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Lista de Exercícios: soluções - Unidade 2 2.1 Uma lâmina de aço de espessura (ou altura) t = 3 mm, comprimento L = 300 mm, largura b = 20 mm, módulo de elasticidade E = 210 x 10 9 Pa tem a sua face plana paralela ao plano horizontal e é usada como uma mola simplesmente apoiada nas duas extremidades para suportar uma massa na metade de seu comprimento. (a) Determinar a constante de mola para a força e deslocamento na direção vertical, na posição da massa. (b) Quais as modificações que se fariam nas dimensões da viga para duplicar a sua constante de mola? (c) Determinar a constante de mola se duas lâminas são usadas uma em cima da outra com lubrificante entre elas (não há atrito). (d) Encontrar a constante de mola se duas lâminas são usadas uma em cima da outra e soldadas juntas. Dados: t = 3 mm, L = 300 mm, b = 20 mm, E = 210 x 10 9 Pa (a) Viga bi-apoiada sob flexão 3 48 L EI k com 412 33 m 1045 12 003,002,0 12 bt I N/m 108,16 3,0 1045102104848 3 3 129 3 L EI k (b) Para duplicar a constante de mola da viga podem ser adotadas as seguintes soluções: 1. Diminuir o comprimento para m 238,0 108,162 10451021048 2 48 3 3 129 3 k EI L 2. Aumento do momento de inércia (dimensões da seção transversal) 411 9 333 m 109 1021048 3,0108,162 48 2 E kl I (c) A configuração proposta consitui-se em uma associação em paralelo, implicando na duplicação da rigidez, de forma que N/m 106,33108,162 33 k (d) Desta forma a espessura da viga é duplicada t = 6 mm 412 33 m 10360 12 006,002,0 12 bt I N/m 10134 3,0 10360102104848 3 3 129 3 L EI k 2.2 Uma máquina de massa m = 500 kg é montada em uma viga de aço bi-apoiada, de comprimento L = 2 m, que possui uma seção transversal retangular (espessura = 0,1 m, largura = 1,2 m) e E = 210 x 10 9 N/m 2 . Para reduzir a flecha no centro da viga foi colocada uma mola de rigidez k, como mostra a Fig. 2.1. Determinar o valor de k necessário para reduzir a flecha da viga para um terço do seu valor original (sem a mola). Assumir que a massa da viga é desprezível. m k Figura 2.1 Dados: m = 500 kg, L = 2 m, t = 0,1 m, b = 1,2 m e E = 206 x 10 9 N/m 2 . Como o momento de inércia (em relação à linha elástica) de uma viga é 44 33 m 1000,1 12 1,02,1 12 tb I A rigidez de uma viga bi-apoiada com carga concentrada no centro é N/m 10126 2 1000,1102104848 6 3 49 3 L EI kv A mola de rigidez k se associa em paralelo (observar que aumenta a rigidez) com a viga. Para que a flecha seja reduzida para um terço de seu valor inicial tem-se 33 v eq viga final k P k P De onde N/m 10252106,123223 66 vvveq kkkkkk 2.3 O eixo de um elevador em uma mina está suspenso por dois cabos de comprimento L = 150 m e diâmetro d = 20 mm cada. Os cabos são feitos de aço com módulo de elasticidade E = 210 x 10 9 Pa. (a) Determinar a constante de mola do sistema se for aplicada uma carga vertical na extremidade inferior do eixo para deslocamento na direção vertical. (b) Determinar como a constante de mola irá variar se o número de cabos for aumentado para quatro. (c) Determinar como a constante de mola irá variar se o diâmetro do cabo mudar para 30 mm (com dois cabos). Dados: L = 150 m, d = 20 mm, E = 210 x 10 9 Pa. (a) N/m 10440 1504 02,010210 4 3 292 L Ed L EA k Com dois cabos em paralelo N/m 108802 3 kkeq (b) N/m 1076,14 6 kkeq (c) N/m 10990 1504 03,010210 4 3 292 L Ed L EA k N/m 1098,12 6 kkeq Comparando os resultados dos itens a) e c), ocorreu uma variação de 2,25 vezes na rigidez para uma ampliação de 50% no diâmetro do cabo. 2.4 Um sistema de barra de torção de uma suspensão automotiva possui comprimento L = 1,5 m e diâmetro d = 18 mm. O módulo de elasticidade transversal é G = 85 GPa. (a) Determinar a rigidez torsional da barra para torques aplicados em ambas extremidades. (b) Determinar a rigidez torsional se o material da barra for bronze com G = 41 GPa. Dados: l = 1,5 m, d = 18 mm, G = 85 GPa (a) 49 44 m 103,10 32 018,0 32 d J N.m/rad 584 5,1 103,101085 99 L GJ k t (b) Com G = 41 GPa N.m/rad 282 5,1 103,101041 99 L GJ k t 2.5 Uma mola de lâminas múltiplas consiste de três lâminas de aço de comprimento L = 0,3 m, largura b = 0,10 m e espessura t = 0,005 m (Fig. 2.2). Determinar a constante de mola para deflexão vertical se o módulo de elasticidade é E = 210 x 10 9 Pa e o bloco de conexão é rígido. Notar que as extremidades das lâminas permanecem sempre horizontais. Figura 2.2 Dados: L = 0,3 m, b = 0,10 m, t = 0,005 m e E = 210 GPa Uma viga bi-engastada, com carregamento P concentrado no seu centro, possui uma deformação igual a EI PLviga 192 3 Cada uma das 3 lâminas é uma viga engastada com a sua extremidade condicionada a uma deformação vertical, sem girar. Desta forma ela pode, em função da simetria, ser considerada como a metade de uma viga bi-engastada com carregamento concentrado no centro. Desta forma pode-se dizer que será necessário o dobro da carga para produzir uma igual deformação em uma viga bi-engastada com o dobro do comprimento de cada lâmina. EI L F k F 192 2 3 2 3 3 de onde N/m 102,97 3,0 12 005,01,0 1021012 123 3 3 3 9 3 L EI F k Como são três lâminas que sofrem a mesma deformação, estão associadas em paralelo de forma que a rigidez equivalente é N/m 102923 3 kkeq 2.6 Uma mola torsional conectando dois eixos, consiste de oito barras de d = 8 mm, conectadas como mostrado, em um círculo de um raio R = 100 mm, na Fig. 2.3. Se o seu comprimento é l = 250 mm e o módulo de elasticidade do material na mola é E = 210 GPa, calcular a constante de mola torsional e notar que cada barra está carregada em flexão com a sua extremidade permanecendo perpendicular aos discos. Figura3 Dados: d = 8 mm, R = 100 mm, l = 250 mm E = 210 GPa, Cada barra se comporta como as lâminas do exercício anterior, submetidas a flexão, de forma que sua rigidez é 3 12 l EIP k barra A rigidez torsional proporcionada por cada barra é determinada por N.m/rad 324 25,0 1,0 64 008,0 1021012 12 3 2 4 9 3 2 2 l REI Rk R RPM k barra t t Como são 8 molas combinadas proporcionando um efeito torsional equivalente a uma associação em paralelo (mesma deformação), a rigidez torsional equivalente é N.m/rad 1059,232488 3 teqt kk 2.7 Uma barra de torção consiste de três segmentos com diâmetros de 30, 40, e 50 mm e comprimentos de 400, 600, e 500 mm, respectivamente, conectados em série de forma a formar um eixo reto. Se G = 105 GPa, determinar a constante de mola torsional. Dados: d1 = 30 mm, d2 = 40 mm, d3 = 50 