Al5_ProdutoInterno

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ALAP5 - PRODUTO INTERNO USUAL NO n 
 
Neste capítulo iremos estudar propriedades geométricas do n, vale dizer, propriedades que dizem 
respeito a distâncias e a ângulos entre vetores no n. A forma de fazê-lo é através do produto interno usual no 
n. Será dado um destaque especial às projeções ortogonais em SEVs do n e suas aplicações. Até agora, 
utilizamos a fórmula do produto interno usual no n, unicamente em manipulações algébricas no produto de 
matrizes e vetores, pelo fato que o produto de duas matrizes pode se expressar, em cada entrada, como um 
produto interno de dois vetores. Como a grande maioria dos leitores destas notas já viu algumas aplicações do 
produto interno de vetores no 3 anteriormente, seja na física ou em cursos de cálculo de várias variáveis, na 
seção 5.1 aproveitamos para reavivar exemplos de aplicações do conceito de produto interno de vetores, em 
situações com as quais você provavelmente já se deparou alguma vez. 
 
5.1 - APLICAÇÕES DO PRODUTO INTERNO: 
 
Lembramos que o produto interno usual entre dois vetores v e w do 3 (identificados como matrizes 
3x1), pode se definir pela fórmula: 
 
 
 
 
1 - Na Geometria: 
 
 
- Tamanho de um vetor v: 
 
 
 
- Ângulo  entre dois vetores não nulos v e w: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 5.1 
v w = vTw = v1w1 + v2w2 + v3w3 
 ||v|| = (v
T
v)
1/2
 
 cos  = v w
v w
T 
 
 
 
 cos  = vTw/||v||||w|| w 
v 
Distância entre v e w = ||v - w|| 
 
 2 
- Equação do plano que contem P0 =
x
y
z
0
0
0










 e é normal a v = 
a
b
c








 
 
 
 
 
 
 a( x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 
 
 
 
 Figura 5.2 
 
 
 
 2 - No Cálculo diferencial: (Regra da Cadeia) 
 
- Se f: 3   e :  3 são deriváveis então: 
 
 
 
 
3 - Na Física 
 
- Trabalho realizado por uma força constante F , no deslocamento de uma partícula entre A e B: 
 
 
 
 
- Se F (x) não for constante e x(t) a trajetória da partícula para ir de x(t0)=A até x(t1) = B: 
 
 
 
 
- Energia cinética: 
 
 
3 - Definição para o produto de duas matrizes A e B: 
 
 
 
 
` v
 P0
P
 (P - P0)
T
v = 0
 
 
 d f t
dt
f t t
T
( ( ))
( ( )) ( )
    
 
W = F (B - A) 
W = 
F x t x t dt
t
t
o
( ( )) ( ) 
1
 
E = ½ m x’(t)  x’(t) 
(A*B)ij = Ai B
(j)
 
 3 
4 - Coordenadas de um vetor numa base ortonormal 
 
Se  é uma base do 3 formada por vetores ortogonais entre si e de norma unitária, para todo v  3 teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
5 - Em probabilidades - Duas pessoas jogam duas moedas e apostam: 
 
i - Se der duas coroas A ganha 10 centavos. 
ii - Se der duas caras A perde 7 centavos. 
iii - Se der uma cara e uma coroa A paga 9 centavos 
 
Depois de 1000 rodadas “espera-se” 250 caras duplas, 250 coroas duplas e 500 pares cara-coroa. O resultado 
“esperado‟para A seria, em centavos: 
 
 10 * 250 + 7 * 250 - 9*500 = (10, 7, -9) (250,250,500) = -250 
 
 
Em geral: Se S={S1 , S2 , ....,Sn} representam diferentes possibilidades para um experimento, X1, X2, ....., Xn 
são valores de uma variável aleatória X em S e p1,...., pn as diferentes probabilidades para cada Si, então o valor 
esperado para X será: 
 
 
 
Exercícios da Seção 5.1 
 
Exercício 5.1 - Considere os vetores v = ( 1 , -2 , 3)
T 
e w = ( 2 , 1 ,1 )
T
. 
i. Calcule a norma de v e de w. 
ii. Calcule a distância entre v e w. 
iii. Calcule o ângulo entre v e w. 
 
Exercício 5.2 - Dados A = ( 1, 0 ,1 )
T
 e B = ( 3, 2, 2)
T
, ache C na reta W = [ ( 1, 1, 1)
T
] e tal que o triângulo 
A, B , C seja retângulo em C. 
 
Exercício 5.3 - Dado o triângulo de vértices A = ( 1, 0, 1)
T
 , B = ( 1, 2, 1)
T
 e C = (0, -1 ,1)
T
, calcule seu 
perímetro e sua área. 
 
Exercício 5.4 - Ache a equação do plano que passa em P0 = (1 ,1,1) e é normal ao vetor v = ( 1, 1, 1)
T 
 
Exercício 5.5 - Usando o produto interno verifique que todo ângulo inscrito em um semicírculo é reto. 
 
 v
v v
v v
v v
T
T
T












1
2
3
 
E = p
T
 X = p1X1 + ....... + pnXn 
 4 
Exercício. 5.6 - Ache o trabalho gasto para mover uma partícula segundo a equação horária x(t) = (cos(t), 
sen(t) )
T
 e relativo a uma força F(x) = (x1 - x2, -x1 +x2) do ponto P0 = x (0 ) ao ponto P1 = x (  ) 
 
Exercício. 5.7 - Sejam f : 3   uma função diferenciável e (t) uma curva de nível da f que seja 
diferenciável. Mostre que f((t)) é ortogonal a „(t), para todo t. 
 
 5 
5.2 PROPRIEDADES DO PRODUTO INTERNO 
 
Na subseção 5.2.1 vamos destacar duas propriedades do produto interno usual no n que denominamos 
de estruturais, num sentido que ficará mais claro no capítulo 10. Lá veremos que elas são as propriedades que 
nos permitem generalizar o conceito de produto interno. Na subseção 5.2.2 definimos norma de vetores no n, 
que nos permite medir distâncias entre pontos no n. Estabelecemos também propriedades fundamentais da 
norma, que nos permitirão introduzir, na subseção 5.2.3, a idéia de ângulo entre vetores do n. Na subseção 
5.2.4 trabalhamos o conceito de ortogonalidade entre vetores. 
 
5.2.1 Propriedades estruturais do produto interno 
 
O produto interno usual entre vetores do n, dado por 
 
v  w = vTw = v1w1 + v2w2 + ...... + vnwn 
 
satisfaz às seguintes Propriedades Estruturais: 
 
PI.a - É BILINEAR e COMUTATIVO. 
 
Vale dizer que, se 1, 2  , v1,v2,w1,w2  
n 
: 
 
 
 
 
 
PI.b - vT v  0 e vT v = 0 sss v = 0 (POSITIVO-DEFINIDO) 
 
Exercícios da subseção 5.2.1 
 
Exercício 5.8+ - Verifique que v
T
w satisfaz PI.a e PI.b 
 
 
Exercício 5.9 - Sejam A uma matriz nxn e Q:nxn   dada por Q(v,w) = vTAw 
 
i - Mostre que Q é uma função bilinear. 
ii - Mostre que se A é simétrica então Q também é simétrica (Q(v,w) = Q(w,v) ). 
iii - Mostre que se A é diagonal e tem todos os seus elementos da diagonal positivos então Q é positivo-definida, 
ou seja, Q(v,v)  0 e Q(v,v) = 0 sss v=0 
 
5.2.2 - Norma de um vetor 
 
Definição 5.1 Norma de um vetor 
 
 Dado que v v  0, podemos definir a norma de v como o número real positivo: 
 
 
 
 
Exemplo 5.1- || (1,-2,3,1,1)
T
|| = (1
2
 + (-2)
2
 + 3
2
 + 1
2 
 + 1
2
)
1/2
 = 4 
Linearidade à esquerda 








v.wvwwvw.v
wvwvw)vv(
wvwv)ww(v
TT
T
22
T
11
T
2211
2
T
21
T
12211
T
 
Linearidade à direita 
Comutatividade 
||v|| = (v v)
1/2
 
 6 
 
Obs. 5.1 - Veja que no caso de vetores no 3, ||v|| coincide com a noção usual de distância euclidiana do ponto 
v à origem. No caso geral, as principais propriedades da norma no 3 se mantêm e nos permitem pensar na 
norma de um vetor como uma boa medida de seu “tamanho”. Em especial, definimos distância entre dois 
pontos P e Q no n como ||P – Q||. 
 
Propriedades da norma ||  ||: 
 
P0 - ||v || ≥ 0 e ||v || = 0 sss v = 0 
P1 - || v || = || ||v || 
 
P2 - | v w |  ||v || ||w|| (desigualdadede Cauchy Schwartz) 
 
P3 - || v + w ||  ||v || + ||w|| (desigualdade triangular) 
 
Dem: 
 
P0 - Corresponde apenas a uma outra maneira de escrever a propriedade estrutural PI.b 
 
P1 - Da bilinearidade (PI.a), temos v  v = 2 vv e portanto P1. 
P2.1 - Se v = 0 obviamente | vw | = 0 = ||v|| || w || 
 
P2.2 - Se v  0 , observe que para todo t  : 
 
0  ||tv + w||2 = (tv + w)(tv + w) = (v  v) t2 + 2(v  w)t + w  w 
 
 Portanto, o discriminante  de (v.v) t2 + 2(v . w)t + w.w é não-positivo. Ou seja 
 
 
  = 4(v  w)2 - 4 (v  v) (w  w)  0  | v w |  ||v || ||w|| 
 
P3 - Observe que iii resulta de ii, já que: 
 
|| v + w ||
2
 = (v + w)(v + w) = ||v||2 + ||w||2 + 2 vw  (||v || + ||w||)2 
 
Exemplo 5.2 – Ache o vértice R do triângulo equilátero PQR, sabendo que: 
i – P = (0,2,0)T, Q = (0,0,2)T 
ii - R está no SEV W = { x | x1 + x2 - 2x3 = 0} 
 
Observe que as soluções canônicas de x1 – 2x2 + x3 = 0 são S
(1)
 = (-1,1,0)
T
 e S
(2)
 = (2,0,1)
T
. Portanto  = {S(1) , 
S
(2)
} é uma base de W e podemos impor a condição que R está em W, dizendo que R = S = (-1 + 22 , 1, 2) , 
para algum  = (1,2)
T
 em 2. 
 
A condição que PQR seja equilátero equivale a dizer que : 
 
 ||S - P|| = ||S - Q|| = || P – Q|| = || (1, -1, 0) || = 2
2
 
 
De ||S - P||2 = ||S - Q||2  || (-1 + 22 , 1-2, 2)||
2
 = ||(-1 + 22 , 1, 2-2)||
2
 
 
 (-1 + 22 )
2
 + (1-2)
2
 + 2
2
 = (-1 + 22 )
2
 + 1
2
 + (2-2)
2
  1 = 2 
 
Levando 1 = 2 em ||S - P||
2
 = 8, obtemos (2 )
2
 + (2-2)
2
 + 2
2
 = 8  2 = 2, 2‟= –2/3 
 
 7 
  R = S
















2
2
2
2
2
 e R‟ = S





















3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
 
 
 
Exemplo 5.3 – Ache um ponto do SEV W = [(1,0,1,-2)] que dista 2 unidades de P = (2,0,0,0)
T 
 
Se Q está em W, Q = (, 0, , -2)T, para algum número real . 
 
