EDO 3ª prova de Marivaldo

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SÉRIES & EDO - PERÍODO: 2015.2 TURNO: [ ] MANHÃ [ ] TARDE
3o EXAME -
::::::::::::
EQUAÇÕES
:::::::::::::::::
DIFERENCIAIS
::::::::::::::
ORDINÁRIAS
[ ] BOCKER [ ] EVERALDO [ ] MILTON [ ] MPMATOS [ ] SHIRLEY
GABARITO - 1M
01 RESOLVENDO UM PVI Considere o PVI linear de primeira ordem:������ xy
0 + y = 2x+ ex; x > 0:
y (1) = 1:
(a) Determine a solução y (x) do PVI.
(b) Como se comporta a solução y (x) ; próximo de x = 0? E no in…nito, como ela se comporta?
SOLUÇÃO
(a) A EDO, linear de primeira ordem, é equivalente a
y0 + 1xy = 2 +
ex
x
com solução geral dada por:
y (x) = e� lnx
�
C +
Z �
2 +
ex
x
�
elnxdx
�
=
1
x
�
C +
Z
(2x+ ex) dx
�
=
C
x
+ x+
ex
x
:
Com o dado inicial y (1) = 1 encontramos C = �e e a solução do PVI é, portanto:
y(x) = x+
ex
x
� e
x
.
(b) O comportamento da solução próximo de x = 0 e no in…nito são estabelecidos, respectivamente, pelos
limites:
lim
x!0+
y (x) = lim
x!0+
1
x
�
x2 + ex � e� = �1.
lim
x!1 y (x) = limx!1
�
x+
ex
x
� e
x
�
= +1.
02 FATOR INTEGRANTE Considere a EDO não linear de primeira ordem:
��y + x4y3� dx+ xdy = 0:
(a) Determine m e n, de modo que I = xmyn seja um fator integrante da EDO.
(b) Encontre a curva integral da EDO que passa no ponto A (2; 2) :
SOLUÇÃO
(a) A função I = xmyn será um fator integrante quando a EDO
��y + x4y3� � xmyndx+ x � xmyndy = 0
for exata. Um cálculo direto nos leva à EDO:
��xmyn+1 + xm+4yn+3� dx+ xm+1yndy = 0
a qual será exata quando:
Py = Qx
, � (n+ 1) + (n+ 3) yn+2xm+4 = (m+ 1)xmyn
, n+ 3 = 0 e � n� 1 = m+ 1
, m = 1 e n = �3.
Assim, I (x; y) = xy�3 é um fator integrante e a EDO na forma exata é:�
� x
y2
+ x5
�
dx+
�
x2
y3
�
dy = 0:
(b) A curva intgeral pelo ponto A (2; 2) é:Z x
2
P (t; 2) dt+
Z y
2
Q (x; t) dt = 0
,
Z x
2
�
� t
4
+ t5
�
dt+
Z y
2
x2
t3
dt = 0
,
�
� t
2
8
+
t3
6
�t=x
t=2
+ x2
�
� 1
2t2
�y
2
= 0
, x
6
6
� x
2
2y2
=
61
6
, x6y2 � 3x2 � 61y2 = 0.
03 EDO DE EULER-CAUCHY Considere as seguintes EDO’s de 3a ordem:
Linear Homogênea:
d3y
dt3
� 6d
2y
dt2
+ 11
dy
dt
� 6y = 0: (I)
Euler-Cauchy: x3y000 � 3x2y00 + 6xy0 � 6y = ln(x3); x > 0: (II)
(a) Mostre, por substituição direta, que y = et é uma solução de (I).
(b) Determine a solução geral da EDO linear homogênea (I).
(c) Determine a solução geral da EDO de Euler-Cauchy (II).
SOLUÇÃO
(a) Sendo y = et, então
�
y =
��
y =
���
y = et. Consequentemente:
���
y � 6��y + 11 �y � 6y = (1� 6 + 11� 6) et = 0 � et = 0:
(b) Ao fatorar a equação característica �3 � 6�2 + 11�� 6 = 0, encontramos:
(�� 1) (�� 2) (�� 3) = 0
e as raízes características são, portanto, �1 = 1; �2 = 2 e �3 = 3: A solução geral da EDO (I) é:
y(t) = C1e
t + C2e
2t + C3e
3t.
(c) Com a substituição x = et a EDO (II) torna-se equivalente a:
���
y � 6��y + 11 �y � 6y = 3t:
A EDO homogênea associada tem solução geral
yH (t) = C1e
t + C2e
2t + C3e
3t
encontrada em (b) e uma soluçaõ particular é suposta da forma yP (t) = At + B a qual substiruída
na EDO nos dá: ������ �6A = 3�11A� 6B = 0 , A = �1=2 e B = �11=12.
Assim, temos yP (t) = �t=2� 11=12 e a solução geral de (II) é:
y (t) = yH (t) + yP (t) = C1e
t + C2e
2t + C3e
3t � t
2
� 11
12
ou, retornando à variável x; encontramos:
y(x) = C1x+ C2x
2 + C3x
3 � lnx
2
� 11
12
.