mm, l1 = 400 mm, l2 = 600 mm, l3 = 500 mm, G = 105 GPa. N.m/rad 109,20 4,032 03,010105 32 3 49 1 4 1 1 1 1 l dG l GI k P t N.m/rad 100,44 6,032 04,010105 32 3 49 2 4 2 2 2 2 l dG l GI k P t N.m/rad 10129 5,032 05,010105 32 3 49 3 4 3 3 3 3 l dG l GI k P t N.m/rad 108,12 10129 1 100,44 1 109,20 1 1 111 1 3 333 321 ttt eq kkk k 2.8 Uma mola helicoidal usada em uma transmissão de caminhão tem diâmetro do arame d = 10 mm, diâmetro D = 100 mm e tem 15 espiras, módulo de elasticidade transversal G = 81 GPa. (a) Encontrar a constante de mola axial. (b) Encontrar a constante de mola axial se for dobrado o número de espiras. (c) Encontrar a constante de mola se duas molas estão conectadas em paralelo. (d) Encontrar a constante de mola se duas molas são conectadas em série. Dados: d = 10 mm, D = 100 mm, n = 15 espiras e G = 81 GPa. (a) N/m 1075,6 1,0158 01,01081 8 3 3 49 3 4 nD Gd k (b) N/m 1038,3 1,0308 01,01081 8 3 3 49 3 4 nD Gd k (c) N/m 105,132 3 kk eq (d) N/m 1038,3 2 4 k k eq 2.9 Uma mola de retorno de uma manivela Fig. 2.4 possui seis espiras e é feita de aço com E = 2,1 x 1011 Pa, d = 3 mm e de Di = 30 mm. Determinar a constante torsional da mola. Dados: E = 210 GPa, d = 3 mm, Di = 30 mm e n = 6. D = Di + d = 3 + 30 = 33 mm N.m/rad 895 033,0632 003,010210 32 393 nD Ed k t Figura 2.4 2.10 Determinar a constante de mola equivalente para o sistema mostrado na Fig. 2.5, na direção de Figura 2.5 2 2 1 eq kU 23 23 2 12121 2 23 2 121 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 lklkkkklklkkkkU tttt 2 23 2 12121 lklkkkkk tteq 2.11 Determinar a constante de mola equivalente torsional para o sistema mostrado na Fig. 2.6 Os três segmentos de eixos, com rigidezes k1, k2 e k3, estão submetidos à torção estão associados em série, possuindo rigidez equivalente: 313221 321 321 1 111 1 kkkkkk kkk kkk k eq Combinando-se com o quarto segmento de eixo, localizado do outro lado do disco, de rigidez torcional k4, ocorre uma associação em paralelo: 412 kkk eqeq As duas molas de rigidezes k5 e k6 estão associadas em paralelo, possuindo rigidez equivalente 653 kkk eq Figura 2.6 As duas molas de rigidezes k7 e k8 estão associadas em série, possuindo rigidez equivalente 87 87 87 4 11 1 kk kk kk k eq Os segmentos de eixo estão submetidos à torção , enquanto que as molas estão submetas a uma deformação linear igual a Rx A energia potencial total é igual à soma das energias potenciais armazenadas em cada um dos elementos deformados (segmentos de eixos e molas) 22 4 2 32 2 4 2 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 RkRkkxkxkkU eqeqeqeqeqeq Substituindo os termos das rigidezes 22 87 87 65 313221 321 4 2 1 R kk kk kk kkkkkk kkk kU De forma que a rigidez torcional equivalente é 2 87 87 65 313221 321 4 R kk kk kk kkkkkk kkk kk eq 2.12 Determinar o comprimento do eixo vazado uniforme de diâmetro interno d e espessura t que possui a mesma constante de mola axial que o eixo sólido cônico mostrado na Fig. 2.7. D d l Figura 2.7 1 2 1 22 1 22 1 4 44 4 24 4 l tdtE l dtdE l dd E l EA l EDd k ie Dd tdlt l 4 1 2.13 Determinar a massa equivalente referente à coordenada x para o balancim mostrado na Fig. 2.8. Figura 2.8 A massa m2 se movimenta com velocidade x , a o balancim com velocidade angular b x e a massa m1 com velocidade linear x b a a . A energia cinética total é igual à soma das energias cinéticas de cada uma das inércias (massas em translação e balancim em rotação), dada por 2 2 2 2 2 2 1 2 2 22 2 1 2 11 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 xmx b Jx b a mxmJx b a mT OO 2 2 22 1 1 2 1 xm b J b a mT O De forma que a massa equivalente é 22 2 1 m b Jam m O eq 2.14 Duas massas, com momentos de inércia de massa J1 e J2, são colocadas em eixos rígidos rotativos que são ligados por engrenagens, como mostra a Fig. 2.9. Se o número de dentes nas engrenagens 1 e 2 são n1 e n2, respectivamente, determinar o momento de inércia de massa equivalente correspondente a 1. Figura 2.9 Energia cinética 2 22 2 11 2 1 2 1 JJEC Relação de transmissão 2211 nn Então 2 12 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 11 2 1 2 1 2 1 J n n J n n JJEC Momento de inércia equivalente 2 2 2 1 1 J n n JJ eq 2.15 Determinar o momento de inércia de massa equivalente do trem de engrenagens mostrado na Fig. 2.10, com referência ao eixo de acionamento. Na Fig. 2.10, Ji e ni são os momentos de inércia de massa e os números de dentes, respectivamente, das engrenagens i, i=1,2, ... , 2N. Figura 2.10 Energia cinética N i ii JEC 2 1 2 2 1 Relações de transmissão 11 iiii nn N i i ii i n n n n n JJEC 0 2 1 2 12 4 3 2 1 122 22 1 Então 21 0 2 12 4 3 2 1 122 22 1 N i i ii i n n n n n JJEC Momento de inércia equivalente N i i iieq i n n n n n JJJ 0 2 12 4 3 2 1 122 2 2.16 Um oscilador harmônico possui massa m = 1,2 kg e constante de rigidez k = 8,5 kN/m. Determinar a freqüência natural em rad/s, Hz, cpm (ciclos por minuto). Dados: m = 1,2 kg, k = 8,5 kN/m rad/s 2,84 2,1 8500 m k n cpm 804 cpm 60) (13,4 Hz 4,13 2 2,84 2 f 2.17 Um oscilador harmônico possui massa m = 10 kg e período de vibração natural, medido em um osciloscópio, igual a 35 ms. Determinar a constante de mola. Dados: m = 10 kg, Tn = 35 ms. N/m 10322 035,0 1044 2 3 2 2 2 2 22 n nn T m fmmk 2.18 Um automóvel com massa de 2000 kg deforma suas molas da suspensão 0,02 m sob condições estáticas. Determinar a freqüência natural do automóvel na direção vertical assumindo que o amortecimentoseja desprezível. Dados: m = 2000 kg, st = 0,02 m rad/s 1,22 02,0 81,9 st n g m k 2.19 Uma prensa industrial está montada sobre uma camada de borracha para isolá-la de sua base. Se a borracha está comprimida 5 mm pelo peso próprio da prensa, determinar a freqüência natural do sistema. st st g m k kmg rad/s 3,44 005,0 81,9 st n g m k Hz 05,7 2 3,44 2 n n f 2.20 Um sistema massa-mola possui um período natural de 0,21 seg. Qual será o período se a constante de mola é (a) aumentada em 50 % ? (b) reduzida em 50 % ? Dados: Tn = 0,21 seg s 21,02 2 k m T n n (a) Rigidez aumentada em 50 % ? s 171,021,0 5,1 1 5,1 2 k m T n (b) Rigidez reduzida em 50 % ? s 297,021,0 5,0 1 5,0 2 k m T n 2.21 Um sistema massa-mola tem uma freqüência natural de 10 Hz. Quando a constante de mola é reduzida em 800 N/m, a freqüência natural é alterada em 45 % (a diferença). Determinar a massa e a constante de mola do sistema original. Dados: fn = 10 Hz, k = 800 N/m. rad/s 201022 nn f m k 22 20 mmk n 2055,08002080055,0 2 m m m k n Resolvendo