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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 1 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 O conteúdo desta apostila foi elaborado utilizando os seguintes livros textos: - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Ferdinand P. Beer ; E. Russell Johnston Jr Ed. PEARSON - 3ª edição - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS R. C. Hibbeler Ed. PEARSON - 7ª edição Parte 05: Flambagem de colunas 1 - Introdução � Carga Crítica para colunas; 2 - Fórmula de Euler para carga crítica � colunas com vários tipos de apoio; Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 2 1- Introdução Colunas � Elementos estruturais compridos e esbeltos, sujeitos a uma força de compressão axial; Fambagem � flexão ou deflexão lateral das colunas; Carga crítica ( Pcr ) � A carga axial máxima que uma coluna pode suportar quando está na iminência de sofrer flambagem; 2 - Fórmula de Euler para carga crítica Antes de apresentar a fórmula de Euler faz-se necessário esclarecer alguns pontos importantes; 2.1 - Condições de apoio iguais: Colunas com a mesmas condições de apoio nos dois planos de flambagem a análise de flambagem é realizada apenas em torno do eixo de menor inércia. Caso 1: Engastada e livre Caso2: Engastada e apoiada Caso3: Bi-apoiada ou Bi-articulada ou Bi-rotulada Em torno: x Em torno: y Em torno: x Em torno: y Em torno: x Em torno: y Ex1: Ex2: Ex3: Considerando que nos 3 exemplos � mesmo tipo de apoio nas duas extermidades Mesma condições de apoio � Flambagem em torno do eixo de menor inércia: Ex1: Iy < Ix � em torno do eixo y Ex2: Ix < Iy � em torno do eixo x Ex3: Iy = Ix � em torno do eixo y ou x x y x y x y x y y y x x Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 3 2.2 - Condições de apoios diferentes: Colunas com condições de apoio diferentes nos dois planos de flambagem exige que seja realizada análise de flambagem para os dois eixos (x e y); Ex1: Ex2: EX3: Presa por pinos Em torno: x Em torno: y Em torno: x Em torno: y Em torno: x Em torno: y Ex1: Ex2: Ex3: Considerando que nos 3 exemplos � diferentes tipos de apoio nas duas extermidades Diferentes condições de apoio � � Flambagem analisada em torno dos dois eixos. x y x y Engastada Apoiada Engastada Livre Engastada Livre Engastada Apoiada x x x x y Bi Engastada Bi Apoiada Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 4 A fórmula de Euler estabelece a carga crítica para as colunas sob qualquer condição de apoio, sendo esta dada por: ��� = ���� � (Fórmula de Euler – qualquer tipo de apoio) (1) Em que: Pcr = carga crítica ou carga axial máxima na coluna imediatamente antes de começar a flambagem; E = módulo de elasticidade do material; I = momento de inércia da seção transversal da coluna em relação ao eixo considerado na análise; Le = KL� comprimento efetivo da coluna, de L é o comprimento da coluna, sendo K um coeficiente chamado de Fator de comprimento efetivo; Este fator k depende da condição de apoio da coluna, conforme ilustrado nas figuras a seguir; K = 2 K = 1 K = 0,7 K = 0,5 Le = 2L Le = L Le = 0,7L Le = 0,5L Engastada e Livre Biapoaida Engastada e apoiada Biengastada ou Biarticulada ou Birotulada Presa por roletes Biapoiada ou Birotulata ou Biarticulada � PRESA POR