FIM
SÉRIES & EDO - PERÍODO: 2015.2 TURNO: [ ] MANHÃ [ ] TARDE
3o EXAME -
::::::::::::
EQUAÇÕES
:::::::::::::::::
DIFERENCIAIS
::::::::::::::
ORDINÁRIAS
[ ] BOCKER [ ] EVERALDO [ ] MILTON [ ] MPMATOS [ ] SHIRLEY
GABARITO - 1T
01 RESOLVENDO UM PVI Considere o seguinte PVI de segunda ordem:������ 4y
00 + 12y0 + 9y = 0; x � �1=3:
y (0) = 1; y0 (0) = 3=2:
(a) Determine a solução y (x) do PVI.
(b) Calcule lim
x!1 y (x) e determine em que ponto a solução y (x) atinge seu valor mínimo.
SOLUÇÃO
(a) A equação característica é 4�2+12�+9 = 0 com raiz � = �3=2; de ordem 2. A solução geral da EDO
é, portanto:
y (x) = C1e
�3x=2 + C2xe�3x=2:
Com o dado inicial y (0) = 1, obtemos C1 = 1 e, assim, y (x) = e�3x=2 + C2xe�3x=2: Derivando a
solução, encontramos:
y0 (x) = �32e�3x=2 + C2e�3x=2 � 32C2xe�3x=2:
Com o dado inicial y0 (0) = 3=2, obtemos C2 = 3. A solução do PVI é:
y(x) = (1 + 3x)e�3x=2.
(b) Temos
lim
x!1 y (x) = limx!1
�
1 + 3x
e3x=2
�
= (usar L´Hôpital) = 2 lim
x!1
�
1
e3x=2
�
= 0:
Por outro lado, para x � �1=3, temos que y (x) = (1 + 3x) e�3x=2 � 0 e, além disso, y (�1=3) = 0.
Assim, no intervalo [�1=3;+1) a solução y (x) atinge seu valor mínimo em x = �1=3:
02 FATOR INTEGRANTE Considere a EDO de primeira ordem:.
y0 =
xy2 � y
x
; x > 0; y > 0:
(a) Seria a função I (x; y) =
1
x2y2
um fator integrante da EDO? Justi…que brevemente a resposta.
(b) Encontre a curva integral da EDO que passa no ponto A (1; 1) :
SOLUÇÃO
(a) Na forma diferencial, a EDO é
�
xy2 � y� dx � xdy = 0 e a função I = 1
x2y2
será um fator integrante
quando: �
xy2 � y� � I (x; y) dx� x � I (x; y) dy = 0
for exata, isto é,
@
@y
��
xy2 � y� � I (x; y)� = @
@x
[�x � I (x; y)]. Temos que:
@
@y
��
xy2 � y� � I (x; y)� = @
@y
�
1
x
� 1
x2y
�
=
1
x2y2
e
@
@x
[�x � I (x; y)] = � @
@x
�
1
xy2
�
=
1
x2y2
:
(b) A EDO na forma exata é: �
1
x
� 1
x2y
�
dx�
�
1
xy2
�
dy = 0
e a curva integral pelo ponto A (1; 1) é:Z x
1
P (t; 1) dt+
Z y
1
Q (x; t) dt = 0
,
Z x
1
�
1
t
� 1
t2
�
dt+
Z y
1
��1
xt2
�
dt = 0
,
�
ln t+
1
t
�t=x
t=1
+
�
1
xt
�y
1
= 0
, lnx+ 1
x
� 1 + 1
x
�
1
y
� 1
�
= 0
, lnx+ 1
xy
= 1.
03 EDO DE EULER-CAUCHY Considere a EDO linear de 2a ordem:
2 (2x+ 3)2 y00 + 2 (2x+ 3) y0 + y = 4x; x > �3=2: (I)
(a) Use a mudança de variável r = 2x+ 3 e reduza a EDO (I) à forma padrão de Euler-Cauchy :
Ar2
d2y
dr2
+Br
dy
dr
+ Cy = f(r); r > 0: (II)
(b) Com a substituição r = et; reduza a EDO (II) a uma EDO com coe…cientes constantes:
a
d2y
dt2
+ b
dy
dt
+ cy = g (t) : (III)
(c) Determine a solução geral y (t) da EDO (III).
(d) Escreva a solução geral y (x) da EDO (I).
SOLUÇÃO
(a) Se r = 2x+ 3, segue da Regra da Cadeia que:
y0 = 2
dy
dr
e y00 = 4
d2y
dr2
e a EDO (I) assume a forma de Euler-Cauchy:
8r2
d2y
dr2
+ 4r
dy
dr
+ y = 2r � 6; r > 0.
(b) Com a substiruição r = et a EDO de Euler-Cauchy (II) se escreve:
8
d2y
dt2
� 4dy
dt
+ y = 2et � 6.
(c) A EDO homogênea associada a (III) tem raízes características � = 14 � 14 i e a solução geral é:
yH (t) = e
t=4 [C1 cos (t=4) + C2 sen (t=4)] :
Uma solução particular é suposta da forma yP (t) = �t+ �, a qual substituída na EDO nos dá � = 2=5 e
� = �6. Assim, yP (t) = 25et � 6 e a solução geral de (III) é, portanto:
y(t) = et=4[C1 cos(t=4) + C2 sin(t=4)] +
2et
5
� 6.
(d) Para retornar à variável x, notamos que t = ln r = ln (2x� 3) e a soluçâo geral de (I) é:
y(x) = (2x+ 3)1=4
�
C1 cos
�
ln(2x+ 3)
4
�
+ C2 sin
�
ln(2x+ 3)
4
��
+
4x
5
� 24
5
.
FIM
	Prova1
	Prova2null