Oscilações e Movimento Harmônico Simples

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Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Oscilações
Regina Lélis de Sousa
June 19, 2013
Oscilações
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Outline
1 Oscilações
2 Movimento Harmônico simples
3 Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
4 M.H.S x M.C.U.
5 Oscilações Amortecidas e Ressonância
Oscilações
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Outline
1 Oscilações
2 Movimento Harmônico simples
3 Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
4 M.H.S x M.C.U.
5 Oscilações Amortecidas e Ressonância
Oscilações
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Oscilações
Oscilações
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Oscilações
Oscilações: fenômenos de importância fundamental na
Física
Oscilações: são vibrações localizadas enquanto ondas
estão associadas à propagação.
Exemplos: pêndulos, diapasões, cordas de intrumentos
musicais e colunas de ar em instrumentos de sopro,
corrente elétrica dos circuitos alternados, átomos vibrantes
num cristal de quartzo, ...
Sistemas oscilantes possuem uma formulação matemática
extremamente simples e são facilmente expressos em
termos de funções seno e cosseno
Oscilações
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Oscilações
Oscilações: fenômenos de importância fundamental na
Física
Oscilações: são vibrações localizadas enquanto ondas
estão associadas à propagação.
Exemplos: pêndulos, diapasões, cordas de intrumentos
musicais e colunas de ar em instrumentos de sopro,
corrente elétrica dos circuitos alternados, átomos vibrantes
num cristal de quartzo, ...
Sistemas oscilantes possuem uma formulação matemática
extremamente simples e são facilmente expressos em
termos de funções seno e cosseno
Oscilações
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Oscilações
Oscilações: fenômenos de importância fundamental na
Física
Oscilações: são vibrações localizadas enquanto ondas
estão associadas à propagação.
Exemplos: pêndulos, diapasões, cordas de intrumentos
musicais e colunas de ar em instrumentos de sopro,
corrente elétrica dos circuitos alternados, átomos vibrantes
num cristal de quartzo, ...
Sistemas oscilantes possuem uma formulação matemática
extremamente simples e são facilmente expressos em
termos de funções seno e cosseno
Oscilações
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Oscilações
Oscilações: fenômenos de importância fundamental na
Física
Oscilações: são vibrações localizadas enquanto ondas
estão associadas à propagação.
Exemplos: pêndulos, diapasões, cordas de intrumentos
musicais e colunas de ar em instrumentos de sopro,
corrente elétrica dos circuitos alternados, átomos vibrantes
num cristal de quartzo, ...
Sistemas oscilantes possuem uma formulação matemática
extremamente simples e são facilmente expressos em
termos de funções seno e cosseno
Oscilações
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Oscilações
Sistemas oscilantes possuem uma formulação matemática
extremamente simples e são facilmente expressos em
termos de funções seno e cosseno.
Inicialmente, os sistemas investigados têm apenas um grau
de liberdade, ou seja, são descristos com uma única
coordenada.
Oscilações
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Oscilações
Sistemas oscilantes possuem uma formulação matemática
extremamente simples e são facilmente expressos em
termos de funções seno e cosseno.
Inicialmente, os sistemas investigados têm apenas um grau
de liberdade, ou seja, são descristos com uma única
coordenada.
Oscilações
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Sistemas Oscilantes
Imagine um pêndulo simples deslocado de sua posição de
equilíbrio.
Força restauradora atua para levar o sistema de volta à
posição de equilíbrio.
Como podemos descrever o deslocamento em função do
tempo?
Oscilações
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Sistemas Oscilantes
Imagine um pêndulo simples deslocado de sua posição de
equilíbrio.
Força restauradora atua para levar o sistema de volta à
posição de equilíbrio.
Como podemos descrever o deslocamento em função do
tempo?
Oscilações
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Sistemas Oscilantes
Considere a seguinte situação: uma partícula livre para mover-se apenas
no eixo (direção ) x e sujeita à ação de uma
força de intensidade constante,
atuante no sentido +x quando x<0 e no sentido -x quando x>0.
Oscilações
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Sistemas Oscilantes
Uma partículade massa m, inicialmente em repouso (v=o) em x = +xm
=⇒ está sujeita a uma força F = −Fm =⇒−am = −Fmm =⇒ a partícula
está sendo acelerada
Oscilações
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
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Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Sistemas Oscilantes
a partícula move-se em direção à posição de equilíbrio: x = 0, mas quando
atinge o ponto x = 0, sua velocidade é vx = −vm
Oscilações
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Sistemas Oscilantes
a partícula chega em x = 0 e agora move-se no sentido x<0.
Oscilações
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Sistemas Oscilantes
quando isto acontece, a partícula está agora sujeita a uma força F = +Fm
=⇒+am = +Fmm e está sendo freada .
Oscilações
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Sistemas Oscilantes
quando x = −xm, temos vx = 0, mas a força é F = +Fm =⇒ +am = +Fmm
e a partícula inicia seu retorno ao ponto de x = 0.
Oscilações
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Sistemas Oscilantes
com sua velocidade é vx = +vm, o ciclo se repete. E continuará assim, a
não ser que exista atrito ou alguma força dissipativa atuando sobre ele.
Oscilações
Oscilações
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Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Sistemas Oscilantes
E continuará assim, a não ser que exista atrito ou alguma força dissipativa
atuando sobre ele.
Oscilações
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Outline
1 Oscilações
2 Movimento Harmônico simples
3 Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
4 M.H.S x M.C.U.
5 Oscilações Amortecidas e Ressonância
Oscilações
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Movimento Harmônico simples
Movimento Harmônico simples – MHS
Fx (x) = −kx =⇒ força restauradora =⇒ sempre contrária ao
deslocamento.