PINOS; A tensão crítica é obtida de maneira semelhante pela equação: ��� = ��� � = � ����� � � = ����� � = ��� ( �⁄ )� (Fórmula de Euler – qualquer tipo de apoio) (2) Onde: σcr = tensão crítica, que é a tensão normal média na coluna imediatamente antes de a coluna flambar; Essa tensão é uma tensão elástica e, portanto σcr ≤ σy (tensão de escoamento) E = módulo de elasticidade do material; I = momento de inércia da seção transversal da coluna; Le = KL � comprimento efetivo da coluna, de L é o comprimento da coluna, sendo K um coeficiente chamado de Fator de comprimento efetivo; r = raio de giração da coluna, determinado por: � = �� �⁄ , onde I é o momento de inércia da seção transversal da coluna; Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 5 Exemplo 1: Seja uma coluna de aço bi-apoiada ou bi-articulada em torno de x e de y com seção transversal conforme indicado na figura a seguir.Determine a carga admissível de forma a evitar a flambagem. Considerar um fator de segurança de flambagem de 1,5; a) Para o caso 1 de seção transversal; b) Para o caso 2 de seção transversal; c) Para o caso 3 de seção transversal: Seção SS: caso 1; Seção SS: caso 2; R: Carga admissível: Padm = Maior carga que pode ser aplicada a) sem risco de flambagem - Condição de apoio: em torno de x-x: bi-apoiada ou bi-rotulada ou bi-articulada � em torno de y-y: bi-apoiada ou bi-rotulada ou bi-articulada ---------� MESMA CONDIÇÃO DE APOIO : � análise apenas em torno do eixo de menor inércia; �NESTE CASO �em torno do eixo y; - Flambagem em torno de y: Bi-apoiada � K = 1 � Le = k . L = 1 . 4 = 4 m - Carga crítica de Flambagem: � em torno de y Iy = bh3/12 = 50. 203/12 = 33333,33 mm4 = 3,33 . 10-8 m4 ��� = ���� ��� = � � . ��� . ��� . �,�� . ���� (� . �,�)� = 4108,22 N = 4,11 KN - Carga admissível de flambagem = CARGA LIMITE A SER APLICADA: %&'( = %)*+ ,. -. = 4,11 1,5 = 2,74 01 → 3454 678945 4 :;4<=4>6< 6< ? 4, 0 m x S S 20,0 mm y x 50 , 0 m m y x 10,0 20,0 10,0 mm 5, 0 10 , 0 5, 0 m m Seção SS: caso 3; y x 10,0 10,0 10,0 mm 10 , 0 10 , 0 10 , 0 m m y x 50 , 0 m m 20,0 mm y Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 6 b) - Condição de apoio: em torno de x-x: bi-apoiada ou bi-rotulada ou bi-articulada � em torno de y-y: bi-apoiada ou bi-rotulada ou bi-articulada ---------� MESMA CONDIÇÃO DE APOIO : � análise apenas em torno do eixo de menor inércia; �NESTE CASO �em torno do eixo x; - Flambagem em torno de x: Bi-apoiada � K = 1 � Le = k . L = 1 . 4 = 4 m - Carga crítica de Flambagem: � em torno de x Ix = ∑ (Ix + A . y2) = ∑ [ (bh3)/12 + A . y2 ] Ix = 2 [ (10 . 103)/12 + (10 . 10) .02] + [ (20 . 203)/12 + (20 . 20) . 02] = 15000 mm4 Ix = 1,5 . 10-8 m4 ��� = ���� ��� = � � . ��� . ��� . �,@ . ���� (� . �,�)� = 1850,55 N = 1,85 KN - Carga admissível de flambagem = CARGA LIMITE A SER APLICADA: %&'( = %)*+ ,. -. = 1,85 1,5 = 1,23 01 → 3454 678945 4 :;4<=4>6< 6< B c) - Condição de apoio: em torno de x-x: bi-apoiada ou bi-rotulada ou bi-articulada � em torno de y-y: bi-apoiada ou bi-rotulada ou bi-articulada ---------� MESMA CONDIÇÃO DE APOIO: � análise apenas em torno do eixo de menor inércia; �NESTE CASO �em torno do eixo x; OU em torno de y - Flambagem em torno de x: Bi-apoiada � K = 1 �Le = k . L = 1 . 