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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
1 
 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 
 
 
O conteúdo desta apostila foi elaborado utilizando os 
seguintes livros textos: 
 
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Ferdinand P. Beer ; E. Russell Johnston Jr 
Ed. PEARSON - 3ª edição 
 
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
R. C. Hibbeler 
Ed. PEARSON - 7ª edição 
 
 
Parte 05: 
Flambagem de colunas 
1 - Introdução � Carga Crítica para colunas; 
2 - Fórmula de Euler para carga crítica � colunas com 
 vários tipos de apoio; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
2 
 
 
1- Introdução 
Colunas � Elementos estruturais compridos e esbeltos, 
sujeitos a uma força de compressão axial; 
 
Fambagem � flexão ou deflexão lateral das colunas; 
 
Carga crítica ( Pcr ) � A carga axial máxima que uma coluna 
pode suportar quando está na iminência de sofrer flambagem; 
 
2 - Fórmula de Euler para carga crítica 
 Antes de apresentar a fórmula de Euler faz-se necessário esclarecer alguns 
pontos importantes; 
 
2.1 - Condições de apoio iguais: 
 Colunas com a mesmas condições de apoio nos dois planos de flambagem a 
 análise de flambagem é realizada apenas em torno do eixo de menor inércia. 
 
Caso 1: Engastada e livre Caso2: Engastada e apoiada Caso3: Bi-apoiada ou 
 Bi-articulada ou 
 Bi-rotulada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em torno: x Em torno: y Em torno: x Em torno: y Em torno: x Em torno: y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex1: Ex2: Ex3: 
Considerando que nos 3 exemplos � mesmo tipo de apoio nas duas extermidades 
Mesma condições de apoio � Flambagem em torno do eixo de menor inércia: 
Ex1: Iy < Ix � em torno do eixo y 
Ex2: Ix < Iy � em torno do eixo x 
Ex3: Iy = Ix � em torno do eixo y ou x 
 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y y y 
x x 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
3 
 
 
2.2 - Condições de apoios diferentes: 
 Colunas com condições de apoio diferentes nos dois planos de flambagem 
 exige que seja realizada análise de flambagem para os dois eixos (x e y); 
 
Ex1: Ex2: EX3: 
 
 
 
 
 
 
 
 Presa 
 por 
 pinos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em torno: x Em torno: y Em torno: x Em torno: y Em torno: x Em torno: y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex1: Ex2: Ex3: 
Considerando que nos 3 exemplos � diferentes tipos de apoio nas duas extermidades 
Diferentes condições de apoio � 
 
� Flambagem analisada em torno dos dois eixos. 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
x 
y 
Engastada 
Apoiada 
Engastada 
Livre 
Engastada 
Livre 
Engastada 
Apoiada 
x x x 
x 
y 
Bi 
Engastada 
Bi 
Apoiada 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
4 
 
 
A fórmula de Euler estabelece a carga crítica para as colunas sob qualquer 
condição de apoio, sendo esta dada por: 
 ��� =
����
	
� (Fórmula de Euler – qualquer tipo de apoio) (1) 
Em que: 
 Pcr = carga crítica ou carga axial máxima na coluna imediatamente antes de 
 começar a flambagem; 
 E = módulo de elasticidade do material; 
 I = momento de inércia da seção transversal da coluna em relação ao eixo 
 considerado na análise; 
 Le = KL� comprimento efetivo da coluna, de L é o comprimento da coluna, 
 sendo K um coeficiente chamado de Fator de comprimento efetivo; 
 
Este fator k depende da condição de apoio da coluna, conforme ilustrado nas 
figuras a seguir; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 K = 2 K = 1 K = 0,7 K = 0,5 
 Le = 2L Le = L Le = 0,7L Le = 0,5L 
Engastada e Livre Biapoaida Engastada e apoiada Biengastada 
 ou Biarticulada 
 ou Birotulada 
 Presa por roletes 
 
Biapoiada ou Birotulata ou Biarticulada � PRESA POR PINOS; 
 
A tensão crítica é obtida de maneira semelhante pela equação: 
 ��� =
���
�
= �
�����
�	
� =
�����
	
� =
���
(	
 �⁄ 	)�
 
 (Fórmula de Euler – qualquer tipo de apoio) (2) 
 Onde: 
 σcr = tensão crítica, que é a tensão normal média na coluna imediatamente antes 
 de a coluna flambar; Essa tensão é uma tensão elástica e, portanto 
 σcr ≤ σy (tensão de escoamento) 
 E = módulo de elasticidade do material; 
 I = momento de inércia da seção transversal da coluna; 
 Le = KL � comprimento efetivo da coluna, de L é o comprimento da coluna, 
 sendo K um coeficiente chamado de Fator de comprimento efetivo; 
 r = raio de giração da coluna, determinado por: � = �� �⁄ , onde I é o 
 momento de inércia da seção transversal da coluna; 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
5 
 