kg 291,0 2055,01 800 22 m N/m 1015,1202905,020 322 mk 2.22 Um oscilador harmônico de massa m = 1 kg e rigidez k = 40 kN/m possui uma freqüência natural próxima à freqüência excitadora. Decidiu-se que se deveria mudar a massa ou a rigidez para diminuir a freqüência natural em 30% (a diferença). Determinar as possíveis mudanças requeridas. Dados: m = 1 kg e k = 40 kN/m rad/s 200 1 40000 m k n rad/s 1402007,07,0 1 nn Mantendo a massa kN/m 6,191401 22 11 n mk Mantendo a rigidez kg 04,2 140 40000 22 1 1 n k m ou uma infinita combinação de parâmetros garantido que rad/s 140 1 n 2.23 Uma mola helicoidal, quando fixada em uma extremidade e carregada na outra, requer uma força de 100 N para produzir um alongamento de 10 mm. As extremidades da mola estão agora rigidamente fixadas e uma massa de 10 kg é colocada no ponto médio de seu comprimento. Determinar o tempo necessário para completar um ciclo de vibração quando a massa vibra. Dados: F = 100 N, = 10 mm e m = 10 kg. kN/m 0,10 010,0 100 F k Quando dividida em duas a constante de mola se torna 10000 1111 11 kkk kN/m 0,20 10000 12 1 1 k k Na nova configuração, as duas metades estão associadas em paralelo kN/m 0,402000022 1 kk eq O tempo para cumprir um ciclo é ms 3,99 40000 10 22 k m T n 2.24 O cilindro de um servo-mecanismo mostrado na Fig. 2.11 possui um pistão com m = 0,3 kg e está suportado por uma mola helicoidal de d = 1 mm, D = 10 mm, 10 espiras e G = 105 GN/m 2 . Determinar a freqüência natural da vibração do pistão se não há óleo no cilindro. Figura 2.11 Dados: m = 0,3 kg, d = 1 mm, D = 10 mm, n = 10 espiras e G = 105 GN/m 2 . kN/m 31,1 01,0108 001,010105 8 3 49 3 4 nD Gd k rad/s 1,66 3,0 1031,1 3 m k n Hz 5,10 2 1,66 2 n n f 2.25 O cilindro de uma válvula mostrado na Fig. 2.12 tem um pistão com m = 0,2 kg e é suportado por uma mola helicoidal de 6 espiras com d = 2 mm, D = 30 mm, G = 105 GN/m 2 , determinar a freqüência natural de vibração do pistão se não há fluido na válvula. Figura 2.12 Dados: m = 0,2 kg, n = 6 espiras, d = 2 mm, D = 30 mm e G = 105 GN/m 2 . kN/m 30,1 03,068 002,010105 8 3 49 3 4 nD Gd k rad/s 5,80 2,0 1030,1 3 m k n Hz 8,12 2 5,80 2 n n f 2.26 Uma unidade de ar-condicionado está ligada ao solo por quatro molas de borracha. A massa da unidade é 300 kg e se deseja que a freqüência natural para vibração vertical esteja entre 32 e 40 Hz. Determinar a faixa permissível da constante de cada mola. Dados: m = 300 kg, fn = entre 32 e 40 Hz. rad/s 80 a 642 nn f Rigidez 24 n mk MN/m 03,3 4 64300 2 min k MN/m 74,4 4 80300 2 max k 2.27 Um desumidificador de ar está suspenso no teto por 4 barras de meio metro de comprimento, posicionadas fixamente. A massa da unidade é de 200 kg e se deseja que a freqüência natural para vibração vertical seja maior do que 30 Hz e para vibração horizontal esteja entre 10 e 15 Hz. Determinar a faixa permissível para os diâmetros das barras. E = 210 GN/m 2 . Dados: 4 barras, l = 0,5 m, m = 200 kg, fn > 30 Hz (vertical), 10 Hz ≤ fn ≤ 15 Hz (horizontal) e E = 210 GN/m 2 . rad/s 302 rad/s 202 maxmax minmin nn nn f f Limites para a rigidez horizontal (flexão) MN/m 78,130200 kN/m 79020200 22 maxmax 22 minmin n n mk mk Rigidez horizontal – flexão (assumindo viga em balanço) 49 3 4 9 3 10990 5,0 64 1021034 3 4 d d l EI k mm 6,36 10990 1078,1 10990 mm 9,29 10990 10790 10990 4 9 6 4 9 max max 4 9 3 4 9 min min k d k d Rigidez horizontal – flexão (assumindo duplo engaste) 412 3 4 9 3 1096,3 5,0 64 10210124 12 4 d d l EI k mm 9,25 1096,3 1078,1 1096,3 mm 1,21 1096,3 10790 1096,3 4 12 6 4 12 max max 4 12 3 4 12 min min k d k d Rigidez vertical – tração-compressão rad/s 602 minmin nn f MN/m 11,760200 22 minmin n mk 212 2 9 1032,1 5,0 4 102104 4 d d l EA k mm 32,2 1032,1 1011,7 1032,1 12 6 12 min min k d 2.28 Um coletor de lixo limpo está fixado no solo por 4 colunas de seção tubular retangular de espessura 5 cm e comprimento 0,5 m. A massa da unidade é 500 kg e se deseja que a freqüência natural para vibração horizontal esteja entre 32 e 40 Hz. Determinar a faixa permissível para a largura da sessão tubular. E = 210 GN/m 2 . Dados: 4 colunas de seção retangular, t = 5 cm, l = 0,5 m, m = 500 kg, 32 Hz ≤ fn ≤ 40 Hz (horizontal) e E = 210 GN/m2. rad/s 802 rad/s 642 maxmax minmin nn nn f f Limites para a rigidez horizontal (flexão) MN/m 6,3180500 MN/m 2,2064500 22 maxmax 22 minmin n n mk mk Rigidez horizontal – flexão (assumindo viga em balanço) b b l bt E k 6 3 39 3 3 10210 5,0 05,01021012 3 4 mm 150 10210 104,31 10210 mm 3,96 10210 102,20 10210 6 6 6 max max 6 6 6 min min k b k b Rigidez horizontal – flexão (assumindo duplo engaste) b b l bt E k6 3 39 3 3 10840 5,0 05,010210412 12 4 mm 6,37 10840 104,31 10840 mm 1,24 10840 102,20 10840 6 6 6 max max 6 6 6 min min k b k b 2.29 Um purificador de ar está fixado no solo por 6 pilares sólidos de ferro de forma retangular, com 100 mm de largura por 50 mm de espessura, com comprimento 2 m, fixados tanto no solo como na unidade. A massa da unidade é 800 kg. Determinar as freqüências naturais horizontais nas duas direções. E = 210 GN/m 2 . Dados: 6 pilares, b = 100 mm, t = 50 mm, l =2 m, m = 800 kg e E = 210 GN/m2. Rigidez horizontal – primeira direção – flexão (assumindo viga em balanço) kN/m 492 212 05,01,0102103612 3 6 3 39 3 3 l bt E k rad/s 8,24 800 10492 3 m k n Rigidez horizontal – segunda direção – flexão (assumindo viga em balanço) MN/m 97,1 212 1,005,0102103612 3 6 3 39 3 3 l tb E k rad/s 6,49 800 1097,1 6 m k n Rigidez horizontal – primeira direção – flexão (assumindo duplo engaste) MN/m 97,1 2 05,01,010210612 12 6 3 39 3 3 l bt E k rad/s 6,49 800 1097,1 6 m k n Rigidez horizontal – segunda direção – flexão (assumindo duplo engaste) MN/m 88,7 2 1,005,010210612 12 6 3 39 3 3 l tb E k rad/s 2,99 800 1088,7 6 m k n 2.30 Um pequeno compressor está apoiado em quatro molas de borracha que possuem constantes de rigidez 3,0 kN/m cada uma, na direção vertical, e 4,0 kN/m na direção horizontal. A massa da unidade é 30 kg. Determinar as freqüências naturais para vibrações horizontal e vertical. Dados: quatro molas de borracha, kv = 3,0 kN/m, kh = 4,0 kN/m e m = 30 kg. Direção horizontal rad/s 1,23 30 400044 m k h nh Hz 68,3 2 09,23 2 nh nh f Direção vertical rad/s 0,20 30 300044 m k hv nv Hz 18,3 2 0,20 2 nh nh f 2.31 O núcleo móvel de um relé eletromagnético mostrado na Fig. 2.13 possui massa m = 12 gr, e está suportado por uma mola com k = 3,0 kN/m. Quando energizado, fecham-se os