4 = 4 m - Carga crítica de Flambagem: � em torno de x Ix = ∑ (Ix + A . y2) = ∑ [ (bh3)/12 + A . y2 ] Ix = 2 [(10.103)/12 + (10.10) .02] + [(10.303)/12 + (10.30). 02] = 24166,67 mm4 Ix = 2,42 . 10-8 m4 ��� = ���� �� � = �� . ��� . ��� . �,�� . ���@ (� . �,�)� = 2985,56 N = 2,99 KN - Carga admissível de flambagem = CARGA LIMITE A SER APLICADA: %&'( = %)*+ ,. -. = 2,99 1,5 = 1,99 01 → 3454 678945 4 :;4<=4>6< 6< B y x 10,0 20,0 10,0 mm 5, 0 10 , 0 5, 0 m m y x 10,0 10,0 10,0 mm 10 , 0 10 , 0 10 , 0 m m Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 7 Exemplo 2: O elemento estrutural A-36 W 200 X 46 de aço mostrado na figura ao lado deve ser usado como uma coluna acoplada por pinos. Determine a maior carga axial que ele pode suportar antes de começar a sofrer flambagem ou antes que o aço escoe. Utilizar um fator de segurança F.S. = 2,0 para a flambagem e para o escoamento. Aço A-36: E=200GPa; σe = 250 MPa Perfil W 200 X 46 Ix = 45,5 . 10 6 mm4 Iy = 15,3 . 106 mm4 A = 5890 mm2 R: Maior carga axial que pode ser aplicada sem risco de flambagem e de escoamento = Padm = ??? - Condição de apoio: em torno de x-x: bi-apoiada ou bi-rotulada ou bi-articulada � em torno de y-y: biapoiada ou birotulada ou biarticulada ---------� MESMA CONDIÇÃO DE APOIO : � análise apenas em torno do eixo de menor inércia; �NESTE CASO �em torno do eixo y; - Flambagem em torno de y: Bi-apoiada � K = 1 � Le = k . L = 1 . 4 = 4 m - Carga crítica de Flambagem: � em torno de y Iy = 15,3 . 106 mm4 = 15,3 . 10-6 m4 %)*+ = E� . F . G ��� = E � . HII .JIK . JL,M . JI�N (J . O,I)� = 1887,56 .10M 1 = 1887,56 01 - Carga admissível de flambagem = CARGA LIMITE A SER APLICADA: %&'( = %)*+ ,. -. = 1887,56 2,0 = 943,78 01 → 3454 678945 4 :;4<=4>6< 6< ? - Tensão provocada pela carga admissível de flambagem: P = QRST U = VOM,WX . JIY LXVI . JI�N = 160,23 Z%4 - Tensão admissível de escoamento: P&'(_\]) = ^� _.`. = HLI,I H,I = 125,0 Z%4 Como σ > σadm_esc � A carga admissível para evitar SIMULTANEAMENTE a flambagem e o escoamento com o F.S. de 2,0 vale: P&'( = QRST U → 125 . 10a = QRST LXVI . JI�N → �bcd = e�f�@� g = e�f, �@ hg Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 8 Exemplo 3: A coluna de alumínio está engastada na base e seu topo está ancorado por cabos de modo a impedir que o topo movimente-se ao longo do eixo x, conforme ilustra a figura ao lado. Se considerarmos que ela está fixa na base, determine a carga admissível P que pode ser aplicada. Use um fator de segurança para flambagem FS = 3,0 e um fator de segurança para o escoamento FS = 1,4. Considere: Eal = 70GPa, σe = 215MPa, A = 7,5 . 10-3 m2, Ix = 61,3 . 10-6 m4, Iy = 23,2 . 10-6m4 R: Carga admissível: Padm = P = ??? - Condição de apoio: em torno de x-x: engatada e livre; fixa na base = engastada na base em torno de y-y: engastada e apoiada; fixa na base = engastada na base CONDIÇÕES DIFERENTES DE APOIO � análise em torno dos dois eixos; �NESTE CASO �em torno dos dois eixos x e y; - Flambagem em torno de x: Engastada e livre � K = 2,0 �Le = k . L = 2 . 5 = 10 m - Flambagem em torno de y: Engastada e apoiada � K = 0,7 �Le = k . L = 0,7. 5 = 3,5 m - Carga crítica de Flambagem: �emtorno de x Ix = 61,3 . 10-6 m4 %)*+_i = E� . F . G �� � = E� . WI .JIK . aJ,M . JI�N H . L,I�� = 424 01 �em torno de y Iy = 23,2 . 