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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
LUIZ ROBERTO
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Taxa de juros
1
AULA 05 – Medidas de Dispersão
AULA 05 
Medidas de Dispersão
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Taxa de juros
AULA 05 – Medidas de Dispersão
Média Geométrica
 
A média geométrica é a raiz enésima dos produtos dos valores encontrados em um conjunto numérico.
 
Para o conjunto X = {x1, x2,..., xn}, onde cada xi é um número real não negativo, a média geométrica (MG) será:
 MG =
Exemplo:
Seja o conjunto X = {3, 5, 7, 16}. Então a média geométrica dos valores de X é igual a
 
3
= = 6,402
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 Considerações sobre a Média Geométrica
Como a média geométrica é sempre menor ou igual à média aritmética, muitos a utilizam como uma forma de medida mais conservadora de análise central para um conjunto de dados.
 
Sua grande aplicabilidade está em estimar a média de razões de crescimentos de dados populacionais e financeiros.
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Exemplo:
A tabela reflete as vendas e a razão de crescimento anual de uma empresa:
A razão média de crescimento nas vendas ao longo desses anos é medida com base na média geométrica entre as razões anuais:
 MG = = 1,2854
Ano
Vendas
Razão
2005
100000
2006
140000
1,4
2007
210000
1,5
2008
273000
1,3
2009
273000
1
=
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Exercício:
Suponha que nos últimos 4 anos a inflação tenha sido respectivamente de i1= 15%; i2= 20%; i3= 25% e i4= 50%. Qual a inflação média anual?
Sugestão: 
 MG = (1 + iMG) =
(1 + iMG) = = 1,2683
Logo a inflação média anual = 26,83%
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Medidas de Posição Relativa
 
Além da média, moda e mediana que são consideradas medidas de posições centrais existem outras medidas de posições denominadas de relativas. Dentre elas destacamos os: QUARTIS, DECIS e PERCENTIS.
 
Todas essas medidas são destinadas a indicar a posição que um determinado dado ocupa em relação à amostra como um todo.
 
Já sabemos que a MEDIANA divide um conjunto de dados em duas partes iguais.
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QUARTIS
 
Os QUARTIS são os valores que dividem a série de dados em quatro partes iguais.
Após a ordenação dos dados:
 
O primeiro quartil (Q1) é o valor que deixa a quarta parte ou 25% das observações dos dados abaixo dele. 
 
O segundo quartil (Q2) coincide com a mediana (Md) do conjunto.
 
O terceiro quartil (Q3) é o valor que deixa três quartos (3/4) ou 75% das observações dos dados abaixo dele.
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Determinação dos Quartis
 
Caso1: Dados NÃO agrupados
 
Para determinar os quartis para um conjunto com n devemos ordenar o conjunto.
Q1 será o valor que ocupar a posição (n/4)
Q2 o que ocupar (2n/4)
Q3 o que ocupar a posição (3n/4).
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Determinação dos Quartis
 
- Se a divisão indicada no item anterior for um número fracionário, arredonde-o para cima e o valor do quartil será o dado encontrado nesta posição.
 