Queremos obter || Q – P||2 = 4, e portanto: 
 
( -2)2 + 2 + (-2)2 = 4  62 - 4 = 0   = 0, ou  = 2/3. 
 
 Obtemos assim duas soluções, a saber Q = 0 e Q = (2/3, 0 , 2/3 , -4/3)
T 
 
Exercícios da subseção 5.2.2 
 
Exercício 5.10 - Sejam v = (1,0,2,1)
T
 e w = (1,-1,1,-1). Calcule vw, ||v|| e ||w|| e verifique diretamente que, de 
fato, obtemos neste caso: 
i - |vw|  ||v|| + ||w|| 
ii - ||v+w||  ||v|| + ||w|| 
 
Exercício 5.11 -(Lei do paralelogramo) ||x+y||
2
 + ||x-y||
2
 = 2||x||
2
 + 2 ||y||
2
, para todo x e y no n. 
 
 
Exercício 5.12 Encontre um ponto no SEV W = Im( (1,1, -1,1) ) e que esteja o mais próximo possível do ponto 
P = (2,0,0,0) 
 
Exercício 5.13 - Encontre, em cada um dos casos, e desde que exista, o vértice R de um triângulo equilátero 
PQR, sabendo que P = (2,0,0,0), Q = (0,0,2,2) e que R está em W, onde: 
i – W = N(A), para A = 





 
0312
1101 
ii - W = {x 4 : Ax = (5,5)T}, onde A é a mesma matriz do item anterior 
 
Exercício 5.14 - Sejam  ,  :  

 2 dadas por (t) = (t2 + t, t2 - 1) e (t) = ( sen(t), cos(t)). 
 
i - Calcule g(t) = (t)  (t) e sua derivada g‟(t). 
ii - Calcule (t)  (t) + (t)  (t) diretamente e verifique que coincide com g‟(t) 
iii - Considere duas curvas suaves no 2, dadas por funções deriváveis  ,  :  

 2 
Verifique que [ (t)  (t) ] = (t)  (t) + (t)  (t). 
Note que este fato generaliza-se facilmente para  , :  

 n. 
 
Exercício 5.15 Certo ou errado? Justifique: 
 
i - Se x e y são vetores do n tais que || x – y || = 0, então x = y 
ii - Se x = (x1 , x2)
T
 e y = (y1, y2)
T
 são tais que || x – y || = || (1,0)T||, então x = y + (1,0)T 
iii - Se x e y são vetores do n tais que || x ||  4 e ||y||  1, então ||x + y||  5 
iv - Se x e y são vetores do n tais que || x ||  4 e ||y||  1, então ||x - y||  4 
v - Se x
T
y = ||x|| = ||y|| = 1 então x=y 
 
vi - Se A é nxn e v
T
Av > 0 para todo v  0 então Aii > 0 para todo i. 
 
 8 
vii - Se A = 






13
31 então < v , w > = v
T
Aw é um produto bilinear, simétrico e positivo-definido. 
 
viii - Considere A uma matriz nxn e tal que x
T
Ax >0 para todo x  0 do n , bem como   tal que Ax = 
x, para algum x  0. Então  > 0 
 
Exercício 5.16 + - Considere a função || . ||1 :
2
  , definida por || x ||1 = |x1| + |x2| 
i - Considere x = (1,-2)
T
 e y = (-2 , 1)
T
. Calcule || x ||1 e || y ||1 
 
ii – Mostre que as propriedades estruturais da norma (P1, P2 e P3) também valem para ||  ||1 
iii – Considere o cubo cuja diagonal são os pontos 0 e x do 3. Verifique que || x ||1 mede a soma das arestas de 
tal cubo. 
iv – Calcule || x – y||1 + || x + y||1 e verifique que ||x+y||1
2
 + ||x-y||1
2
  2||x||1
2
 + 2 ||y||1
2
. Conclua que que para ||  
||1 não vale a lei do paralelogramo do exercício 5.11. 
 
 
5.2.3 - Ângulo entre vetores 
 
Uma das conseqüências mais importantes da desigualdade de Cauchy-Schwartz é que, para todo par de vetores v 
e w do n, obtemos: 
 
 -1  
wv
wvT  1 
 
Isto permite estender para o n a definição que tínhamos antes para ângulo entre dois vetores não nulos do 3: 
 
Definição 5.2: Definimos o ângulo  (0    180o) entre vetores não nulos v e w por 
 
cos  = 
wv
wvT 
 
 
OBS. 5.2 - A desigualdade de Cauchy-Schwartz nos garante que a definição de ângulo entre dois vetores não 
nulos do n é consistente. É um fato notável que tal definição funcione bem e nos permita ter uma idéia de 
ângulo entre vetores em qualquer n. Desta forma podemos tratar geometricamente qualquer n de forma 
análoga ao 3, apesar de não termos uma experiência visual direta sobre o n, para n > 3. No capítulo 10 
veremos que é possível generalizar substantivamente este conceito e tratar geometricamente espaços vetoriais 
bem mais gerais. 
 
Exemplo 5.4 - Se  é o ângulo entre v1 = (-1,2,0,0,2)
T
 e v2 = (2, 1,1,0,1)
T
 então 
 
cos 
73
2
vv
vv
21
21 
 
 
Exemplo 5.5 - Considere um triângulo isósceles PQR no 4, onde P = (0,0,0,0)T, Q = (4,0,0,0)T , e de tal 
modo que 
i - ||P -Q|| = ||P - R|| e o ângulo em P vale 60º 
 9 
ii - R  W = {x | Ax = b}, onde A = 






 1012
0101 e b = 






2
1
 
 Nosso objetivo, neste exemplo é procurar o vértice R. Como R está em W, sabemos que é solução da 
equação Ax = b. Levando a matriz ampliada (A b) à forma escada obtemos 
(A b) linha equivalente a (U b) = 






 11210
10101 . 
 
xp = (1, -1, 0 , 0)
T
 é uma solução particular de Ax = b, S
(1)
 = (1 , -2 ,1 ,0)
T
 e S
(2)
 = (0,1,0,1)
T
 são as 
soluções canônicas de Ax = 0. Portanto, podemos parametrizar R na forma R = xp + S. 
||P – R|| = ||P – Q|| = 4 nos dá: || R ||2 = ( 1 -1)
2
 + (-1 -21 + 2)
2
 + 1
2
 + 2
2
 = 16 
Como PR faz com PQ um ângulo de 60
o
: 
Q
T
R = (4,0,0,0)
T
 ( 1 -1, -1 -21 + 2 , 1 , 2) = cos60
o
 ||Q|| ||R|| = 1/2 * 4 * 4 
 4(1 - 1) = 8  1 = -1 
 Levando 1 = -1 na expressão para R acima, obtemos a equação em 1: 
 2
2
 + (1 +2)
2
 +1 +2
2
 = 16  22
2
 + 22 -10 = 0  2 = 







 
2211 
 Na verdade, há duas possibilidades para R: 
. R = xp + S (-1, 
2
211 ) 
T
 e R = xp + S (-1, 
2
211 ) 
T
 
 
Exercícios da subseção 5.2.3 
 
Exercício 5.17 - Considere os vetores v = (1,-2, 1,3)
T 
 e w = (2,1,3,1)
T 
 em V= 4. 
 
i - Calcule as normas de v e de w 
ii - Calcule o ângulo entre v e w. 
iii – Ache um ponto z no SEV W = [w] e tal que o triângulo formado pela origem, z e v seja retângulo em z, ou 
seja o ângulo entre z e v-z seja de 90
o
 
 
Exercício 5.18 - Sejam x = (1,0,0)
T
 , y = (1,2,-2)
T
 e W a reta que passa por P = (0,1,0)
T
 e é paralela a (1,1,2)
T
. 
Ache um ponto z em W, tal que o ângulo entre x e z seja o dobro do ângulo entre y e z. 
 
Exercício 5.19 - Sejam P = (0,0,0,0)
T
, Q = (1,0,0,0)
T
 e R = (2,-1,1,1)
T
. Verifique a lei de Tales para o triângulo 
PQR. Ou seja, chame o ângulo entre Q e R de , chame de  o ângulo entre Q e Q – R, e de  o ângulo entre R 
e R-Q e mostre que  +  +  = 180º. 
 
 10 
5.2.4 Vetores ortogonais 
 
Definição 5. 3: 
 
Dizemos que dois vetores v e w do n, são ortogonais se v  w = vTw = 0 
 
Exemplo 5.6 - v = (5,2,1,1)
T
 é ortogonal a w =(0,1,-1,-1)
T
, já que 
 
 v
T
w = 5*0+2*1+1*(-1) + 1*(-1) = 0 
 
 
OBS. 5.3: Como o coseno do ângulo  entre dois vetores v e w é definido por cos = vTw/(||v||||w||), é natural 
definir ortogonalidade entre dois vetores v e w obrigando que cos = 0. No entanto, a definição acima é 
ligeiramente mais abrangente, na medida que não pressupõe v e w diferentes de zero. Já a noção de ângulo só 
está definida para vetores não nulos. Como 0
T
w = 0 sempre, isto corresponde a convencionar que o vetor nulo 
do n é ortogonal a todos os demais vetores do n. Reciprocamente, se v é ortogonal a todos os vetores do n, 
então v = 0 (vide exerc. 5.17.iii). 
 
 
Definição 5.4 - Diz-se que v  n é ortogonal a um SEV W de n , caso v seja ortogonal a 
todos os vetores de W. 
 
Exemplo 5.7 - v = é ortogonal a W = Col(A), onde A = 
 
Verifique que v é ortogonal a cada um dos geradores de W, ou seja (A
(1)
)
T
v = (A
(2)
)
T
v = 0. 
Se  está em W, temos que  = 1A
(1)
 + 2A
(2)
 , o que implica, (dada a linearidade á esquerda do produto) Tv 
= (1A
(1)
 + 2A
(2)
)
T
v = 
 1(A
(1)
)
T
v + 2(A
(2)
)
T
v = 0. 
 
OBS. 5.4 - Se A é mxn, então v é ortogonal a W = Col(A) sss A
T
v = 0 
 
Veja que este foi exatamente o caso do exemplo 5.7. Ou seja: 
 
i - Se v é ortogonal a W = Col(A) então v é ortogonal a cada um dos geradores de W, ou seja, (A
(i)
)
T
 v = 0, para 
todo i = 1,2,,n. Mas isto significa ATv = 0. 
 
ii - Reciprocamente, se A
T
v = 0, e  está em Col(A), então  = A, para algum  no n. Neste caso, Tv = 
(A)Tv = TATv = 0. Ou seja, v é ortogonal a qualquer vetor de W = Col(A). 
 
Equivalentemente, para testar se v é ortogonal a W = Col(A), basta testar se v é ortogonal a cada um de seus 
geradores A
(1)
,  , A(n). 
 
 
Exercícios da subseção 5.2.4 
 
Exercício 5.20 Considere os vetores P = (0,0,0)
T
 e Q = (1,0,0) e R = (1,2,1)
T
. 
i - Ache o valor de  para o qual R - Q é ortogonal a Q. 
ii – Verifique, para um tal , que || R ||2 = || Q||2 + ||R - Q||2 
iii – Foi coincidência o resultado em ii, ou você tem uma explicação para êle. 
 
