Fundamentos da Modelagem Matemática (UNISUL)

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Universidade do Sul de santa Catarina 
 
 
 
 
Fundamentos da 
Modelagem 
Matemática 
 
 
UnisulVirtual 
Palhoça, 2015 
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Documento em fase de diagramação 
Diva Marília Flemming 
 
 
Fundamentos da 
Modelagem 
Matemática 
 
 
 
 
UnisulVirtual 
Palhoça, 2014 
 
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Documento em fase de diagramação 
Sumário 
 
Introdução 
Capítulo 1 
Modelagem Matemática 
Capítulo 2 
Modelagem Matemática como Metodologia de Ensino 
Capítulo 3 
Modelagem Matemática como Metodologia de Pesquisa 
Considerações finais 
Referências 
Sobre a professora conteudista 
 
NOTA: O presente documento está em fase de revisão e diagramação para a 
sua forma definitiva. 
 
 
 
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Documento em fase de diagramação 
 
Introdução 
 
 
Prezados estudantes 
No decorrer deste texto você terá a oportunidade de refletir sobre a 
Modelagem Matemática como um dos aspectos mais importante da sua 
formação, além de uma tendência em educação matemática. 
É preciso em um momento inicial discutir os elementos que são 
contextualizados quando usamos a modelagem matemática tanto como uma 
metodologia de ensino como uma metodologia de pesquisa. 
Muitas questões são sempre apresentadas no início da discussão de textos 
(livros, artigos ou materiais didáticos) que se propõem à discutir a 
modelagem matemática. A reflexão inicial é uma etapa necessária para que 
o processo da modelagem seja percorrido de modo que tenhamos a validação 
tão esperada no momento da resolução de um problema ou na busca de 
respostas de situações reais ou até mesmo na busca de uma questão de 
pesquisa. 
Ao apresentar o processo da modelagem matemática vamos citar autores 
para constatar que há uma lógica comum, apesar de alguma nomenclatura 
diferenciada ou passos intermediários. 
Esse livro, enquanto um material didático não terá muita amplitude, pois 
entende-se que é preciso acompanhar o tema com novas leituras de modo 
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Documento em fase de diagramação 
que o processo de reflexão na sua formação seja fortalecido pela ideia e 
exemplos vivenciados por estudantes, pesquisadores e professores de 
matemática ou de outras áreas de conhecimento. 
Vamos apresentar três capítulos. No primeiro capítulo vamos refletir os 
aspectos da Modelagem Matemática enquanto uma tendência em educação 
Matemática. Por outro lado, é preciso discutir a relação entre a Modelagem 
Matemática e a resolução de problemas, pois é neste ponto que podemos 
observar a modelagem matemática como uma metodologia de pesquisa. 
No segundo capítulo, vamos observar exemplos para justificar a modelagem 
matemática como uma metodologia de ensino em todos os níveis de ensino. 
No terceiro capítulo, vamos constatar que há um grande número de pesquisa 
alicerçadas nos processos da modelagem matemática, tornando-se de forma 
efetiva como uma proposta metodológica para a pesquisa. 
É importante novamente salientar que este livro didático não tem a pretensão 
de esgotar o tema e você vai precisar completar a sua formação com as 
leituras orientadas que farão parte da complementação do presente material. 
Bons estudos e muitas leituras! 
Profa. Diva Marília Flemming 
 
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Documento em fase de diagramação 
 
Capítulo 1 
Modelagem Matemática 
 
Habilidades 
 
No decorrer deste capítulo, o estudante irá desenvolver habilidades para identificar a 
modelagem matemática como uma tendência em educação matemática que tem 
aplicações na sociedade. Além disso, ao investigar as situações problemas 
exemplificadas o estudante desenvolverá atitudes criativas para trabalhar a modelagem 
matemática. 
 
Seções de estudo 
 
Seção 1: Aspectos Introdutórios da modelagem 
Seção 2: Vivenciando o processo de Modelagem Matemática 
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Documento em fase de diagramação 
Seção 1 
Aspectos introdutórios da modelagem 
 
Ao fazer a pergunta “O que é a matemática?” para um adulto, para uma criança nos seus 
primeiros anos escolares ou ainda para você estudante de um curso de matemática, 
provavelmente vamos ouvir respostas em que a palavra número é a palavra-chave. 
Mesmo para os que se dizem estudiosos da matemática, pressionados em dar uma 
resposta próxima de uma definição acabam transmitindo ideias em que o número e os 
símbolos são as palavras chaves. 
Devlin (2005) ao fazer uma reflexão sobre isto, retoma uma ideia interessante que vale a 
pena ser exposta aqui neste texto para que possamos apresentar o nosso tema 
“modelagem matemática”. Este autor afirma que esta visão da matemática vinculada 
apenas aos números é muito pobre e não é representativa das potencialidades dessa 
ciência. Os números constituem apenas uma parte da matemática e também não os 
cálculos com números que representam a matemática. 
Há algo mais! 
Vamos buscar a origem dos números e observar que estes foram criados para representar 
conjuntos de ovelhas, de pedras, etc. Cada número representa um conjunto que tem um 
padrão – a numerosidade. O 1 descreve a unidade, o 2 a duplicidade, o 3 tem o caráter 
tríplice e assim por diante. 
No decorrer de toda a história da matemática é possível perceber a presença dos padrões. 
Por exemplo, na invenção do cálculo diferencial e integral devida aos matemáticos 
Newton (1642 - 1726) e Leibniz(1646 - 1716) estão presentes os padrões de movimentos 
contínuos e suas variações. Temos, portanto, a presença dos padrões quando olhamos a 
matemática de forma estática (cálculos numéricos) e quando olhamos a matemática 
presente no deslocamento dos planetas, nos corpos em queda livre, o funcionamento de 
uma máquina, na água percorrendo uma canalização, nos gazes que saem de nossos 
carros, na eletricidade que nos permite usar a internet, no crescimento de uma planta, dos 
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Documento em fase de diagramação 
animais e do homem, no dinamismo econômico das bolsas de valores, etc. – nesses casos 
é possível dizer que temos padrões mais dinâmicos. 
Mas os padrões se fazem presentes ainda em outros momentos na linha do tempo da 
história da matemática. Por exemplo, na teoria da probabilidade, quando podemos 
observar os padrões que surgem quando repetimos um evento aleatório (lançamento de 
um dado, de uma moeda, etc.). 
No contexto atual dos recursos computacionais, é possível caracterizar a presença dos 
padrões oriundos da lógica formal, que são considerados os alicerces da matemática em 
sua forma mais pura. 
A matemática tem ainda uma outra forma se ser olhada quando pensamos em responder 
a pergunta inicial desse texto: seus símbolos. Atualmente, temos a compreensão de que 
há uma linguagem matemática presente quando estamos diante de números com seus 
cálculos, na formalização dos padrões e - por que não? - no uso do tema do nosso texto, 
as linguagens que são usadas na modelagem dos movimentos das formas, etc. 
Na evolução da matemática, o homem sentiu-se confortável ao fazer representações 
semióticas da linguagem matemática. A História da Matemática faz registros de grandes 
avanços quando os símbolos que usamos hoje foram criados na linha do tempo. 
Mas, os símbolos representam a matemática quando são lidos pelo leitor que entende de 
matemática. De que adianta uma partitura na frente de um indivíduo que não sabe tocar 
um instrumento? Ou de um indivíduo que saiba cantarolar as notas musicais. Ou de um 
indivíduo que não saiba solfejar uma partitura? 
A matemática dos números, dos padrões, da lógica formal está sincronizada com as suas 
diferentes linguagens que por sua vez podem ter diferentes representações semióticas. 
Por que estamos resgatando esses aspectos introdutórios? 
Entendemos que é com esse olhar que podemos resgatara modelagem matemática. É 
preciso que ao lidar com a modelagem matemática, tenhamos a visão de que estamos 
diante de situações reais que devem ser analisadas não somente por seus números 
explícitos, mas também por seus padrões e por usas possibilidades de representações 
semióticas. 
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Documento em fase de diagramação 
Também, a partir desse olhar é possível iniciar concepções que nos levarão ao indicativo 
de que estamos no caminho certo ao adotar a modelagem matemática como uma 
metodologia para o ensino da matemática tanto em diferentes ambientes e em diferentes 
níveis de ensino. 
E, por que não o despertar para a pesquisa? Para a iniciação científica? 
Esperamos neste capítulo dar a largada para esta caminhada que tem como objetivo 
desenvolver competências e habilidades para lidar com modelagem matemática tanto no 
contexto do ensino como na pesquisa. 
 