10-6 m4 %)*+_j = E� . F . G �� � = E� . WI .JIK . HM,H . JI�N I,W . L,I�� = 1,31 .10M 01 - Carga admissível de flambagem = CARGA LIMITE A SER APLICADA: �em torno de x %&'(_i = Qklm_n _.`. = OHO M,I = 141 01 �em torno de y %&'(_j = Qklm_o _.`. = J,MJ . JIY M,I = 436,67 01 %&'( = 141 01 → 3454 678945 4 :;4<=4>6< p8<q;94r64<6r96 6< B 6 ? Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 9 - Tensão provocada pela carga admissível de flambagem: P = QRST U = JOJ . JIY W,L . JI�Y = 18,8 Z%4 - Tensão admissível de escoamento: P&'(_\]) = ^� _.`. = HJL,I J,O = 153,6 = 154 Z%4 Como σ < σadm_esc � A carga admissível para evitar SIMULTANEAMENTE a flambagem com o F.S. de 3,0 e o escoamento com o F.S. de 1,4 vale: → �bcd = ��� hg Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 10 Exemplo 4: Uma estrutura composta por uma viga e uma coluna, ambas de aço. Supor que a coluna AB esteja presa por pinos nas extremidades para o caso de flambagem em torno do eixo x-x e que esteja engastada nas extremidades para o caso de flambagem em torno do eixo y-y. Determinar a carga admissível W(KN/m) que pode ser aplicada. Usar um fator de segurança para a Flambagem F.S. = 2,5 e um fator de segurança para o escoamento F.S. = 1,4. Ea = 200 GPa; σy = 250 MPa; R: - Condição de apoio: em torno de x-x: bi-apoiada ou bi-rotulada ou bi-articulata; em torno de y-y: bi-engastada; CONDIÇÕES DIFERENTES DE APOIO � análise em torno dos dois eixos; �NESTE CASO �em torno dos dois eixos x e y; - Flambagem em torno de x: Bi-apoiada � K = 1 � Le = k . L = 1 . 2 = 2 m - Flambagem em torno de y: Bi-engastada � K = 0,5 � Le = k . L = 0,5 . 2 = 1,0 m - Carga crítica de Flambagem: �em torno de x Ix = b.h3/12 = (0,020 . 0,0303)/12 = 4,5 . 10-8 m4 %)*+_i = E� . F . G �� � � E� . HII .JIK . O,L . JI�s J . H,I�� � 22,2 01 �em torno de y Iy = b.h3/12 = (0,030 . 0,0203)/12 = 2,0 . 10-8 m4 %)*+_j � E� . F . G �� � � E� . HII .JIK . H,I . JI�s I,L . H,I�� � 39,5 01 - Carga admissível de flambagem = CARGA LIMITE A SER APLICADA: �em torno de x %&'(_i � Qklm_n _.`. � HH,H H,L � 8,88 01 �em torno de y %&'(_j � Qklm_o _.`. � MV,L H,L � 15,8 01 %&'( � 8,88 01 → 3454 678945 4 :;4<=4>6< p8<q;94r64<6r96 6< B 6 ? Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 11 - Tensão provocada pela carga admissível de flambagem: P = %&'( t = 8,8 . 10M 0,02 .0,03 = 14,67 Z%4 - Tensão admissível de escoamento: P&'(_\]) = ^o _.`. = HLI,I J,O = 178,57 = 179 Z%4 Como σ < σadm_es � A carga admissível para evitar a flambagem e o escoamento com o F.S. de 2,0 vale: �bcd = �, � hg Carga admissível ou máxima sobre a coluna AB: Padm = 8,8 kN Realizando a análise da viga CB: W = ? R1 = W . 1,5 R2 = W . 0,5 C B VC VB 1,5 m 0,5 m VB B A + Σ Fy = 0 � VC + VB = 1,5 + 0,5 W VC + VB = 2,0 W ∑ MC = 0 + � VB . 1,5 – R1 . 0,75 – R2 . 1,75 = 0 VB . 1,5 – W . 1,5 . 0,75 – W . 0,5 . 