estabilidade end

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 ESTABILIDADE 
 
A estabilidade inicial de uma embarcação, que consiste na determinação do valor de GM e do 
braço de endireitamento no caso de pequenos ângulos. 
 
 Para pequenos ângulos de banda, a posição do metacentro podia ser considerada fixa e 
o braço de endireitamentoficava dado por: GZ GM= sen ϕ . 
 
 E se os ângulos de banda não forem pequenos? Nesta seção, estudar-se-á o problema 
mais a fundo, com a determinação do momento restaurador para todos os ângulos de banda, 
quando a movimentação do metacentro é suficientemente grande para não poder ser 
desprezada. 
 É prática usual a separação do problema de estabilidade em longitudinal e transversal, 
já que no caso de navios algumas aproximações fazem o problema de estabilidade 
longitudinal mais simples. Em se tratando de plataformas, o mesmo não acontece. As rigezas 
à rotações no sentido longitudinal e transversal são praticamente iguais, ainda assim a 
separação dos problemas permite um tratamento simplificado. 
 
1. Curvas Cruzadas de Estabilidade 
 
 Considere a seção do navio apresentada na figura 4.1. O navio flutuava em equilíbrio 
na linha d'água WL. Devido a um vento lateral passa a operar com banda. O centro de carena 
se desloca longitudinal e transversalmente. O deslocamento longitudinal ocorre devido a não 
igualdade das formas de carena da proa e da popa. Esse deslocamento longitudinal é pequeno 
e, por ora, será desprezado. Deseja-se determinar a nova posição transversal do centro de 
carena, de tal modo a obter o braço de restauração e determinar o momento restaurador 
transversal. 
 
 Note-se que só é necessário o conhecimento da distância transversal horizontal (em 
relação a nova linha d'água W1L1) do centro de carena ao CG. Não tem interesse prático a 
posição vertical do centro de carena já que uma variação de posição vertical não induz o 
aparecimento de momentos no plano vertical. 
 
w L
w1
L1
L.C.
K
B B1
 
 
 
41
Figura 4.1. - Navio sob ângulo de banda 
 
 Se a nova linha d'água W1L1 fosse conhecida o processo seria relativamente simples. 
Bastaria ponderar-se a distância dos centros de áreas imersas das balizas até a linha vertical 
que passa pelo CG, pelas suas respectivas áreas. Isso forneceria a posição transversal do 
centro de volume e, conseqüentemente, sua distância horizontal ao centro de gravidade, que é 
o braço de endireitamento transversal. O produto do braço de endireitamento pelo 
deslocamento fornece o momento restaurador. Esse processo poderia ser repetido para 
vários ângulos de inclinação. Dessa maneira se determinaria a curva de estabilidade estática, 
semelhantemente aquela da figura 4.2. 
 
 
 
 
Figura 4.2. - Curva de Estabilidade Estática 
 
Porém, quando um navio real se inclina de um ângulo não infinitesimal, a posição 
transversal de intersecção da nova linha d'água com a anterior é ignorada, o que não torna 
conhecida a nova linha d'água W1L1. 
 
 Por isso, é necessário o traçado das curvas cruzadas de estabilidade antes do traçado 
da curva de estabilidade estática. 
 
 As curvas cruzadas de estabilidade (CCE) fornecem, para vários deslocamentos e 
ângulos de banda, o braço de endireitamento G0Z0 , para uma posição de referência do centro 
de gravidade G0. Posteriormente serão mostradas as correções que devem ser efetuadas para 
consideração de outras posições do centro de gravidade, o que certamente ocorrerá durante a 
vida do navio. 
 
42
15
30
45
60
75
Deslocamento em
milhares de toneladas
10 12 242220181614
G0Z0(m)
1
2
3
4
5
 
 
Figura 4.3. - Curvas Cruzadas de Estabilidade 
 
 A consulta das curvas cruzadas permite, para uma dada posição do centro de gravidade 
(G0), a determinação dos braços de endireitamento em função do ângulo de inclinação, para 
um deslocamento constante. Basta para isso ler os valores de G0Z0 sobre uma vertical no 
deslocamento em questão (linha vertical na figura 4.3). Assim pode-se traçar a curva de 
estabilidade estática. 
 
 Como obter as Curvas Cruzadas de Estabilidade? 
 
 As curvas cruzadas são confeccionadas a partir do plano de balizas. São traçadas para 
um número definido de ângulos de banda, em geral 15o, 30o , 45o , 60o e 75o . O processo para 
o traçado é o seguinte: Para cada ângulo de banda, são traçadas linhas d'água com a definida 
inclinação no plano de balizas, em algumas posições diferentes, como ilustra a figura 4.4. 
 