1.1 Um pouco de História da Matemática 
É interesse observar que as nossas reflexões em torno da modelagem matemática, 
principalmente quando observamos a sua aplicabilidade em um grande número de áreas 
de conhecimento nos levam para o passado. Uma questão nos inquieta! 
Os matemáticos citados na História da Matemática já usavam um 
processo de modelagem matemática? 
Podemos responder que sim, pois os padrões já eram vivenciados, mas é preciso lembrar 
que as representações da linguagem matemática ainda eram restritas e não havia todas 
com as que usamos hoje. Entretanto, apesar dos momentos em que a matemática era 
focada de um modo mais puro, ainda o que predominava era a sua aplicação. 
Algumas ciências vem se transformando, por conta da evolução dos modelos 
matemáticos, como é o caso da Física. Por exemplo, com o desenvolvimento da Teoria 
da Relatividade e da Teoria Quântica, a discussão de espaço, tempo e matéria na Física 
foram novamente examinadas. A matemática como uma ciência plenamente sintonizada 
com a Física veio em socorro, com as Teorias dos Grupos de Lorentz e a Teoria da 
Álgebra de Von Newmann. 
Não é o foco deste texto discutir a Física Quântica, mas simplesmente lembrar que a 
matemática está presente tanto nas etapas experimentais como nas etapas de formalização 
de modelos. 
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Documento em fase de diagramação 
Assim como na Física, a Química também está sintonizada com a modelagem matemática 
com o uso das equações diferenciais para modelar diferentes situações como, por 
exemplo, a velocidade de reações químicas. 
Podemos já conhecer a palavra Biomatemática, mas ainda não temos a dimensão do 
quanto a modelagem matemática está presente. Há ainda muitas teorias em 
desenvolvimento para dar conta de modelar todos os fenômenos da Biologia ou da 
Medicina. As teorias e modelos matemáticos se fazem presentes no momento de 
descrever os sistemas vivos e os processos pertinentes e, do mesmo modo, por meio do 
tratamento dos resultados experimentais. 
Há ainda a matemática aplicada nas Engenharias e na Computação. No caso das 
Engenharias, o Cálculo Diferencial e Integral, e as Equações Diferenciais são fontes da 
modelagem matemática aplicada em fenômenos ou problemas típicos das Engenharias. 
Não poderíamos imaginar a previsão de Fourier de 1827 em relação aos gases na 
atmosfera estaria presente nos nossos dias quando presenciamos o derretimento das 
geleiras da Groelândia ou o aumento da temperatura do planeta terra. 
Modelos equivocados com erros foram desenvolvidos, mas a história da matemática nos 
mostra que estamos aprendendo com os erros. A teoria dos sistemas dinâmicos de 
Poncaré (1854-1912) é um exemplo típico. Um planeta poderia se desgovernar, sair da 
sua órbita e colidir com o sol? O método de Poincaré, embora inicialmente com erros ou 
incompleto é a base da Teoria do Caos. Atualmente esta teoria é aplicada a muitas áreas 
do conhecimento, incluindo a física , medicina, computação, etc. (ROONEY, 2012). 
Não podemos deixar de destacar a matemática na estatística. No início do século XIX, 
houve um crescimento acelerado da modelagem matemática no contexto da estatística. 
Posteriormente, em 1961, tem-se a sugestão de um modelo matemático para calcular o 
número provável de planetas que tenham inteligência na Via Láctea. 
Rooney (2012) citando Quine (1908-2000) afirma que “A visão de Quine é de que a 
matemática parece ser ‘verdadeira’ porque toda a nossa experiência e ciência é tecida ao 
redor dela e parece apoiá-la. Seria muito difícil reconstruir nosso modelo do universo 
sem a matemática”. 
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Documento em fase de diagramação 
Vamos então formalizar um pouco esse processo de formalizar modelos em diferentes 
contextos das ciências e das nossas vidas. 
 
1.2 Modelos 
Se você colocar a palavra “modelo” em um site de busca na internet, vai constatar que há 
uma multiplicidade de interpretações, portanto é importante que inicialmente façamos a 
devida contextualização da nossa discussão, pois, com base nesta contextualização, 
vamos pode escolher as representações semióticas que serão utilizadas. 
Bassanezi (2002) caracteriza dois tipos: o modelo objeto e o modelo teórico, sendo que 
para cada tipo vamos ter as diferentes representações. No modelo objeto, vamos 
representar um objeto ou um fato concreto por meio de suas características 
predominantes usando uma representação pictórica, conceitual ou simbólica. 
No modelo teórico, vamos utilizar como ponto de partida o modelo objeto para vincular 
à uma teoria geral existente, a fim de estabelecer o modelo com as variáveis essenciais 
do fenômeno sendo que as relações são obtidas por meio de hipóteses ou experimentos. 
O que é um modelo matemático? 
Observe os recortes R1, R2 e R3. 
R1: [...] um conjunto de símbolos e relações matemáticas que procura traduzir, de alguma 
forma, um fenômeno em questão ou problema de situação real, denomina-se “modelo 
matemático”. [...] Um modelo pode ser formulado em termos familiares, utilizando-se 
expressões numéricas ou fórmulas, diagramas, gráficos ou representações geométricas, 
equações algébricas, tabelas, programas computacionais, etc.[...] um modelo matemático 
retrata, ainda que em uma visão simplificada, aspectos da situação pesquisada. 
(BIEMBENGUT, 1999, p. 20). 
 
R2: Chamaremos simplesmente de Modelo Matemático um conjunto de símbolos e 
relações matemáticas que representam de alguma forma o objeto estuado.[...] A 
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Documento em fase de diagramação 
importância do modelo matemático consiste em se ter uma linguagem concisa que 
expressa nossas ideias de maneira clara e sem ambiguidades, além de proporcionar um 
arsenal enorme de resultados (teoremas) que propiciam o uso de métodos computacionais 
para calcular suas soluções numéricas. (BASSANEZI, 2002, p. 20) 
 
R3: Os modelos matemáticos têm sido usados com bastante sucesso para descrever a 
transmissão de micro ou macroparasitas [...]. A utilização de modelos matemáticos e 
estatísticos em fenômenos biomédicos tem como finalidade principal ajudar na 
compreensão dos mecanismos de propagação [...] é preciso analisar o sistema de 
equações resultante da modelagem matemática tanto estático (estabilidade dos pontos de 
equilíbrio) como dinamicamente (trajetórias do sistema). Uma vez tendo demonstrado 
que o modelo proposto descreve com certo realismo o fenômeno biológico, o mesmo 
pode vir a nortear pesquisas posteriores. 
Observe agora as imagens das Figuras 1.1 e 1.2. 
 
Figura 1.1 – Modelos de Aeronaves. 
 
Fonte: Flemming, 2009, p. 37 
 
Figura 1.2 – Modelos de calçados 
 
Fonte: Flemming, 2009, p. 37 
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Documento em fase de diagramação 
 
Finalmente, observe as frases F1, F2 e F3. 
F1: O crescimento populacional de uma colmeia é proporcional à diferença entrea 
população máxima sustentável e a população dada em cada instante, ou seja, 
.21,8000072500)( )21(02532,0 ≥+×−= −− tparaety t 
F2: A área de um terreno de forma retangular é dada por: hbA ×= sendo b a base e h a 
altura. 
F3: Enquanto o Japão se esforça para sair da recessão em que entrou em 2014, um 
problema ameaça a sustentabilidade da terceira maior economia do mundo nos próximos 
anos; a escassez de bebês, e o consequente encolhimento populacional. Segundo dados 
divulgados recentemente pelo Ministério da Saúde do país, apenas 1,001 milhão de 
japoneses nasceram em 2014, 9 mil a menos que em 2013. O número representa a quarta 
queda anual seguida e é o menor desde 1882, quando foram registrados 996 mil 
nascimentos.[...] o número de mortes continuou a subir, fechando 2014 em 1,269 milhão. 
O saldo fez com que a população japonesa diminuísse em 268 mil. (O GLOBO on-line, 
02/01/2015) 
Nos recortes R1, R2 e R3 você observa a conceituação de modelo matemático. Nas 
imagens das Figuras 1.1 e 1.2 é possível identificar que temos diferentes modelos de 
avião ou de calçado, uma realidade que já é de nosso conhecimento. Nas frases recortadas 
é possível observar modelos formalizados ou modelos existente que controlam dados 
populacionais. 
Veja que os recortes, imagens e as frases refletem a presença de modelos que podem 
mostrar características delineáveis matematicamente, principalmente quando em um 
processo de modelagem matemática. Observe que podemos usar modelos nas mais 
diversas realidades do nosso dia a dia. O modelo pode não apresentar todas as 
propriedades e característica do objeto modelado. Por exemplo, nas imagens das 
aeronaves conseguimos visualizar a aerodinâmica mas não conseguimos visualizar a 
potência dos motores. No caso dos calçados podemos identificar a característica de que 
todos tem cordão, mas não conseguimos identificar os tamanhos. 
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Documento em fase de diagramação 
Muitas situações do mundo real podem apresentar problemas que precisam ser 
resolvidos. Por exemplo, o problema de cálculo do juro cobrado por uma instituição 
financeira a um determinado empréstimo, contém fatos matemáticos relativamente 
simples e envolve uma matemática elementar. 
Um modelo matemático pode ser formulado a partir de expressões numéricas ou 
fórmulas, diagramas ou tabelas, expressões algébricas ou ainda representações gráficas. 
Os programas computacionais podem ajudar muito na apresentação e obtenção de um 
modelo. É importante que tenha uma linguagem concisa e que expresse as ideias de 
maneira clara e sem ambiguidades. 
Podemos dizer que as Figuras 1.1 e 1.2 representam modelos que não são matemáticos, 
mas na frases F1 e F2 temos explicitamente um modelo matemático. Na frase F3, a 
notícia dada tem como concepção a existência de um modelo matemático que está sendo 
usado para fazer a previsão populacional de um país. 
Podemos concluir uma conceituação para um modelo matemático. 
O modelo matemático é uma representação simplificada, porém tendo 
como característica o uso de um conjunto de símbolos e relações 
matemáticas. Dessa forma, representa o objeto ou fenômeno estudado, 
ou ainda, o problema proveniente de uma situação real. 
 
1.3 Conceito de modelagem matemática 
 
Novamente vamos buscar recortes de autores para analisar. 
R1: A ideia de modelagem suscita a imagem de um escultor trabalhando com argila, 
produzindo um objeto. Esse objeto é um modelo. O escultor munido de material – argila, 
técnica, intuição e criatividade – faz seu modelo, que na certa representa alguma coisa, 
seja real ou imaginária. (BIEMBENGUT e HEIN, 2000, p. 11). 
 
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Documento em fase de diagramação 
R2: Modelagem Matemática é um processo dinâmico utilizado para a obtenção e 
validação de modelos matemáticos. É uma forma de abstração e generalização com a 
finalidade de previsão de tendências. A modelagem consiste, essencialmente, na arte de 
transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser 
interpretadas na linguagem usual. (BASSANEZI, 2002, p. 24). 
 