contatos, que estão montados em lâminas flexíveis de espessura 0,8 mm e 6 mm de largura. A lâmina móvel possui comprimento de 20 mm e as estacionárias possuem comprimentos de 15 mm cada. Determinar a freqüência natural com o relé aberto e fechado. E = 210 GN/m 2 . Figura 2.13 Dados: m = 12 gr, k = 3,0 kN/m, t = 0,8 mm, b = 6 mm, l1 = 20 mm, l2 = 15 mm e E = 210 GN/m2. Com o relé aberto: rad/s 500 012,0 3000 m k n ou Hz 6,792 500 2 n n f Com o relé fechado a) lâmina móvel – dupla viga engastada kN/m 161 2 02,0 12 0008,0006,0 102103 2 3 3 3 9 3 1 1 l EI k b) lâmina fixa – viga engastada kN/m 8,47 015,0 12 0008,0006,0 102103 3 3 3 9 3 2 2 l EI k De cada lado ocorre associação em série de k1 e k2 kN/m 9,36 108,4710161 108,4710161 33 33 21 21 1 kk kk k eq Estes dois conjuntos estão associados em paralelo kN/m 7,73109,3622 3 1 eqeq kk A freqüência natural com relé fechado será rad/s 1053,2 012,0 300073728 3 m k eq n ou Hz 402 2 1053,2 2 3 n n f 2.32 Achar a freqüência natural de vibração do sistema massa-mola montado em um plano inclinado, como mostrado na Fig. 2.14. Figura 2.14 xmmgxkxk sin 21 sendo x1 medido a partir da posição de equilíbrio estático 11211 sin xmmgxkxk stst 0sin 121121 xkkxmmgkk st pela condição de equilíbrio estático. A freqüência natural é m kk n 21 2.33 Determinar a expressão para a freqüência natural do sistema mostrado na Fig. 2.15, considerando desprezíveis as massas das plataformas. Figura 2.15 Viga engastada 3 1 11 1 3 l IE k Viga bi-apoiada 3 2 22 2 48 l IE k Constante de mola equivalente, associação em paralelo 21 kkkeq Freqüência natural 3 2 22 3 1 1121 483 l IE l IE W g W kkg m k eq n 2.34 Uma mola helicoidal de rigidez k é cortada em duas metades e uma massa m é conectada às duas metades como mostra a Fig. 2.16(a). O período natural deste sistema é 0,5 seg. Se uma mola idêntica é cortada de forma que uma das partes tenha ¼ de seu comprimento enquanto que a outra parte tenha ¾, com a massa sendo conectada às duas partes como mostra a Fig. 2.16(b), qual será o período natural do sistema? Figura 2.16 Uma mola pode ser considerada como duas metades associadas em série, de forma que kk 2 1 cada metade As duas metades associadas em paralelo, como mostra a Fig. 2.16a, possuem rigidez kkk eq 42 1 Freqüência natural 5,0 22 2 4 n n Tm k m k 2 m k Para a divisão mostrada na Fig. 2.16b, dividindo a mola em 4 kk 4 2 Associando 3 em série 3 4 111 1 222 3 k kkk k Associando k2 e k3 3 16 3 4 4 32 kk kkkk eq Freqüência natural rad/s 5,142 3 4 3 4 3 16 1 m k m k n Período s 433,0 5,14 22 1 n nT 2.35 Três molas e uma massa estão presas a uma barra rígida PQ, sem peso, como mostra a Fig. 2.17. Achar a freqüência natural de vibração do sistema. Figura 2.17 Do diagrama de corpo livre da barra PQ, considerada como de massa desprezível, a 2ª Lei de Newton para movimentos angulares (Lei de Euler), pode ser escrita para momentos em relação ao ponto P como 0 333 2 22 2 11 xllklklk De onde se tem que x lklklk lk 2 33 2 22 2 11 33 Do diagrama de corpo livre da massa m, a 2ª Lei de Newton pode ser escrita para as forças atuantes na massa xmxlk 33 Substituindo a segunda expressão na terceira chega-se à equação do movimento em x 0 2 33 2 22 2 11 2 22 2 113 x lklklkm lklkk x De onde se extrai a freqüência natural como sendo 2 33 2 22 2 11 2 22 2 113 lklklkm lklkk n 2.36 O sistema mostrado na Fig. 2.18 modela o mecanismo de contato de um relé eletro-mecânico. (a) Determinar sua freqüência natural de oscilação em torno do pivô. (b) De determinar o valor da rigidez k que resultará em duas vezes a sua freqüência natural. Figura 2.18 Equação do movimento 2 22 22 a l g W I lk O 0 22 2 2 2 lkal g W a) Freqüência natural 22 2 22 2 4 4 4 4 alW gkl al g W l k n b) Como a rigidez é proporcional ao quadrado da freqüência natural, é necessário quadruplicá-la para dobrar a freqüência natural. 2.37 O sistema mostrado na Fig. 2.19 modela o braço de um mecanismo de elevação de peso. Determinar sua freqüência natural de oscilação em torno do ponto A. Figura 2.19 Equações do movimento xmLxk xLLklk 2 2 2 1 0 Da primeira Lk Lklk x 2 2 2 2 1 e Lk Lklk x 2 2 2 2 1 substituindo na segunda 0 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 L Lk Lklk k Lk Lklk m resultando em 02 12 2 2 2 1 lkkLklkm ou então 0 2 2 2 1 2 21 Lklkm lkk Freqüência natural 2 2 2 1 2 21 Lklkm lkk n 2.38 Para o pêndulo invertido mostrado na Fig. 2.20 que modela um tipo de sismógrafo: (a) Determinar a freqüência natural. (b) Se a mola k1 é removida para que o valor da constante de mola k2 a freqüência natural será zero? Figura 2.20 a) Freqüência natural 22 11 2 22 mLhkhkmgL 02 22 2 11 2 mgLhkhkmL 2 2 22 2 11 mL mgLhkhk n b) Com k1 = 0 para fazer com que a freqüência natural se anule é necessário que 2 2 2 2 22 h mgL kmgLhk 2.39 Para o pêndulo controlado mostrado na Fig. 2.22 modelando um relógio: (a) Determinar a freqüência natural. (b) Para que valor da massa m2 a freqüência natural será zero? Figura 2.21 (a) Equação do movimento 2 22 2 111122 LmLmgLmgLm 0 2211 2 22 2 11 gLmgLmLmLm Freqüência natural 2 22 2 11 2211 LmLm gLmLm n (b) 00 22112 22 2 11 2211 LmLm LmLm gLmLm n 2 1 12 L L mm 2.40 Uma barra uniforme rígida de massa m e comprimento l está articulada no ponto A e ligada a cinco molas como mostra a Fig. 2.22. Achar a freqüência natural do sistema se k = 2 kN/m, kt = 1 kN.m/rad, m = 10 kg e l = 5 m. Figura 2.22 Dados: k = 2,0 kN/m, kt = 1,0 kN.m/rad, m = 10 kg e l = 5 m. Momento de inércia da barra 12 2ml I G em relação a A m llml mdII GA 22 2 23 2 12 936 3 612 22222 mlmlml m lml I A Equação do movimento At Ik l k l k 22 3 2 2 3 2 0 9 10 9 22 klkml t Freqüência natural rad/s 1,45 510 520001010009109 2 2 2 2 ml klk t n 2.41 Um cilindro de massa m e momento de inércia J0 rola livremente, sem deslizar, mas tem seu movimento restrito por duas molas de rigidez k1 e k2 como mostra a Fig. 2.23. Achar a freqüência natural de vibração e o valor de a que maximiza a freqüência natural. Figura 2.23 Rotação pura em torno do ponto de contato 22 2 2 1 mRJaRkaRk O 02 21 2 aRkkmRJ O Freqüência natural 2 21 2 2 21 mRJ kk aR mRJ aRkk OO n Para maximizar a = R 2.42 Achar a equação do movimento da barra rígida uniforme AO, de comprimento l e massa m mostrada na Fig. 2.24. Achar também sua freqüência natural. Figura 2.24 3212 222 mll m ml J O 3 2 2 2 2 1 ml klkak t 0 3 2 2 2 1 2 t klkak ml 2 2 2 2 1 3 ml klkak t n 2.43 Um disco circular uniforme, de massa m, é pivotado no ponto O