 
Exemplo 1: Seja uma coluna de aço bi-apoiada ou bi-articulada em torno de x e de y 
com seção transversal conforme indicado na figura a seguir.Determine a carga 
admissível de forma a evitar a flambagem. Considerar um fator de segurança de 
flambagem de 1,5; 
a) Para o caso 1 de seção transversal; 
b) Para o caso 2 de seção transversal; 
c) Para o caso 3 de seção transversal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção SS: caso 1; Seção SS: caso 2; 
 
R: 
Carga admissível: Padm = Maior carga que pode ser aplicada 
a) sem risco de flambagem 
- Condição de apoio: 
 em torno de x-x: bi-apoiada ou bi-rotulada ou bi-articulada � 
 em torno de y-y: bi-apoiada ou bi-rotulada ou bi-articulada ---------� 
 MESMA CONDIÇÃO DE APOIO : 
� análise apenas em torno do eixo de menor inércia; 
�NESTE CASO �em torno do eixo y; 
 
 
 
 
 
 
 
- Flambagem em torno de y: Bi-apoiada � K = 1 
 � Le = k . L = 1 . 4 = 4 m 
 
- Carga crítica de Flambagem: 
 � em torno de y 
 
 Iy = bh3/12 = 50. 203/12 = 33333,33 mm4 = 3,33 . 10-8 m4 
 
 ��� =
����
���
= �
�	.		���	.		���	.		�,��	.		����
(�	.		�,�)�
= 4108,22	N	=	4,11	KN 
 
- Carga admissível de flambagem = CARGA LIMITE A SER APLICADA: 
%&'( =
%)*+
,. -.
=
4,11
1,5
= 2,74	01				 → 3454	678945	4	:;4<=4>6<	6<	?	 
 
4,
0 
m
 x 
S S 
20,0 mm 
y 
x
 50
,
0 
m
m
 
y 
x 
10,0 20,0 10,0 mm 
5,
0 
 
10
,
0 
 
5,
0 
 
m
m
 
Seção SS: caso 3; 
y 
x 
10,0 10,0 10,0 mm 
10
,
0 
 
 
 
10
,
0 
 
 
 
10
,
0 
 
m
m
 
y 
x
 50
,
0 
m
m
 
20,0 mm 
y 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
6 
 
 
b) 
- Condição de apoio: 
 em torno de x-x: bi-apoiada ou bi-rotulada ou bi-articulada � 
 
 em torno de y-y: bi-apoiada ou bi-rotulada ou bi-articulada ---------� 
 MESMA CONDIÇÃO DE APOIO : 
� análise apenas em torno do eixo de menor inércia; 
�NESTE CASO �em torno do eixo x; 
 
- Flambagem em torno de x: Bi-apoiada � K = 1 
 � Le = k . L = 1 . 4 = 4 m 
 
- Carga crítica de Flambagem: 
 � em torno de x 
 Ix = ∑ (Ix + A . y2) = ∑ [ (bh3)/12 + A . y2 ] 
Ix = 2 [ (10 . 103)/12 + (10 . 10) .02] + [ (20 . 203)/12 + (20 . 20) . 02] = 15000 mm4 
Ix = 1,5 . 10-8 m4 
 ��� =
����
���
= �
�	.		���	.		���	.		�,@	.		����
(�	.		�,�)�
= 1850,55	N	=	1,85	KN 
 
- Carga admissível de flambagem = CARGA LIMITE A SER APLICADA: 
%&'( =
%)*+
,. -.
=
1,85
1,5
= 1,23	01				 → 3454	678945	4	:;4<=4>6<	6<	B	 
 
 
c) 
- Condição de apoio: 
 em torno de x-x: bi-apoiada ou bi-rotulada ou bi-articulada � 
 em torno de y-y: bi-apoiada ou bi-rotulada ou bi-articulada ---------� 
 MESMA CONDIÇÃO DE APOIO: 
� análise apenas em torno do eixo de menor inércia; 
�NESTE CASO �em torno do eixo x; 
 OU em torno de y 
 
- Flambagem em torno de x: Bi-apoiada � K = 1 
 �Le = k . L = 1 . 4 = 4 m 
 
- Carga crítica de Flambagem: 
 � em torno de x 
 Ix = ∑ (Ix + A . y2) = ∑ [ (bh3)/12 + A . y2 ] 
Ix = 2 [(10.103)/12 + (10.10) .02] + [(10.303)/12 + (10.30). 02] = 24166,67 mm4 
Ix = 2,42 . 10-8 m4 
 ��� =
����
��
� =
��	.		���	.		���	.		�,��	.		���@
(�	.		�,�)�
= 2985,56	N	=	2,99	KN 
 
- Carga admissível de flambagem = CARGA LIMITE A SER APLICADA: 
%&'( =
%)*+
,. -.
=
2,99
1,5
= 1,99	01				 → 3454	678945	4	:;4<=4>6<	6<	B	 
 
y 
x 
10,0 20,0 10,0 mm 
5,
0 
 
10
,
0 
 
5,
0 
 
m
m
 
y 
x 
10,0 10,0 10,0 mm 
10
,
0 
 
 
 