R3: A Modelagem Matemática é uma alternativa de ensino-aprendizagem na qual a 
Matemática trabalhada com os alunos parte de seus próprios interesses, e o conteúdo 
desenvolvido tem origem no tema a ser problematizado, nas dificuldades do dia-a-dia, 
nas situações de vida. Valoriza o aluno no contexto social em que o mesmo está inserido, 
proporcionando-lhe condições para ser uma pessoa crítica, criativa e capaz de superar 
suas dificuldades. (SCHEFFER e CAMPAGNOLLO, 1998, p. 36). 
 
R4: A Modelagem Matemática é um método da matemática aplicada, usada em grande 
variedade de problemas econômicos, biológicos, geográficos, de engenharia e outros 
ramos. Seu objetivo é reduzir um fenômeno em termos idealizados da situação real para 
termos matemáticos. (BARBOSA, 1999, p. 69). 
Leia atentamente os recortes R1 até R4 faça uma reflexão crítica. 
Veja que a palavra “modelo” está presente de forma sistemática e que de um modo geral 
podemos dizer que a modelagem matemática é um processo que envolve a obtenção de 
um modelo. Com essa frase, parece que tudo fica muito simples e muito resumido, 
deixando de lado toda a complexidade desse processo. 
No contexto da modelagem matemática, um modelo fica inserido num processo de 
decisão, na solução de um problema real, permitindo relacionar os diversos elementos de 
forma mais simples que o real. A Figura 1.3 apresenta o movimento do processo 
decisório. 
 
 
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Documento em fase de diagramação 
Figura 1.3 – Processo da modelagem 
 
Fonte: Flemming, Luz e Melo, 2005, p. 25 
Diante de um problema do mundo real, podemos selecionar variáveis e delinear o modelo. 
Por sua vez, o modelo produz informações importantes para a criação de alternativas de 
solução. A partir de referenciais teóricos, podemos escolher a melhor alternativa, obtendo 
assim uma solução. 
Como a solução é encontrada a partir de um modelo, é necessária a validação, ou seja, a 
verificação da solução encontrada. A ideia é responder as seguintes questões: 
A solução é efetivamente apropriada para o problema? 
Poderá ser usada de forma efetiva? 
Temos, então, caracterizada a modelagem matemática como um processo que envolve 
decisões e escolhas. Enquanto um processo, podemos esquematizar didaticamente as suas 
etapas. 
 
1.4 Etapas do processo de modelagem matemática 
 
Na literatura vamos encontrar pequenas variações na forma de apresentar ou denotar as 
etapas da modelagem matemática. Vamos adotar a proposta de Bassanezi (2002). 
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Documento em fase de diagramação 
Seguindo o delineamento de Bassanezi (2002), temos: experimentação; abstração; 
resolução; validação; modificação e aplicação. Seguem considerações relativas à cada 
uma das etapas citadas. 
 
1.4.1 Experimentação 
Esta etapa é o primeiro contato com a situação problema envolvendo a coleta de dados. 
É uma pesquisa a partir de objetivos bem definidos. A visão matemática ou a atuação do 
matemático neste momento é importante, pois a visualização dos dados que deverão ser 
coletados poderá facilitar todo o processo. Essa coleta poderá seguir técnicas existentes 
de coleta de dados, além da organização e da documentação. 
 
1.4.2 Abstração 
Nesta fase temos a formulação do modelo matemático e para tal é necessário estabelecer 
as seguintes ações básicas: 
 Seleção das variáveis: ao fazer as escolhas das variáveis, é necessário ter a 
clareza de quais são as variáveis de estado que descrevem a evolução de um 
sistema e as variáveis de controle que agem sobre o sistema. Todos os 
conceitos relacionados com as variáveis escolhidos devem estar claramente 
estabelecidos. 
Problematização: Nesta etapa é fundamental gerar problemas ou 
questionamentos em uma linguagem própria, que em geral é diferente da 
linguagem da realidade. Essa etapa é fundamental para identificar a relação 
existente entre as variáveis. 
 Formulação de hipóteses: As hipóteses dirigem o processo e são formulações 
gerais que permitem ao pesquisador deduzir detalhes específicos. As hipóteses 
incorporam teorias que podem ser testadas e dessa forma são essenciais para 
o avanço do processo. A montagem do modelo nesta fase depende do grau de 
complexidade das hipóteses e da quantidade de variáveis inter-relacionadas. 
18 
Documento em fase de diagramação 
 Simplificações: Considerando a complexidade do contexto real, pode 
acontecer de ficarmos diante de um problema matemático que não pode ser 
resolvido. Dessa forma, é necessário voltar ao problema original para fazer 
simplificações que automaticamente gerarão novas variáveis ou redução de 
variáveis. As hipóteses são revistas e o modelo refeito. Daí o fato de dizermos 
que o modelo sempre tem restrições da situação real. 
 
1.4.3 Resolução 
Nesta etapa, estamos diante de um modelo matemático que precisa ser resolvido. 
Encontrar a solução pode ser algo simples ou bastante complicado. Podemos estar diante 
de uma simples equação cuja técnica de resolução já é conhecida, mas em outros 
momentos podemos ficar diante de situações novas em que novas técnicas devem ser 
descobertas. Neste momento, os recursos computacionais são valiosos, pois podem 
auxiliar com soluções numéricas aproximadas. Observe que nesta etapa a presença do 
matemático ou do professor de matemática é essencial. 
 
1.4.4 Validação 
É o momento de verificar se o modelo proposto pode se aceito ou não. Usando as 
hipóteses, o modelo deve ser testado com variáveis empíricas, comparando-se a solução 
apresentada pelo modelo com os valores obtidos na situação real. Novamente a presença 
do matemático na interpretação e análise dos resultados é fundamental. Em geral usamos 
ferramentas gráficas para facilitar as previsões e para dar os devidos encaminhamentos 
de aperfeiçoamentos do modelo. 
 
1.4.5 Modificação 
Alguns fatores ligados ao problema inicial podem provocar a geração de modelos 
inadequados e que podem não ser aceitos. Temos, então, a necessidade de fazer 
modificações no modelo. A análise da situação pode nos levar a um leque de opções: 
19 
Documento em fase de diagramação 
alguma hipótese utilizada poderá ser falsa ou não adequada; alguns dados foram obtidos 
incorretamente; os dados e as hipóteses são verdadeiros, mas insuficientes para a solução; 
existem variáveis relevantes que não foram consideradas; foi cometido erros na 
formulação matemática do modelo etc. 
A Figura 1.4 apresenta uma relação entre essas etapas sinalizando ações que podem ser 
consideradas como subetapas. Não devemos olhar para a figura de forma estática nem 
linear pelo indicativo de setas, mas de uma forma mais dinâmica e global. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
Documento em fase de diagramação 
Figura 1.4 – Etapas da modelagem matemática 
 
Fonte: Flemming, 2009, p. 42 
21 
Documento em fase de diagramação 
1.5 Exemplo 
 
Este exemplo representa uma modelagem descrita em Trabachini et al (1998). 
Problema real: Havia a curiosidade das autoras em conhecerem o processo de fabricação 
dos derivados do leite, cerveja, vinho, etc. Porém para restringir o domínio de 
abrangência, as autoras definiram a fabricação do pão caseiro, por ser um processo que 
poderia ser vivenciado e, portanto estava mais próximo da realidade. 
Experimentação: Para uma primeira interação com o assunto, buscaram informações 
com especialistas ou bibliografias que auxiliassem num reconhecimento mais 
aprofundado da situação-problema. Desta pesquisa inicial perceberam a existência de 
dois fermentos: o caseiro e o industrial. 
Ao realizarem experiências práticas com os dois tipos de fermento, encontraram 
resultados diferentes, ou seja, pães diferentes. 
Este processo originou questionamentos: 
• Quais diferenças entre volume e peso aparecem ao se fazer uma receita de 
pão caseiro utilizando-se ora fermento biológico industrial ora fermento 
biológico caseiro? 
• Se há diferença no sabor, qual fica mais saboroso? 
• Por que as pessoas preferem o fermento industrial ao caseiro, ou vice-
versa? 
• Como se dá o crescimento das bactérias no fermento biológico industrial? 
Abstração: Para as questões 1, 2 e 3 trabalharam com alguns conceitos matemáticos, 
como por exemplo, razão, proporção, área, volume da massa do pão, porcentagem, 
tabelas, gráficos, conceitos de estatística descritiva. 
Especificamente na última pergunta, partiram para a busca de informações na fábrica 
Fleischmann Royal (Jundiaí/SP). Um engenheiro indicou um livro que descreve o 
processo de crescimento das bactérias. O gráfico está apresentado na Figura 1.5. 
22 
Documento em fase de diagramação 
 
Figura 1.5 – Processo de crescimento de bactérias 
 
Fonte: Trabachini et al, 1998, p. 465 
 
Neste gráfico, é possível perceber que o processo de fermentação divide-se em três fases: 
• 1ª fase - adaptação das bactérias ao meio ambiente, quando algumas delas 
morrem; 
• 2ª fase - há um crescimento das bactérias já adaptadas ao meio ambiente; 
• 3ª fase - a estabilização do crescimento ocorre, até que se atinja uma quantidade 
máxima de massa celular bacteriana. 
Observe que as variáveis escolhidas foram tempo e número de bactérias. As hipóteses 
formuladas ficaram alicerçadas no gráfico, considerando-se três etapas em que há uma 
relação explicitada entre o tempo e o número de bactérias em termos de crescimento e 
decrescimento. 
Vamos apresentar as três etapas citadas sob a ótica mais matemática, ou seja, enquanto 
etapas formais da modelagem matemática. 
 
 
 
23 
Documento em fase de diagramação 
1.5. 1 Formalização matemática do modelo 
Partindo do gráfico encontrado, foi possível modelar matematicamente cada uma das 
fases obtidas na experimentação. As equações obtidas foram: 
1a fase: 
tey 0582,015 −= 
2a fase: 
tey 1489,02383,0= 
3a fase: 
tey 0869,085,95121,91 −−= 
sendo y o número de bactérias e t o tempo. 
 