1,75 = 0 1,5 VB = 2 W VB = 2 W/1,5 VB = 1,333 W VB ≤ Padm = 8,8 kN 1,333 W = 8,8 W = 6,6 kN/m Assim, a carga admissível W para evitar SIMULTANEAMENTE a flambagem com o F.S. de 2,5 e o escoamento com o F.S. de 1,4 deve ser de 6,6 kN/m; Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 12 Exemplo 5: Uma coluna de aço W 150 X 24 tem 8m de comprimento e extremidades engastadas como mostra a figura a seguir. Sua capacidade de carga é aumenta pelas escoras de reforço em torno do eixo y-y. Considerando que essas escoras estão acopladas por pinos no ponto médio da altura da coluna. Determine a carga admissível que a coluna pode suportar. Considerar um fator de segurança de 1,4 para flambagem e um fator de segurança de 1,15 para o escoamento. Aço: E = 200 GPa e σe = 410 MPa. W 150 X 24: Ix = 13,4 .106 mm4 Iy = 1,83 .106 mm4 A = 3060 mm2 R: - Condição de apoio: em torno de x-x: bi-engatada; em x � L = 8,0 m em torno de y-y: engastada e apoiada; fixa na base e apoiado no meio em y � L = 4,0 m CONDIÇÕES DIFERENTES DE APOIO � análise em torno dos dois eixos; �NESTE CASO �em torno dos dois eixos x e y; - Flambagem em torno de x: bi-engastada � K = 0,5 �Le = k . L = 0,5 . 8 = 4 m - Flambagem em torno de y: Engastada e apoiada � K = 0,7 �Le = k . L = 0,7. 4 = 2,8 m - Carga crítica de Flambagem: �em torno de x Ix = 13,4 .106 mm4 = 13,4 . 10-6 m4 %)*+_i = E� . F . G �� � = E� . HII .JIK . JM,O . JI�N I,L . X,I�� = 1653,16 01 �em torno de y Iy = 1,83 .106 mm4 = 1,83 . 10-6 m4 %)*+_j = E� . F . G �� � = E� . HII .JIK . J,XM . JI�N I,W . O,I�� = 460,75 01 - Carga admissível de flambagem = CARGA LIMITE A SER APLICADA: �em torno de x %&'(_i = Qklm_n _.`. = JaLM,Ja J,O = 1180,83 01 �em torno de y %&'(_j = Qklm_o _.`. = OaI,WL J,O = 329,11 01 %&'( = 329,11 01 → 3454 678945 4 :;4<=4>6< p8<q;94r64<6r96 6< B 6 ?Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 13 - Tensão provocada pela carga admissível de flambagem: P = %&'( t = 329,11 . 10M 3060 . 10ua = 107,55 Z%4 - Tensão admissível de escoamento: P&'(_\]) = ^o _.`. = OJI,I J,JL = 356,52 = 357 Z%4 Como σ < σadm_ecs � A carga admissível para evitar a flambagem com F.S. de 1,4 e o escoamento com F.S. de 1,15 vale: �bcd = ���, �� hg Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 14 Exemplo 6: Uma coluna bi-articulada de 2,0 m de comprimento de seção transversal quadrada de aresta a deve ser feita de madeira. Considerando que a madeira tenha tenha E = 13 GPa, σadm = 12 MPa, e usando um fator de segurança de 2,5 para a flambagem. Determine a dimensão da aresta a da seção transversal da coluna que deve suportar com segurança: a) uma força de 100 kN; b) uma força de 200 kN; R: a) - Condição de apoio: em torno de x-x: bi-apoiada ou bi-rotulada ou bi-articulada � em torno de y-y: bi-apoiada ou bi-rotulada ou bi-articulada ---------� MESMA CONDIÇÃO DE APOIO : � análise apenas em torno do eixo de menor inércia; �NESTE CASO �em torno do eixo y; Ou em torno de x; Ix = Iy Realizando a análise para x - Flambagem em torno de x: bi-apoiada � K = 1 �Le = k . L = 1 . 2 = 2 m - Carga crítica de Flambagem: �em torno de x Ix = ? %)*+_i = E� . F . G �� � → v = Qklm_n . �� � E� . F ..... %)*+_i = ? - Carga admissível de flambagem = CARGA LIMITE A SER APLICADA: �em torno de x %&'(_i = Qklm_n _.`. = 100,0 01 → %)*+_i = 100 . 2,5 = 250,0 01 - A dimensão pode ser agora definida: v = Qklm_n . �� � E� . F = HLI .JIY . J . H�� E� . JM .JIK = 7,794 . 10ua <O v = x . yY JH = & . &Y JH = 7,794 . 10ua → 4 = 0,0983 < = 98,3 ≅ 99 << - Tensão provocada pela carga admissível de flambagem: P = %&'( t = 100,0 . 10M 0,099 . 0,099 = 10,20 Z%4 - Tensão admissível: P&'( = 12 Z%4 Como σ < σadm � A seção transversal com 99 x 99 mm É ACEITÁVEL. