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Introdução à Estatística: Frequências e Medidas

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
LUIZ ROBERTO
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REVISÃO AV2
AULA 01 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
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166, 170,150,151, 156, 153,150, 166, 153, 160,151, 170, 160,151, 160,152,150,166,150,160,153, 151,151,152, 151 
Rol
REVISÃO AV2
*
*
AULA 02
Dados não agrupados 
REVISÃO AV2
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REVISÃO AV2
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AULA 03 
Dados agrupados em classes
REVISÃO AV2
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*
Tabela 4- Distribuição de freqüências 
REVISÃO AV2
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AULA 04 
Medidas de Posição:
Média Aritmética
Mediana
Moda
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REVISÃO AV2
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*
Média aritmética de dados não agrupados
Suponha que as notas de um candidato, em seis provas de um concurso, sejam 
8,4 9,2 7,1 6,8 8,7 7,2
 
Cálculo da Média das notas:
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REVISÃO AV2
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*
Média Ponderada
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REVISÃO AV2
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MEDIANA
 A frequência acumulada imediatamente superior ao número 10 encontrado é F2 = 13. 
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REVISÃO AV2
Logo, a Md = 60
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*
MODA
Dados Agrupados SEM intervalos de classes.
A maior frequência é f1 = 8, logo a moda é o valor correspondente à variável x1, ou seja Mo = 50.
*
REVISÃO AV2
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AULA 05 
Medidas de Dispersão
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REVISÃO AV2
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Desvio médio (DM): Analisa todos os desvios em relação à média.
Produção diária de uma peça, durante cinco dias
Empregado A: 70, 71, 69, 70, 70  X = 70
Empregado B: 60, 80, 70, 62, 83  X = 71
REVISÃO AV2
*
*
*
Desvio Médio: DM = =
A  DM = = 0,4
B  DM = = 8,4
REVISÃO AV2
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*
Variância (2)
 
2 = 
= 
 = = 0,4 
 
 = = 85,6
REVISÃO AV2
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*
Desvio-padrão
É a raiz quadrada da variância: 
 
Desvio Padrão do funcionário A: = = 0,63
Desvio Padrão do funcionário B: = = 9,25
REVISÃO AV2
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AULA 06 
Análise Combinatória
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REVISÃO AV2
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REVISÃO AV2
Diagrama de árvore
1ª coluna: possibilidades de escolha do sanduíche. 
2ª coluna: possibilidades de escolha da sobremesa. 
2 x 3 = 6 maneiras distintas de se escolher uma refeição. 
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REVISÃO AV2
Princípio Fundamental da Contagem – PFC
Exemplo 1: Placas dos veículos: 3 letras e 4 algarismos. 
Quantos veículos poderão ser licenciados? 
São 26 letras e 10 algarismos possíveis:
1ª posição: 26 alternativas
2ª e 3ª posições: 26 alternativas (pode haver repetição). 
Algarismos: 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Então, podem ser licenciados: 
26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 175.760.000 veículos. 
*
*
*
REVISÃO AV2
Arranjo
Exemplo1: Formar centenas com os algarismos 1,3,5,7,9.
135; 137; 139; 153, 157 e assim sucessivamente. 
 
Se invertermos a posição dos elementos de qualquer uma destas centenas conseguiremos outra centena diferente: 135 e 351. 
Temos um ARRANJO de 5 elementos tomados 3 a 3. 
*
*
*
REVISÃO AV2
Arranjo
Exemplo 2 
 
Dado o conjunto C = (1, 2, 3, 4), escreva todos os arranjos desses quatro elementos tomados dois a dois. 
(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 4); 
(4, 1); (4, 2); (4, 3) 
Notamos que (2, 3) ≠ (3, 2), isto é, a trocando a ordem dos elementos gera um agrupamento diferente. 
Neste caso é ARRANJO.
*
*
*
REVISÃO AV2
Cálculo do número de Arranjos 
 
Seja um conjunto de n elementos distintos. Vamos encontrar uma expressão para o número de arranjos dos n elementos tomados k a k: (An,k). 
A fórmula do Arranjo é:
An,k = | n ≥ k
*
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REVISÃO AV2
Exercício: 
Obter o valor de A4,2 + A7,3. 
 