como mostra a Fig. 2.25. Achar a freqüência natural do sistema. Momento de inércia em relação ao centro do disco 2 2ma J C Figura 2.25 Equação do movimento 2 2 2 mb ma mgb 0 2 2 2 gbba Freqüência natural 22 2 2 ba gb n 2.44 O sistema mostrado na Fig. 2.26 modela o braço de um sismógrafo vertical. (a) Determinar sua freqüência natural de oscilação em torno do pivô. (b) Determinar o valor da rigidez k que resultará no dobro da sua freqüência natural Figura 2.26 Equação do movimento 022 22 kamL mLka a) Freqüência natural 2 2 mL ka n b) Rigidez para dobrar a freqüência natural kk 4 1 2.45 Uma massa m é montada na extremidade de uma barra de massa desprezível e pode assumir três diferentes configurações como mostra a Fig. 2.27. Determinar a configuração que proporciona a maior freqüência natural. Figura 2.27 a) l g n b) 22 mlakmgl 022 akmglml 2 2 2 2 ml ka l g ml mglka n c) 22 mlakmgl 022 mglakml l g ml ka ml mglka n 2 2 2 2 A configuração que proporciona a maior freqüência natural é a b). 2.46 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.28, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é . Figura 2.28 Momento de inércia do retângulo em relação ao seu centro 22 12 ba m J Momento de inércia do quadrado em relação ao seu centro 6 2 1 1 am J Massa do quadrado sem o furo – espessura unitária 2 1 am Momento de inércia do círculo em relação ao centro 822 1 2 2 2 22 DmD mJ Massa do círculo (a ser retirada) 4 2 2 D m Massa total 4 2 2 21 D ammm Momento de inércia total em relação ao centro 442 1 6 1 2222 21 DD aaJJJ O 326 44 Da J O Momento de inércia em relação ao pivô – Teorema dos eixos paralelos (Steiner) 443262 22 2 442 DD a DaD mJJ OP 32 3 46 4224 DDaa J P Equação do movimento P J D mg 2 0 2432 3 46 2 2 4224 DDagDDaa Freqüência natural 4224 22 92416 412 DDaa DagD n 2.47 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.29, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. O elemento possui espessura unitáriae a massa específica do material de que é constituído é . Figura 2.29 Momento de inércia do círculo externo em relação ao seu centro 8 2 11 D mJ Momento de inércia do círculo interno em relação ao seu centro 8 2 22 d mJ Massa do círculo externo – espessura unitária 4 2 1 D m Massa do círculo interno (a ser retirada) 4 2 2 d m Massa do círculo (a ser retirada) 4 2 2 D m Massa total 22 21 4 dDmmm Momento de inércia total em relação ao centro 44 21 32 1 dDJJJ O Momento de inércia em relação ao pivô – Teorema dos eixos paralelos (Steiner) 4432 1 2 222 44 2 ddD dD d mJJ OP 2 3 216 4 22 4 d dD D J P Equação do movimento P J d mg 2 0 2 3 22 1 22 4 22 4 dDgdddDD Freqüência natural 4224 22 32 4 ddDD dDgd n 2.48 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.30, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é . Figura 2.30 Momento de inércia do círculo externo em relação ao pivô 2 2 11 R mJ Momento de inércia do círculo interno em relação ao pivô 2 2 2 2 2 22 8 3 48 Rm R m R mJ Massa do círculo externo – espessura unitária 2 1 Rm Massa do círculo interno (a ser retirada) 4 2 2 R m Massa total 4 3 2 21 R mmm Novo centróide 2 0 2 1 2211 R r r mrrmrm c 6 4 3 24 22 R r r RRR c c Momento de inércia total em relação ao pivô 32 13 48 3 2 4 2 22 2 21 R R RR RJJJ P Equação do movimento Pc Jmgr 0 64 3 32 13 24 RgRR 0 4 13 gR Freqüência natural R g n 13 4 2.49 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.31, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é . Figura 2.31 Momento de inércia do disco superior em relação ao seu centro 2 1 11 22 1 d mJ com massa 4 2 1 1 d m Momento de inércia da barra em relação ao pivô 2 1 2 222 2 2212 dl mbl m J com massa blm 2 Momento de inércia do disco inferior em relação ao pivô 2 12 3 2 2 33 2222 1 d l d m d mJ com massa 4 2 2 3 d m Massa total bldd d bl d mmmm 2 2 2 1 2 2 2 1 321 444 Novo centróide 22 22 0 21 3 1 2 1 332211 d l d r ld r r mrrmrmrm c c r d bl dd l ddld bl 4422422 2 2 2 121 2 21 2 2 2 1 21 2 21 42 24 dbld dlddldbl r c Momento de inércia total em relação ao pivô 2 12 2 2 2 1224 2 4 1321 2 16221232 dld ddl blbl bl ddJJJJ P Equação do movimento 0 442 24 2 16221232 0 2 2 2 12 2 2 1 21 2 21 2 12 2 2 2 1224 2 4 1 bldd dbld dlddldbl dld ddl blbl bl dd mgrJ cP Freqüência natural 2 12 2 2 2 1224 2 4 1 2 2 2 12 2 2 1 21 2 21 2 16221232 442 24 dld ddl blbl bl dd bldd dbld dlddldbl n 2.50 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.32, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é . Figura 2.32 Momento de inércia do quadrado em relação ao seu centro 6 2 1 am J G Massa do quadrado – espessura unitária 2 1 am Momento de inércia em relação ao pivô 3 2 262 444 2 1 aaaa mJJ GP Equação do movimento 02 23 2 2 2 2 22 4 2 1 ka a ga a J a k a gm P Freqüência natural 222 )22(3 a kag n 2.51 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.33, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. O elemento possui espessura unitária e as massas das barras vertical e horizontal são iguais a m. Figura 2.33 Momento de inércia da barra vertical em relação à articulação 2 22 1 212 L mbL m J Momento de inércia da barra vertical em relação à articulação 222 2 12 mLbL m J Momento de inércia da total em relação à articulação 222 21 4 5 6 mLbL m JJJ P Novo centróide Lr L r mrrmrm c 2 1 2211 2 Lr mrmL L m c c 4 3 2 2 Equação do movimento 0 4 3 2 4 5 6 02 222 LmgmLbL m mgrJ cP Freqüência natural 22 172 18 Lb gL n 2.52 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.35, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. O elemento possui espessura unitária e largura desprezível. Figura 2.34 Momento de inércia da barra em relação à articulação 2 2 2 6 5 2 3 12 mLLm mL J Equação do movimento 0 2 3 6 5 0 2 3 2 LmgmL LmgrJ Freqüência natural L g n 5 33 2.53 A velocidade máxima atingida pela massa de um oscilador harmônico simples é 10 cm/s, e o período de oscilação é 2 s. Se a massa vibra livremente com deslocamento inicial de 2 cm, achar: (a) a velocidade inicial; (b) a amplitude do deslocamento; (c) a aceleração máxima e (d) o ângulo de fase. Dados: vmax = 10 cm/s, Tn = 2 s, x0 = 2 cm. (a) rad/s 2 22 n n T t v txx n n n sincos 0 0 tvtxx nnn cossin 00 2 0 2 max0 2 0 2 0max xvvvxv nn mm/s 8,7702,01,0 22 0 v (b) rad/s 2 22 n n T mm 8,31 0778,0 02,0 2 2 2 02 0 n v xA (c) 2 2 222 max mm/s 314 0778,0 02,08,31 Aa n (d) rad 891,0 02,0 0778,0 tantan 1 0 01 n x v 2.54 Uma máquina possui massa m = 250 kg e seu suporte tem rigidez k = 130 kN/m. Se a