Praticando Matemática

@matematica-aplicada FABRA

Pré-visualização

São iguais.

A e F; B e E; C e H; D e G. 

Ilu
st

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 C

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5. Representação dos números racionais
Todo número inteiro é um número racional. Observe:

• 6 pode ser escrito como 6
1

 ou 24
4

 ou 42
7

 por exemplo.

Da mesma forma,

• 0 � 0
1

 � 0
2

 � 0
3

• �20 � �20
1

 � 
�100

5

e assim por diante.

Forma decimal e forma fracionária

Um número racional pode ser escrito na forma de número decimal.

7
10

 � 0,7  143
100

 � 1,43  4
5

 � 4 : 5 � 0,8  17
8

 � 17 : 8 � 2,125

Nesses exemplos, a forma decimal é finita.

5
9

 � 0,5555…  14
3

 � 4,6666…  12
33

 � 0,363636…

Nesses exemplos, a forma decimal é infinita e periódica.
Esses números são chamados de dízimas periódicas.

Em 4,666… o período é 6. Em 0,363636… o périodo é 36.

Ana ficou pensando:

A resposta é sim. A forma decimal dos números 
racionais é sempre um número decimal finito ou 
uma dízima periódica.

Será que todo número racional é um 
número decimal finito ou uma dízima 

periódica?

1. Represente o número 10 como quociente de números inteiros.

 a) 10 é um número racional? Sim.

 b) Existe número inteiro que não seja racional? Não.

2. Os números racionais abaixo, representam que número inteiro?

 
�20

5
; 

20

�5
; �

20

5
.

�4 Professor, comente que em um número racional negativo, o sinal 
de menos pode estar tanto no numerador, quanto no denomina-
dor ou mais usualmente antes da fração.

Resposta pessoal, por exemplo, 20
2

 . 

Hé
lio

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at
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C O N J U N T O S  N U M É R I C O S  17

Analise outras frações que geram dízimas:

13
99

 � 0,131313…     

7
99

 � 0,0707070…

137
999

 � 0,137137137…

E aí? Descobriram como fazer? Converse com seus colegas.
Confiram com o professor se as conclusões estão corretas!

Representação na reta

Os números racionais podem ser representados por pontos na reta numérica. Veja exemplos:

Escrevendo dízimas periódicas na forma de fração

As dízimas periódicas são números racionais. Portanto, podemos representá-las na forma de 
fração. Como?

Você e seus colegas vão descobrir! Observe as dízimas geradas por algumas frações:

1
9

 � 0,1111…
5
9

 � 0,5555…
2
3

 � 
6
9

 � 0,666…
8
9

 � 0,8888…

A partir desses 
exemplos, você é 

capaz de dizer qual é 
a forma fracionária 

de 0,444… ? 49

Quem vai ao quadro escrever a fração que representa 0,282828…? 2899

Você descobriu uma forma prática para escrever uma dízima periódica como fração.
Na Unidade 8 você compreenderá porque ela funciona.

– 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4

�3,8 �1,5 � 1
2

 � �0,5
5
4

 � 1,25

1
3  
� 0,333…

Dividimos a unidade 
em 3 partes iguais e 
assinalamos o primeiro 
ponto da divisão.

Discuta as questões com seus colegas e o professor.

• 1,3 é um número racional que está entre 1 e 2. 

a) Cite outros números racionais que estão entre 1 e 2. 

b) Agora cite um número racional que está entre 1,3 e 1,4.

c) Entre dois números racionais sempre há outro número racional? Explique com exemplos.

d) Qual é o maior número racional? E o menor?

e) O conjunto dos números racionais é infinito?

Sim. Resposta pessoal.

Sim.

Há infinitas possibilidades de resposta. Por exemplo: 1,4; 1,18; 1,7 etc.

Há infinitas possibilidades de resposta. Por exemplo: 1,32; 1,305

Não há maior número racional. Não há menor número racional.

Hé
lio

 S
en

at
or

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18 

Exercícios

 22  Dividindo R$ 41,00 igualmente entre 4 
pessoas, quanto receberá cada uma? R$ 10,25

 23  Qual é o maior:

a) 5
4

 ou 1,2? 5
4

b) 7
9

 ou 0,777…?   