10
,
0 
 
 
 
10
,
0 
 
m
m
 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
7 
 
 
Exemplo 2: O elemento estrutural A-36 W 200 X 46 de aço 
mostrado na figura ao lado deve ser usado como uma 
coluna acoplada por pinos. Determine a maior carga axial 
que ele pode suportar antes de começar a sofrer 
flambagem ou antes que o aço escoe. Utilizar um 
fator de segurança F.S. = 2,0 para a flambagem e 
para o escoamento. 
Aço A-36: 
 E=200GPa; σe = 250 MPa 
Perfil W 200 X 46 
 Ix = 45,5 . 10 6 mm4 
 Iy = 15,3 . 106 mm4 
 A = 5890 mm2 
 
R: 
Maior carga axial que pode ser aplicada 
sem risco de flambagem e de escoamento = Padm = ??? 
- Condição de apoio: 
 em torno de x-x: bi-apoiada ou bi-rotulada ou bi-articulada � 
 em torno de y-y: biapoiada ou birotulada ou biarticulada ---------� 
 MESMA CONDIÇÃO DE APOIO : 
� análise apenas em torno do eixo de menor inércia; 
�NESTE CASO �em torno do eixo y; 
 
- Flambagem em torno de y: Bi-apoiada � K = 1 � Le = k . L = 1 . 4 = 4 m 
 
- Carga crítica de Flambagem: 
 � em torno de y 
 Iy = 15,3 . 106 mm4 = 15,3 . 10-6 m4 
 %)*+ =
E�	.		F	.		G
���
= E
�		.			HII	.JIK			.		JL,M	.		JI�N
(J	.		O,I)�
= 1887,56	.10M	1 = 1887,56	01 
 
- Carga admissível de flambagem = CARGA LIMITE A SER APLICADA: 
%&'( =
%)*+
,. -.
=
1887,56
2,0
= 943,78	01				 → 3454	678945	4	:;4<=4>6<	6<	?	 
 
- Tensão provocada pela carga admissível de flambagem: 
 P =
QRST
U
=
VOM,WX	.		JIY
LXVI	.		JI�N
= 160,23	Z%4 
 
- Tensão admissível de escoamento: 
 P&'(_\]) =
^�
_.`.
=
HLI,I
H,I
= 125,0	Z%4 
 
 Como σ > σadm_esc � A carga admissível para evitar SIMULTANEAMENTE a 
flambagem e o escoamento com o F.S. de 2,0 vale: 
 P&'( =
QRST
U
	→ 	125	. 10a =	
QRST
LXVI	.		JI�N
			 
 
→			�bcd = e�f�@�	g = e�f, �@	hg 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
8 
 
 
Exemplo 3: A coluna de alumínio está engastada na base 
e seu topo está ancorado por cabos de modo a impedir 
que o topo movimente-se ao longo do eixo x, conforme 
ilustra a figura ao lado. Se considerarmos que ela está fixa 
na base, determine a carga admissível P que pode ser 
aplicada. Use um fator de segurança para flambagem 
FS = 3,0 e um fator de segurança para o escoamento 
FS = 1,4. Considere: Eal = 70GPa, σe = 215MPa, 
 A = 7,5 . 10-3 m2, 
 Ix = 61,3 . 10-6 m4, Iy = 23,2 . 10-6m4 
 
R: 
Carga admissível: Padm = P = ??? 
 
- Condição de apoio: 
 em torno de x-x: engatada e livre; 
 fixa na base = engastada na base 
 
 em torno de y-y: engastada e apoiada; 
fixa na base = engastada na base 
 CONDIÇÕES DIFERENTES DE APOIO � análise em torno dos dois eixos; 
�NESTE CASO �em torno dos dois eixos x e y; 
 
- Flambagem em torno de x: Engastada e livre 
 � K = 2,0 �Le = k . L = 2 . 5 = 10 m 
- Flambagem em torno de y: Engastada e apoiada 
 � K = 0,7 �Le = k . L = 0,7. 5 = 3,5 m 
 
- Carga crítica de Flambagem: 
 �emtorno de x 
 Ix = 61,3 . 10-6 m4 
 %)*+_i =
E�	.		F	.		G
��
� =
E�		.			WI	.JIK			.		aJ,M	.		JI�N
H	.		L,I��
= 424	01 
 
�em torno de y 
 Iy = 23,2 . 10-6 m4 
 %)*+_j =
E�	.		F	.		G
��
� =
E�		.			WI	.JIK			.		HM,H	.		JI�N
I,W	.		L,I��
= 1,31	.10M	01 
 
- Carga admissível de flambagem = CARGA LIMITE A SER APLICADA: 
�em torno de x 
 %&'(_i =
Qklm_n
_.`.
=
OHO
M,I
= 141	01 
 