máquina em sua base é modelada como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, determinar: (a) a freqüência natural e (b) a equação do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm na direção vertical. Dados: m = 250 kg, k = 130 kN/m e x0 = 1 mm. (a) Freqüência natural rad/s 8,22 250 130000 m k n (b) Equação do movimento mm 1 0 xA m 8,22cos001,0 tx 2.55 Uma máquina possui massa m = 250 kg e possui freqüência natural para vibração vertical n = 5140 rad/s. Se a máquina em sua fundação é modelada como sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, determinar: (a) a rigidez k do suporte elástico e (b) a equação do movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direção vertical provocada por um impacto. Dados: m = 250 kg, n = 5140 rad/s e v0 = 1 mm/s. (a) Rigidez GN/m 60,65140250 22 n mk (b) mm 1095,1 5140 001,0 40 n v A mm 5140sin1095,1 4 tx 2.56 Uma máquina possui uma rigidez dos suportes k = 5,5 x 104 N/m e tem freqüência natural de vibração vertical n = 550 rad/s. Se a máquina em sua fundação é modelada como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, determinar: (a) a massa da máquina e (b) a equação do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 mm/s na direção vertical. Dados: k = 5,5 x 10 4 N/m, n = 550 rad/s, x0 = 1 mm e v0 = 130 mm/s. (a) Massa da máquina kg 182,0 550 55000 22 n k m (b) Equação do movimento mm 03,1 550 130 1 2 2 2 02 00 n v xX rad 232,0 1550 130 tantan 1 0 01 x v n tXx n cos 0 mm 232,0550cos03,1 tx 2.57 Um instrumento eletrônico tem massa m = 3,4 kg e é suportado por 4 coxins de elastômero com uma rigidez k = 5400 N/m cada. Se o instrumento no seu suporte é modelado como um sistema de um grau de liberdade para vibração vertical, determinar: (a) a freqüência natural e (b) se uma ferramenta pesando 0,5 kgf cai sobre o instrumento medindo-se máxima amplitude de vibração do movimento resultante, igual a 1,7 mm, determinar a velocidade do conjunto imediatamente após o impacto da ferramenta. Dados: 4 coxins, k = 5400 N/m cada, m = 3,4 kg, w1 = 0,5 kgf, X0 = 1,7 mm. (a) Freqüência natural rad/s 7,79 4,3 540044 m k n (b) Velocidade m 0017,0 2 1 02 00 n v xX m 10227,0 54004 81,95,0 31 0 k gm x rad/s 4,74 5,04,3 540044 1 1 mm k n mm/s 1254,74227,070,1 22 1 2 0 2 00 n xXv 2.58 Um instrumento eletrônico tem massa m = 3,4 kg e é suportado por 4 coxins de elastômero com rigidez desconhecida. O instrumento no seu suporte é modelado como um sistema de um grau de liberdade para vibração vertical. Durante um teste, uma massa m1 = 0,5 kg cai sobre ele com velocidade desconhecida. O impacto foi plástico e a amplitude de vibração medida foi 2,2 mm com freqüência do movimento vertical resultante igual a 325 rad/s. Determinar: (a) a rigidez de cada um dos quatro coxins elásticos e (b) a velocidade da massa em queda, imediatamente antes do impacto. Dados: 4 coxins, m = 3,4 kg, m1 = 0,5 kg, X0 = 2,2 mm e n1 = 325 rad/s. (a) Rigidez kN/m 103 4 3255,04,3 4 22 11 n mm k (b) Velocidade da massa em queda antes do impacto mm 0119,0 411900 81,95,0 1 0 k gm x mm/s 715325100119,00022,0 2322 0 2 00 n xXv mm/s 5577715 5,0 5,04,3 0 1 1 0 v m mm v 2.59 A massa m cai, de uma altura h, sobre um anteparo de massa desprezível, como mostra a Fig. 2.35, e a colisão é plástica. Determinar a resposta do sistema. Figura 2.35 k mg x 0 ghv 20 m k n k mgh k mg m k gh k mgv xX n 22 2 2 22 02 00 mg hk m k k mg gh 2 tan 2 tan 11 Resposta do sistema mg hk t m k k mgh k mg x 2 tancos 2 1 2 2.60 A massa m cai, de uma altura h, sobre uma massa m1, como mostra a Fig. 2.36, e a colisão é plástica. Determinar a resposta do sistema. Figura 2.36 Conservação da quantidade de movimento 010 vmmvm ghv 2 0 gh mm m v 2 1 0 Condições iniciais 1 0 0 2 mm m ghv k mg x Freqüência natural 1mm k n Amplitude do movimento 1 22 2 1 1 22 02 00 22 mmk ghm k mg k mm mm ghm k mgv xX n Ângulo de fase 1 1 1 11 0 01 2 tan 2 tantan mmg hk k mg mm k mm m gh x v n A resposta do sistema será tXtx n cos 0 1 1 11 22 2 tancos 2 mmg hk t mm k mmk ghm k mg x 2.61 Resolver o problema 2.24 usando o Método de Rayleigh. Dados: m = 0,3 kg, d = 1 mm, D = 10 mm, n = 10 espiras e G = 105 GN/m 2 . kN/m 31,1 01,0108 001,010105 8 3 49 3 4 nD Gd k tXx tXx nn n sin cos 0 0 2 max 2 max maxmax 2 1 2 1 kxxm UT 2 0 2 0 2 2 1 2 1 kXXm n rad/s 1,66 3,0 1031,1 3 m k n Hz 5,10 2 1,66 2 n n f 2.62 Resolver o problema 2.25 usando o Método de Rayleigh. Dados: m = 0,2 kg, n = 6 espiras, d = 2 mm, D = 30 mm e G = 105 GN/m 2. kN/m 30,1 03,068 002,010105 8 3 49 3 4 nD Gd k tXx tXx nn n sin cos 0 0 2 max 2 max maxmax 2 1 2 1 kxxm UT 2 0 2 0 2 2 1 2 1 kXXm n rad/s 5,80 2,0 1030,1 3 m k n Hz 8,12 2 5,80 2 n n f 2.63 Resolver o problema 2.38 usando o Método da Energia. a) Freqüência natural utilizando o Princípio da Conservação da Energia 2 2 22 2 11 2 1 cos 2 1 2 1 LmT LLmghkhkU 0sin 22 22 2 11 mLmglhkhkUT dt d sin 02 22 2 11 2 mgLhkhkmL 2 2 22 2 11 mL mgLhkhk n b) Com k1 = 0 para fazer com que a freqüência natural se anule é necessário que 2 2 2 2 22 h mgL kmgLhk 2.64 Resolver o problema 2.39 usando o Método da Energia. (a) Freqüência natural 2 22 2 11 2211 2 1 2 1 cos1cos1 LmLmT gLmgLmU 0sinsin 2211 2 22 2 11 gLmgLmLmLmUT dt d sin 0 2211 2 22 2 11 LmLmLmLm 2 22 2 11 2211 lmlm glmlm n (b) 00 22112 22 2 11 2211 lmlm lmlm glmlm n 2 1 12 l l mm 2.65 Resolver o problema 2.40 usando o Método da Energia. Dados: k = 2,0 kN/m, kt = 1,0 kN.m/rad, m = 10 kg e l = 5 m. Momento de inércia da barra 12 2ml I G em relação a A m llml mdII GA 22 2 23 2 12 936 3 612 22222 mlmlml m lml I A Equação do movimento 0 9 10 9 22 t k klml UT dt d 0910 22 t kklml Freqüência natural rad/s 1,45 510 520001010009109 2 2 2 2 ml klk t n 2.66 Resolver o problema 2.41 usando o Método da Energia. Energia cinética 22 2 1 mRJT O Energia potencial 2 11 2 1 aRkkU 02 11 2 aRkkmRJUT dt d O 02 21 2 aRkkmRJ O Freqüência natural 2 21 2 2 21 mRJ kk aR mRJ aRkk OO n Para maximizar a = R 2.67 Um cilindro circular de massa m e raio r é ligado a uma mola de módulo k, como mostra a Fig. 2.37. Utilizando o Método da Energia, achar a freqüência do movimento, quando o cilindro rola sem deslizar em uma superfície áspera. Energia cinética 222 2 1 2 1 mrmrT 2 22 2 2 2 2 1 2 1 3 2 2 1 32 1 2 A t IT k l k l kU 0 2 12 9 10 22 2 tA k l k l k l IUT dt d Figura 2.37 Energia cinética 222 2 1 2 1 mrmrT Energia potencial 2 2 1 rkU 0 2 3 22 krmrUT dt d 0 2 3 km Freqüência natural m k n 3 2 2.68 No sistema massa-mola