L1
L2
L3
W1
W2
W3
Linha de Centro
 
 
Figura 4.4. - Linhas d'água para traçado das CCE sobre o plano de linhas da 
embarcação 
 
 A linha d'água traçada intercepta cada uma das balizas, definindo a área imersa de cada 
uma delas. Deve-se calcular a área imersa e o momento estático em relação a um eixo 
perpendicular a linha d'água para todas as balizas. Dividindo o momento estático pela área, 
 
43
encontra-se a distância do centro de área ao eixo considerado. Uma integração simples ao 
longo do comprimento definirá o deslocamento e a posição transversal do centro de carena. Se 
o eixo de momentos passa pelo CG, o valor encontrado é o próprio braço de endireitamento. 
 
 Dessa maneira foi definido um ponto da curva cruzada para aquela inclinação (f= (θ, 
G0Z0)). A repetição do processo para as outras linhas d'água determina novos pontos para 
aquela inclinação. Procedendo-se da mesma maneira obtêm-se novos ângulos de banda. 
 
 Os cálculos são muito trabalhosos. Uma equipe de dois projetistas, utilizando-se de 
integração por planímetros, gastaria algo em torno de uma semana para o traçado destas 
curvas. Com as novas ferramentas computacionais para geração de curvas, utilizando-se de 
funções como as de B-Spline e Bezier, permitem a geração do plano de linhas e efetuam esses 
cálculos em questão de segundos. Na verdade, os softwares atualmente disponíveis no 
mercado determinam as curvas cruzadas, tanto para navios como semi-submersíveis, apenas 
internamente, apresentando diretamente seu produto final, a CEE, para uma dada posição do 
centro de gravidade 
 
 Para uma semi-submersível, enquanto não há inundação do convés (ou das estruturas 
de convés) ou afloramento dos pontos, a posição do centro de carena pode ser determinada 
facilmente e, portanto, não haveria necessidade das curvas cruzadas de estabilidade. As CCE 
de semi-submersíveis têm utilidade quando acontece uma das condições acima apontadas. Um 
exemplo resolvido no final do capítulo atenta para este fato. 
 
 A figura a seguir mostra, para uma semi-submersível, a nova linha d'água inclinada 
encontrando a anterior no LCF. 
 
M
B1
B
LCF
W
L
W1 L1
 
 
Figura 4.5. - Linhas d'água se interceptando no LCF 
 
 
4.2 Considerações Sobre a Curva de Estabilidade Estática 
 
 A curva de estabilidade estática para uma dada direção (longitudinal, transversal ou 
qualquer ângulo de azimute) contém todas as informações sobre a estabilidade de uma 
embarcação. Estudemo-la com um pouco mais de detalhe. 
 
44
 
 Em primeiro lugar é importante notar que a declividade da curva na origem 
corresponde ao valor de GM. Ou seja, a tangente do ângulo que a curva faz com a horizontal 
na origem vale numericamente o mesmo que GM. 
 
(m/rad) GMsen
d
dGM
cosGM
d
dGZ
1)<<( senGMGZ
00
0
=φφ+φ=φ
φφ=
=φ=φ
=
 
 
 Quanto menor for valor de GM de uma estrutura flutuante, mais tangente ao eixo dos 
“x” sairá a curva de estabilidade. Mas isso não determina seu posterior comportamento. A 
figura a seguir ilustra a CEE de uma embarcação que tem GM inicial negativo, o que torna a 
posição φ=0 de equilíbrio instável. Porém, essa embarcação apresenta estabilidade positiva 
para ângulos superiores de banda. 
 
φ
φeq
φlimite
GZ
GM<0
φ=1radφeq
φlimite
 
Figura 4.6. - Curva de EstabilidadeEstática de embarcação que apresenta estabilidade 
marginal 
 
 Uma embarcação que apresente essa curva de estabilidade deverá operar com banda 
permanente em alguma das posições indicadas como φeq. É importante notar que essa banda 
permanente não é causada por uma distribuição assimétrica de carga a bordo. A anti-simetria 
da curva de estabilidade indica que o CG da embarcação encontra-se no plano de centro. 
 
 A tentativa de correção dessa banda com movimentação lateral de pesos a bordo 
provocaria uma situação muito mais crítica. Conforme fosse sendo movimentada a carga para 
o bordo oposto ao da banda, a posição de equilíbrio iria se aproximando lentamente de φ=0 
para, de repente e bruscamente, a embarcação tomar uma banda muito mais severa para o lado 
oposto, o que poderia inclusive levar ao emborcamento da mesma. 
 
 Diz-se que a embarcação que tem uma curva de estabilidade como aquela apresenta 
um problema marginal de estabilidade. A única solução a esse problema é o aumento de GM, 
que significa abaixamento do CG se a embarcação já foi construída. 
 
 Essa questão ficará mais clara adiante, com o estudo das coreções às CEE devido a 
movimentações do CG. 
 
 A curva de estabilidade possibilita o estudo dos efeito de momentos externos à 
embarcação, e permite determinar as posições de equilíbrio que deverão ser encontradas. 
 