 24  Coloque em ordem crescente os seguintes 
números:

� 12 �
1
4

1
4

1
2

0 2 4 �4�2

 25  Indique os números inteiros consecutivos 
que são representados pelas letras A e B.

�4, �2, � 12
, � 14

, 0, 1
4

, 1
2

, 2, 4

 27  Cem bombons custaram R$ 37,00. Qual é 
o preço de 150 bombons? E de 210? Quantos 
bombons se pode comprar com R$ 92,50?
R$ 55,50; R$ 77,70; 250 bombons

a) 27
2

 13,5 c) � 416
e) 47

99
 

�6,833 3…

b) 3
8

 0,375 d) 1
20

 0,05 f) 8
3

 2,666…
As frações dos itens c, e e f são dízimas periódicas.

 29  Escreva estes números sob a forma de fração 
irredutível:
a) 0,3 c) �4,5 e) 2,002 3

10 �
9
2

1 001
500

b) 0,03 d) 13,7 f) 0,0007 710 000
137
10

3
100

 30  Escreva sob a forma de fração as seguintes 
dízimas periódicas:

a) – 0,888… � 89 c) �1,212 1…
b) 0,373 7… 37

99
d) 0,050 5… 5

99

�1 
21
99

 31  O terreno retangular maior foi dividido 
inicialmente em quatro partes iguais. Esse pro-
cesso foi repetido mais duas vezes, conforme 
mostra a figura.

 O senhor Farias, por enquanto, só cultivou 
22,5 m2 do seu terreno, a parte colorida da 
figura. Qual é a área do terreno do Sr. Farias?

 32  Calcule mentalmente e expresse o resulta-
do na forma decimal:

4 � 4 � 4 � 22,5 � 1 440 1440 m2

 28  Use a calculadora 
para expressar as fra-
ções na forma decimal 
e indique quais são dí-
zimas periódicas.

a) 2 � 0,1 2,1 d) 0,4 � 0,444…

c) 1 � 34  0,25 f)  
3
4  � 

1
4  � 

1
2  0,5

c) 125
8

 ou 15,7?  15,7

d) 220
9

 ou 24,4?  
220
9

A B� 125 30

b) 10 � 0,333… e) 1,5 � 6
10

 2,110,333…

A � �5 e B � �4

São iguais.

 26  Encontre um número entre:

a) 1,862 e 1,864 1,863

b) 0,500 01 e 0,500 02 0,500 015
Há outras soluções possíveis.

0,474 7…

0,844 4…

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es
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lu
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6. Números irracionais

Um novo tipo de número

Para determinar 2, devemos encontrar o número que elevado ao quadrado resulta em 2.
Veja como Carla pensou:

12 � 1
22 � 4

Aí experimentou:

1,42 � 1,96
1,52 � 2,25

Experimentou mais uma vez:

1,412 � 1,9881
1,422 � 2,0164

Com mais algumas etapas ela poderia encontrar

1,4142135622 � 1,999999999
1,4142135632 � 2,000000002

Carla poderia prosseguir indefinidamente nesta aproximação, pois a representação decimal de 
2 tem infinitas casas decimais e não é periódica.

Há números cuja forma decimal é infinita, mas não é periódica. É o caso de 2.
No século III a.C., um grande matemático chamado Euclides mostrou que 2 não pode ser

escrito na forma de fração, ou seja, não é um número racional.
Então, que tipo de número é esse?

Ela concluiu 2 que é um número decimal entre 1 e 2.

1 � 2  � 2

Concluiu que 1,4 � 2  � 1,5. 

Concluiu que 1,41 � 2 � 1,42.

1,414213562 � 2  � 1,414213563

Use uma calculadora 
para conferir 

os resultados obtidos 
por Carla!

Mas então, se 2  é um 
número cuja representação 

decimal não é finita nem 
periódica...

Podemos concluir 
que 2  não é um 
número racional!

�
�

�

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�

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�
�

�

�
�

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20 

Apresentando o conjunto dos números irracionais

Números como 2, cuja representação decimal 
é infinita e não periódica, são chamados números 
irracionais.

Os matemáticos mostraram que existem infinitos 
números irracionais.

Por exemplo, as raízes quadradas dos números 
primos são números irracionais: 2, 3, 5, 7, 11,

13, … bem como seus opostos.
Todos os números irracionais formam um conjunto que recebe o 

nome de .

Eu pensei num 
número irracional:

2, 101 112 131 415 161 718…
Ele terá infinitas casas 
decimais sem repetição.

Você percebeu como foi que 
eu o inventei?
eduardo adílio fez um comentário
  • uma delicia de libro
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    dbshsvshsh fez um comentário
  • legal
    • 1 aprovações
    Ingrid Souza fez um comentário
  • Otimo!! Estava a procura desse livro a tempos
    • 2 aprovações
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