tensão por meio de um elemento infinitesimal 
de volume localizado neste ponto. 
R: τ
_máx = 43,17 MPa 
 
6) Se o tubo estiver sujeito a um cisalhamento 
V = 50 kN, determine a tensão de cisalhamento máxima. 
Indique o estado de tensão deste ponto onde ocorre a 
máxima tensão por meio de um elemento infinitesimal 
de volume localizado neste ponto. 
R: τ
_máx = 47,15 MPa 
 
7) A viga T está sujeita ao carregamento mostrado na 
figura a seguir. Determine a tensão de cisalhamento máxima 
na seção transversal crítica da viga; 
R: τ
_máx = 14,74 MPa 
 
 
 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
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8) Se a força P = 4 kN, determine a tensão de 
cisalhamento máxima na seção transversal crítica 
da viga. Os apoios A e B exercem apenas reações 
verticais sobre a viga; 
R: τ
_máx = 0,75 MPa 
 
9) Determine o maior valor para a força P 
que o elemento pode suportar se a tensão de 
cisalhamento admissível for τadm = 70 MPa. 
Os apoios A e B exercem apenas reações 
verticais sobre a viga; 
Dica: estrutura e carregamento simétrico, 
Reações de apoio iguais. 
R: P = 373,44 kN Exercícios: 8 e 9 
 
10) As extremidades da viga de madeira devem 
ser entalhadas como mostra a figura a seguir. 
Se a viga tiver de suportar o carregamento 
mostrado, determine o menor valor para 
 a profundidade d da viga no entalhe 
se a tensão admissível for τadm = 3 MPa. 
A largura da viga é de 200 mm. 
R: d = 62,40 mm 
 
11) A viga é composta por três tábuas coladas nas linhas 
de junção A e B. Se for submetida ao carregamento 
mostrado na figura ao lado, determine a tensão 
de cisalhamento desenvolvida nas juntas coladas 
na seção a-a. Os apoios C e D exercem 
apenas reações verticais sobre a viga; 
R: τ
_máx = 0,87 MPa 
 
12) A viga é composta por três tábuas coladas 
nas linhas de junção A e B. Se for submetida 
ao carregamento mostrado na figura ao lado, Exercícios: 11 e 12 
determine a tensão de cisalhamento máxima 
desenvolvida nas juntas coladas. Os apoios C e D 
exercem apenas reações verticais sobre a viga; 
R: τ
_ 
= 2,60 MPa 
 
13) Para a viga submetida ao carregamento mostrado na figura ao lado, determine: 
a) a tensão de cisalhamento localizada nos pontos B e C; 
b) a tensão de cisalhamento máxima na seção crítica da viga; 
R: a) τ
_B = τ_C = 0,76 MPa 
 b) τ
_máx = 2,26 MPa