mostrado na Fig. 2.38, a corda pode ser considerada como inextensível. Achar a freqüência natural de vibração, utilizando o Método da Energia. Figura 2.38 Energia cinética 22 2 2 1 2 1 2 1 2 1 JxMxmT com 2 ,,2 2121 rxrxxx e 2 2 1 MrJ 2 22 2 22 22 2 2 2 4 34 2 1 242 1 22 1 22 1 2 1 MrmrMrMr mr Mrr MrmT Energia potencial 2 22 2 2 42 1 22 1 2 1 krr kkxU Conservação da energia 0 44 34 222 krMrmrUT dt d Equação do movimento 034 kMm Freqüência natural Mm k n 34 2.69 O cilindro de massa m e raio r rola sem deslizar em uma superfície de raio R, como mostra a Fig. 2.39. Determinar a freqüência de oscilação quando o cilindro é ligeiramente deslocado da sua posição de equilíbrio. Use o Método da Energia. Figura 2.39 Energia cinética – rotação pura em relação ao ponto de contato 22 2 22 1 mr mr T Energia potencial cos1 rRmgmghU condição de rolamento puro rrRrrRrrR Conservação da energia 0sin 2 3 2 rRmgmrUT dt d Linearizando e substituindo os ângulos 0 2 3 2 rR r rR r rRmg mr 0 2 3 rR g Freqüência natural rR g n 3 2 2.70 Uma locomotiva de massa 60000 kg trafegando a uma velocidade de 20 m/s é parada no final dos trilhos por uma sistema massa-mola-amortecedor. Se a rigidez da mola é 40 kN/mm e a constante de amortecimento é 20 kN.s/m determinar: (a) o deslocamento máximo da locomotiva após atingir o sistema e (b) o tempo gasto para atingir o seu deslocamento máximo. Dados: m = 60 × 10 3 kg, v = 20 m/s, k = 40 kN/mm e c = 20 kN.s/m. (a) deslocamento máximo rad/s 8,25 1060 1040 3 6 m k n 00645,0 8,2510602 1020 2 3 3 n m c rad/s 8,258,2500645,011 22 nd Com x0 = 0 e v0 = 20 m/s m 775,0 8,25 20 02 0 2 00 dd n v x xv X rad 2 tantan 1 0 001 d n x xv m 2 8,25cos775,0cos 167,0 tetXetx t d tn teteXtx d t dd t n nn sincos 0 0 txx máx 0sincos 00 tt dddn 22 0 0 0 11 tan cos sin n n d n d d d t t t s 0606,0 200645,01 00645,0 tan 8,25 1 1 tan 1 2 1 2 1 0 d t m 767,0 2 0606,08,25cos775,0 0606,0167,0 0 etx (b) tempo s 0606,0 0 t 2.71 Um oscilador harmônico possui massa m = 1,2 kg, constante de amortecimento c = 12 N.s/m e constante de mola k = 0,5 kN/m. Determinar: (a) A freqüência natural amortecida. (b) O fator deamortecimento e o decremento logarítmico. Dados: m = 1,2 kg, c = 12 N.s/m e k = 0,5 kN/m.. (a) Freqüência natural amortecida rad/s 4,20 2,1 500 m k n 245,0 4,202,12 12 2 n m c rad/s 8,194,20245,011 22 nd (b) Fator de amortecimento e decremento logaritmico 245,0 59,1 245,01 245,02 1 2 22 2.72 A razão entre duas amplitudes sucessivas de um sistema de um grau de liberdade amortecido é 18:1. Determinar a mesma relação de amplitudes se a quantidade de amortecimento é (a) dobrada, ou (b) reduzida para a metade. Dados: razão entre amplitudes sucessivas = 18:1. 89,218lnln 2 1 x x Fator de amortecimento 418,0 89,22 89,2 2 2 222 Constante de amortecimento n mc 2 (a) Dobrando c dobra 57,9 418,021 418,022 1 2 22 357,9 2 1 103,14 ee x x (b) Reduzindo pela metade 34,1 2 418,0 1 2 418,0 2 1 2 22 83,334,1 2 1 ee x x 2.73 Um corpo vibrando com amortecimento viscoso completa 5 oscilações por segundo e em 50 ciclos sua amplitude diminui para 10 % de seu valor inicial. Determinar o decremento logarítmico e o fator de amortecimento. Qual será o percentual de diminuição do período de oscilação se o amortecimento for removido? Dados: f = 5 Hz, 50 ciclos amplitude cai para 10% da inicial. 0461,0 1,0 ln 50 1 ln 1 1 1 1 1 x x x x m m 00733,0 0461,02 0461,0 2 2 222 s 2,0 5 1 d T Sem amortecimento s 199995,0 5 00733,0111 22 dn n ff T O percentual de redução é de 0,00269 %. 2.74 Um sistema viscosamente amortecido tem uma rigidez de 5000 N/m, constante de amortecimento crítico de 20 N.s/m, e um decremento logarítmico de 2,0. Se o sistema recebe uma velocidade inicial de 1 m/s, determinar o deslocamento máximo do mesmo. Dados: k = 5000 N/m, cc = 20 N.s/m, = 2,0 e v0 = 1 m/s. Fator de amortecimento 303,0 0,22 0,2 2 2 222 A constante de amortecimento crítico permite determinar a massa do sistema kg 02,0 50004 20 42 2 22 k c m m c m k mc cc nc Então rad/s 500 02,02 20 n e rad/s 476500303,011 22 nd A expressão para o movimento é tXetx d tn cos com m 00210,0 4,476 10 d v X e rad 20 1 tantan 1 0 01 n x v O deslocamento máximo ocorre quando a velocidade se anula 0sincos 111 11 tXetXetx d t cd t n nn s 00265,0 1 tan 2 1 sincos0 2 1 111 d dcdn ttt O deslocamento máximo será o deslocamento no tempo t1 m 00134,0 2 00265,0476cos00210,0 00265,0500303,0 ex máx 2.75 Um oscilador harmônico possui massa m = 30 kg e constante de rigidez k = 100 kN/m. Determinar: (a) A constante de amortecimento para um fator de amortecimento = 0,1. (b) O decremento logarítmico e a freqüência natural amortecida. Dados: m = 30 kg, k = 100 kN/m e = 0,1. (a) Constante de amortecimento N.s/m 346100000301,02222 mk m k mmc n (b) Decremento logarítmico e freqüência natural amortecida 631,0 1,01 1,02 1 2 22 rad/s 4,575001,011 rad/s 7,57 30 100000 22 nd n m k 2.76 Um oscilador harmônico amortecido possui massa m = 45 gr, constante de amortecimento c = 3,8 N.s/m, e constante de rigidez k = 1500 N/m. Determinar: (a) O fator de amortecimento, o decremento logarítmico, e a freqüência natural amortecida. (b) A resposta a um deslocamento inicial de 1 mm. Dados: m = 45 gr, c = 3,8 N.s/m, k = 1500 N/m e x0 = 1 mm. (a) fator de amortecimento, o decremento logarítmico, e a freqüência natural amortecida: rad/s 183 045,0 1500 m k n 231,0 183045,02 8,3 2 n m c 49,1 231,01 231,02 1 2 22 rad/s 178183231,011 22 nd (b) resposta a um deslocamento inicial de 1 mm. 2 0 2 00 x xv X d n com v0 = 0 e x0 = 1 mm. m 1003,1001,0 178 001,0183231,0 32 2 X rad 233,0 231,01 231,0 tan 1 tan 2 1 2 1 mm 233,0178cos03,1 2,42 tex t 2.77 Um oscilador harmônico amortecido possui massa m = 3 kg e constante de rigidez k = 500 N/m. O decremento logarítmico medido foi 2,5. Determinar: (a) O fator de amortecimento. (b) A freqüência natural amortecida. Dados: m = 3 kg, k = 500 N/m e = 2,5. (a) O fator de amortecimento. 