 11 
Exercício 5.21 – Certo ou errado. Justifique: 
i - Se x 2 e é ortogonal a (1,1)T e a (1,-1)T, então x = 0. 
ii -Se x  3 e é ortogonal aos vetores (1,1,2)T , (1,-1,1)T e ( -1, 3,0 )T, então x = 0 
iii - Se y é ortogonal a todos os vetores do n então y = 0. 
iv - Se y é ortogonal a todos os vetores de uma base do n então y = 0 
 
v - Tres vetores não nulos e ortogonais entre si no 3 são LI. 
vi - Se x é ortogonal a y e y é ortogonal a w então x também é ortogonal a w 
vii - O número máximo de vetores mutuamente perpendiculares e não nulos em n é n. 
viii - Se A
T
A é uma matriz diagonal então A
(i)
 é perpendicular a A
(j)
 , se i  j. 
ix - Se A
T
B = 0, então os vetores de Im(A) são ortogonais a todos os vetores de Im(B) 
x - Se AB = 0, então os vetores de Im(A) são ortogonais a todos os vetores de Im(B) 
xi - Se P é uma matriz de permutação nxn então v =Pv, para todo v no n. 
xii - Se A
 
 é uma matriz ortogonal nxn (A
T
A=I) então ||Ax|| = ||x|| para todo x do n 
xiii - Se A
 
 é ortogonal nxn então A preserva ângulos , no sentido que o ângulo entre Ax e Ay coincide com o 
ângulo entre x e y, para todo par de pontos x e y do n. 
xiv - Se  é base de V,  é base de W e V é ortogonal a W, então  +  é base de V + W 

Exercício. 5.22 + - (Teorema de Pitágoras) Sejam x e y vetores ortogonais do n. Então 
 ||x+y||
2
 = || x||
2
 + ||y||
2
 

Exercício 5.23 + - Sejam A
(1)
 , A
(2)
 ,..., A
(p)
 vetores não nulos de n e mutuamente ortogonais entre si, isto é, 
tais que A
(i)
  A(j) = 0, se i  j 
 
i. Verifique que A(1) , A(2) ,..., A(p) são LI. 
ii. Verifique que A
T
A é uma matriz diagonal. 
iii. Se além das hipóteses do item ii tivermos que p = n e A(i) = 1, para todo 1 i  n , então A é uma matriz 
ortogonal, ou seja, AA
T
=A
T
A = Inxn. 
iv Considere A = 














2/12/1
2/12/1
2/12/1
2/12/1
 e verifique que A
T
A = I2x2 , mas que AA
T 
 não é diagonal. 
Exercício 5.24 + - Seja  = { v1, v2, ..., vn} uma base ortonormal do 
n
. Ou seja, tal que, para todo i,j, vi
T
vj = 
0, se i j e || vi || = 1. Verifique que se [v] = (x1, x 2 , ... ,xn)
T
, então xi = 
i
T
i
i
T
vv
vv . 
 
 12 
 
5.3 PROJEÇÕES ORTOGONAIS EM SEVS 
 
 Na subseção 5.3.1 trataremos da projeção ortogonal de um vetor v na direção de um vetor não nulo w. Na 
seção 5.3.2 apresentamos um exemplo de como se faz a projeção ortogonal num plano do 3. Na subseção 
seguinte generalizaremos o método para projetar ortogonalmente vetores do n em subespaços vetoriais. Nas 
subseções seguintes cuidaremos de aplicações da projeção ortogonal a problemas de ajuste de curvas. 
 
Definição 5.5 - 
 Diz-se que é uma projeção ortogonal de v num SEV W de n, caso v- seja ortogonal a W. 
 
Se W = [] é de dimensão 1, às vezes denomina-se a projeção ortogonal de v em W de projeção ortogonal de v 
na direção de  
 
5.3.1 Projeção ortogonal de v na direção de w0 
 
 Se PW(v) =  for a projeção ortogonal de  em W = [], então ( - ) é ortogonal a . Ou seja : 
 
 ( - )T = 0   = 



  
  -  
 
 
 PW () =   
 
 Figura 5.3 
 
 
Exemplo 5.8 A projeção ortogonal de  = (1, 2,1,1)T na direção de = (1,-1,1,1)T é PW () = , onde, pela 
fórmula acima,  = 
4
1


 . Ou seja, PW () = 
4

 
 
Exercícios da subseção 5.3.1 
 
5.25 - Ache a distância de (1,2,1) ao SEV W = [(1,-1,1)] 
5.26 - Ache a projeção ortogonal de v = (x1,x2,x3)
T
, na direção de w = (3,0,0)
T
 
 
5.27 - Certo ou errado? Justifique: 
i - Se  e  n e PW() é a projeção ortogonal de  em W=[] então PW()  . 
ii - Se  e  n, PW () é a projeção ortogonal de  em W = [] e  PW ()= então  é múltiplo de . 
iii- Se  e   n e PW () é a projeção ortogonal de  em W=[] então PW()  w 
 
v vPW () =  = 



 
 13 
5.3.2 Um exemplo típico 
 
Exemplo 5.9 - Ache uma expressão para PW(b), projeção ortogonal de b = 










3
2
1
b
b
b
 no plano W=col(A), gerado 
por A
(1)
 =










0
1
1
 , A
(2)
 =










1
1
0
 . 
 
Solução: Se 
b
 estiver em W então 
 
 
 
 
 
 
onde A = (A
(1)
 ,A
(2)
) e x = 






2
1
x
x 
 
 
 
 
 
 Figura 5.4 
 
 
 Se b = PW(b), então ( b - b ) deve ser ortogonal a todo z em W=Im(A). 
 
 Isto equivale a exigir A
T
( b - Ax) = A
T
( b - b ) = 0 (vide obs. 5.4) 
 
  
 
Encontramos x resolvendo A
T
Ax = A
T
b. Resulta PW(b) = Ax: 
 
2 1
1 2
1 1 0
0 1 1
1
2
3





 















x
b
b
b
  Pw(b) = A x = 
1
3
2 1 1
1 2 1
1 1 2
1
2
3


















b
b
b
 
 
Exercícios da subseção 5.3 
 
Exercício 5.28 - Ache a distância de A
(1)
 = (1,1,0)
T
 ao subespaço W do exemplo 5.9 
 
Exercício 5.29 - Ache a distância de (1,-1,2)
T
 ao subespaço W do exemplo 5.9 
 
Exercício 5.30 - Ache a distância do ponto b = (1, 1, 1)
T
 ao plano de equação x -2y + 2z = 0. 
 
 b PW(b)=Ax
 A(2) 
W
 A(1)
 
b = x1A
(1)
 + x2A
(2)
 = A x 
A
T
A x = A
T
b 
 14 
Exercício 5.31 - Ache a distância do ponto b = (1,1,1)
T
 ao plano de equação x -2y + 2z = 2. 
 
Exercício 5.32 - Ache a projeção ortogonal de (0 ,0, z )
T
 no SEV gerado por A
(1)
 = (1,1,1)
T
 e A
(2)
 = ( -1 , 1, 1 )
T
. 
 
Exercício 5.33 - Considere o subespaço W = { ( x, y, z )
T  3 ; 2x + y +z = 0.}. 
i. Ache uma matriz A cujas colunas formam uma base para W. 
ii. Verifique ATA é inversível. 
iii. Ache a matriz P1 da projeção ortogonal do 
3
 sobre W. 
iv. Ache uma base para W = { v3 ; vTw=0 para todo w W }. 
v. Ache a matriz P2 da projeção ortogonal do 
3
 sobre W

. 
vi. Verifique que P1 + P2 = I e P1P2 = 0. 
 
Exercício 5.34+ - Sejam A uma matriz mxn , [ A
(1)
 , A
(2)
 , ... , A
(n)
 ] = Im(A) e _
b
= Ax a projeção ortogonal de b 
sobre Im(A). Deduza a equação normal da seguinte maneira: 
 
i. Justifique porque ( Ax - b )TAy = 0 para todo y  m. 
ii. Conclua que ATAx - ATb é perpendicular a todos os vetores do  m. 
iii. Conclua, do ítem ii, que ATAx = ATb . 
 
5.3.3 Projeção ortogonal num SEV do 
m
 
 
 Seja W = Im(A) o SEV do m gerado pelas colunas de A = Amxn 
 Do mesmo jeito que no Exemplo 5.9, parametrizamos 
b
 em W por 
b
= Ax. 
 Impor que 
b
= Ax seja a projeção ortogonal de b em W, corresponde a obrigar que b - Ax seja ortogonal 
a W=Im(A). Pela obs 5.4, isto significa resolver A
T
( b - Ax) = 0 . Ou seja, procuramos x no n e tal que: 
 
 
 
 (Equação Normal - EN) 
 
 
(Veja ainda o exerc. 5.27+) 
 
Suponhamos que  = {A(1), A(2),....,A(n)} é uma base ordenada de W. Neste caso, a matriz A = (A(1) 
A
(2)
....A
(n)
) tem n colunas LI, sendo n menor ou igual que o número de linhas m. Das propriedades do posto de 
uma matriz no final de Alap 4: 
 
 
 n = dim(Im(A)) = Posto(A
T
)=Posto(A
T
A) 
 
 Mas então A
T
A é uma matriz nxn de posto n. Portanto A
T
A é inversível e a equação normal (EN) tem 
sempre solução. Isto significa que xEN = (A
T
A)
-1
A
T
b é solução de A
T
Ax = A
T
b e, portanto, que 
 
 
 
é a projeção ortogonal de b em W, para cada b  m. 
 b Ax , onde x satisfaz 
 
A
T
A x = A
T
b 
b P b Ax A A A A bW EN
T T   ( ) ( ) 1
 
 15 
 Como Pw: 
mm é um produto matriz-vetor, trata-se de uma função linear. 
 
No 3, é relativamente fácil perceber que a projeção ortogonal de um ponto num SEV W sempre existe, 
é única e minimiza a distância do ponto ao plano. Isto se aplica em geral para a projeção ortogonal 
b
= PW(b), 
que goza destas duas propriedades importantes: 
 
 i - Minimiza, estritamente, a distância de b a W. 
 Para vê-lo, basta verificar que se   W, e   
b
 = PW(b), então o triângulo de vértices b, b e , é 
retângulo em b . Por “Pitágoras” (exerc. 5.22+), 
 
 ||b - ||2 = ||b - 
b
||
2
 + || 
b
 -  ||2  ||b - 
b
|| < ||b - || 
 
 ii - É a única projeção ortogonal de b em W. 
 
 Ou seja, se   PW(b) estiver em W e b -  também for ortogonal a todos os vetores de W, então o 
triângulo de vértices b,  e PW(b) também será retângulo em , implicando 
 
 ||b - || < ||b - 
b
||. 
 
Mas isto nos contradiz o item i anterior, assegurando que b = PW(b) é a única projeção ortogonal de b em W. 
 
 
 Com isto provamos o seguinte teorema: 
 
TEOREMA 5.1- A projeção ortogonal PW: 
n
  W está bem definida e é uma função linear. 
Além disto, PW(b) minimiza a distância de b a W. Ou seja: 
 
 
 , para todo  em W, diferente de PW(b). 
 