Para encontrar um modelo que descrevesse a segunda e a terceira fase simultaneamente, 
as autoras da pesquisa aqui relatada utilizaram a equação diferencial do “Modelo de 
Competição Populacional” descrita por: 
2
21 bkbkt
b
−=
∂
∂
 
sendo k1 o coeficiente de crescimento, k2 o coeficiente de competição, b a quantidade de 
bactérias e t o tempo. 
 
1.5.2 Resolução 
Observar que o contexto de resolução desse modelo envolve Cálculo Diferencial e 
Integral no contexto dos métodos de resolução das equações diferenciais. Ao resolver 
equação diferencial a partir dos dados coletados, chegaram a um modelo que fornece a 
quantidade de bactérias num instante t qualquer: 
.
00173,003198,0
1578,0
1578,0 +
= − te
b 
24 
Documento em fase de diagramação 
 
1.5.3 Validação 
Para validar esse modelo é necessário coletar experimentalmente alguns dados e verificar 
a aderência entre os resultados experimentais e os resultados do modelo. Caso se tenha 
grandes diferenças é necessário passar para a etapa de modificações. 
Observe que a etapa de modificação pode não existir caso se tenha já um bom modelo 
com resultados validados. 
Observe que, nesse exemplo, o conteúdo envolvido está no contexto do ensino superior. 
Isto não quer dizer que não vamos aplicar modelagem em outros níveis de ensino. Essa 
discussão será apresentada no capítulo 2. 
 
 
Seção 2Vivenciando o processo de modelagem matemática 
Um indivíduo jamais será um professor qualificado de matemática se não conhecer os 
aspectos básicos essenciais relativos aos conteúdos e relativos aos aspectos didáticos. 
Com essa mesma teoria, um indivíduo jamais será um pesquisador se não conhecer os 
aspectos conceituais da sua área de atuação. Estamos aqui pontuando aspectos de uma 
formação profissional que preconiza a relação teoria e prática. 
Dessa forma, esta seção tem como objetivos instrumentalizar ao professor e o 
pesquisador para a prática da modelagem matemática. Considerando-se o tempo para os 
estudos disponíveis nessa Unidade de Aprendizagem, neste texto vamos dar a largada. 
Caberá a cada um ampliar a sua formação fazendo novas escolhas para ampliar o seu 
conhecimento, ou seja a sua formação continuada. 
 
25 
Documento em fase de diagramação 
2.1 Habilidades para a modelagem 
 
Bassanezi (2002, p. 44) afirma que: 
A atividade de aplicar matemática é tão antiga quanto à própria matemática. 
É sabido que muitas ideias em matemática surgiram a partir de problemas 
práticos. Também é verdade que o uso de matemática em outras áreas do 
conhecimento tem crescido substancialmente a ponto de se esperar que ela 
venha a resolver todos os tipos de situações. Apesar disso, por mais que se 
treine os matemáticos com o estudo de teorias, é possível que boa parte deles 
não demonstre habilidades para empregar matemática em outras áreas. 
Você já deve ter percebido que o presente texto, foi moldado para atender a construção 
de competências e habilidades requeridas na sua formação. Dentre as habilidades citadas 
no plano de ensino dessa nossa Unidade de Aprendizagem podemos citar: “Utilizar a 
modelagem matemática na resolução de problemas em diversas áreas de conhecimento”. 
Para que essa habilidade seja construída um projeto de estudos foi dimensionado e é claro 
desejamos o seu sucesso, mas não podemos deixar de considerar a citação do Prof. 
Bassanezi, pois sabemos que não basta um bom planejamento, um bom recurso didático 
e um bom ambiente de aprendizagem para garantir a construção dessa habilidade. É 
preciso a sua participação ativa. 
De qualquer forma, o nosso próprio projeto de formação (Licenciatura e Bacharelado) já 
cria uma delimitação quando nos referimos “diversas áreas de conhecimento”, pois 
sabemos que temos um tempo a ser respeitado. 
Vamos abrir algumas frentes de atuação e caberá ao aluno fazer algumas escolhas. Assim, 
as técnicas serão citadas e terão a orientação para a imersão, mas cada estudante deverá 
fazer algumas escolhas, sempre em sintonia de que deverá sintonizar outras áreas de 
conhecimento, como por exemplo: Engenharia, Física, Economia e Meio Ambiente. 
Você vai identificar um mundo real! 
 
 
26 
Documento em fase de diagramação 
2.2 Escolha de temas e coleta de dados 
A caminhada inicia com a escolha do tema. Em geral, o tema para a modelagem 
matemática não é uma escolha pessoal. Se você vai usar a modelagem em sala de aula, é 
preciso discutir com os alunos o tema. É possível ter uma definição prévia de uma tema 
mais abrangente para que a discussão com os estudantes possa gerar subtemas. Quando 
um matemática vai atuar em um grupo interdisciplinar de pesquisa e vai usar a 
modelagem matemática, o tema vai ser discutido grupalmente, mesmo que este já esteja 
delineado por meio de uma situação problema apresentada. 
Não devemos confundir tema com uma situação problema específica. Um tema vai gerar 
muitos problemas. 
 
2.2.1 Escolha do tema 
Vamos trabalhar com exemplos simulados ou exemplificados a partir de diversas 
pesquisas já realizadas. 
Vamos de forma simulada analisar o tema “Café do Brasil”. 
Ao discutir esse tema, muitos subtemas podem surgir, focando-se na sequência um 
conjunto de problemas adequados para a modelagem matemática. Poderão surgir, por 
exemplo, situações problemas nos seguintes contextos: 
(1) Análise dos impactos do aumento da temperatura média do ar de 1ºC, 3ºC, etc. 
na produção do café. E se for acrescentado o fenômeno de incremento de 
15% na precipitação pluvial? 
(2) Ampliação ou redução da área apta para a cultura. 
(3) Análise das linhas de crédito para financiamento do setor cafeeiro. 
(4) Tendências da exportação do café do Brasil. 
(5) Equilíbrio ambiental entre flora, fauna e o café. 
(6) Impacto da cadeia produtiva do café na geração de empregos na região do 
cultivo. 
27 
Documento em fase de diagramação 
(7) Consumo do café nas diferentes classes sociais. 
 
2.2.2 Coleta de dados 
Para que o processo de formulação dos modelos seja iniciada é preciso coletar dados que 
são fontes de informações para o tema escolhido. 
Em geral, essa coleta dados segue as normas científicas, podendo ser entrevistas, 
pesquisas com métodos de amostragem aleatória; pesquisas bibliográficas; experiências, 
etc. 
Observe que essa coleta já tem de imediato um processo prévio de organização com as 
ações e instrumentos bem definidos na linha do tempo. 
 
2.3 Tipos de formulação matemática 
Há muitos tipos de formulação matemática e a escolha deve estar orientada pelo tema e 
pelo tipo de dados que foram coletados. 
Podemos ter os seguintes tipos de formulação matemática: 
 Estática: que envolvem equações ou funções com uma ou mais variáveis. As 
variáveis devem estar bem definidas. 
 Dinâmica: em geral envolve a variável tempo como independente e outras 
variáveis como dependentes do tempo. 
Na formulação estática podemos a partir de uma tabela que contempla dados referentes 
às variáveis, compor a Curva de regressão. Esse pode ser um primeiro passo para a 
modelagem. 
A formulação dinâmica já incorpora novas informações e, dependendo do contexto, 
temos modelos já analisados previamente como adequados. Por exemplo, para o caso de 
curvas de crescimento de animais, já há na literatura um modelo muito usado que é o 
28 
Documento em fase de diagramação 
modelo de von Bertalanffy. Neste modelo é possível absorver outras características por 
meio de parâmetros. (Para exemplos, ver BASSANEZI, 2002; OLIVEIRA, 2007). 
Observar que o uso de recursos tecnológicos e softwares específicos são requeridos. 
2.4 Considerações matemáticas 
Nesta seção, vamos apenas resumir aspectos matemáticos que surgem no dia a dia da 
modelagem. Você poderá aprofundar seus conhecimentos por meio de diferentes autores 
da literatura. 
2.4.1 Regressão ou ajuste de curvas 
Diante de um conjunto de dados, e sabendo-se que há uma relação que une essas dados, 
podemos pensar no modelo matemática ou mais especificamente encontrar a expressão 
matemática que mostre a relação ou seja o modelo matemático. 
A partir dos dados - por exemplo, pares ordenados -, podemos fazer um gráfico no 
sistema de coordenadas cartesianas. O conjunto de pontos resultante é denominado de 
diagrama de dispersão. 
Ao olhar o diagrama de dispersão, podemos visualizar uma curva que se aproxima dos 
dados. Essa curva de denominada de ajustamento. Para exemplificar, vamos usar os 
dados que constam na Tabela 1.1. 
 
 
 
 
 
 
 
29 
Documento em fase de diagramação 
Tabela 1.1 – Dados sobre Tilápia no Nilo 
Idade (t) 
Comprimento médio 
x cm 
Peso médio 
y gramas 
0 11,0 26 
1 15,0 59,5 
2 17,4 105,4 
3 20,6 200,2 
4 22,7 239,5 
5 25,3 361,2 
6 27,4 419,8 
7 28,2 475,4 
8 29,3 488,2 
Fonte: Bassanezi, 2002, p. 52. 
Com esses dados podemos fazer de forma rápida um Gráfico de dispersão, usando, por 
exemplo o aplicativo Excel (ver Figura 1.6). 
 