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 15 b) - Condição de apoio: em torno de x-x: bi-apoiada ou bi-rotulada ou bi-articulada � em torno de y-y: bi-apoiada ou bi-rotulada ou bi-articulada ---------� MESMA CONDIÇÃO DE APOIO : � análise apenas em torno do eixo de menor inércia; �NESTE CASO �em torno do eixo y; Ou em torno de x; Ix = Iy Realizando a análise para x - Flambagem em torno de x: bi-apoiada � K = 1 �Le = k . L = 1 . 2 = 2 m - Carga crítica de Flambagem: �em torno de x Ix = ? %)*+_i = E� . F . G �� � → v = Qklm_n . �� � E� . F ..... %)*+_i = ? - Carga admissível de flambagem = CARGA LIMITE A SER APLICADA: �em torno de x %&'(_i = Qklm_n _.`. = 200,0 01 → %)*+_i = 200 . 2,5 = 500,0 01 - A dimensão pode ser agora definida: v = Qklm_n . �� � E� . F = LII .JIY . J . H�� E� . JM .JIK = 15,59 . 10ua <O v = x . yY JH = & . &Y JH = 15,59 . 10ua → 4 = 0,11695 < ≅ 117 << - Tensão provocada pela carga admissível de flambagem: P = %&'( t = 200,0 . 10M 0,117 . 0,117 = 14,61 Z%4 - Tensão admissível: P&'( = 12 Z%4 Como σ >σadm �A seção transversal com 117x117 mm não é aceitável. Portanto para que a tensão admissível seja respeitada a seção transversal deve ser de: P&'( = 12 Z%4 = Q U → t = Q ^RST = HII . JIY JH .JIN → t = 16,67 . 10uM <H p6çã} ~q4544 → t = 4H = 16,67 . 10uM <H → 4 = 0,1291 < ≅ 130 << A seção transversal com 130 x 130 mm é aceitável. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 16 Exemplo 7: Uma coluna engastada na base e apoiada no topo de seção retangular de 200 x 130 mm conforme ilustrado na figura a seguir. A coluna deve ser feita de madeira, a qual possui E = 13 GPa, σadm = 12 MPa. Considerando um fator de segurança de 2,5 para a flambagem, determine: a) a carga admissível que a coluna pode suportar para um comprimento de 2 m; b) o maior comprimento admissível que a coluna pode suportar para a carga admissível definida no item a; Seção transversal R: a) - Condição de apoio: em torno de x-x: engastada e apoiada � em torno de y-y: engastada e apoiada ---------� MESMA CONDIÇÃO DE APOIO : � análise apenas em torno do eixo de menor inércia; �NESTE CASO �em torno do eixo x; Realizando a análise para x - Flambagem em torno de x: engastada e apoiada � K = 0,7 �Le = k . L = 0,7 . 2 = 1,4 m - Carga crítica de Flambagem: �em torno de x Ix = b.h3/12 = (0,200 . 0,1303)/12 = 36,62 . 10-6 m4 %)*+_i = E� . F . G �� � = E� . JM . JIK . Ma,aH . JI�N I,W . H,I�� = 2397,21 01 - Carga admissível de flambagem = CARGA LIMITE A SER APLICADA: �em torno de x %&'(_i = Qklm_n _.`. = HMVW,HJ H,L = 958,88 01 - Tensão provocada pela carga admissível de flambagem: P = %&'( t = 958,88 . 10M 0,200 . 0,130 = 36,87 Z%4 - Tensão admissível: P&'( = 12 Z%4 Como σ > σadm � A carga admissível para evitar SIMULTANEAMENTE a flambagem com o F.S. de 2,5 e a tensão admissível do material (madeira) vale: P&'( = QRST U → 12 . 10a = QRST I,HII . I,JMI → �bcd = ������g = ��� hg 200 mm 130 mm x x y y Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 17 b) - Condição de apoio: em torno de x-x: engasta e apoiada � em torno de y-y: engastada e apoiada ---------� MESMA CONDIÇÃO DE APOIO : � análise apenas em torno do eixo de menor inércia; �NESTE CASO �em torno do eixo x; Realizando a análise para x - Flambagem em torno de x: engastada e apoiada � K = 0,7 �Le = k . L � L = ? - Carga crítica de Flambagem: �em torno de x Ix = b.h3/12 = (0,200 . 