OBS. 5.5: 
 
i - Uma das consequências do teorema 5.1 é que diferentes bases de W, geram a mesma projeção ortogonal PW. 
Ou seja, se as colunas de A e de B forem formadas por bases de W, então A(A
T
A)
-1
A
T
 = B(B
T
B)
-1
B
T
. 
Denominamos P = A(A
T
A)
-1
A
T
 de matriz da projeção ortogonal. 
 
ii – É fácil verificar que, se P = A(ATA)-1AT então P2 = P e PT = P . (vide exerc. 5.35) 
 
 Na verdade, estas duas propriedades caracterizam as projeções ortogonais, no sentido que, se P é uma 
matriz nxn, P
2
 = P, P
T
 = P, e W = Im(P), então P é a matriz da projeção ortogonal em W. 
Para vê-lo, suponha que P
2
 = P e P
T
 = P, x  n e z = Py em W e observe que: 
 
 (x – Px)TPy = xTPy – xTPTPy = xTPy – xT P2y = 0 
 
 Ou seja, x – Px é ortogonal a W = Im(P) e Px está em W. Mas esta é exatamente a definição de projeção 
ortogonal de x em W. 
 
 Este fato motiva a seguinte definição: 
 
Definição 5.6: P é uma matriz de projeção caso P2 = P. (Diz-se ainda que P é idempotente, caso P2 = P). Diz-
se que é uma matriz de projeção ortogonal, caso seja também simétrica, ou seja P
T
=P. 
 
OBS. 5.6 A equação normal sempre tem solução, mesmo que A não seja inversível. (Vide exerc. 5.62+) 
 
 
 
||b - PW(b)|| < ||b - || 
 16 
Exercícios da subseção 5.3.3 
 
Exercício 5.35 – Mostre que, se A é mxn e posto(A) = n e P = A(ATA)-1AT então P2 = P e PT=P 
 
Exercício 5.36 - Ache a distância de (1, -2) à reta y = 2x., usando a construção acima. 
Exercício 5.37 - Ache a distância de (1,-1,2,1)
T
 ao subespaço gerado por A
(1)
 = (1,0,0,0)
T
 , A
(2)
 = (1,1,1,1)
T
 e 
A
(3)
 (1,-1,-1,1)
T
. 
 
Exercício 5.38 - Dados A = (1,-1,0,1)
T
 e B = (0,0,0,1)
T
, ache C, tal que: 
i - C esteja no subespaço gerado por D
(1) 
 = (0,1,0,1)
T
 e D
(2)
 = (0,0,1,0)
T 
ii - O triângulo ABC tenha a menor área possível. 
 
 
Exercício 5.39 
 i - Verifique que A = 








12
12
é uma matriz de projeção, no sentido que A
2
 =A 
ii - Verifique que a função linear x  Ax projeta 2sobre a reta Im(A) = ( 1, 1)T e que 
2 = N(A) Im (A). 
ii - Calcule as projeções de ( 1 ,0 )
T
 e ( 0 , 1)
T
 sobre Im(A) e conclua geometricamente que A não pode ser uma 
projeção ortogonal. 
 
Exercício 5.40 - Certo ou errado? Justifique: 
i - A = 1 0
0 2






 é uma matriz de projeção. 
ii - Se A é uma matriz de projeção, então Im (A) = { v  n ; Av = v }. 
iii - Se P é uma matriz de projeção ortogonal e Posto(P)=n, então P é a matriz identidade. 
 
iv - Se P é uma matriz de projeção ortogonal então ||Pv|| = ||v|| 
 
 
 
Exercício 5.41+ - Sem usar a relação obtida para a solução da equação normal EN, verifique que se W é 
um SEV do m que admite uma base ortonormal formada pelas colunas da matriz Q = (Q(1), Q(2) , ...., Q(n)), 
então a projeção ortogonal de b em W se escreve como 
 
 PW(b) = (Q
(1)
 b) Q(1) + (Q(2) b) Q(2) +..............+ (Q(n) b) Q(n) = QQTb 
 
 
5.3.4 Aplicação da Projeção Ortogonal - Método dos Quadrados Mínimos. 
 
Exemplo 5.10 - Uma experiência é repetida três vezes e obtêm-se os dados P1 = (-1,1)
T
 P2 = (1,3)
T
 e P3 = 
(2,2)
T
 . Suponhamos que a teoria por trás da referida experiência sugira que estes dados deveriam estar sobre 
uma mesma reta, mas devido a erros experimentais isto não ocorre. Como se pretende fazer previsões futuras, a 
saída é tentar achar uma reta f(x) =  +x que melhor se ajuste aos dados experimentais no sentido dos 
quadrados mínimos, o qual consiste em minimizar a soma dos quadrados das distâncias verticais d1 , d2 e d3 
como sugere a figura 5.5. Observe ainda que a “distância vertical” de um ponto de coordenadas (b1,b2) à reta y 
=  + x pode ser escrita como 
 
 d =  +b1 - b2 = (1,b1) 







 - b2 
 
 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 5.5 
 
, onde A =









 
21
11
11
 e b =
1
3
2










. 
Ou seja, procuramos o ponto de Im(A) mais próximo de b. 
 Portanto ( ,  )T_deve ser solução da equação normal EN 
 
 







 = (A
T
A)
-1
A
T
b = 










 211
111
1
21
11
11















 






 211
111










2
3
1









7
12
7
3 
 Logo, a reta procurada será f(x) = 12/7 + 3/7x, também conhecida como reta de regressão associada 
aos dados P1 , P2 , P3. O vetor d = A( ,  )
T
 - b chama-se de resíduo . 
 
 
Exemplo 5.11 Evolução da população brasileira segundo os censos do IBGE: 
 
ANO 1950 1960 1970 1980 1991 1996 
 
POPULAÇÃO 
 (em milhares) 
 
51.844 
 
70.070 
 
93.138 
 
118.002 
 
146.820 
 
157.079 
 
 Tabela 5.1 
 
5.11.1. Usando o método de quadrados mínimos para modelar tal evolução com a reta de regressão y = x1 + 
x2t qual a previsão de população em 96 que se obteria? 
 
Consideramos 1950 como o ano t = 0. Medimos os anos em décadas e as populações em milhões. 
 
 d2 = A2  ( ,)
T
 - b2
d1 = A1  ( ,)
T
 - b1 P2
 P3 d3= A3  ( ,)
T
 - b3
P1
y =  x + 
 
2
T2
3
2
2
2
1
2
b),Adddd  ( 
 
 18 
Para y = x1 + x2 t, obtemos 5 equações nas incógnitas x1 e x2: 
 
 51,84 = x1 
 70,07 = x1 + x2 
 93,13 = x1 + 2x2 
 118,00 = x1 + 3x2 
 146,82 = x1 + 4,1 x2 
 
 
A solução de quadrados mínimos xEN nos daria: 
 
 ATA xEN = 






81,301,10
1,105 






bA
x
x T
2
1
 






3,1212
9,479  xEN =






34,23
82,48
 
 
 ou seja, y = 48,82 + 23,34 t 
 
A previsão para 1996 seria y = 48,82 + 23,34 * 4,6 = 156,20 milhões. 
 
Exemplo 5.11.2 - Modelar a evolução usando a parábola y = x1 + x2t + x3 t2 . 
 
51,84 = x1 
70,07 = x1 + x2 + x3 
93,13 = x1 + 2x2 + 4 x3 
118,00 = x1 + 3x2 + 9 x3 
146,82 = x1 + 4,1x2 + 16,81 x3 
 
 
 
 A solução de quadrados mínimos xEN nos daria o modelo quadrático: 
 
A
T
AxEN = 










6,3809,10481,30
9,10481,301,10
81,301.105
 











bA
x
x
x
T
3
2
1










7,3972
3,1212
9,470
  y = 51,42 + 18,31 t + 1,228 t2 
 
A previsão para 1996 seria de y = 51,42 + 18,31 t + 1,228 t2 = 161,63 
 
 Agindo de forma análoga obteríamos: 
 
 Para n = 3: y = 51,80 + 15,72 t + 2,992 t
2
 - 0,2867 t
3
 
 
 Previsão para 1996 : y = 159,52 milhões 
 
 Para n= 4: y = 51,84 + 14,17 t + 5,09 t
2
 - 1,13 t
3
 + 0,1038 t
4
 
 
 Previsão para 1996: y = 161,4 milhões 
 
 







































8,146
118
13,93
07,70
84,51
b
x
x
1,41
31
21
11
01
xA
2
1
 












































8,146
118
13,93
07,70
84,51
b
x
x
x
81,16
9
4
1
0
1,41
31
21
11
01
xA
3
2
1
 
 19 
 Esboçamos abaixo os gráficos dos ajustes obtidos com polinômios de graus 1, 2 e 3, para a variação da 
população brasileira (medida em milhões de habitantes) entre 1950 e 1991, de acordo com os dados do IBGE, 
entre 1950 e 1991, junto com a “previsão” feita com estes dados para o período 1991-1996. 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios da subseção 5.5.3 
 
Exercício 5.42 - Ajuste a parábola y = at
2 
 + bt + c aos pontos (1,2)
T
 , (2,5)
T
 , (3,4)
T
 , (5,-2)
T
 e (7,-4) com o 
método acima. 
 
Exercício 5.43 - Cheque os valores obtidos acima para o ajuste de polinômios do 3
0
 e do 4
0 
graus à evolução da 
população brasileira entre 1950 e 1992, com a técnica de mínimos quadrados, e usando os dados da tabela 5.1 
 
Exercício 5.44 - Seja D = { ( x1 , y1) , (x2 , y2 ) , ..., (xn , yn)} um conjunto de n dados. Verifique que acha-se a 
reta de regressão y = t + associada a D resolvendo o sistema: 
 
 
























ii
i
ii
i
yx
y
xx
xn
2
 
 
 20 
3.6 Complementos ortogonais 
 
Definição 5.7 
Dizemos que os SEVs V e W do n são ortogonais entre si, caso cada vetor de V for ortogonal a W. 
 
Obs. 5. 7: Pela Obs 5.4 podemos dizer que para testar se V = [A
(1)
 , A
(2)
 , , A(q)] e W= [B
(1)
, B
(2)
,, B(q) } 
basta testar se cada A
(i)
 é ortogonal a cada um dos B
(j)
. Ou equivalentemente, se A
T
B = 0 (vide exerc. 5.19.x) 
 
Exemplo 5.12 - Seja A = 













10
32
12
01
 e considere V = Col(A), W = N(A
T
). 
 As soluções canônicas de A
T
x = 0 constituem uma base para N(A
T
). No caso teríamos A
T
 = 





 
1310
1221 já na formaescada, propiciando a base  = {S
(1)
, S
(2)
} = { ( 8 ,-3 , 1,0)
T
 , (1,-1,0,1)
T
}. Neste 
caso, V = Col(A) e W = N(A
T
) = Im(S). 
 
Como A
T
S = 0, V e W são ortogonais entre si. 
 