Figura 1.6 – Gráfico de dispersão dos dados da tabela 1.1 
 
Fonte: Elaboração da autora, 2015. 
0
100
200
300400
500
600
0 5 10 15 20 25 30 35
Tilápias do Nilo
30 
Documento em fase de diagramação 
 
O gráfico da Figura 1.6 pode também ser apresentado por meio de linhas suaves ou por 
meio de retas, apresentando uma outra representação semiótica como mostra os Gráficos 
nas Figuras 1.7 e 1.8. 
 
Como representar a Curva de regressão? 
 
Figura 1.7 – Gráfico de Dispersão usando curvas suaves 
 
Fonte: Elaboração da autora, 2015. 
 
 
 
 
 
 
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15 20 25 30 35
Tilápias do Nilo
31 
Documento em fase de diagramação 
Figura 1.8 – Gráfico de Dispersão usando retas e pontos 
 
Fonte: Elaboração da autora, 2015. 
As curvas de regressão podem ser feitas com softwares gráficos e vamos ter a 
formalização de um modelo matemático para representar os dados obtidos. Neste caso, 
estamos considerando que os modelos matemáticos representam relações funcionais 
entre as variáveis e incorporam as especificidades do fenômeno analisado. 
Na figura 1.9 podemos observar a Curva de regressão que foi gerada com o uso de uma 
função potência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15 20 25 30 35
Tilápias do Nilo
32 
Documento em fase de diagramação 
Figura 1.9 – Curva de regressão 103.30149.0 xy = 
 
Fonte: Elaboração da autora, 2015. 
 
A correlação e a regressão da estatística foi criada por Sir Francis Galton 
(1822 – 1911), nascido em Birminghamm na Inglaterra. Galton foi 
matemático, estatístico, mas também estudou, antropologia, 
meteorologia e medicina. 
 
Uma curva de regressão é útil, pois de forma simplificada temos a visão dos dados de 
modo que possamos verificar uma tendência dos mesmos. 
Quando estamos no contexto da modelagem matemática, precisamos ter cuidados 
adicionais quando analisamos tendências, pois a curva está delimitada em um intervalo e 
o fenômeno pode ter um comportamento bem diferenciado fora do intervalo. Dessa 
forma, na modelagem matemática é preciso trabalhar com modelos dinâmicos para que 
a realidade tenha uma melhor descrição. 
33 
Documento em fase de diagramação 
Para fazer uma curva de regressão, usando um software, vamos poder escolher o tipo de 
curva, mas nem sempre essa curva vai satisfazer as condições mínimas para a previsão 
futura destas variáveis. Para que essa consideração fique clara, vamos mostrar um 
exemplo. 
Usando o software Graph, podemos fazer a curva de regressão usando as opções pré-
definidas: linear, logarítmica, polinomial (até a ordem n, sendo n o número de dados), 
potência, exponencial, média móvel (de ordem n, sendo n o número de dados). Mas há 
ainda um conjunto de outras opções que podem ser definidas pelo usuário a partir da 
inserção de valores de parâmetros. Por exemplo, a curva do tipo xcbeay += tem três 
parâmetros a, b e c. 
Os parâmetros são valores que aparecem nos modelos dinâmicos e são 
constantes que caracterizam as especificidades do fenômeno. Esses 
valores podem existir na literatura ou podem ser obtidos 
experimentalmente. 
Usando essa potencialidade do Graph, vamos a título de exercício mostrar nas figuras 
outras curvas de regressão dos dados da Tabela 1.1. Observe que as imagens são captura 
da tela para que vocês possam observar o uso do software. Observe que a função da curva 
é apresentada também algebricamente no canto superior direito do gráfico. Veja que há 
o indicativo estatístico do coeficiente de correlação R, que usualmente é indicado por R2. 
Quanto mais próximo de 1, mais aderência vamos ter aos dados. 
 
 
 
 
 
 
 
34 
Documento em fase de diagramação 
Figura 1.10 – Regressão Linear 
 
 
Figura 1.11 – Curva de regressão logarítmica 
 
35 
Documento em fase de diagramação 
Figura 1.12 – Curva de regressão polinomial de ordem 4 
 
 
Figura 1.13 – Curva de regressão potência 
 
36 
Documento em fase de diagramação 
 
Figura 1.14 – Curva de regressão exponencial 
 
 
Observem que para x variando no intervalo dos dados, ou seja, 3,2911 ≤≤ x , a curva se 
ajusta aos dados e tem-se os seguintes índices de correlação: 
 Logarítmica – Figura 1.11 - R2= 0,8929; 
 Exponencial – Figura 1.14 - R2= 0,9170 
 Linear – Figura 1.10 – R2= 0,9607; 
 Potência – Figura 1.13 - R2= 0,9879; 
 Polinomial de quarta ordem - R2= 0,9962; 
 
Por que a escolha inicial dessa nossa discussão foi a Potência (ver 
Figura 1.9)? 
37 
Documento em fase de diagramação 
Apesar da função de quarta ordem ter o valor de R2= 0,9962 mais próximo de 1, a 
observação do gráfico nos mostra que se fizermos uma tendência para valores maiores 
que o intervalo considerado, mesmo que muito próximos vamos ter uma incoerência, pois 
a curva tem um ponto de máximo na sequência um decrescimento. Isto não seria uma 
característica do contexto dos dados que estamos usando. Portanto, nesse conjunto 
analisado a melhor opção é a função potência. 
Podemos ainda ter outras opções de curvas que envolvem parâmetros para absorver as 
características dos dados em análise. Nesse caso, vamos ter parâmetros e a sua validação 
vai exigir mecanismos da Teoria Estatística da Estimação. 
Ainda no contexto da validação do modelo, uma etapa importante da modelagem, é 
preciso analisar a sensibilidade do modelo aos valores dos parâmetros. Um dos métodos 
mais usados para estimação de parâmetros ou ajustes de curvas é o “Método dos mínimos 
quadrados”. 
 
2.4.2 Método dos mínimos quadrados 
Diante de um conjunto com n dados resultados de n experiências com as variáveis x e y, 
formando uma lista de pares ordenados, podemos aplicar o método dos mínimos 
quadrados ou regressão linear. 
Diante dos pontos: 
( ) ( ) ( )112211 ,,,,,, yxyxyx  
Vamos supor que o relacionamento entre as variáveis x e y é do tipo baxy += , com a 
e b números reais. 
Geralmente não existe um gráfico que passe por todos os n pares dados. Procuramos, 
então, encontrar uma reta r que melhor se ajuste ao conjunto de pontos dados. Na Figura 
1.15 você poderá observar essa situação. 
A reta r é denominada reta de regressão linear. 
38 
Documento em fase de diagramação 
Como encontrar essa reta? 
 
A ideia básica é encontrar a reta r tal que a soma dos quadrados dos desvios verticais seja 
mínima. Estamos portanto diante de um problema de minimização que pode ser discutido 
no contexto do Cálculo. 
 
Figura 1.15 – Reta de regressão Linear 
 
 
Dado o conjunto de pontos ( )kk yx , , k=1,2,...,n, encontrar a reta baxy += , com a e b 
pertencente aos reais, tal que ∑
=
n
k
kd
1
2 com nkbaxyd kkk ,,1),( =+−= seja o menor 
possível. 
O problema apresentado pode ser escrito como ( )∑
=
−−
n
k
kk bxay
1
2min . 
39 
Documento em fase de diagramação 
Do Cálculo sabemos que o ponto de mínimo da função ( )∑
=
−−=
n
k
kk bxaybaf
1
2),( 
deve satisfazer o sistema: 
( )
( )






=−−−=
∂
∂
=−−−=
∂
∂
∑
∑
=
=
0)1(2
0)(2
1
1
n
k
kk
n
k
kkk
bxay
b
f
xbxay
a
f
 ou 






=+
=+
∑∑
∑∑∑
==
===
n
k
k
n
k
k
n
k
kk
n
k
k
n
k
k
ybnxa
yxxbxa
11
111
2
 
 
Vejamos o exemplo das tilápias do Nilo, ou seja, usando os dados na tabela 1.2. 
 
Tabela 1.2 – Tilápias do Nilo 
x y 
11,0 26 
15,0 59,5 
17,4 105,4 
20,6 200,2 
22,7 239,5 
25,3 361,2 
27,4 419,8 
28,2 475,4 
29,3 488,2 
Fonte: Bassanezi, 2002, p. 52. 
 
Para estruturar o sistema vamos calcular as informações necessárias: 
40Documento em fase de diagramação 
2,23752,4884,4758,4192,3615,2392,2004,1055,5926
65,609242,4883,294,4752,288,4194,272,3613,25 
5,2397,222,2006,204,1054,175,59152611
9,1963,292,284,273,257,226,204,171511
99,46323,292,284,273,257,226,204,171511
1
1
1
222222222
1
2
=++++++++=
=×+×+×+×+
×+×+×+×+×=
=++++++++=
=++++++++=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
n
k
k
n
k
kk
n
k
k
n
k
k
y
yx
x
x
 
Colocando os dados no sistema vamos ter: 






=+
=+
∑∑
∑∑∑
==
===
n
k
k
n
k
k
n
k
kk
n
k
k
n
k
k
ybnxa
yxxbxa
11
111
2
 ou 



=+
=+
2,237599,196
65,609249,19699,4632
ba
ba
 
Resolvendo este sistema por qualquer um dos métodos usuais, com o uso de um recurso 
computacional ou calculadora, em função dos números serem altos, vamos ter: 
8056355,33854926724,27 −== bea 
Na figura 1.16 temos a reta da regressão linear apresentada. 
Figura 1.16 – Reta 8056355,33854926724,27 −= xy 
 
41 
Documento em fase de diagramação 
Se compararmos os dados obtidos por meio de cálculos com os dados obtidos com o uso 
do software Graph, mostrado na Figura 1.10, vamos observar o mesmo resultado, isto 
nos coloca diante da constatação de que o software Graph está com uma boa performance 
ao trabalhar com dados como os que usamos nesse exemplo das tilápias do Nilo. 
 