�em torno de y 
 %&'(_j =
Qklm_o
_.`.
=
J,MJ	.		JIY
M,I
= 436,67	01 
 
%&'( = 141	01	 → 3454	678945	4	:;4<=4>6<	 
																																							p8<q;94r64<6r96	6<	B	6	? 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
9 
 
 
- Tensão provocada pela carga admissível de flambagem: 
 P =
QRST
U
=
JOJ	.		JIY
W,L	.		JI�Y
= 18,8	Z%4 
 
- Tensão admissível de escoamento: 
 
 P&'(_\]) =
^�
_.`.
=
HJL,I
J,O
= 153,6 = 154	Z%4 
 
 Como σ < σadm_esc � A carga admissível para evitar SIMULTANEAMENTE a 
flambagem com o F.S. de 3,0 e o escoamento com o F.S. de 1,4 vale: 
 
→			�bcd = ���	hg 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
10 
 
 
Exemplo 4: Uma estrutura composta por uma viga e 
uma coluna, ambas de aço. Supor que a coluna AB 
esteja presa por pinos nas extremidades para o caso 
de flambagem em torno do eixo x-x e que esteja 
engastada nas extremidades para o caso de 
flambagem em torno do eixo y-y. Determinar 
a carga admissível W(KN/m) que pode 
ser aplicada. Usar um fator de segurança 
para a Flambagem F.S. = 2,5 e um fator de 
segurança para o escoamento F.S. = 1,4. 
Ea = 200 GPa; σy = 250 MPa; 
 
R: 
- Condição de apoio: 
 em torno de x-x: bi-apoiada ou 
 bi-rotulada ou bi-articulata; 
 
 em torno de y-y: bi-engastada; 
 
 CONDIÇÕES DIFERENTES DE APOIO � análise em torno dos dois eixos; 
�NESTE CASO �em torno dos dois eixos x e y; 
 
- Flambagem em torno de x: Bi-apoiada 
 � K = 1 � Le = k . L = 1 . 2 = 2 m 
- Flambagem em torno de y: Bi-engastada 
 � K = 0,5 � Le = k . L = 0,5 . 2 = 1,0 m 
 
- Carga crítica de Flambagem: 
 �em torno de x 
 Ix = b.h3/12 = (0,020 . 0,0303)/12 = 4,5 . 10-8 m4 
 %)*+_i =
E�	.		F	.		G
��
� �
E�		.			HII	.JIK			.		O,L	.		JI�s
J	.		H,I��
� 22,2	01 
 
�em torno de y 
 Iy = b.h3/12 = (0,030 . 0,0203)/12 = 2,0 . 10-8 m4 
 %)*+_j �
E�	.		F	.		G
��
� �
E�		.			HII	.JIK			.		H,I	.		JI�s
I,L	.		H,I��
� 39,5	01 
 
- Carga admissível de flambagem = CARGA LIMITE A SER APLICADA: 
�em torno de x 
 %&'(_i �
Qklm_n
_.`.
�
HH,H
H,L
� 8,88	01 
 
�em torno de y 
 %&'(_j �
Qklm_o
_.`.
�
MV,L
H,L
� 15,8	01 
 
%&'( � 8,88	01	 → 3454	678945	4	:;4<=4>6<	 
																																							p8<q;94r64<6r96	6<	B	6	? 
 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
11 
 
 
- Tensão provocada pela carga admissível de flambagem: 
P =
%&'(
t
=
8,8	.		10M
0,02	.0,03
= 14,67	Z%4 
 
- Tensão admissível de escoamento: 
 
 P&'(_\]) =
^o
_.`.
=
HLI,I
J,O
= 178,57 = 179	Z%4 
 
 Como σ < σadm_es � A carga admissível para evitar a flambagem e o 
escoamento com o F.S. de 2,0 vale: 
 	�bcd = �, �	hg 
 
Carga admissível ou máxima sobre a coluna AB: Padm = 8,8 kN 
 
Realizando a análise da viga CB: W = ? 
 R1 = W . 1,5 R2 = W . 0,5 
 
 C B 
 
 
 
 VC VB 
 
 1,5 m 0,5 m 
 VB 
 
 B 
 
 
 
 
 A 
 + Σ Fy = 0 � VC + VB = 1,5 + 0,5 W 
 VC + VB = 2,0 W 
∑ MC = 0 + � VB . 1,5 – R1 . 0,75 – R2 . 1,75 = 0 
 VB . 1,5 – W . 1,5 . 0,75 – W . 0,5 . 1,75 = 0 
 1,5 VB = 2 W 
 VB = 2 W/1,5 
 VB = 1,333 W 
 
 VB ≤ Padm = 8,8 kN 
 1,333 W = 8,8 
 W = 6,6 kN/m 
 
Assim, a carga admissível W para evitar SIMULTANEAMENTE a flambagem com o 
F.S. de 2,5 e o escoamento com o F.S. de 1,4 deve ser de 6,6 kN/m; 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
12 
 