- Se a divisão for um número inteiro, o quartil será a média aritmética do valor que ocupar a posição encontrada na divisão com o valor que ocupar a posição seguinte.
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Exemplo: Suponha uma análise sobre o tempo para se aprontar para o trabalho de modo a minimizar atrasos excessivos ou chegar com muita antecedência. Para tal foram coletados, durante dez dias, os tempos uma pessoa levou desde do levantar da cama até sair de casa.
Dia
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
minutos
31
35
52
44
44
40
29
39
39
43
Tempo
(min.)
29
31
35
39
39
40
43
44
44
52
Para calcular os quartis vamos ordenar.
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Posição de Q1 
 Observe que  Como 2,5 é um número fracionário devemos arredondar para 3. Pelas regras, a posição do quartil Q1 será definida pelo 3°elemento, i.e, tempo de 35 minutos.
Para se aprontar a pessoa em 25% dos dias um tempo ≤ 35 min e em 75% dos dias um tempo ≥ 35 min.
Tempo
(min.)
29
31
35
39
39
40
43
44
44
52
Taxa de juros
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Observe que  Como 5 é um número inteiro, o quartil 2 ou Mediana será dado pela média aritmética dos tempos situados nas posições cinco e seis da série ordenada.
Q2 = Md = (39 + 40)/2 = 39, 5
Podemos concluir que para a metade dos dias a pessoa levou um tempo ≤ 39, 5 minutos para ficar pronto e para a outra metade dos dias um tempo ≥ 39, 5 minutos.
Tempo
(min.)
29
31
35
39
39
40
43
44
44
52
Para calcular o quartil Q2
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Observe que  Como 7,5 é um número fracionário devemos arredondar para 8. 
Então Q3 será definida pelo 8°elemento: 44 minutos.
Conclusão: em 75% dos dias a pessoa levou um tempo ≤ 44 minutos para ficar pronto e em 25% dos dias levou um tempo ≥ 44 minutos.
Tempo
(min.)
29
31
35
39
39
40
43
44
44
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Para calcular o quartil Q3
Taxa de juros
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Caso 2: Dados Agrupados
Determinação QUARTIL Q1:
Acrescentar a coluna frequências acumuladas (Fi).
Calcular .
Encontrar a classe que corresponde à frequência acumulada imediatamente superior a . 
(cont ...) 
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d) Aplicar a fórmula:
 Onde:
 l* é o limite inferior
 f* é a freqüência simples 
 h* é a amplitude da classe encontrada no item (c); 
 F(ant) é a frequência acumulada da classe anterior encontrada em “c”.
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QUARTIL Q2 é a MEDIANA do conjunto de dados.
QUARTIL Q3 é calculado de forma parecida a do quartil Q1 e poderá ser obtido pela fórmula: 
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Exemplo: Cálculo do Quartil Q1 da distribuição de frequências das estaturas dos 40 alunos da faculdade A.
 
1) Encontrar o valor de: 
2) Marcar a classe que possui frequência acumulada imediatamente superior a 10 (é a 13).
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i
Estaturas
(cm)
Fi
freq. simples
Fi
freq. acumulada
1
150|154
4
4
2
154|158
9
13
3
158|162
11
24
4
162|166
8
32
5
166|170
5
37
6
170|174
3
40
fi= 40
l* = 154
h* = 4
f* = 9
F(ant) = 4 
Q1 = 154 + (10 - 4) 
Q1 = 156, 66 cm
Cálculo do Quartil Q1 
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Cálculo do Quartil Q3
Onde:
l* = 162
h* = 4
f* = 8
F(ant) = 24
Q3 = 162 + (30 - 24) = 165 cm
i
Estaturas
(cm)
Fi
freq. simples
Fi
freq. acumulada
1
150|154
4
4
2
154|158
9
13
3
158|162
11
24
4
162|166
8
32
5
166|170
5
37
6
170|174
3
40
fi= 40
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PERCENTIL
Os PERCENTIS são os valores que separam uma série de dados em 100 (cem) partes iguais.
Determinação dos PERCENTIS
 Caso1: Dados não agrupados
 Para determinarmos os percentis para um conjunto com n dados devemos adotar os seguintes passos:
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Passos para determinação dos PERCENTIS
1) Ordenar o conjunto.
 2) O percentil Pk é o valor que ocupar a posição (k.n)/100
 
 - Se essa divisão der um número fracionário, arredonde-o para cima; o valor do quartil será o dado nesta posição.
 - Se a divisão for um número inteiro, o quartil será a média aritmética do valor que ocupar a posição encontrada na divisão com o valor que ocupar a posição seguinte.
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Passos para determinação dos PERCENTIS
 Vamos calcular o percentil P30 na série ordenada dos tempos gastos para se aprontar para o trabalho.
(k. n)/100 = 	
Como 3 é inteiro, a posição do percentil P30 será definida pela média aritmética dos terceiro e quarto.
P30 = 
minutos
29
31
35
39
39
40
43
44
44
52
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Caso 2: Dados Agrupados
Como os quartis, os PERCENTIS podem ser calculados