2.5 Métodos para usar na adequação ou ajustes de modelos 
Em função da limitação do tempo e dos objetivos propostos para o presente texto, não 
vamos discutir amplamente os métodos que temos disponíveis para a modelagem 
matemática. Dentro da diversidade temos métodos adequados às variáveis discretas e 
outros adequados às variáveis contínuas. Quanto aos procedimentos operatórios e 
conceituais envolvidos temos métodos que envolvem matemática elementar, estatística, 
cálculo diferencial e integral, séries, etc. 
Bassanezi (2002) apresenta vários exemplos que podem ser consultados. Veja a listagem: 
Ajuste linear: neste caso, partindo da equação de uma reta baxy += , devemos 
encontrar os parâmetros a e b de forma adequado ao método, ou seja, tornar mínimo o 
valor da soma dos quadrados dos desvios. Teoricamente envolve derivadas parciais, mas 
que podem também ser traduzidas em uma formulação mais elementar. O coeficiente de 
correlação a ser usado é denotado por Coeficiente de Pearson. Ver detalhes em Bassanezi 
(2002, p. 58-60). É possível usar calculadores e aplicativos como Excel. 
Ajuste Linear do Modelo Exponencial: As curvas do tipo exponencial axbey = , com 
b>0, são modificadas por meio de uma mudança de variável, ou seja, fazendo-se yz ln= 
e obtendo uma reta baxz ln+= . Esse ajuste é interessante com dados como por exemplo, 
na evolução do capital em uma poupança. 
Ajuste Linear de Modelos Geométricos: As funções são do tipo potências, ou seja, 
baxy = , com a e b maiores que zero. 
Ajuste Linear de Modelos Hiperbólicos: Neste caso temos curvas com crescimento ou 
decrescimento limitado. As funções racionais mais usuais são: 
42 
Documento em fase de diagramação 
 
axb
y
+
=
1 com a e b maiores que zero; 
 
x
bay += com a maior que zero. 
Ajuste Linear do Modelo de Michaelis-Menten: Bassanezi (2002, p. 70) afirma que 
este modelo foi proposto para 
[...] interpretar uma reação bioquímica que é controlada por uma única 
enzima, onde a velocidade de conversão y de uma substância, para uma 
quantidade fixa de enzima, é dada por 
xk
xy
y
+
= max , onde x é a 
concentração do substrato que está sendo convertido; ymax é a 
velocidade máxima obtida quando a concentração do substrato x é 
muito alta e k>0 é a concentração do substrato quando y=ymax/2. 
A constante k é denotada como constante de Michaelis. Neste caso a linearização é obtida 
com a transformação 
y
z 1= e 
x
t 1= , resultando .1
maxmax y
t
y
kz += 
Ajuste Linear do Modelo Exponencial Assintótico: podemos lidar com dados que tem 
um comportamento assintótico. Temos o modelo bxaeyy −= * , com y* maior que zero e 
b menor que zero. Com uma mudança de variáveis adequadas vamos obter a reta 
bxaz += ||ln . 
Ajuste Linear do Modelo Logístico: A função teórica deste modelo é dada por 
1+
=
− xbe
ay
λ
 e com transformações adequados vamos obter a reta bxz ln−= λ . 
 
É importante esclarecer que esses modelos citados e muitos outros já investigados ou 
definidos em pesquisas deve ser usado após uma análise do contexto, das tendências dos 
dados e de outras observações oriundas do fenômeno. A linearização é sempre feita para 
auxiliar na interpretação dos dados e sob a ótica da matemática o processo em geral é por 
meio de transformação de variáveis. 
Neste momento da sua formação, você ainda não tem o domínio de todos esses conceitos 
e, portanto, as competências para lidar com os diferentes métodos serão adquiridas de 
43 
Documento em fase de diagramação 
forma gradativa, na medida em que você vivencia a resolução de problemas e se propõe 
a discutir e analisar os conceitos teóricos já estudados no decorrer do curso, nas diversas 
situações práticas de modelagem. O estudo de documentos (textos didáticos, artigos, etc) 
que apresentam resultados de modelagem matemática devem fazer parte da rotina do 
estudante que se propõe à prática da modelagem matemática como pesquisa ou como 
iniciação científica. 
Para os que pretendem usar a modelagem matemática como metodologia de ensino a 
proposta pode ser mais simples envolvendo apenas a conceituação da matemática básica. 
Os capítulos seguintes mostram esses caminhos que poderão ser trilhados por você. 
43 
 
Capítulo 2 
Modelagem Matemática como Metodologia de Ensino 
 
Habilidades 
 
No decorrer deste capítulo, o estudante irá desenvolver habilidades para identificar um 
modelo matemático ou um tema que pode ser trabalhado com modelagem no contexto 
do ensino da matemática em diferentes níveis de ensino. 
 
Seções de estudo 
 
Seção 1: Introdução 
Seção 2: Conteúdos de matemática e modelos de matemática 
 
 
 
44 
 
Seção 1 
Introdução 
Atualmente no Brasil, a modelagem matemática como um metodologia de ensino-
aprendizagem em diferentes níveis de ensino já tem um espaço expressivo no contexto 
da educação matemática. As pesquisas com experimentos em sala de aula, usando 
modelagem matemática aumentam e sua disseminação acontece por meio de dissertações 
de mestrado, teses de doutorado ou artigos de pesquisas realizadas em diferentes 
universidades. 
Desde 2009, quando escrevi o livro Prática de Ensino de Matemática II (FLEMMING, 
2009), a modelagem matemática como metodologia de ensino era discutida por um 
número bastante pequeno ainda de pesquisadores e as referências bibliográficas não eram 
abrangentes. 
Os experimentos em sala de aula foram acontecendo e seus resultados publicados, 
possibilitando, no momento atual, um novo olhar diante do grande número de 
publicações que já temos. 
Por outro lado, o aumento das revistas on-line tem propiciado a ampla divulgação dos 
resultados das experiências docentes tanto no Brasil como em outras partes do mundo. 
Neste capítulo, vamos apresentar recortes que mostram esse quadro atual da modelagem 
matemática no Brasil, entretanto, cabe salientar que o presente texto atende aos objetivos 
específicos de uma Unidade de Aprendizagem do Curso de Matemática da UnisulVirtual, 
portanto, diante desta limitação, não vamos mostrar o todo, mas cada citação aqui 
apresentada, ao ser consultada na íntegra, é uma fonte de novas citações, o que permitirá 
a geração de uma cadeia de referências tanto de referenciaisteóricos como de 
experimentos práticos. 
As motivações dos professores ou pesquisadores na educação matemática para o uso da 
modelagem matemática em sala de aula são as mais variadas, mas em geral todos partem 
da visão de que o uso da modelagem matemática como um processo de ensino-
aprendizagem pode ser um caminho para despertar no aluno o interesse por conteúdos 
45 
 
matemáticos que ainda não conhecem, ou seja, é uma motivação para a inserção e fixação 
de novos conteúdos programáticos. Biembengut e Hein (2000, p. 18-19) afirma que: 
A modelagem matemática norteia-se por desenvolver o conteúdo programático 
a partir de um tema ou modelo matemático e orientar o aluno na realização de 
seu próprio modelo-modelagem. Pode valer como método de ensino-
aprendizagem de Matemática em qualquer nível escolar, das séries iniciais a 
um curso de pós-graduação. Não há restrição! 
Por outro lado, tem-se a questão atual de estar trabalhando com o dia a dia do aluno o 
que implica na resolução de problemas, permitindo a formação de competências e 
habilidades. Historicamente a resolução de problemas traz resistência por parte do aluno, 
pois este quer resolver problemas apenas trocando os números das operações realizadas 
nos exemplos apresentado pelo professor. Assim, o uso da modelagem matemática em 
sala de aula requer por parte do professor o domínio das ações didáticas requeridas. Além 
disso, é preciso saber lidar com as resistências discentes relatadas nas diversas 
experiências publicadas – os alunos reclamam que precisam "pensar muito" (ALMEIDA 
e SILVA, 2014). 
Outros aspectos nos levam a considerar que o uso da modelagem matemática no ensino 
é uma metodologia ideal para o presente momento social. Por exemplo, o uso correto da 
matemática no dia a dia assim como o domínio das suas diferentes linguagens com suas 
respectivas representações e dos recursos para a compreensão de ações diárias no 
exercício da cidadania. 
A discussão teórica relacionada com as linguagens e os registros de representações 
semióticas tem origem nas pesquisas de Raymond Duval. 
Duval (2003), nasceu na França é filósofo e psicólogo é o responsável pela Teoria dos 
Registros de Representação Semiótica e importantes pesquisas e estudos em Psicologia 
Cognitiva desenvolvidos no Instituto de Pesquisa em Educação Matemática, IREM, da 
cidade de Estrasburgo na França entre os anos de 1970 a 1994. Sua teoria se consolida 
como um referencial teórica em pesquisas em educação matemática no Brasil, a partir de 
pesquisadores brasileiros que fizeram suas teses de doutorado na França, por exemplo, 
DAMM (1992). 
 
46 
 
Para saber mais sobre a teoria do Duval é possível consultar a sua primeira 
apresentação sistematizada "Semiosis et pensée humaine: Registres 
sémiotiques et apprentissages intellectuels" já traduzida para a língua 
portuguesa (DUVAL, 2009). 
 