Veja que além disto, 4 = VW, já que: 
 
i - V W = {0}. 
Veja que se v está na interseção de V com W, então v (por estar em V) é ortogonal a v em W. Isto significa ||v||2 
= v
T
v = 0  v = 0. 
 
ii – V + W = 4, 
Vide exerc. 5.21.xiv. Ou então, veja que dim(V) = dim(W) = 2, dim(VW) = 0 e aplique a fórmula dim(V+W) = 
dim(V) + dim(W) – dim(VW)= 4 ( vide exerc. 4.59) 
 
 O exemplo acima motiva a seguinte definição: 
 
Definição 5.8 - Complemento ortogonal de SEV 
 
Se W é SEV do m definimos seu complemento ortogonal W como o conjunto de todos os vetores do 
m que são ortogonais a W. Ou seja 
 
 W

 = { x  m: Tx = 0, para todo   W} 
 
OBS. 5.8 - Observe que no exemplo 5.12 N(A
T
) já era o complemento ortogonal de Im(A), de vez que N(A
T
) 
consiste de todas as soluções de A
T
x = 0. Além disto obtivemos 4 = Im(A)N(AT). 
 
Isto vale em geral. Considere A uma matriz mxn qualquer, bem como os SEVs do m, V = Col(A) e W = 
N(A
T
). Pela observação 5.7, W é o complemento ortogonal de V no n, já que N(AT) é constituído por todos 
os vetores ortogonais às linhas de A
T
, vale dizer, às colunas de A. Ou seja: 
 
 N (AT) = Col(A)  no m 
 N (A) = Col(AT)  no n 
 21 
Em particular, W

 também é um SEV do m Além disto, m = Im(A)N(AT) também vale para qualquer 
matriz A com m linhas. Vamos consolidar esta afirmação no teorema a seguir, que justifica o nome 
“complemento”, na definição de “complemento ortogonal W” . Ou seja, W e W não apenas são ortogonais, 
mas também SEVs complementares no m, no sentido que: 
 
TEOREMA 5.2 
 
Se W é SEV do m, então W também é SEV e m = W  W 
 
Dem: Seja W um SEV do m e considere uma base  = {A(1),  , A(n)} de W. Como vimos na Obs 5.8, resulta 
que W

 = N(A
T
). Isto significa que W
 
 também é SEV do m. Para ver que m = W  W, precisamos mostrar 
duas coisas: 
 
 i - W W = {0}. 
 O argumento, neste caso geral, é 
exatamente o mesmo do exemplo 5.11.i 
 
ii - m = W + W 
 Veja que, usando a projeção ortogonal em 
W, qualquer b do m se escreve na forma: 
 
 





W
bPb
W
bPb WW ))(()(
 
 
Mas isto significa que m = W + W 
 
 
 Em particular, obtemos decomposições ortogonais do m e do n, na forma: 
 
 m = Col(A)  N (AT) ; n = Col(AT)N(A) 
 
Obs 5.9 Se W é um SEV do m e V é o complemento ortogonal de W, então W também é o complemento 
ortogonal de V.. 
Equivalentemente, se W é SEV do m, então (W) = W. 
 
 Para ver que isto é verdade, começamos mostrando que W  (W) 
 
Se v  W, então todos os vetores em W são ortogonais a v, por definição. Mas então v é ortogonal a W. 
Portanto, v também está em (W

)

 
 
 Do teorema 5.2, obtemos m =W  W = W  (W). Em particular, obtemos: 
 
dim(W) = m – dim(W) = dim((W)) 
 
Mas se W é um SEV contido em (W

)

 e de mesma dimensão que (W

)

, isto nos garante que W = (W

)

. 
 
 Em particular, de N (AT) = Col(A) , obtemos N(AT)= Col((A)) = Col(A) 
 
 22 
Exemplo 5.12 Na subseção 4.2.2 descrevemos W = N(A) como Im(S), ou seja, o espaço das colunas de uma 
outra matriz S.. Neste exemplo vamos ver que vice-versa, a Obs. 5.9 nos permite descrever um SEV dado 
como Im(A), na forma de núcleo de outra matriz. 
 Considere a matriz A =













10
32
12
01
 do exemplo 5.11 , bem como o SEV W = Im(A). 
Vamos obter uma matriz B tal que W = N(B). Da Obs 5.9, veja que W = (W

)

 = (N(A
T
))

 . 
No exemplo 5.11 obtivemos N(A
T
) = Im(S) = [S
(1)
 , S
(2)
] = [ ( 8 ,-3 , 1,0)
T
, (1,-1,0,1)
T
] 
 
 Mas então W = [S
(1)
, S
(2)
]

 = N(S
T
) = N
















0111
0138 
 
OBS. 5.10 Observe que o procedimento do exemplo 5.12 funciona sempre. Ou seja, se A é uma matriz 
qualquer, W = ColA), e S é a matriz cujas colunas são as soluções canônicas de A
T
x = 0, então: 
 
 W = (W

)

 = (N(A
T
))

 = Im(S)

 = N(S
T
). 
 
Exercícios da subseção 5.6 
 
Exercício 5.45- Verifique que W1 = { x
3
 | x1
 
 + 2 x2
 
 - 3x3 = 0} e W2 = [(1,2,-3)
T
] são ortogonais entre si e 
que W1 + W2 = {0}. 
 
Exercício 5.46 - Ache uma base para o complemento ortogonal de W = N(A) nos seguintes casos: 
I - A = (1 2 -3) ; ii - A =











0311
2220
1201
 
 
Exercício 5.47 - Ache uma base para W = Im(A), bem como para o seu complemento ortogonal W

, nos 
seguintes casos: 
i - A = 










1
1
1
; ii - A = 












 021
322
120
101
 
 
Exercício 5.48 + - Certo ou errado? Justifique: 
 
i - Se v  m e v  0, então dim([v]) = m-1 
ii - Se v  300, então dim([v]) = 299 
iii - Se W1  W2  
m 
então W2

  W1

 
iv – Se W é SEV do m e b  m, então b = PW(b) + 
W
P
(b) 
 
 23 
Exercício 5.49 - Sejam A= 












241
132
231
011
 , B = 













210
121
111
200
 e considere V =Im(A) e W = Im(B). 
 
i - Use a Obs. 5.10 para encontrar matrizes C e D tais que V = N(C) e W = N(D) 
I 
ii - Ache uma base de VW . (Sugestão: Observe que VW = N






D
C - vide exerc. 4.23) 
 
Exercício 5.50 Em cada um dos casos do exercício 5.47, ache as matrizes das projeções ortogonais em W e 
em W

 . (Sugestão: Aproveite o exerc. 5.48.ii para fazer menos contas) 
 
 
 
5.7 Método de Gram-Schmidt para ortogonalizar uma base 
 
 
DEFINIÇÃO 5.9 :  = {Q(1), Q(2), ....,Q(n)} é uma base ortonormal de W, caso cada Q(i) tenha 
norma 1 e seja ortogonal aos outros vetores de . 
 
Exemplo 5.13 - ={(1/
2
 , 1/
2
 )
T 
, (-1/
2
 , 1/
2
 )
T
} é uma base ortonormal de 2. 
 
As coordenadas de v = (1,2)
T
 na base  são (vide exerc .5.24+): 
 
 [v]
 
 = 
















21
23
Qv
Qv
)2(T
)1(T 
 
Exemplo 5.14 - A base canônica do n  = {I(1), I(2),  , I(n)} é uma base ortonormal do n. 
 
 Veja que, se  = {Q
(1)
, Q
(2)
, ....,Q
(m)
} é uma base ortonormal do m, as coordenadas de qualquer 
vetor v do m na base  se calculam de maneira relativamente simples, como produtos de v por cada um dos 
Q
(j)
 (vide exerc. 5.24+). Veja também que se  é uma base ortonormal de W, então a projeção ortogonal em W 
se simplifica para PW(b) = QQ
T
b. (vide exerc. 5.41). Neste sentido, bases ortonormais são mais adequadas do 
que outras bases para trabalhar com projeções ortogonais em SEVs. Razões de estabilidade numérica reforçam 
esta opção em várias aplicações. 
O método de ortogonalização de Gram-Schmidt é um procedimento que visa construir uma base 
ortonormal de um SEV, a partir de uma base que não é ortogonal. Como subproduto do método, se  = {A(1) , 
A
(2)
,  , A(n)} é uma basede W, obteremos uma fatoração A = QR, onde QTQ = Inxn e R é uma matriz 
triangular superior. Tal fatoração é “popularmente” conhecida como fatoração QR de A e está presente em 
praticamente todos os softwares de Álgebra Linear disponíveis, muito embora usualmente calculada com 
métodos numericamente mais sofisticados que Gram-Schmidt . 
Na subseção 5.7.1 apresentamos o método de Gram-Schmidt num caso particular no 3 e na subseção 
seguinte o generalizamos para qualquer SEV de algum m. 
 
 24 
5.7.1 Um exemplo típico do método de Gram-Schmidt no 3 
 
 
Exemplo 5.15 Sejam A(1) = (0,2,0)T, A(2) = (1,2,2)T e A(3) = (1,-2,-2)T e  = {A(1), A(2), A(3)} 
 
 A partir de , obteremos uma base ortonormal  = {Q(1), Q(2), Q(3)} do 3, com o seguinte 
procedimento: 
 
i - Q
(1) 
 permanece na direção de A
(1)
 
 
 Sejam Q
(1)
 = A
(1)
/||A
(1)
|| = 1/2 A
(1)
 
 
 W1 = [Q
(1)
] = [A
(1)
] 
 
 
 
 
ii - Q
(2)
 é obtido a partir da projeção ortogonal de A
(2)
 em W1 
 
 
 
 
 = 2 (A
(2)
 - (A
(2)Q(1)) Q(1)) = 2 (1,0,2)
T 
, 
 
onde 2 = 1/||(1,0,2)
T
|| = 
51
 
 
Veja que, se consideramos W2 = [A
(1)
, A
(2)
], 
então {Q
(1)
, Q
(2)
} é base ortonormal de W2. 
 
 
 Figura 5.6 
 
 
 
iii - Q
(3)
 é obtido a partir da projeção ortogonal de A
(3)
 em W2 
 
 
=3 (A
(3)
 - (A
(3)Q(1)) 
Q
(1) 
-(A
(3)Q(2)) Q(2)) 
 
= 3( 8/5,0,-4/5)
T
 , onde 
 
 3 = 1/||( 8/5,0,-4/5)
T
||= 
4
5
 
 
 
 
 
Veja que Q = (Q
(1)
 Q
(2)
 Q
(3)
) = 










 5/15/20
001
5/25/10
 é ortogonal, isto é Q
T
Q=I 
 
 
 
 
 A
(1)
 W1 Q
(1)
 Figura 5.5
 
 
 A
(2)
 
 Q
(2)
 A PW A
( ) ( )2 2
1

 Q
(1)
 W1 
 ))A(
1
W
PA(Q )2()2(2
)2(
 
))A(
2
W
PA(Q )3()3(3
)3( 
 
 A
(3)
W2 A PW A
( ) ( )3 3
2

 Q(2)
 Q
(3)
 
 Q
(1)
 W1
 Figura 5.7 
O método acima é conhecido como ortogonalização de Gram-Schmidt 
 25 
Observe que obtivemos, em i, ii e iii: 
 








)3()2()1()3(
3
)2()3()3()1()1()3()3(
)2()1()2(
2
)1()1()2()2(
)1()1(
Q5/4Q5/3Q2QQ)QA(Q)QA(A
Q5Q2QQ)QA(A
Q2A
 
 
O u seja, obtivemos A = QR, onde R = 












5/400
5/350
222
 é uma matriz triangular superior e Q
T
Q = I . 
 