 
Exemplo 5: Uma coluna de aço W 150 X 24 tem 8m de comprimento 
e extremidades engastadas como mostra a figura a seguir. 
Sua capacidade de carga é aumenta pelas escoras de 
reforço em torno do eixo y-y. Considerando que essas 
escoras estão acopladas por pinos no ponto médio da 
altura da coluna. Determine a carga admissível 
que a coluna pode suportar. Considerar um fator de 
segurança de 1,4 para flambagem e um fator 
de segurança de 1,15 para o escoamento. 
Aço: E = 200 GPa e σe = 410 MPa. 
W 150 X 24: Ix = 13,4 .106 mm4 Iy = 1,83 .106 mm4 
 A = 3060 mm2 
R: 
- Condição de apoio: 
 em torno de x-x: bi-engatada; 
 em x � L = 8,0 m 
 
 em torno de y-y: engastada e apoiada; 
fixa na base e apoiado no meio em y � L = 4,0 m 
 
CONDIÇÕES DIFERENTES DE APOIO � análise em torno dos dois eixos; 
�NESTE CASO �em torno dos dois eixos x e y; 
 
- Flambagem em torno de x: bi-engastada 
 � K = 0,5 �Le = k . L = 0,5 . 8 = 4 m 
- Flambagem em torno de y: Engastada e apoiada 
 � K = 0,7 �Le = k . L = 0,7. 4 = 2,8 m 
 
- Carga crítica de Flambagem: 
 �em torno de x 
 Ix = 13,4 .106 mm4 = 13,4 . 10-6 m4 
 %)*+_i =
E�	.		F	.		G
��
� =
E�		.			HII	.JIK			.		JM,O	.		JI�N
I,L	.		X,I��
= 1653,16	01 
 
�em torno de y 
 Iy = 1,83 .106 mm4 = 1,83 . 10-6 m4 
 %)*+_j =
E�	.		F	.		G
��
� =
E�		.			HII	.JIK			.		J,XM	.		JI�N
I,W	.		O,I��
= 460,75	01 
 
- Carga admissível de flambagem = CARGA LIMITE A SER APLICADA: 
�em torno de x 
 %&'(_i =
Qklm_n
_.`.
=
JaLM,Ja
J,O
= 1180,83	01 
 
�em torno de y 
 %&'(_j =
Qklm_o
_.`.
=
OaI,WL
J,O
= 329,11	01 
 
%&'( = 329,11	01	 → 3454	678945	4	:;4<=4>6<	 
																																							p8<q;94r64<6r96	6<	B	6	?Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
13 
 
 
- Tensão provocada pela carga admissível de flambagem: 
P =
%&'(
t
=
329,11	.		10M
3060	.		10ua
= 107,55	Z%4 
 
- Tensão admissível de escoamento: 
 
 P&'(_\]) =
^o
_.`.
=
OJI,I
J,JL
= 356,52 = 357	Z%4 
 
 Como σ < σadm_ecs � A carga admissível para evitar a flambagem com F.S. de 1,4 
e o escoamento com F.S. de 1,15 vale: 
 	�bcd = ���, ��	hg 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
14 
 
 
Exemplo 6: Uma coluna bi-articulada de 2,0 m de comprimento de seção transversal 
quadrada de aresta a deve ser feita de madeira. Considerando que a madeira tenha 
tenha E = 13 GPa, σadm = 12 MPa, e usando um fator de segurança de 2,5 para a 
flambagem. Determine a dimensão da aresta a da seção transversal da coluna que 
deve suportar com segurança: 
a) uma força de 100 kN; 
b) uma força de 200 kN; 
R: 
a) 
- Condição de apoio: 
 em torno de x-x: bi-apoiada ou bi-rotulada ou bi-articulada � 
 em torno de y-y: bi-apoiada ou bi-rotulada ou bi-articulada ---------� 
 MESMA CONDIÇÃO DE APOIO : 
� análise apenas em torno do eixo de menor inércia; 
�NESTE CASO �em torno do eixo y; 
 Ou em torno de x; Ix = Iy 
Realizando a análise para x 
- Flambagem em torno de x: bi-apoiada 
 � K = 1 �Le = k . L = 1 . 2 = 2 m 
 
- Carga crítica de Flambagem: 
 �em torno de x 
 Ix = ? 
 %)*+_i =
E�	.		F	.		G
��
� 						→ v =
	Qklm_n	.		��
�
E�	.		F
 ..... %)*+_i =		? 
 