Cabe lembrar que estamos usando o termo linguagem no seu sentido de que estamos 
diante de um sistema que possibilita ao homem a comunicação de suas ideias e 
sentimentos, por meio da fala e da escrita ou de outros signos convencionais. No dia a 
dia fazemos uso da linguagem verbal e não verbal. Por exemplo, a fala e a escrita são 
linguagens verbais e todos os outros recursos de comunicação como imagens, desenhos, 
símbolos, músicas, gestos, etc. integram as linguagens não verbais. 
Portanto, na matemática, usamos as linguagens verbais e em muitos momentos tem 
singularidades relativas aos objetos matemáticos que estão sendo citados. As linguagens 
não verbais surgem a todo o momento, como por exemplo com os símbolos da álgebra, 
da teoria dos conjuntos, do cálculo diferencial e integral ou com os dados apresentados 
em tabelas e gráficos, diagramas de Venn, etc. 
As representações semióticas discutidas na Teoria de Duval estão relacionadas com as 
linguagens. Por exemplo, 
422  xxy
, o gráfico da Figura 2.1, os dados da Tabela 
2.1, ambos gerados com o software Graph; o diagrama de Venn da Figura 2.2 são 
representações semióticas da "função quadrática que associa a cada valor de x 
pertencente ao conjunto dos números reais o valor y formado pelo quadrado de x menos 
o dobro de x mais o valor quatro". 
Na tabela 2.1 observe que o software gera além das imagens para intervalos do domínio 
dado, as derivadas de primeira e segunda ordem em um ponto. 
 
 
 
 
47 
 
Figura 2.1 – Gráfico da função 
422  xxy
 
 
 
Tabela 2.1 – Tabela com valores da função 
422  xxy
 
 
48 
 
 
Figura 2.2 – Diagrama de Venn da função 
422  xxy
 
 
 
Duval (2003, p. 14-15) afirma que em linguagem matemática podemos conjecturar: 
A originalidade da atividade matemática está na mobilização simultânea de ao 
menos dois registros de representação, ou na possibilidade de trocar a todo o 
momento de registros de representação. 
[...] a compreensão em matemática supõe a coordenação e ao menos dois 
registros de representação semiótica. 
Diante de um objeto matemático um sistema de signos pode se constituir registros de de 
representação semiótica. Para que isto seja considerado é preciso que: 
1. A representação seja identificável, ou seja é preciso reconhecer na 
representação o objeto. Por exemplo, 
baxy 
 é uma representação que 
identifica uma função linear ou uma reta. Observe que essa representação não nos 
dá todas as características da função ou da reta, pois estamos com dois parâmetros 
a e b não definidos a priori. 
2. O tratamento que consiste em transformações internas ao registro. Por exemplo, 
quando estamos resolvendo a equação 
1045 x
, podemos reescrever 
sucessivamente como: 
4105 x
; 
65 x
 até que concluímos o valor de 
.
5
6
x
 
3. A conversão que implica na transformação de um registo de representação em 
outro registro com a troca de sistema. Por exemplo, quando passamos de uma 
tabela para um gráfico. 
 
49 
 
Quando realizamos uma pesquisa que tem como referencial teórico os registros de 
representação semiótica, é preciso observar atentamente que do ponto de vista cognitivo 
é a atividade de conversão que conduz aos mecanismos subjacentes à compreensão. 
Qual a importância dessa teoria em um processo de modelagem matemática? 
No decorrer do processo de modelagem matemática como metodologia de ensino, vamos 
vivenciar e percorrer de forma sistemática diferentes registros de representação semiótica 
e dessa forma a aprendizagem da matemática pode se concretizar, pois o acesso aos 
objetos da situação a ser modelada serão acessados obrigatoriamente por diferentes 
representações semióticas e ao formular o modelo as conversões acontecerão, 
principalmente do momento da validação de um modelo em que vamos usar, por 
exemplo, as representações algébricas, gráficas , tabular, etc. 
Podemos estabelecer os seguintes objetivos para o uso da modelagem na Educação 
Básica, no contexto da Educação Matemática. 
 
1.1 Objetivos 
Geral: Apresentar e desenvolver conteúdos programáticos de uma forma inovadora. 
Específicos: 
(1) Discutir a matemática de uma maneira mais interdisciplinar; 
(2) Enfatizar a importância da matemática para a formação integral do aluno em seus 
aspectos éticos e de cidadania. 
(3) Mostrar a imensa aplicabilidade dos conhecimentos matemáticos. 
(4) Melhorar o processo de aprendizagens dos alunos captando interesses individuais. 
(5) Desenvolver a habilidade para resolver problemas. 
(6) Estimular e desenvolver o processo criativo. 
 
Por que usar modelagem matemática em sala de aula? 
 
50 
 
Bassanezi (2002) estabelece uma série de argumentos que ficam em sintonia com os 
objetivos listadosacima. São classificados em argumentos: 
 formativos: podemos enfatizar as aplicações matemáticas e a resolução de 
problemas como processos para desenvolver competências e habilidades nos 
alunos, tornando-os mais aptos e criativos. 
 de competência crítica: há possibilidades de focalizar a preparação para a vida real 
como cidadãos atuantes e competentes para reconhecer e entender as aplicações 
matemáticas. 
 de utilidade: o processo preconiza uma preparação matemática com a visão de 
ferramenta para resolver problemas em diferentes situações reais. 
 intrínseco: ao trabalhar com modelagem e resolução de problemas, o aluno 
consegue entender e interpretar a própria matemática em todas as suas formas de 
apresentação. 
 de aprendizagem: os estudantes conseguem compreender melhor os objetos 
matemáticos, pois valorizam mais cada conceito, definição, propriedade ou 
teorema trabalhado. 
 de alternativa epistemológica: enquadra-se dentro do programa da 
etnomatemática (objeto de estudo da Unidade 4), pois é uma metodologia 
alternativa e adequada para trabalhar com as diversas realidades sócio-culturais. 
 
Como em toda a metodologia de trabalho sempre é possível analisar o lado mais negativo. 
Dessa forma Bassanezi (2002) elenca obstáculos: 
 instrucionais; 
 para os estudantes; 
 para os professores. 
Veja alguns elementos no Quadro 1. 
 
 
 
51 
 
Quadro 1 - Obstáculos 
Situação Tipo de obstáculo 
Os cursos possuem programas que devem ser cumpridos 
integralmente e a modelagem pode ser demorada ao 
ponto de impedir o cumprimento de algum tópico. 
Obstáculo Instrucional 
Os professores podem ter dificuldades para fazer as 
conexões com outras áreas de conhecimento que 
inevitavelmente surgem no decorrer da modelagem. 
Obstáculo Instrucional 
O uso da modelagem foge da rotina do ensino tradicional 
e os estudantes podem se perder e se tornar apáticos nas 
aulas. 
Obstáculo para o 
estudante 
Alguns alunos acostumados com o fato de não serem o 
centro do processo, passam a atuar de forma mais lenta e 
o andamento das ações ficam também lentas. 
Obstáculo para o 
estudante 
A formação heterogenia de uma classe pode trazer ritmos 
diferenciados. 
Obstáculo para o 
estudante 
O tema escolhido pode não ser interessante para um 
grupo de alunos que acaba ficando desinteressado. 
Obstáculo para o 
estudante 
Muitos professores não se sentem capacitados para 
enfrentar situações em classe inesperadas. 
Obstáculos para o 
professor 
Os professores ficam preocupados com os prazos e 
conteúdos e não vivenciam o processo formalmente, 
Obstáculos para o 
professor 
 
Para atingir os objetivos citados e superar os obstáculos listados é de fundamental 
importância que o professor planeje bem a sua ação didática tendo como suporte 
metodológico a modelagem matemática. 
52 
 
 
1.2 Cinco passos para a modelagem matemática 
Biembengut e Hein (2000, p. 19-20) apresentam cinco passos para serem seguidos pelo 
professor: 
 diagnóstico; 
 escolha do tema; 
 desenvolvimento do conteúdo programático; 
 Orientação da modelagem; 
 Avaliação do processo ensino-aprendizagem. 
 
1.2.1 Diagnóstico 
O professor deve fazer um diagnóstico atrelado à coleta de dados dos alunos que pretende 
trabalhar a modelagem matemática. Recomenda-se: 
 conhecer a realidade dos alunos para direcionar a escolha do tema; 
 conhecer o nível de conhecimento dos alunos para estabelecer de forma 
antecipada quais os conteúdos serão trabalhados e as atividades de fixação que 
deverão ser desenvolvidas; 
 verificar a dinâmica da aula em função do horário das aulas; 
 analisar a adequação do número de alunos nas equipes ou grupos de trabalho; 
 verificar as possibilidades de atividades extraclasse. 
 
1.2.2 Escolha do tema 
Para desenvolver a programação da disciplina é necessário escolher o tema que norteará 
a modelagem matemática. 
Alguns autores sugerem a escolha de um único tema e outros colocam que também é 
interessante o trabalho com vários temas ou um tema e vários subtemas. 
53 
 
A sugestão, para o caso de professores inexperientes é começar com um único tema, 
abrangente o suficiente para desenvolver o conteúdo programático e não desmotivar os 
alunos. 
Por outro lado, quando o professor escolhe o tema, normalmente se sente mais seguro na 
condução das atividades. 
Quando a escolha é feita pelos alunos, eles se sentem participantes do processo, o que é 
um primeiro passo importante para motivá-los. Por outro lado, o tema escolhido pode 
não ser adequado para o conteúdo a ser desenvolvido ou ainda pode ser muito complexo, 
o que exigirá maior tempo disponível do professor para estudá-lo. 
 
1.2.3 Desenvolvimento do conteúdo programático 
Neste momento, o professor deve seguir as três etapas propostas para o processo de 
modelagem. Para o contexto didático o processo delineado anteriormente pode sofrer 
simplificações resultando três etapas práticas: 
 Interação; 
 Matematização; 
 Modelo matemático. 
Observe que o modelo será construído em conjunto com o andamento dos conteúdos 
programáticos. 
A Figura 2.3, proposta por Biembengut e Hein (2000) descreve ações para cada uma das 
etapas práticas. 
 