Exercícios de subseção 5.7.1 
 
Exercício 5.51 Faça Q = (Q
(1)
 , Q
(2)
, Q
(3)
) com os vetores obtidos no exemplo 5.15 . Verifique que Q é uma 
matriz ortogonal e que R = Q
T
A é triangular superior. 
 
Exercício 5.52 - Seja A = 









 
11
10
11
, considere W = Col(A) e W1 = [A
(1)
] 
i - Faça Q
(2)
 = A
(2)
 -
1W
P
(A
(2)
). 
ii - Verifique que  = {A(1) , Q(2) } é uma base ortogonal de W (A(1)  Q(2) = 0) 
iii – Considere a matriz B = (A(1) Q(2) ) e verifique que BTB é uma matriz diagonal. 
iv – Considere  = { A(1)/||A(1)|| , Q(2)/|| Q(2) ||} e verifique que  é uma base ortonormal. 
v - Considere a matriz Q cujas colunas são os vetores de . Verifique que QTQ = I2x2, mas que QQ
T
  I3x3 
vi – Verifique que QTA é uma matriz triangular superior 
 
Exercício 5.53 + - Sejam  = {A(1), A(2),A(3)} e  = {B(1) , B(2) , B(3)} duas bases do 3, tais que [A(1)] = [B(1)] , 
[A
(1)
, A
(2)
] = [B
(1)
 , B
(2)
 ]. Mostre que A se fatora na forma A = BR, onde R é uma matriz triangular superior e 
inversível. (Sugestão: Escreva as colunas de A como combinação linear das colunas de B e veja que você chega a algo 
bem parecido com o que obtivemos no exemplo anterior e que nos permitiu concluir A = QR) 
 
 
 26 
5.7.2 Algoritmo GS 
 
Problema: Dado SEV W  m e base  = {A(1), A(2), ....,A(n)} de W, obter uma base 
ortonormal ={Q(1), Q(2), ....,Q(n)} de W. 
 
 O algoritmo de Gram-Schmidt (GS), generaliza o que se fez no exemplo 5.15, visando resolver o 
problema colocado acima. Essencialmente, para cada i = 1,  , n, considera-se o SEV Wi gerado pelos i 
primeiros vetores de . Na i-ésima iteração do algoritmo GS, obtemos uma base ortonormal {Q(1), Q(2),  , 
Q
(i)
} para Wi. O vetor Q
(i)
 em Wi resulta ortogonal a Wi-1 e é obtido como um vetor na direção de A
(i)
 menos 
sua projeção ortogonal em Wi-1. 
 
Passo1 – Inicialização: 
 
P1.a - Calcule Q
(1)
 como um vetor de norma 1 na direção de A
(1)
.
 
(Faça Q
(1)
 = A
(1)
/||A
(1)
||) 
 
P1.b - Faça W1 = [A
(1)
] = [Q
(1)
] e i = 2 
 
Passo 2 - Para cada i entre 2 e n, faça: 
 
P2.a - Calcule a projeção ortogonal de A
 (i)
 em Wi-1 e faça Q
(i)
 = A
(i)
 - 
)A(P )i(W 1i
 
(observe que Q
(i) 
resultou ortogonal a Wi-1 e não nulo, já que  é LI) 
 
P2.b - Atualize Q
(i)
, de modo a que fique com norma 1. (Faça Q
(i)
  Q(i)/||Q(i)||) 
 
P2.c - Considere Wi = Col( Q
(1)
 , Q
(2)
,  , Q(i)) (Observe que Wi = Col(A
(1)
 , A
(2)
,  , A(i)) ) 
 
P2.d - Atualize i, fazendo i  i+1 
 
 
OBS. 5.11 - Teoricamente, a única maneira do algoritmo GS fracassar, é no caso de algum dos Q(i) 
obtidos em P2.a se anular. Isto só pode acontecer se A
(i)
 estiver em Wi-1
 
= [A
(1)
,  , A(i-1)]. Mas isto 
significaria que A
(i)
 é combinação linear de A
(1)
,  , A(i-1), contradizendo a hipótese de  ser uma base de W. 
Na prática, no entanto, pode acontecer de A
(i) 
 estar muito próximo de W
(i)
, para alguns valores de i. Nestes 
casos o algoritmo de Gram-Schmidt pode funcionar mal, e produzir resultados numericamente duvidosos. Há 
 27 
maneiras de melhorar o algoritmo, do ponto de vista numérico, mas fogem do nosso objetivo num primeiro 
curso de Álgebra Linear. 
 
OBS 5.12 - O algoritmo GS produz, em cada iteração, uma base ortonormal para Wi = [ A
(1)
, A
(2)
,  , A(i)]. 
Com isto, obtemos duas consequências importantes: 
 
i - A projeção ortogonal de A
(i)
 em Wi-1 dada no passo 2.a se faz usando a base ortonormal {Q
(1)
,  , Q(i-1)} de 
Wi-1. Na prática 
)A(P )i(W 1i
 = Q(Q
T
A
(i)
), onde Q é a matriz cujas colunas são Q
(1)
,  , Q(i-1) (vide exerc. 
5.41). Ou seja, 
)A(P )i(W 1i
 se calcula com dois produtos matriz-vetor, o que é consideravelmente mais 
barato, do ponto de vista computacional, do que usar a base original {A
(1)
, A
(2)
,  , A(i-1)} de Wi-1 . 
 
ii – Analogamente ao que aconteceu no exemplo 5.15, o fato que [A(1),  , A(i)]= [Q(1),  , Q(i)], para todo i = 
1,, n nos garante uma matriz triangular superior R, e tal que A = QR. O argumento que garante esta 
fatoração é essencialmente o mesmo que o do exercício 5.53+. As colunas de Q resultam ortonormais, e isto 
nos garante Q
T
Q = I (vide exerc. 5.19+). Como A = QR tem posto n e R é nxn, o posto de R não pode ser 
inferior a n (vide seção 4.7), o que significa dizer que R é inversível. 
 
Consolidamos as observações 5.11- 5.12 no seguinte teorema: 
 
TEOREMA 5.3 
 
Sejam W um SEV do m e  = {A(1), A(2),....,A(n)} uma base de W. 
 
O algoritmo GS nos fornece uma base ortonormal ={Q(1), Q(2), ....,Q(n)} de W. Além disto, para cada 
i= 1,...,n, obtemos 
 
Col(A) = [A
(1)
, A
(2)
, ....,A
(i)
] = [Q
(1)
, Q
(2)
, ....,Q
(i)
] = Col(Q) 
 
 Em particular, obtemos a fatoração A=QR, onde Q é a matriz cujas colunas formam a base 
ortonormal de Col(A) obtida (vale dizer, Q
T
Q= I) e R é uma matriz triangular superior e inversível. 
 
Exercícios da subseção 5.7.2 
Exercício 5.54 - Ache a fatoração QR da matriz 
1 1 1
2 0 2
2 0 2










 
 
Exercício.5.55 - Seja  = { v1,v2,v3} , onde v1 = (1,1,0)
T
 , v2 = (1,-1,2)
T
 e v3 = (1,0,1)
T
. 
 
i - Tente aplicar o algoritmo de Gram-Scmidt para obter uma base ortonormal do 3. Se não der certo tente 
explicar porque não deu. 
ii - Ache uma base ortogonal para V=[v1,v2,v3 ] e outra para V

 
iii - Considere a matriz A = (v1 v2 v3) e ache uma decomposição QR para A. 
 
Exercício.5.56 Sejam Q = 
1 1 1
1 1 0
0 1 1
1 0 1
 











 , R = 1 4 6
0 2 5
0 0 3








 e considere A= QR. Sem calcular A: 
i - Ache o ponto de Col(A) mais próximo de (1,0,0,0)
T
 
 28 
ii – Ache o triângulo de área mínima, com um dos vértices em Col(A), sabendo que os demais são (1,0,0,0)T e 
(1,0,-1,0)
T
. 
iii – Calcule a solução de ATAx = ATb, onde b= (1,0,0,0)T 
 
Exercício.5.57 - Sejam v1 = (1,0,2,2)
T
 e v2 = (1,2,-2,-3)
T
 e denote por PV
 
: 4 4 a projeção ortogonal em 
V = [ v1 , v2 ] . 
 
i - Calcule PV( (1,0,0,0)
T
) 
ii - Ache uma base ortonormal  para V e complete-a para obter uma base ortonormal  de 4 
iii- Calcule a matriz que define PV 
 
 Exercícios Suplementares: 
 
Exercício 5.58 - Verifique que a bissetriz do ângulo formado pelos vetores ( a , b )
T0 e (b ,a )T é a 
reta y = x. 
 
Exercício 5.59 ( Recíproca do teorema de Pitágoras). 
 Se a , b , e c são as normas das arestas de um triângulo no n, com c2 = a2 + b2 então este triângulo é 
retângulo 
 
Exercício 5.60 - Seja W = [(1,0,-2,3,1)
T
, (1,0,1,0,1)
T
]. 
 
i - Ache uma base ortogonal  para W 
ii - Ache uma base ortogonal  do complemento ortogonal W de W 
iii - Verifique que    é uma base ortogonal do 5 
 
Exercício 5.61 - Suponha que R(t) é diferenciável e representa a trajetória de uma partícula em 3. Se a 
partícula permanece sempre sobre uma esfera verifique que seu vetor velocidade é sempre perpendicular ao 
vetor posição. 
 
 Exercício 5.62 + - 
i - Mostre que Im(A
T
A) = Im(A
T
). (Sug: Verifique que Im(A
T
A)  Im(AT) e conclua a igualdade usando a 
seção 4.7, para verificar que dim(Im(A
T
A))= Posto(A
T
A) = Posto(A) = dim(Im(A
T
)) 
ii - Conclua, de i, que a equação normal A
T
Ax = A
T
b tem sempre solução. 
 
Exercício. 5.63 - Dados A = (0,1,1,0)
T
 e B=(1,1,0,1)
T
, ache C tal que o ângulo entre AC = C-A e AB = B-A 
seja de 30
o
, C esteja no SEV W = [ (1,1,0,1)
T
, (0,1,1,0)
T
] e ||AC||= 1. 
 
Exercício 5.64 - Certo ou Errado? Justifique: 
 
i - Se P e Q são matrizes de projeção, então P+Q também é 
ii - Se P e Q são matrizes de projeção, então P*Q também é 
iii - Se P e Q são matrizes de projeção ortogonal e comutam entre si, então P*Q também é matriz de projeção 
ortogonal. 
iv - Se P e Q são matrizes de projeção e Im(Q)  Im(P), então PQ = Q 
v - Se P e Q são matrizes de projeção ortogonal e N(P)  N(Q), então PQ = Q 
vi* - Se P e Q são matrizes de projeção e N(P)  N(Q), então PQ = Q 
 
 
 29 
Exercício 5.65 
i - Ache uma base ortogonal  de N(A), para A = 1 0 2 1
2 1 1 1






 
ii - Ache uma base ortogonal  para Im(AT). 
iii - Verifique que    é uma base ortogonal de 4 
 
Exercício 5.66 - Considere a matriz R = 1/2









 
200
022
022
 
 
i. Considere o quadrado Q = {(x1, x2, x3) | -1  x1  1 , -1  x2  1 , x3=1}. Descreva a imagem de Q pela 
aplicação linear que leva x  Rx, ou seja R(Q) = {Rx | x  Q}. Ilustre geometricamente R(Q). 
ii. Se v, w  3 então o ângulo entre v e w é o mesmo que o ângulo entre Rv e Rw. 
iii. O comprimento de v é o mesmo de Rv. 
iv. Verifique diretamente que RRT =RTR = I3x3. 
v. É verdade, em geral, que se RRT =RTR = I então R preserva ângulos e comprimentos, no sentido que ii e iii 
se verificam para uma tal R? Justifique. 
 