370,0 5,22 5,2 2 2 222 (b) A freqüência natural amortecida. rad/s 9,12 3 500 m k n rad/s 0,129,12370,011 22 nd 2.78 Um oscilador harmônico amortecido possui massa m = 8 kg e constante de rigidez k = 1,2 MN/m. Determinar: (a) O fator de amortecimento e a freqüência natural amortecida para um decremento logarítmico 0,05. (b) A constante de amortecimento. Dados: m = 8 kg, k = 1,2 MN/m e = 0,05. (a) O fator de amortecimento e a freqüência natural amortecida 3 2222 1096,7 05,02 05,0 2 rad/s 387 8 102,1 6 m k n rad/s 38738700796,011 22 nd (b) A constante de amortecimento N.s/m 3,49387800796,022 n mc 2.79 Uma máquina possui massa m = 250 kg e seu suporte tem constante de amortecimento c = 1,45 kN.s/m e rigidez k = 130 kN/m. Se a máquina e sua base é modelada para vibração vertical como um sistema de um grau de liberdade, determinar: (a) A freqüência natural amortecida. (b) A expressão para o movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm na direção vertical. Dados: m = 250 kg, c = 1,45 kN.s/m, k = 130 kN/m e x0 = 1mm. (a) A freqüência natural amortecida. rad/s 8,22 250 130000 m k n 127,0 8,222502 1450 2 n m c rad/s 6,228,22127,011 22 nd (b) A expressão para o movimento resultante 2 0 2 00 x xv X d n com v0 = 0 e x0 = 1 mm. m 1001,1001,0 6,22 001,08,22127,0 32 2 X rad 128,0 127,01 127,0 tan 1 tan 2 1 2 1 mm 128,06,22cos01,1 90,2 tex t 2.80 Uma máquina possui massa m = 250 kg e freqüência natural amortecida para vibração vertical d = 5140 rad/s. Através da medição do decremento logarítmicoachou-se um fator de amortecimento = 0,12. Se a máquina e sua base é modelada como um sistema de um grau de liberdade para vibração vertical, determinar: (a) A rigidez k do suporte elástico. (b) O movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direção vertical, imposta por um impacto. Dados: m = 250 kg, d = 5140 rad/s, = 0,12 e v0 = 1mm/s. (a) A rigidez k do suporte elástico. GN/m 70,6 12,01 5140250 1 2 2 2 2 d m k (b) O movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direção vertical, imposta por um impacto. rad/s 5177 250 10701,6 9 m k n v0 = 1mm/s m 10195 5140 001,0 902 0 2 00 dd n v x xv X 2 m 2 5140cos10195 6219 tex t 2.81 Uma máquina possui uma base com rigidez k = 55 kN/m e uma freqüência natural de vibração vertical amortecida d = 255 rad/s. Medindo-se o decremento logarítmico, determinou-se um fator de amortecimento = 0,18. Se a máquina e sua base são modeladas como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, determinar: (a) A massa da máquina. (b) O movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 mm/s na direção vertical. Dados: k = 55 kN/m, d = 255 rad/s, = 0,18, x0 = 1mm e v0 = 130mm/s. (a) A massa da máquina. kg 818,0 255 18,01550001 2 2 2 2 d k m (b) O movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 mm/s na direção vertical. rad/s 2,259 8184,0 55000 m k n mm 22,1001,0 255 001,025918,013,0 2 2 0 2 00 x xv X d n rad 606,0 255001,0 001,025918,013,0 tantan 1 0 001 d n x xv mm 606,0255cos22,1 7,46 tex t 2.82 Um instrumento eletrônico possui massa m = 3,4 kg e está apoiada em quatro coxins de elastômero com rigidez k = 5400 N/m cada um. O fator de amortecimento, medido a partir do decremento logarítmico, é = 0,20. Se o instrumento e seus apoios é modelado como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, determinar: (a) A freqüência natural. (b) Uma ferramenta pesando 0,5 kg cai sobre o instrumento resultando em uma amplitude de vibração de 1,7 mm. Determinar a velocidade inicial devido ao impacto da ferramenta. Dados: m = 3,4 kg, k = 5400 N/m cada um dos 4 coxins, = 0,20, m1 = 0,5 kg e X = 1,7 mm. (a) Freqüência natural rad/s 7,79 4,3 54004 m k n (b) Velocidade inicial devido ao impacto da ferramenta X v x x n n 0 0 2 2 0 2 1 Explicitando para v0 0 2 0 2 0 xxXv nd Com mm 227,0 54004 81,95,01 0 k gm x e a nova freqüência natural igual a rad/s 4,74 5,04,3 54004 n e rad/s 9,724,742,01 2 d a velocidade inicial resulta mm/s 126000227,04,742,0000227,00017,09,72 22 0 v 2.83 Um voltímetro mostrado na Fig. 2.40 possui um ponteiro de alumínio ( = 2700 kg/m3) de comprimento l = 50 mm, largura 3 mm, e espessura 1 mm. A mola restauradora tem uma constante de mola rotacional k = 100 N.mm/rad. Um amortecedor para amortecimento crítico é posicionado a um raio r = 8 mm. Durante uma medida o instrumento mostra 80 volts. Quando a voltagem é desligada, determinar o tempo requerido para o ponteiro retornar à indicação de 1 volt. Figura 2.40 Dados: = 2700 kg/m3, l = 50 mm, b = 3 mm, t = 1 mm, k = 100 N.mm/rad, r = 8 mm, X1 = 80 volts e X2 = 1 volt. Massa kg 10405,005,0001,0003,02700 3 btLm Equação do movimento 0 33 0 3 22 2 2 2 mL k Lm rc kcr mL Jrcrk t t t Freqüência natural rad/s 3,544 05,01005,4 1,033 242 mL k t n Equação do movimento com amortecimento crítico t n nett 000 Com rad 80 0 K e 0 0 t n netKt 180 Para rad 1 1 Kt 1 11 1801 t n netKKt De onde s 01172,0 1 t 2.84 Um medidor de nível de água mostrado na Fig. 2.41 possui uma bóia cilíndrica de 100 mm de diâmetro (massa desprezível), uma barra com massa 0,5 kg, l = 70 mm e L = 420 mm. Determinar a constante de amortecimento requerida para produzir amortecimento crítico. Figura 2.41 Dados: d = 100 mm, m = 0,5 kg, l = 70 mm e L = 420 mm. Equação do movimento 0 4 33 34 2 2 2 22 m dg Lm lc Lm Lg d Lllc Freqüência natural rad/s 5,21 5,04 1,081,910003 4 3 22 m dg n Amortecimento crítico 2 2 2 2 3 2 2 3 l Lm c Lm lc n cn N.s/m 258 07,03 5,2142,05,02 2 2 c c 2.85 Uma massa de 10 kg oscila deslizando em uma superfície seca sob a ação de uma mola de rigidez 10 N/mm. Após quatro ciclos completos a amplitude é 100 mm. Qual é o coeficiente de atrito médio entre as duas superfícies se a amplitude original era 150 mm? Em quanto tempo a massa executou os quatro ciclos? Dados: m = 10 kg, k = 10 N/mm, 4 ciclos completos, X4 = 100 mm, X0 = 150 mm. Queda de amplitude: k N2 a cada meio ciclo 4 ciclos k N2 2410100150 3 Como kg 1,9881,910 mgN Então 0,319 98,116 100001050 3 O movimento cessará após r meio ciclos ciclos meio 24 5,23 10000 1,983186,02 10000 1,983186,0 15,0 2 0 k N k N x r O tempo para que se execute 4 ciclos é s 795,0 10000 10 2424 2 4 4 k m t n ciclos Tempo de parada s 38,2 2 199,0 24 2 T rt f 2.86 Uma massa de 20 kg está suspensa por uma mola de rigidez 10000 N/m. O movimento vertical da massa está sujeito a uma força de atrito de Coulomb de magnitude 50 N. Se a mola é inicialmente deslocada de 5,5 cm para baixo de sua posição de equilíbrio estático determinar: (a) o número de meio ciclos transcorridos até que atinja o repouso; (b) o tempo transcorrido antes da massa atingir o repouso e (c) o alongamento final da mola. Dados: m = 20 kg, k = 10000 N/m, Fa = 50 N e x0 = 5 cm. (a) Número de meio-ciclos até o repouso ciclos meio 5 10000 502 10000 50 055,0 2 0 k N k N x r (b) Tempo transcorrido até atingir o repouso s 281,0 10000 20 22 2 k m T n s 702,0 2 281,0 5 2 T rt f (c) Posição em que ocorrerá a parada
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