A4,2 = = = = 12 
 
A7,3 = = = = 210
 
A4,2 + A7,3 = 12 + 210 = 222 
*
*
*
REVISÃO AV2
Permutações simples: Pn = n! 
Calcule a permutação de 6.
P6 = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
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REVISÃO AV2
Combinação
Cn,k =
Exemplo 1: Em uma turma de 10 alunos, quantos grupos de três alunos podemos formar? 
 
Trocar a ordem das pessoas não altera o grupo. 
n = 10 k = 3
 Cn,k = 
 
C10,3 = = = 120 
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AULA 07 
CONCEITOS DE PROBABILIDADE
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REVISÃO AV2
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Exemplo: 
Ao jogar um dado, qual a probabilidade de dar o número 6?
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REVISÃO AV2
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Exercícios:
1. Um experimento é composto de duas etapas: primeiro, 
uma moeda é lançada e, em seguida, um dado é lançado. Construa o espaço amostral.
Ω = {(C,1), (C,2), (C,3), C,4), (C,5), (C,6), {(K,1), (K,2), (K,3), K,4), (K,5), (K,6)}
*
REVISÃO AV2
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*
Exercícios:
2. Será realizado um sorteio para saber que mês haverá uma feira de artesanato. Construa o espaço amostral.
Ω = {jan, fev, mar, abr, mai, jun, jul, ago, set, out, nov, dez}
3. Uma carta de um baralho de 52 cartas será sorteada. Determine: a) Ω b) n(Ω)
Ω = {Áscopas, Ásouros, Ásespadas, Áspaus, ... Reicopas, Reiouros, Reiespadas, Reipaus}
n(Ω) = 52
*
REVISÃO AV2
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*
Exercícios:
4. Uma caixa contém três bolas vermelhas e uma azul. Retiramos, sucessivamente, duas bolas dessa caixa. Construa o espaço amostral correspondente, se a extração é feita: 
com reposição 
Ω = {(V, V), (V, A), (A, A), (A, V)}
b) sem reposição 
Ω = {(V, A), (V, V), (A, V)}
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REVISÃO AV2
*
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REVISÃO AV2
AULA 08 
Axiomas
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REVISÃO AV2
Evento Complementar 
Consideremos um evento E relativo a um 
espaço amostral Ω. 
Chamamos evento complementar de ao evento que ocorre quando E não ocorre. 
Observe o seguinte diagrama: 
E ∩ = ∅
E ∪ = Ω 
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Exemplo 
Uma caixa contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se da caixa, ao acaso, uma bola. Se E é o evento “ocorre múltiplo de 3”, então será? 
 
Temos: Ω = {1, 2, 3, ..., 10} e E = {3, 6, 9}; logo: 
 
 = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} evento “não ocorre múltiplo de 3”. 
E ∪ = Ω 
REVISÃO AV2
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Exemplo 1
 Uma caixa contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de ser sorteada uma bola com número maior ou igual a 11? 
Temos: Ω = {1, 2, 3, ..., 15} 
 Seja o evento E: “número da bola sorteada ≥ 11”. 
Logo: E = {11, 12, 13, 14, 15}. 
 
p(E) = = = = 33,3%
REVISÃO AV2
*
*
*
Exemplo 2: Um dado é lançado. Qual a probabilidade de dar: a) menor que 3? b) Maior ou igual a 3? 
 a) Temos Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 E = {1, 2}. Então, p(E) = = 
 
b) Podemos usar o evento complementar: = {3, 4, 5, 6}
Assim, p ( ) = = = 
Obs: p( E ) + p( ) = 1 = 100% 
REVISÃO AV2
*
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*
AULA 09 
Probabilidade Condicional
REVISÃO AV2
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*
Exemplo 1 
 Uma caixa contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola é extraída ao acaso. Qual é a probabilidade da bola sorteada ser:
múltiplo de 2 e de 3? 
múltiplo de 2 ou de 3?
 
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24} 
B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24} 
REVISÃO AV2
*
*
*
A  B = {6, 12, 18, 24}  é o evento formado pelos múltiplos de 2 e 3 ao mesmo tempo (múltiplos de 6). 
Temos: p(A  B) = 
Como p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B) 
Temos p(A  B) =
REVISÃO AV2
*
*
*
Exemplo 2: Observe a roleta. 
 a) Qual a probabilidade de cada 
evento elementar? 
 