Definição 5.10 - Diz-se que uma matriz quadrada nxn A preserva a norma se ||Ax|| = ||x||, para todo x do n. 
Diz-se que A preserva ângulos caso o ângulo entre Ax e Ay seja o mesmo que o ângulo entre x e y, para 
qualquer par de vetores x e y do n. 
 
Exercício 5.67 – Certo ou errado? Justifique: 
 
i - Se A
 
 é uma matriz ortogonal nxn (A
T
A=I) então A preserva a norma. 
ii - Se A
 
 é ortogonal nxn então A preserva ângulos. 
iii - Se A é diagonal e inversível então A preserva ângulos. 
iv - Se A preserva normas então A preserva ângulos 
(Sugestâo: Use a informação que ||A(x+y)||
2
 = ||x+y||
2
, para concluir que A também preserva o produto interno, 
ou seja, que se A preserva normas, então (Ax)
T
(Ay) = x
T
y ) 
v * - Se A é uma matriz quadrada que preserva normas então A é uma matriz ortogonal. 
(Sug: Considere um y qualquer do n e use a informação do item anterior que (Ax)T(Ay) = xTy para verificar 
que A
T
Ay – y é perpendicular a todos os vetores do n) 
iv - .Se A preserva ângulos então A também preserva normas. (Sug: Teste com A = 2 I2x2) 
 
vii* - Se A preserva ângulos então A é uma matriz múltipla da identidade. 
 
viii* - Se A é 3x3 e Av =Aw, para todos os vetores v e w no 3 de mesma norma, então A também 
preserva os ângulos entre dois vetores quaisquer. 
 
Exercício 5.68 - Seja A uma matriz mxn de números reais com posto n e P = A(A
T
A)
-1
A
T
. 
i - Mostre que P
T
P = P
2
 = P, ou seja, que P é uma matriz de projeção ortogonal. 
ii. Se B é uma matriz mxm tal que A
T
 B A é inversível e se P = A(A
T
BA)
-1
 A
T
B então P
2
 = P 
iii - Encontre um exemplo com m = n = 3, no qual P não seja simétrica, ou seja, tal que P seja uma matriz de 
projeção (oblíqua) em Col(A). 
 
 30 
Exercício 5.69 - Sejam V e W subespaços vetoriais de dimensão 2 do 3 diferentes. Faça uma figura na qual 
você se convença que V + W = (VW) . 
 
 
Exercício 5.70 - Mostre que se V e W são subespaços vetoriais do n então V + W = (VW) . 
 
Exercício 5.71 Certo ou Errado? Justifique: 
 
i - Se W1 e W2 são SEVs de dimensão 1 do 
4
, então dim(W1

  W2

)  2. 
ii – A equação Ax = b tem solução então b é ortogonal a todas as soluções de ATx = 0 
iii – Se b é ortogonal a todas as soluções de ATx = 0 então a equação Ax = b tem solução 
iv – Se  é uma base ortonormal do 3 e [v]x, então ||v|| = ||x|| 
v
 
 - 
 
Suponha que  é uma base do 3 tal que, para todo v do 3 , se x = [v], então ||v|| = ||x||. Neste caso,  é 
uma base ortonormal do 3. 
Exercício 5.72 - Seja Anxn uma matriz de projeção, ou seja, tal que A
2
 =A. 
i. Verifique que n = N(A) Im(A). 
ii. Im (A) = { v  n ; Av = v }. 
iii. Se A = AT então x - Ax é ortogonal a Im(A). 
 
 
 
 
 31 
 
 Exercícios Resolvidos 
 
Exercício 5.1 
 
i. v = [12 +(-2)2 + 32]1/2= 
14
 e w = ( 22 + 12 + 12 )1/2 =
6
 
 
ii. Calculando v -w = (-1,-3, 2)
T
, a distância entre v e w é portanto dada por v-w = 
14
. 
 
iii. Se  é o ângulo entre v e w então por definição cos  = vTw/||v||||w||. 
 Calculando v
T
w teremos v
T
w = 1.2 + (-2).1 + 3.1 = 3 e usando o ítem i vem que 
  = arccos(
3
84
). 
 
Exercício 5.3 
Os vértices do triângulo são A = ( 1, 0, 1)
T
 , B = ( 1, 2, 1)
T
 e C = (0, -1 ,1)
T
. Para achar a área do triângulo 
precisamos achar a altura em relação a um dos lados, digamos 
AB
, e para isto 
precísamos achar um ponto D sobre a reta r( t ) = A + t ( B - A) suporte de 
AB
 tal que C- D  B - A . 
Seja D = ( 1, 0, 1)
T
 +t0( 0 , 2 , 0 )
T
 = ( 1 ,2t0 ,1). 
Fazendo C- D  B - A teremos (-1,-1 -2t0 ,0 )
T
.( 0 ,2 ,0 )
T
 = (-1 ,-1 -2t0,0 )( 0,2,0 )
T
 = 0 ,portanto t0 = - ½ e D = 
( 1 , 1 ,1 )
T
. Como C - D é a altura do triângulo em relação ao lado 
AB
 segue-se que a área do mesmo é dada 
por 1/2B - A.C - D = 
1
5
. 
Para calcular o perímetro basta achar a soma de B - A , C - B e A - C que são os comprimentos dos 
lados do triângulo. 
 
Exercício 5.5 
Verifique que os dados da Figura 5.1 estão corretos. 
Calcule ( A + B)(A - B ) e verifique que tal produto interno é zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 5.1 
 
Exercício 5.7 
Como ( t ) é uma curva de nível de F temos que F(( t )) = C = constante para todo t. Usando a regra da 
cadeia para derivar ambos os membros da igualdade anterior teremos: 
 
 dF t
dt
F t T t
( ( ))
( ( )) ,( )
   0 
Exercício 5.8 + 
Para verificar que v
T
w satisfaz PI.a basta usar as propriedades de produto de matrizes, neste caso v
T
 uma 
matriz 1xn e w uma matriz nx1. 
A + B 
 -B B 
 A A - B 
 32 
Para verificar PI.b suponha que v = (v1, v2 , . . ., vn). Portanto v.v = v
T
v = 
vi
i
n
2
1

 0 e 
vi
i
n
2
1

= 0 se vi = 0 para 
todo i. ( Com pequenas modificações o exercício 5.8 + é um caso particular do exercício abaixo, bastando 
tomar no exercício 5.9 A = Inxn ) 
 
Exercício 5.9 
i.Para verificar que Q é bilinear temos que verificar que Q é linear em cada variável. Verificare- 
mos que Q é linear na primeira variável, isto é ,Q( v1 +v2 ,w) = Q(v1,w) +Q(v2,w). 
Temos: 
 Q( v1 +v2 , w) = ( v1 +v2)
T
Aw = [( v1)
T
A +(v2)
T
A]w = (v1
T
Aw) +(v2
T
Aw) 
 = Q(v1,w) + Q(v2,w). 
Que Q também é linear na segunda variável é feito de modo análogo. 
 
ii.Temos: 
 Q( v , w ) = v
T
Aw= (v
T
Aw)
T
 = w
T
[(v
T
A)
T
] = w
T
A
T
v =Q ( w , v ) pois A
T
 =A. 
 
iii - Se A é uma matriz diagonal,e sua diagonal for formada pelos números positivos 1, 2, , n então fica 
fácil ver que v
T
Av = 1v1
2
 + 2 v2
2
 +  + nvn
2
  0, já que se trata, neste caso de uma soma de n números não-
negativos. Do mesmo jeito, se v
T
Av = 0, então ivi
2
 = 0, para todo i = 1,2,,n.Como estamos supondo 
que os i são todos positivos, isto significa vi=0 para todo i. 
 
Exercício 5.11. 
Calculando diretamente ||A + B||
2
 e ||A - B||
2
, obteremos: 
 
||A+B||
2
+||A-B||
2
 = (A+B).(A + B) +(A - B).(A -B) = (||A||
2
 + ||B||
2
 + 2AB)+(||A||2 +||B||2 - 2AB) = 
 
 = 2 ||A||
2
 + 2 ||B||
2
 
 
Exercício 5.13 
i. O subespaço W do 4 é gerado pelos vetores S(1) = ( -1, -1 , 1, 0)T e S(2) = (1, -2, 0, 1)T, isto é, R  W se R 
= ( -x1+x2 , -x1 – 2x2, x1 ,x2 )
T
. Se R W e o triângulo PQR é equilátero teremos: 
P-R2 = [2- (x1 –x2)]
2
 +(x1 +2x2)
2
 + x 2
1
 +x
2
2
 = P-Q2 = 12 (I) 
Q-R2 = (x2 – x1)
2
 + ( x1 +2x2)
2
 +(x1 –2 )
2
 + (x2 – 2)
2
 = 12 (II) 
Comparando (I) e (II) teremos x2 = -1/2 e substituindo x2 em (I) encontramos ou x1 = 
2
71 ou x1 =
2
71 . 
ii. Seja W‟o subconjunto deste ítem. Observe que a menor distância dos pontos de W do ítem i aos pontos de 
W‟é ( 5, -5, 0 , 0)T =
50
 > P-Q=
12
, logo qualquer que seja R  W‟ o triângulo PQR nunca será 
equilátero. 
 
Exercício 5.15 
i. Certo. Como o produto interno é positivo definido temos que v= 0 se e somente se v =0. 
ii. Falso. Tome x = ( + cos ,  + sen ) e y = ( ,  ) para quaisquer  ,   . 
iii. Certo. Pela desigualdade triangular sabemos que x + y x+ y 4 + 1 =5. 
iv. Errado. Tome x = ( -4 , 0)
T
 e y = ( 1 , 0 )
T
. 
v. Certo. Neste caso || x - y||
2
 = (x-y)
T
(x-y)= ||x||
2
 + ||y||
2
 - 2 x
T
y = 1 + 1 -2 = 0  x - y = 0  x = y. 
vi.Certo. Seja Ii a i-ésima linha da matriz identidade nxn. Temos: 0 < IiAI
(i)
 = Aii. 
vii.Errado. Se v = ( 1 ,-1 )
T
, obtemos < v , v > = v
T
Av = - 4. Logo, v
T
Av não é positivo-definido. 
 33 
viii. Certo. De Ax = x e xTAx > 0, obtemos xTAx = xT(x) = xTx > 0. Como x  0, obtemos xTx >0 e 
portanto xTx > 0 implica  > 0. 
 