Exemplo: sistema massa mola.
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Movimento Harmônico simples – MHS
Fx (x) = −kx =⇒ força restauradora =⇒ sempre contrária ao
deslocamento.
Exemplo: sistema massa mola.
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Movimento Harmônico simples
Movimento Harmônico simples – MHS
Fx (x) = −kx =⇒ força restauradora =⇒ sempre contrária ao
deslocamento.
Como descrever x(t)?
Oscilações
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Movimento Harmônico simples
Movimento Harmônico simples – MHS
d2x
dt2
= −
(K
m
)
x =⇒ d
2x
dt2
+
K
m
x = 0
Como descrever x(t)?
Resolvendo equação diferencial ordinária linear de 2a ordem.
Ela é ordinária porque não envolve derivadas parciais em x;
Ela é de 2a ordem porque a derivada de ordem mais elevada que aparece é
a de 2a;
Ela é linear porque não aparecem termos não lineares em x (como x2, x3
etc) e em dx/dt, d2x/dt2, etc (como (dx/dt)2, (dx/dt)3, etc).
Oscilações
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Movimento Harmônico simples
Movimento Harmônico simples – MHS
d2x
dt2
= −
(K
m
)
x =⇒ d
2x
dt2
+
K
m
x = 0
Como descrever x(t)?
Resolvendo equação diferencial ordinária linear de 2a ordem.
Ela é ordinária porque não envolve derivadas parciais em x;
Ela é de 2a ordem porque a derivada de ordem mais elevada que aparece é
a de 2a;
Ela é linear porque não aparecem termos não lineares em x (como x2, x3
etc) e em dx/dt, d2x/dt2, etc (como (dx/dt)2, (dx/dt)3, etc).
Oscilações
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Movimento Harmônico simples
Fase, ângulo de fase, xm e condições iniciais.
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Maxima
Movimento Harmônico simples
Maxima
Movimento Harmônico simples
x(t) x v(t) x a(t) (fase nula)
Movimento Harmônico simples
x(t) x v(t) x a(t)
Movimento Harmônico simples
Prova 1: 03/07/13 (quarta-feira)
Movimento Harmônico simples
Última aula:
testemodellusrlsousaMHS.modellus
Movimento Harmônico simples
Energia: E, U(t), K(t)
Movimento Harmônico simples
Energia: E, U, K
Movimento Harmônico simples
Energia: E, U, K
Movimento Harmônico simples
Período do M.H.S. 99K T
Período da Energia no
M.H.S. 99K
1TE =
T
2
1TE =
T
2
−→ 2f
Movimento Harmônico simples
Oscilador Harmônico.
Movimento Harmônico simples
Oscilador Harmônico.
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Outline
1 Oscilações
2 Movimento Harmônico simples
3 Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
4 M.H.S x M.C.U.
5 Oscilações Amortecidas e Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Oscilador Torcional (Pêndulo de Torção )
Movimento Harmônico simples
Oscilador Torcional (Pêndulo de Torção ) - exemplo
Movimento Harmônico simples
Pêndulo Simples
Movimento Harmônico simples
Pêndulo Simples
Movimento Harmônico simplesPêndulo Simples - seja -
θ = 5◦ = 0.0873rad 99K sin(0.0873rad) = 0.0872 −→6= 0.1%
θ = 10◦ = 0.1745rad 99K sin(0.1745rad) = 0.1736 −→6= 0.5%
Movimento Harmônico simples
Pêndulo Físico
Movimento Harmônico simples
Pêndulo Físico – Exemplo
Movimento Harmônico simples
Pêndulo Físico – Exemplo
Movimento Harmônico simples
Pêndulo Físico – Exemplo
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Outline
1 Oscilações
2 Movimento Harmônico simples
3 Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
4 M.H.S x M.C.U.
5 Oscilações Amortecidas e Ressonância
Oscilações
M.H.S x M.C.U.
M.H.S x M.C.U. - As luas de Galileu
M.H.S x M.C.U.
M.H.S x M.C.U.
M.H.S x M.C.U.
M.H.S x M.C.U.
M.H.S x M.C.U.
M.H.S x M.C.U.
M.H.S x M.C.U.
M.H.S x M.C.U. −→ concluímos que
x(t) = r cos(ωt + φ)
é adequada para descrever a componente x de um vetor cuja extremidade
executa M.C.U.
Oscilações
Oscilações
Movimento
Harmônico
simples
Aplicações
do M.H.S. –
Pêndulos
M.H.S x
M.C.U.
Oscilações
Amortecidas
e
Ressonância
Oscilações
Movimento Harmônico simples
Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
M.H.S x M.C.U.
Oscilações Amortecidas e Ressonância
Outline
1 Oscilações
2 Movimento Harmônico simples
3 Aplicações do M.H.S. – Pêndulos
4 M.H.S x M.C.U.
5 Oscilações Amortecidas e Ressonância
Oscilações
Oscilações Amortecidas
Oscilações Amortecidas
Oscilações Amortecidas
Oscilações Amortecidas
Oscilações Amortecidas
Oscilações Amortecidas – ∆ < 0: subamortecimento ou amortecimento
sub-crítico
Oscilações Amortecidas
Oscilações Amortecidas – ∆ < 0: subamortecimento ou amortecimento
sub-crítico
Oscilações Amortecidas
Oscilações Amortecidas
Oscilações Amortecidas
Oscilações Amortecidas
Oscilações Forçadas
Oscilações Forçadas
Oscilações Forçadas
Oscilações Forçadas
Oscilações Forçadas
Oscilações Forçadas
Oscilações Forçadas
Oscilações Forçadas