- Carga admissível de flambagem = CARGA LIMITE A SER APLICADA: 
�em torno de x 
 %&'(_i =
Qklm_n
_.`.
= 100,0	01										 → 	%)*+_i = 100	. 2,5 = 250,0	01 
 
- A dimensão pode ser agora definida: 
 v =
	Qklm_n	.		��
�
E�	.		F
=
	HLI	.JIY	.		
J	.		H��
E�	.		JM	.JIK
= 	7,794	. 10ua	<O 
 
 v =
x	.	yY
JH
=
&	.	&Y
JH
= 7,794	. 10ua 			→ 4 = 	0,0983	< = 98,3 ≅ 99	<<	 
 
- Tensão provocada pela carga admissível de flambagem: 
P =
%&'(
t
=
100,0	.		10M
0,099	.		0,099
= 10,20	Z%4 
 
- Tensão admissível: 
 
 P&'( = 12	Z%4 
 
 Como σ < σadm � A seção transversal com 99 x 99 mm É ACEITÁVEL. 
 
 
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15 
 
 
b) 
 
- Condição de apoio: 
 em torno de x-x: bi-apoiada ou bi-rotulada ou bi-articulada � 
 em torno de y-y: bi-apoiada ou bi-rotulada ou bi-articulada ---------� 
 MESMA CONDIÇÃO DE APOIO : 
� análise apenas em torno do eixo de menor inércia; 
�NESTE CASO �em torno do eixo y; 
 Ou em torno de x; Ix = Iy 
Realizando a análise para x 
- Flambagem em torno de x: bi-apoiada 
 � K = 1 �Le = k . L = 1 . 2 = 2 m 
 
- Carga crítica de Flambagem: 
 �em torno de x 
 Ix = ? 
 %)*+_i =
E�	.		F	.		G
��
� 						→ v =
	Qklm_n	.		��
�
E�	.		F
 ..... %)*+_i =		? 
 
- Carga admissível de flambagem = CARGA LIMITE A SER APLICADA: 
�em torno de x 
 %&'(_i =
Qklm_n
_.`.
= 200,0	01										 → 	%)*+_i = 200	. 2,5 = 500,0	01 
 
- A dimensão pode ser agora definida: 
 v =
	Qklm_n	.		��
�
E�	.		F
=
	LII	.JIY	.		
J	.		H��
E�	.		JM	.JIK
= 	15,59	. 10ua	<O 
 
 v =
x	.	yY
JH
=
&	.	&Y
JH
= 15,59	. 10ua 			→ 4 = 	0,11695	< ≅ 117	<<	 
 
- Tensão provocada pela carga admissível de flambagem: 
P =
%&'(
t
=
200,0	.		10M
0,117	.		0,117
= 14,61	Z%4 
 
- Tensão admissível: 
 
 P&'( = 12	Z%4 
 
 Como σ >σadm �A seção transversal com 117x117 mm não é aceitável. 
 
 Portanto para que a tensão admissível seja respeitada a seção transversal 
deve ser de: 
 P&'( = 12	Z%4 =
Q
U
				→ t =
Q
^RST
=	
HII	.	JIY
JH	.JIN
						→ t = 16,67	. 	10uM		<H 
 
 p6çã}	~q4544			→	t = 4H = 16,67	. 	10uM		<H 				→ 4 = 0,1291	< ≅ 130	<<	 
 
A seção transversal com 130 x 130 mm é aceitável. 
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16 
 
 
Exemplo 7: Uma coluna engastada na base e apoiada no topo de seção retangular de 
200 x 130 mm conforme ilustrado na figura a seguir. A coluna deve ser feita de 
madeira, a qual possui E = 13 GPa, σadm = 12 MPa. Considerando um fator de 
segurança de 2,5 para a flambagem, determine: 
a) a carga admissível que a coluna pode suportar para um comprimento de 2 m; 
b) o maior comprimento admissível que a coluna pode suportar para a carga admissível 
definida no item a; 
 Seção transversal 
 
R: 
a) 
- Condição de apoio: 
 em torno de x-x: engastada e apoiada � 
 em torno de y-y: engastada e apoiada ---------� 
 MESMA CONDIÇÃO DE APOIO : 
� análise apenas em torno do eixo de menor inércia; 
�NESTE CASO �em torno do eixo x; 
 
Realizando a análise para x 
- Flambagem em torno de x: engastada e apoiada 
 � K = 0,7 �Le = k . L = 0,7 . 2 = 1,4 m 
 
- Carga crítica de Flambagem: 
 �em torno de x 
 Ix = b.h3/12 = (0,200 . 0,1303)/12 = 36,62 . 10-6 m4 
 %)*+_i =
E�	.		F	.		G
��
� =
E�		.			JM	.		JIK			.		Ma,aH	.		JI�N
I,W	.		H,I��
= 2397,21	01 
 
- Carga admissível de flambagem = CARGA LIMITE A SER APLICADA: 
�em torno de x 
 %&'(_i =
Qklm_n
_.`.
=
HMVW,HJ
H,L
= 958,88	01 
 
- Tensão provocada pela carga admissível de flambagem: 
P =
%&'(
t
=
958,88	.		10M
0,200	.		0,130
= 36,87	Z%4 
 