Exercício 5.16 + 
 
i. (1, -2 )T1 = 1 + -2= 3 e ( -2 , 1)
T1 = -2+1 = 3. 
ii.Este ítem foi redigido incorretamente. O correto seria: “ Verifique que . 1 satisfaz as tres 
propriedades fundamentais de norma”: 
N1 0  v 1 e v 1 = 0 se e somente se v = 0. 
N2 kv1 = kv1 para todo k 
N3 v + w 1  v 1 + w 1 
 Para N1 temos: v 1 = v1 + v2  0 e v1 + v2= 0 sss v1 = v2 = 0. N2 é evidente 
 Para N3 temos: ( v1 + w1 , v2 + w2)1 = v1 +w1 + v2 +w2 v1 + w1 +v2+w2 = ( v1+v2) 
+(w1+w2) = v1+w1 
 
Exercício 5.17 
i. v = [ 12 +(-2)2 + 12 + 32]1/2 = 
15
 w = [ 22 + 12 + 32 + 12]1/2 = 
15
 
ii. Temos v.w = vTw= 6 , vw = 
15
, logo  = arcos(2/3). 
iii. Se z  [w] então existe t   tal que z = ( 2t,t ,3t , t)T. Para que o vetor z-v = ( 1-2t,-2-t,1-3t,3-t)T seja 
perpendicular a z teremos ( v –z).z=0 o que implica t=0 ou t =5/2 e neste caso teríamos z=0 ou z = (-4 , -9/2 
, -13/2 , 1/2)
T
. No caso de z=0 não teríamos triângulo algum. 
Exercício 5.19 
 
 
 
Exercício 5.21 
i. Certo. Para x = ( x1,x2)
T
 ser ortogonal aos vetores dados equivale dizer que x é solução do sistema 






11
11
x =0, o qual só admite a solução trivial. 
ii. Analogamente ao ítem i para x = (x1,x2,x3)
T 
a afirmação implica que x tem que ser solução de 












031
111
211
x=0. Como o posto da matriz do sistema é 2 existe uma solução não trivial, isto é, existe um vetor x não nulo 
perpendicular aos vetores dados. 
iii. Certo. Pois neste caso x terá que ser solução do sistema Ix = 0 onde I =Inxn. 
iv.Certo. Seja A a matriz cujas linhas são os vetores da base dada. Como as linhas de A são LI posto(A) é igual 
a n implica que o sistema Ax=0 só tem a solução trivial. 
v.Certo. Basta ver que neste caso eles não são cooplanares. Analiticamente, se v1, v2 e v3 são ortogonais entre 
si e não nulos e anulamos uma combinação linear c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0, obtemos vi (c1v1 + c2v2 + c3v3) = 0 
 ci vivi = 0  ci = 0, para todo i = 1,2,3. 
vi.Errado. Tome x = ( 1, 0 )
T
 , y = ( 0, 1)
T
 e w = ( 2, 0)
T
. 
vii.Certo. Note que neste caso os n vetores são LI.(Esta fato é demonstrado de forma inteiramente análoga ao 
que se fez no item v ). Como nãopode haver n+1 vetores LI no n (já que sua dimensão é n.) segue-se o 
resultado. 
 34 
viii. Certo. Note que (A
T
A)ij = A
T
i
.A
(j)
 = A
(i)
.A
(j)
 e como A
T
A é diagonal (A
T
A)ij = 0 de i  j. 
ix. Certo. Como no ítem anterior temos que (A
T
B)ij = A
(i)
.B
(j)
. Como A
T
B = 0 segue-se que as colunasdeA são 
ortogonais as colunas de B. Sejam x = 


p
i
i
i Ac
1
)(
 Col(A) e x‟=


m
i
i
i Bb
1
 
Col(B). Usando as propriedades do produto interno verifica-se facilmente que x.x‟=0. 
x. Errado. Tome A =






01
01
 e B = 






10
00
. Temos que A
(1)
  Im(A), B(2)  Im(B) mas não são ortogonais. 
xi.Certo. Como (Pv).(Pv) = (Pv)
T
Pv = v
T
P
T
Pv = v
T
Iv = v.v temos o resultado. 
xii. Certo. Observe que no ítem acima só usamos o fato que toda matriz de permutação é uma matriz ortogonal, 
portanto o resultado ainda contínua válido para matrizes ortogonais. 
xiii. Certo. 
 
 Se A é ortogonal temos que (Av).(Aw) = (Av)
T
Aw = v
T
A
T
Aw = v
T
w =v.w, isto é, A preserva produto 
interno e como também preserva comprimento logo preserva ângulo. 
 
xiv. Certo. Dizemos que V é ortogonal a W se cada vetor de V for ortogonal a todo vetor de W. Neste caso 
como  é uma base de V e  é uma base de W temos que  gera V+W e como os vetores de  são 
ortogonais aos vetores de  segue-se pelo ítem ix (com pequenas modificações) que  é um conjunto LI. 
Exercício 5.23 + 
i. Considere a combinação linear c1A
(1)
 + c2A
(2) 
+ . . . + cpA
(p)
 = 0. Fazendo o produto interno de ambos os 
membros por A
(i)
 e usando as propriedades de produto interno teremos que cjA
(i)
.A
(i)
 = 0 e como A
(i)
  0 
segue-se que cj = 0 para todo j = 1 , . . . p , provando que os vetores são LI. 
ii. Observe que (AAT)ij = A
i
T
Aj = 0 se i  j o mesmo ocorrendo para os elementos (A
T
A)ij. Por outro lado 
(AA
T
)ii = (A
T
A)ii = A
i
T
Ai. 
iii. Segue-se imediatamente do ítem ii. e pelo fato que A
i
T
Ai. = 1. 
Exercício 5.24 + Sendo v = x1v1+x2v2 + . . .+xnvn e calculando v.vi=v
T
vi = x1v
1
T
vi + . . .+xiv
i
T
vi + . . . +xn v
i
T
vn e considerando o fato que v
i
T
vj= 0 se ij segue o resultado. 
 
Exercício 5.25 
Note que o vetor ( 1, 2, 1 )
T
 é ortogonal ao subespaço W, logo a distância pedida é ( 1, 2, 1 )T =
6
. 
Exercício 5.27 
i. Certo. Note que vale o Teorema de Pitágoras: Pw(v)2 + v –Pw(v)2 = v2. Verifique que: 
 Pw(v)2 + v –Pw(v)2 = v2 +2
w
ww
wv
.
.
.[ 
w
ww
wv
.
.
 - v] e que 2
w
ww
wv
.
.
.[ 
w
ww
wv
.
.
 - v] = 0 
 
ii. Certo. Pelo ítem anterior se Pw(v) = v então v –Pw(v) = 0, e como Pw(v) é um múltiplo de w 
temos o resultado. 
 
 35 
Exercício 5.29 Para achar a distância pedida temos que encontrar a projeção ortogonal _
b
 de b = ( 1, -1 ,2)
T
 
no subespaço W. Mas pelo exemplo temos que _
b
 = 























2
1
1
211
121
112
3
1











2
1
1
. Como b = _
b
  W implica 
que a distância pedida é zero. 
 
Exercício 5.31 Pelo exercício 5.22 você verificou (?) que o plano  dado pela equação x - 2y +2z = 0 é o 
núcleo da matriz A =
1 2 2
0 0 0
0 0 0










 e portanto é gerado pelas soluções básicas do sistemaAx=0 as quais são S
(1)
 =










2
0
1
 e S
(2)
 = 
2
1
0










, ou seja pelas colunas da matriz S = (S
(1)
 S
(2)
 ). A projeção de b = 
1
1
1










 sobre o subespaço 
gerado pelas colunas da matriz S é: 
 
Pw(b) = Sx = 1
9
8 2 2
2 5 4
2 4 5
1
1
1






















( Note que neste caso x = (S
T
S)
-1
S
T
b ).Segue-se portanto que a distância do 
ponto b ao plano dado no exercício 5.22 é  Pw(b) -b = 1/3 
Para achar a distância de b ao plano  dado pela equação x - 2y + 2z = 2 vamos achar inicialmente a distância 
entre os planos  e . Uma reta normal aos dois planos tem equação paramétrica r(t) = ( t, -2t 2t ) a qual 
intercepta o plano  para t = 2/9 , isto é , no ponto de coordenadas ( 2/9 , -4/9 , 4/9 ) e r(t) intercepta o plano 
 na origem. Logo a distância d entre os dois planos é dada por d =(2/9 , -4/9 , 4/9 )T = 2/3. 
Observando a posição do ponto ( 1, 1, 1 ) em relação aos dois planos concluímos que a distância dele ao plano 
 é dada por 1/3 + 2/3 = 1. 
 
Exercício 5.33 
Obs. Este exercício está no lugar inadequado por ainda não ter sido definida a matriz de uma projeção. 
 
Exercício 5.34 + 
 i. Temos que Ay Im(A) para todo y n, logo 
bb 
  Ay ou seja (Ax-b).Ay = (Ax –b)TAy = 0. 
 ii.Note que 0 = (Ax –b)TAy = (xTAT – bT)Ay = (xTATA - bTA)y = (xTATA - bTA)T.y = (ATAx-ATb).y para 
todo y n, isto é, (ATAx-ATb) é um vetor perpendicular a todo vetor de n. 
iv. Como (ATAx - ATb).y = 0 para todo y  n segue-se que ( ATAx - ATb ) = 0, ou seja ATAx = ATb. 
Exercício 5.3 Como Posto(ATA) = Posto(A) temos que a matriz (ATA)nxn é inversível portanto a matriz 
P = A(A
T
A)
-1
A
T
 está bem definida. 
Temos: P
T
 = [A(A
T
A)
-1
A
T
]
T
=(A
T
)
T
[(A
T
A)
-1
]
T
A
T
 = A[(A
T
A)
T
]
-1
A
T
 = A(A
T
A)
-1
A
T
 = P e 
 
 P
2
 = [A(A
T
A)
-1
A
T
] [A(A
T
A)
-1
A
T
] =[A(A
T
A)
-1
[(A
T
A)(A
T
A)
-1
]A
T
] = A(A
T
A)
-1
IA
T
=P. 
 
 36 
Exercício 5.37 Sejam A = ( A
(1)
 A
(2)
 A
(3)
 ) e [A
(1)
 A
(2)
 A
(3)
] = Im(A). Vamos calcular a projeção ortogonal 
b
_ de b = ( 1 , -1 , 2 , 1)
T
 sobre Im(A). Como as colunas de A são vetores LI ( verifique isto ) temos que 
b
_ = A(A
T
A)
-1
A
T
b = 
1 0 0 0
0 1 2 1 2 0
0 1 2 1 2 0
0 0 0 1
1
1
2
1
1
1 2
1 2
1
/ /
/ /
/
/






































. Portando a distância pedida é  b_ - b = 
18
2
. 
Exercício 5.39 
 i.Temos que A
2
 = A e mais 
2 1
2 1
2
2
1
1













 







 






x
y
x y
x y
[ ]
 = Im(A). 
 A
x
y





 






0
0
 sss y=2x, isto é: N(A)= [ (1, 2)
T
]. 
ii. Para verificar que 2 = N (A) Im(A) basta notar que 2 = [ (1,2)T , (1,1)T] e os vetores (1,2)T , 
(1,1)
T
 são LI. 
iii. Note que A
1
0
2
2





 






 e A
0
1
1
1





 








 e se A fosse uma projeção ortogonal sôbre Im(A) deveríamos ter que 
A
1
0






= A
0
1






. Faça um desenho. 
 
Exercício 5.41 Se  = {Q(1),Q(2),....,Q(n)} é uma base ortonormal de um SEV W do n , b  n, e b‟ 
representa a projeção ortogonal de b em W, teremos que 
 
b‟ = c1Q
(1)
 + ....