 
 
 
 
54 
 
Figura 2.3 - – Etapas práticas propostas por Biembengut e Hein 
 
Fonte: Biembengut e Hein (2000, p.22) 
 
Na interação, após uma breve exposição do tema, faz-se um levantamento de questões a 
partir de sugestões dos alunos. Nesta etapa o professor tem um papel importante, pois a 
partir do momento que demonstra seu conhecimento e interesse pelo tema, contribui 
diretamente para a motivação dos alunos. 
Na próxima etapa, matematização, já se definem quais questões serão trabalhadas com 
o objetivo principal de delimitar o tema. 
Os alunos podem contribuir com pesquisas sobre o tema e já iniciam a coleta de dados. 
A coleta de dados é uma etapa que muitas vezes é considerada difícil, pois não se sabe 
por onde começar. No entanto, a dica básica é - quando não se sabe o que fazer, o melhor 
é medir ou contar. 
O professor deve estar sempre atento para inserir os conteúdos matemáticos, ou seja, a 
matematização nos momentos em que se tornam necessários, tendo como objetivo 
principal a resolução da questão proposta. 
Quando se inicia o trabalho com a modelagem matemática, os professores normalmente 
levantam a seguinte questão: Devo desenvolver os conteúdos matemáticos 
simultaneamente com o processo de modelagem ou primeiro desenvolvo o processo e, 
depois, o conteúdo matemático? 
Existem experiências que foram realizadas usando as duas formas apresentadas, no 
entanto, a escolha por uma ou outra dependerá do andamento dos trabalhos junto com a 
55 
 
turma. O mais interessante sempre é o trabalho de forma intercalada, no entanto, isto nem 
sempre é possível. 
De qualquer forma, se os conteúdos forem apresentados posteriormente não se perde a 
riqueza dos resultados obtidos com a aplicação da modelagem matemática. 
Por fim, a identificação de um modelo encerra o processo abrindo caminho para a 
validação. 
Observe que cada pergunta respondida passa pelo processo de interação – matematização 
- modelo. Ao validar um modelo, o professor deve deixar um espaço de diálogo para que 
os alunos manifestem o seu interesse para seguir em frente com novas questões. 
 
1.2.4 Orientação da modelagem 
Lembrando que, neste capítulo, estamos propondo a inserção da modelagem como um 
processo do ensino-aprendizagem é necessário que o professor tenha a clareza de como 
vai conduzir esse processo. 
Os alunos escolhemo tema e a direção do próprio trabalho. Cabe ao professor mediar 
todo o processo e assumir a prática de orientador. Para tal é necessário que o professor 
tenha o seu próprio planejamento, delineando inclusive o número de aulas que serão 
dedicados ao processo da modelagem e o número de aulas que serão estrategicamente 
usadas para discutir os conteúdos programáticos. 
A orientação vai exigir estratégias específicas em função do tema e em função da classe 
dos alunos. A orientação vai ter momentos distintos em acordo com o andamento do 
processo da modelagem. Tem-se formalmente 5 momentos distintos: a escolha do tema; 
a interação com o tema; o planejamento dos trabalhos dos grupos de alunos; o 
desenvolvimento dos conteúdos programáticos e a validação e extensão dos trabalhos 
desenvolvidos pelos alunos. 
 
 
56 
 
1.2.5 Avaliação do processo ensino-aprendizagem 
A avaliação na modelagem matemática deve atribuir significado especial ao desempenho 
do aluno. Deve ser contínua e deve criar procedimentos adequados à turma, ao tema e às 
normas da escola. 
Podemos pensar em uma avaliação sob dois aspectos: 
 subjetivo - observação do professor; 
 objetivos – atividades escritas, provas, trabalhos individuais e em grupo, etc. 
Os critérios da avaliação devem ser estabelecidos podendo envolver todas as 
possibilidades tais como: a produção e conhecimento matemático (operacionalização 
correta sob a ótica das linguagens algébricas, gráficas, etc.); a produção individual e 
grupal (criativa e correta sob a ótica da matemática e também textual) e a aplicação dos 
conhecimentos de forma crítica e criativa. 
 
1.3 Programas e currículos 
Uma das grandes preocupações dos professores que tem fazem a opção de trabalhar a 
modelagem matemática em sala de aula são os conteúdos programáticos. Almeida, Silva 
e Vertuan (2013) discutem essa questão e apresentam as possibilidades para a 
configuração da modelagem matemática nas aulas de matemática. De um modo geral, as 
propostas ficam caracterizadas por quatro maneiras, concebidas a partir das ideias de 
Blum e Niss (1991) e apresentadas por Almeida e Silva (2014). Tem-se: 
Separação: As atividades de modelagem matemática são desenvolvidas em cursos 
extracurriculares. As aulas regulares permanecem inalteradas. 
Combinação: No decorrer das aulas de matemática as aplicações da modelagem 
matemática são apresentadas como forma de motivar a introdução de conceitos 
matemáticos. Também podemos conceber exemplos com modelagem matemática a partir 
de conteúdos que são usados em modelos matemáticos. 
drleonunes
Highlight
57 
 
Integração Curricular: Neste caso, as situações problemas são o ponto de partida e os 
conteúdos matemáticos necessários para a resolução são introduzidos na medida em que 
as necessidades de apresentam. 
Interdisciplinar integrada: Neste caso admite-se a existência de uma integração entre 
atividades fora do escopo da matemática e a matemática dentro da estrutura curricular. 
Os conteúdos programáticos das disciplinas envolvidas devem ser desenvolvidos de 
forma integrada. 
Os dois primeiros itens são mais tradicionais e os dois últimos mais inovadores e mais 
desafiadores para os docentes. Temos nos programas e currículos um compromisso com 
conceitos matemáticos relevantes estabelecidos nos programas escolares. Os relatos de 
pesquisa disponíveis na literatura mostram exemplos diversos e há argumentações em 
favor da inovação. 
Quanto ao tempo que deve ser disponibilizado para as atividades de modelagem 
matemática é um aspecto relativo, pois tudo depende da situação apresentada e dos 
objetivos a serem alcançados. "A caracterização da atividade reside muito mais nas 
iniciativas, ações e procedimentos realizados pelo professor e pelos alunos do que em 
delimitações de tempo e de espaço de realização da atividade" (ALMEIDA e SILVA, 
2014, P. 17). 
1.4 Exemplo 
De forma resumida vamos apresenta o exemplo de Biembengut e Hein (2000, p. 33) sobre 
o tema Embalagens. 
Apresentação do tema: 
A embalagem tem uma significativa importância para o produto. Além de 
protegê-lo valoriza sua apresentação. Há um dito popular que diz: “A 
primeira impressão é a que fica”! Partindo dessa premissa, a embalagem 
precisa “impressionar os olhos” do consumidor, ou seja, atender ao senso 
estético. Mas isso não é suficiente! É necessário que seja fácil manuseá-la e 
que o produto fique devidamente protegido da ação do transporte e do tempo. 
Para isso, alguns cuidados devem ser tomados, em particular, com a forma e 
a resistência. 
Conceitos envolvidos: 
 Geometria plana e espacial; 
58 
 
 sistemas de medidas: linear, superfície, volume, capacidade e massa; 
 função do segundo grau. 
 
Perguntas que foram trabalhadas: 
 Que formas geométricas estão presentes nas caixas e nas latas? 
 Como se faz uma caixinha? 
 Qual a quantidade de material utilizada em uma embalagem? 
 Qual é a forma ideal para uma embalagem? 
 O que é ideal? O menor custo? O fácil manuseio? 
 Partindo-se de uma folha de papelão quadrada de 20 cm de lado, qual deve ser a 
altura da caixa para que o volume seja máximo? 
 
Todas as ações do professor foram encaminhadas de forma gradativa no decorrer do 
tempo e sempre com o aluno manuseando materiais de sucata (embalagens), construindo 
embalagens com o uso de papel, lápis, régua, tesoura e cola. Na medida em que os 
desafios eram propostos o professor faz a orientação dos conteúdos fazendo com que os 
alunos produzam além de protótipos de embalagens, modelos matemáticos para calcular 
áreas, volumes etc. 
Para o processo de avaliação o professor pode usar qualquer instrumento, desde que seja 
planejado e tenha a inserção de critérios compatíveis com o processo trabalhado. 
 
 
 
 
 
 
59 
 
Seção 2 
Conteúdos de matemática e modelos matemáticos 
Nesta seção vamos retomar conteúdos que podem ser trabalhados com modelagem 
matemática sob diferentes caracterizações. 
 
2.1 Funções e suas potencialidades como modelos matemáticos 
As pesquisas realizadas e a construção de modelos matemáticos a partir de um conjunto 
de dados coletados nos mostram um grande número de modelos que podem ser o ponto 
de partida de um tema ou de situação problema. 
Usar essa estratégia é interessante para o uso da modelagem matemática como 
metodologia de ensino, pois ficamos diante da situação de fazer adequação de um modelo 
já existente. 
As funções no geral quando formalizadas com parâmetros podem ser usadas como 
modelos. Vamos apresentar alguns exemplos de forma genérica. 
 
2.1.1 Função Lineares 
As funções lineares podem ser expressas genericamente por 
baxy 
, sendo que a é o 
coeficiente angular da reta que representa a função e b é a intersecção com o eixo y. Essa 
função é usada para diversas situações e em especial podem ser usados para situações em 
que a taxa de variação é uma constante. Essa afirmação deve ao fato de que ao fazermos 
a derivada de uma função linear vamos obter como resultado um valor constante igual ao 
coeficiente angular da reta. 
Usualmente diante de dados que se apresentam com uma configuração linear é possível 
estabelecer um modelo empírico linear, mas temos sempre que ter cuidados adicionais 
com a escolha da tecnologia para a definição dos parâmetros da função, pois podemos 
60 
 
usar softwares matemáticos, ou métodos consagrados como já foi discutido no capítulo 
1. 
Além disso, diante do modelo é preciso considerar que ao fazer análises de tendências 
podemos correr riscos, pois o modelo está ajustado para um certo intervalo de valores 
delimitado, por exemplo, 
nxxx 1
, considerando-se