0,1303)/12 = 36,62 . 10-6 m4 \ H = ? %)*+_i = E� . F . G ��� → \ H = E� . F . G Qklm_n ..... %)*+_i = ? - Carga admissível de flambagem = CARGA LIMITE A SER APLICADA: �em torno de x %&'(_i = Qklm_n _.`. = 312,0 01 → %)*+_i = 312,0 . 2,5 = 780,0 01 - O comprimento L da coluna pode ser agora definido: \ H = E� . F . G Qklm_n = E� . JM . JIK Ma,aH . JI�N WXI . JIY → \ = 2,45 \ = 0 . = 2,45 → 0,7 . = 2,45 < → = 3,51< Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 18 Lista de exercícios 5.1 1) Seja uma coluna com 4 m de comprimento e de seção transversal mostrada na figura a seguir. Determine a carga admissível considerando um fator de segurança de flambagem de 1,5: a) Supondo que a coluna está presa por pinos em ambas as extremidades; R: 15,15 kN; b) Supondo que a coluna está engastada na extremidade inferior e presa por pinos na extremidade superior; R: 30,92 kN; 2) As extremidades da haste estão apoiadas em roletes. Determine, com aproximação de 1,0 mm, o menor diâmetro da haste que suportará a carga P = 25 kN sem flambagem. Considerar fator de segurança de flambagem de 1,5; R: 9,0 mm; Exercícios: 2 e 3 3) A haste de aço A-36 (σe = 250MPa; E = 200GPa) com 25 mm de diâmetro apresenta extremidades apoiadas em roletes. Determine a carga admissível considerando um fator de segurança de 1,2 para a flambagem e para o escoamento. R: 409,05 kN; 4) Seja uma coluna de aço A-36 (σe = 250MPa; E = 200GPa) com 5 m de comprimento e de seção transversal mostrada na figura a seguir. Supondo que a coluna está engastada em ambas as extremidades. Determine a maior força P que pode ser aplicada sem provocar flambagem e escoamento do material da coluna. Considerar um fator de segurança de 1,5 para flambagem e um fator de segurança de 1,15 para o escoamento; R: 181,43 kN; 5) O elemento estrutural W 250 X 67 feito de aço A-36 é usado como uma coluna de 4,5 m de comprimento. Supondo ambas as extremidades engastadas, determine a maior força P que pode ser aplicada sem provocar flambagem e escoamento do material da coluna. Considerar um fator de segurança de 2,0 para flambagem e de 1,2 para o escoamento; Ix = 104 . 106 mm4 Iy = 22,2 . 106 mm4 A = 8560 mm2 E = 200 GPa σe = 250 MPa. R: 1783,30 kN; Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 19 6) Determinar a força máxima P que pode ser aplicada ao cabo, de modo que a haste de controle de aço A-36 AB não sofra flambagem. A haste tem diâmetro de 30 mm e está presa por pinos. Utilizar um fator de segurança de 2,5 para a flambagem e de 1,5 para o escoamento. E = 200 GPa; σe = 250 MPa; R: 25,87 kN; 7) O elemento estrutural W 250 X 67 é feito de aço A-36 e usado como uma coluna de 4,5 m de comprimento. As extremidades para o caso de flambagem em torno do eixo x- x estão presas por pinos, para o caso de flambagem em torno do eixo y-y as extremidades estão engastadas. Determine a máxima carga P que pode ser aplicada considerando um fator de segurança de 2,5 para flambagem e de 1,5 para o escoamento. E = 200 GPa e σe = 250 MPa. Ix = 104 . 106 mm4 Iy = 22,2 . 