- Tensão admissível: 
 P&'( = 12	Z%4 
 
 Como σ > σadm � A carga admissível para evitar SIMULTANEAMENTE a 
flambagem com o F.S. de 2,5 e a tensão admissível do material (madeira) vale: 
 P&'( =
QRST
U
	→ 	12	. 10a =	
QRST
I,HII	.			I,JMI	
 
 
→			�bcd = ������g = ���	hg 
 
200 mm 
130 mm 
x x 
y 
y 
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17 
 
 
 
b) 
- Condição de apoio: 
 em torno de x-x: engasta e apoiada � 
 em torno de y-y: engastada e apoiada ---------� 
 MESMA CONDIÇÃO DE APOIO : 
� análise apenas em torno do eixo de menor inércia; 
�NESTE CASO �em torno do eixo x; 
 
Realizando a análise para x 
- Flambagem em torno de x: engastada e apoiada 
 � K = 0,7 �Le = k . L � L = ? 
 
- Carga crítica de Flambagem: 
 �em torno de x 
 Ix = b.h3/12 = (0,200 . 0,1303)/12 = 36,62 . 10-6 m4 
 €\
H =	? 
 %)*+_i =
E�	.		F	.		G
��� 						→ €\
H =
	E�	.		F	.		G			
	Qklm_n			
 ..... %)*+_i =		? 
 
- Carga admissível de flambagem = CARGA LIMITE A SER APLICADA: 
�em torno de x 
 %&'(_i =
Qklm_n
_.`.
= 312,0	01										 → 	%)*+_i = 312,0	. 2,5 = 780,0	01 
 
- O comprimento L da coluna pode ser agora definido: 
 
 €\
H =
	E�	.		F	.		G			
	Qklm_n			
=	
	E�	.				JM	.		JIK					Ma,aH	.		JI�N		
WXI	.		JIY
				→ €\ = 2,45 
 
 €\ = 0	. €	 = 2,45			 → 0,7	. € = 2,45	<					 → € = 3,51<	 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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18 
 
 
Lista de exercícios 5.1 
1) Seja uma coluna com 4 m de comprimento e de seção transversal mostrada na 
figura a seguir. Determine a carga admissível considerando 
um fator de segurança de flambagem de 1,5: 
a) Supondo que a coluna está presa por pinos 
em ambas as extremidades; R: 15,15 kN; 
b) Supondo que a coluna está engastada na 
extremidade inferior e presa por pinos na 
extremidade superior; R: 30,92 kN; 
 
2) As extremidades da haste estão apoiadas em roletes. 
Determine, com aproximação de 1,0 mm, o menor diâmetro 
da haste que suportará a carga P = 25 kN sem flambagem. 
Considerar fator de segurança de flambagem de 1,5; 
R: 9,0 mm; 
 
 
 Exercícios: 2 e 3 
 
3) A haste de aço A-36 (σe = 250MPa; E = 200GPa) com 25 mm de diâmetro 
apresenta extremidades apoiadas em roletes. Determine a carga admissível 
considerando um fator de segurança de 1,2 para a flambagem e para o escoamento. 
R: 409,05 kN; 
 
4) Seja uma coluna de aço A-36 (σe = 250MPa; E = 200GPa) com 5 m de comprimento 
e de seção transversal mostrada na figura a seguir. Supondo que a coluna está 
engastada em ambas as extremidades. Determine a maior 
força P que pode ser aplicada sem provocar flambagem e 
escoamento do material da coluna. Considerar um fator de 
segurança de 1,5 para flambagem e um fator de segurança 
de 1,15 para o escoamento; R: 181,43 kN; 
 
5) O elemento estrutural W 250 X 67 feito de aço A-36 é usado como uma coluna de 
4,5 m de comprimento. Supondo ambas as extremidades engastadas, determine a 
maior força P que pode ser aplicada sem provocar flambagem e escoamento do 
material da coluna. Considerar um fator de segurança de 2,0 para flambagem e de 1,2 
para o escoamento; 
Ix = 104 . 106 mm4 
Iy = 22,2 . 106 mm4 
A = 8560 mm2 
E = 200 GPa 
σe = 250 MPa. 
 
R: 1783,30 kN; 
 
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 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
19 
 
 
6) Determinar a força máxima P que pode ser aplicada ao cabo, de modo que a haste 
de controle de aço A-36 AB não sofra flambagem. A haste tem diâmetro de 30 mm e 
está presa por pinos. Utilizar um fator de segurança de 2,5 para a flambagem e de 1,5 
para o escoamento. 
E
 
= 200 GPa; 
σe = 250 MPa; 
R: 25,87 kN; 
 
 
 
 
7) O elemento estrutural W 250 X 67 é feito de aço A-36 e usado como uma coluna de 
4,5 m de comprimento. As extremidades para o caso de flambagem em torno do eixo x-
x estão presas por pinos, para o caso de flambagem em torno do eixo y-y as 
extremidades estão engastadas. Determine a máxima carga P que pode ser aplicada 
considerando um fator de segurança de 2,5 para flambagem e de 1,5 para o 
escoamento. 
E = 200 GPa e σe = 250 MPa. 
Ix = 104 . 106 mm4 
Iy = 22,2 . 106 mm4 
A = 8560 mm2 
 