P(1) = P(2) = P(4) = P(5) = P(6) = P(7) = 1/8 
P(3) = 2/8 
 
b) Qual a probabilidade do número ser par? P({2,4,6}) = 3/8 
c) Qual a probabilidade de daro número 3? P(3) = 2/8 = 1/4 
REVISÃO AV2
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*
*
Exercícios: 
1) Calcule A  B. São dados:
 p(A) = p(B) = P(A  B) =
Solução:
Pela fórmula p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B) 
 
REVISÃO AV2
*
*
*
2) Dado p(A) = p(B) = p (A  B) = 
Calcule p(A/B). 
 Solução:
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL
REVISÃO AV2
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*
3) Se retirarmos aleatoriamente uma carta de um baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 7 ou um Ás?
Eventos:
Assim, p(A  B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13
A={7}  P(A) = 4/52
B= {Ás}  P(B) = 4/52
REVISÃO AV2
*
*
AULA 10 
Teorema de Bayes e Função Binomial
*
REVISÃO AV2
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*
INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS
Exercício 1
Em uma caixa temos 10 peças, das quais 4 são defeituosas. São retiradas duas peças, uma após a outra, com reposição. Calcular a probabilidade de ambas serem boas. 
Obs: A e B são independentes, pois p(B) = p(B/A)
p(A  B) = p(A) . p(B) = 
 
*
REVISÃO AV2
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*
Exercício 2 :
Seja Ω = {1, 2, 3, 4} um espaço amostral equiprovável. 
São dados três eventos:
A = {1, 2}
B = {1, 3}
C = {1, 4} 
 
Verificar se os eventos A, B e C são independentes.
*
REVISÃO AV2
*
*
Ω = {1, 2, 3, 4} 
Para A, B e C: A = {1, 2} B = {1, 3} C = {1, 4}
p (A) = ; p (B) = ; p (C) = ; p(A B  C) = 
		
 p(A) . p(B) . p(C) =
 Logo: p(A B  C) ≠ p(A) . p(B) . p(C) 
Os eventos A, B e C NÃO são independentes. 
*
REVISÃO AV2
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*
TEOREMA DE BAYES
Suponha os eventos A1 e A2.
De acordo com o Teorema de Bayes, a probabilidade do evento A1 ocorrer dado que o evento B ocorreu é:
São dados: 
P(A1) = 2/3 p(A2) = 1/3 p(B/A1) = 1/5 p(B/A2) = 1/2
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REVISÃO AV2
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Solução:
São dados: 
P(A1) = p(A2) = p(B/A1) = p(B/A2) =
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REVISÃO AV2
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Exercício: Suponha a seguinte situação.
*
Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola ao acaso. Verificou-se que a bola é branca. Qual a probabilidade da bola ter vindo da urna 2? 
REVISÃO AV2
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*
Solução 
p(U1) = p(U2) = p(U3) = 
p(br/U1) = p(br/U2) = p(br/U3) = 
 
P(U2 /br) = 
*
REVISÃO AV2
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*
Função de Probabilidade Binomial
 
Um experimento é binomial quando:
 É repetido por um número fixo de tentativas, sendo uma independente de todas as outras. 
 Há dois resultados possíveis em cada tentativa:
sucesso (S) ou fracasso (F).
 A probabilidade de um sucesso é a mesma em cada tentativa.
 A variável aleatória “x” = n° de tentativas com sucesso.
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REVISÃO AV2
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*
Exercício 1:
Escolha uma carta de um baralho e veja se o naipe é ouros ou não e recoloque-a no baralho. 
Repita a experiência cinco vezes. 
Assim, n = 5.
S = tirar uma carta de ouros
F = tirar uma carta de outro naipe.
 As probabilidades de sucesso e fracasso são:
p = p(S) = q = p(F) =
Valores possíveis da variável aleatória x: 0, 1, 2, 3, 4 e 5  
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REVISÃO AV2
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Exercício 2:
Um determinado procedimento cirúrgico tem 85% de chance de sucesso. Esse procedimento é realizado em dez pacientes. Determine se o experimento é binomial. Se sim, especifique os valores de n, p e q e enumere os valores possíveis da variável aleatória x. 
Solução:
n = 10
p = 0,85 
q = 1 – 0,85 = 0,15 
x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 
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