106 mm4 A = 8560 mm2 R: 1426,70 kN; 8) Uma estrutura composta por uma viga e uma coluna, ambas de aço. Supor que a coluna AB esteja presa por pinos nas extremidades para o caso de flambagem em torno do eixo x-x e que esteja engastada nas extremidades para o caso de flambagem em torno do eixo y-y. Determinar o menor valor para d considerando uma carga distribuída W = 10 kN/m. Usar um fator de segurança para de 2,5 para a flambagem e um fator de segurança de 1,4 para o escoamento. Ea = 200 GPa; σe = 250 MPa; R: 22,14 mm; x A A Corte: AA x y x y z z y y z x d 1,5 d 1,5 d Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 20 9)Determine a carga máxima P que a estrutura pode suportar sem provocar flambagem no elemento estrutural AB. Considere que AB é feito de aço e que esteja preso por pinos nas extremidades para o caso de flambagem em torno do eixo y-y e que esteja engastado nas extremidades para o caso de flambagem em torno do eixo x-x. Usar um fator de segurança para de 2,0 para a flambagem e um fator de segurança de 1,15 para o escoamento. E = 200 GPa; σe = 250 MPa; R: 21,31 kN; 10) Determine o valor máximo da carga P. Usando um fator de segurança de 2,0 para a flambagem e para o escoamento. L = 1,8 m d = 25 mm Alumínio: E = 70 GPa σe= 170 MPa R: 3,475 kN; 11) Determine o menor valor admissível d para a seção transversal da coluna, de modo que não ocorra flambagem e escoamento ao ser submentida a uma carga P = 3 000 kN. Considerar um fator de segurança de 2,0 Exercícios: 10 e11 para flambagem e de 1,40 para o escoamento. L= 4,0 m , E = 200 GPa, σe = 250 MPa R: 155 mm; 12) Uma coluna AB de aço (E = 200 GPa) com seção transversal W 200 x 22,5 deve suportar uma carga axial centrada igual a 130 KN os cabos BC e BD estão esticados e impedem o movimento do ponto B no plano xz. Usando um fator de de segurança de 2,3 para a flambagem determinar o máximo comprimento L para a coluna,desprezando-se a tração nos cabos BC e BD. E = 200 GPa Ix = 20 . 106 mm4 Iy = 1,419 . 106 mm4 A = 2860 mm2 R: 4,37 m; P 50 mm Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 21 13) O elemento estrutural W 250 X 67 feito de aço é usado como uma coluna que deve suportar uma carga P de 1500 kN. Supondo ambas as extremidades engastadas, determine o máximo comprimento L para a coluna. Considerar um fator de segurança de 2,0 para flambagem; Ix = 104 . 106 mm4 Iy = 22,2 . 106 mm4 A = 8560 mm2 E = 200 GPa R: 7,64 m; 14) A coluna de alumínio está engastada na base e seu topo está ancorado por cabos de modo a impedir que o topo movimente-se ao longo do eixo x, conforme ilustra a figura ao lado. A coluna deve suportar uma carga P de 370 kN. Determine o máximo comprimento L para a coluna. Use um fator de segurança para flambagem FS = 2,0 Considere: Eal = 70GPa, Seção transversal: Ix = 61,3 . 10-6 m4; Iy = 23,2 . 10-6 m4 A = 7,5 . 10-3 m2 R: 3,79 m;15) Uma coluna de 3,0 m de comprimento de seção transversal SS, conforme ilustrado na figura a seguir, deve ser feita de aço. Considerando que a coluna seja bi-engastada em torno do eixo y e engastada e apoiada em torno do eixo x, determine a menor dimensão da aresta a da seção transversal da coluna que deve suportar com segurança uma carga de 200 kN. Utilizar um fator de segurança de 2,0 para a flambagem e um fator de segurança de 1,15 para o escoamento. O aço da coluna possui E = 200 GPa e σadm = 350 MPa. R: 41 mm; Seção SS: L = ? a y x 2a L = ?
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