R: 1426,70 kN; 
 
 
 
 
8) Uma estrutura composta por uma viga e uma coluna, 
ambas de aço. Supor que a coluna AB esteja presa por 
pinos nas extremidades para o caso de flambagem em 
 torno do eixo x-x e que esteja engastada nas 
extremidades para o caso de flambagem em 
torno do eixo y-y. Determinar o menor valor 
para d considerando uma carga distribuída 
W = 10 kN/m. Usar um fator de segurança 
para de 2,5 para a flambagem e um fator de 
segurança de 1,4 para o escoamento. 
Ea = 200 GPa; σe = 250 MPa; 
 
R: 22,14 mm; 
 
x 
A A 
Corte: AA x 
y 
x 
y z z 
y 
y 
z 
x 
d 
1,5 d 
1,5 d 
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 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
20 
 
 
9)Determine a carga máxima P que a estrutura pode suportar 
sem provocar flambagem no elemento estrutural AB. 
Considere que AB é feito de aço e que esteja preso por 
pinos nas extremidades para o caso de flambagem em 
torno do eixo y-y e que esteja engastado nas extremidades 
para o caso de flambagem em torno do eixo x-x. Usar um 
fator de segurança para de 2,0 para a flambagem e um 
fator de segurança de 1,15 para o escoamento. 
E
 
= 200 GPa; σe = 250 MPa; 
R: 21,31 kN; 
 
10) Determine o valor máximo da carga P. Usando um 
fator de segurança de 2,0 para a flambagem e 
para o escoamento. L = 1,8 m 
 d = 25 mm 
 Alumínio: E = 70 GPa 
 σe= 170 MPa 
 R: 3,475 kN; 
 
11) Determine o menor valor admissível d para a 
seção transversal da coluna, de modo que não ocorra 
flambagem e escoamento ao ser submentida a uma carga 
P = 3 000 kN. Considerar um fator de segurança de 2,0 Exercícios: 10 e11 
para flambagem e de 1,40 para o escoamento. 
 L= 4,0 m , E = 200 GPa, σe = 250 MPa 
R: 155 mm; 
 
12) Uma coluna AB de aço (E = 200 GPa) com 
seção transversal W 200 x 22,5 deve suportar uma 
carga axial centrada igual a 130 KN os cabos BC 
e BD estão esticados e impedem o movimento 
do ponto B no plano xz. Usando um fator de 
de segurança de 2,3 para a flambagem 
determinar o máximo comprimento L para a 
coluna,desprezando-se a tração nos cabos BC e BD. 
E = 200 GPa 
Ix = 20 . 106 mm4 
Iy = 1,419 . 106 mm4 
A = 2860 mm2 
 
R: 4,37 m; 
 
 
 
 
P 
50 mm 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
21 
 
 
13) O elemento estrutural W 250 X 67 feito de aço é usado como uma coluna que deve 
suportar uma carga P de 1500 kN. Supondo ambas as extremidades engastadas, 
determine o máximo comprimento L para a coluna. Considerar um fator de segurança 
de 2,0 para flambagem; 
Ix = 104 . 106 mm4 
Iy = 22,2 . 106 mm4 
A = 8560 mm2 
E = 200 GPa 
 
R: 7,64 m; 
 
 
 
14) A coluna de alumínio está engastada na base e 
seu topo está ancorado por cabos de modo a impedir 
que o topo movimente-se ao longo do eixo x, conforme 
ilustra a figura ao lado. A coluna deve suportar uma 
carga P de 370 kN. Determine o máximo comprimento L 
para a coluna. Use um fator de segurança para 
flambagem FS = 2,0 
 
Considere: Eal = 70GPa, 
 Seção transversal: Ix = 61,3 . 10-6 m4; Iy = 23,2 . 10-6 m4 
 A = 7,5 . 10-3 m2 
 
R: 3,79 m;15) Uma coluna de 3,0 m de comprimento de seção transversal SS, conforme ilustrado 
na figura a seguir, deve ser feita de aço. Considerando que a coluna seja bi-engastada 
em torno do eixo y e engastada e apoiada em torno do eixo x, determine a menor 
dimensão da aresta a da seção transversal da coluna que deve suportar com 
segurança uma carga de 200 kN. Utilizar um fator de segurança de 2,0 para a 
flambagem e um fator de segurança de 1,15 para o escoamento. O aço da coluna 
possui E = 200 GPa e σadm = 350 MPa. 
 
 
 
R: 41 mm; 
 
 
 
 
 
 Seção SS: 
 
 
L = ? 
a 
y 
x
 
 
 
 
 
 
 
 
2a
 
L = ?

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