 
45
 Suponha um vento lateral aplicando um momento de banda num navio ou plataforma. 
A força do vento é proporcional ao quadrado de sua velocidade e à área lateral projetada da 
embarcação. A área projetada é uma função quase cossenoidal do ângulo de banda, o que 
permite determinar numericamente o valor do momento de emborcamento para todos os 
valores de ângulo de banda. O equilíbrio será atingido quando o momento de restauração da 
embarcação igualar o momento de emborcamento originado pelo vento. 
 
 
 
 
 
Figura 4.7. - Momento de vento fatorado pelo deslocamento sobre CEE 
 
 Note que existe um segundo ponto de equilíbrio instável a esquerda do primeiro. Essa 
embarcação seria capaz de resistir estaticamente a um vento que causasse um momento de 
emborcamento máximo igual ao ponto grafado na curva como Mres.max. 
 
 Relativamente a curva de estabilidade define-se também ângulo de alagamento como a 
posição a partir da qual passa a existir alagamento progressivo de alguma abertura não 
estanque do convés. Para um navio essa abertura em geral corresponde a uma escotilha, e 
numa plataforma a abertura do paiol de amarras. 
 
4.2 Correções à Posição do Centro de Gravidade 
 
 Como se disse as curvas cruzadas de estabilidade são traçadas para uma posição de 
referência do CG. Os valores ali lidos devem portanto ser corrigidos em função da posição 
efetiva do CG. Se assim não fosse seria necessário a posse de inúmeras CCE, uma para cada 
possível posição do CG. 
 
 Divide-se a correção em duas fases: aquela que corrige deslocamentos transversais do 
CG e aquelas que corrigem deslocamentos verticais. 
 
 Em primeiro lugar, a correção senoidal permite o ajuste da posição vertical do centro 
de gravidade. Seja G0≡K, como mostrado na figura 4.5. 
 
 
46
G
G0=K
Z0
Z
M
w L
w1
L1
φ
GG0 senφ
 
 
Figura 4.8. - Correção da posição vertical do centro de gravidade 
 
Deve-se ter: 
 
GZ G Z G G= −0 0 0 senθ 
 
e esta correção deve ser feita a todos os pontos lidos na curva cruzada, o que permite 
finalmente o traçado da curva de estabilidade estática para aquele deslocamento. A curva 
G0G.senθ foi traçada na figura 4.7. Os novos braços de endireitamento são indicados pelas 
setas. 
 
 A correção pode ser feita graficamente bastando traçar a senoide G0G senθ sobre a 
curva G0Z0 
 
φlimite
φlimite φ
Momento
Restaurador
 
Figura 4.9. - Correção senoidal sobre a curva de G0Z0 
 
 Se o centro de gravidade não se encontra sobre a linha de centro da embarcação, deve 
ser efetuada uma correção cossenoidal também. A figura 4.8 ilustra o fato. 
 
 
G
G0=K
Z0
Z
M
w L
w1
L1
G1 Z1
θ
G0
Z0
G
Z
Z1
G1θ
 
 
 
47
Figura 4.10. - Correção para posição transversal do centro de gravidade diferente da do 
plano de centro 
 
 Deve-se ter: 
 
G Z GZ G G1 1 1= − cosφ 
 
 Naturalmente que a correção é aditiva para os casos em que o centro de gravidade está 
deslocado para o bordo oposto ao da banda, e portanto a CEE deixa de ser anti-simétrica. 
 
 
Figura 4.11. - Correção cossenoidal sobre a curva GZ
 
 
 O ponto no qual o momento restaurador é nulo passa a ser o ponto de equilíbrio, e 
portanto o sistema opera com banda. Note que, diferentemente daquele sistema apresentado na 
figura 4.5b, o problema aqui é diverso. A banda neste caso é causada por assimetria de 
carregamento, e uma correção da distribuição de carga será benéfica a estabilidade da 
embarcação, já que passará a operar no meio da faixa de boa estabilidade, tendo portanto 
maiores resistência a momentos de emborcamento para ambos os bordos. 
 
 Logicamente que as correções podem ser feitas de uma vez só, o que resulta em: 
 
G Z G Z G G GG1 1 0 0 0 1= ± −sen cosθ θ 
 
4.3 Cálculo das Tangentes às CCE 
 
 O cálculo das tangentes às curvas cruzadas permite um traçado mais eficiente das 
mesmas. São especialmente importantes para embarcações que apresentem uma carena pouco 
usual. Portanto pouca utilidade apresentam para semi-submersíveis. 
 
 Na figura 4.10 é mostrado um eixo de momentos, traçado perpendicularmente a linha 
d'água WL e passando pelo ponto G0, e a linha de ação do empuxo passando por B. Se o navio 
imerge, passando de WL a W1L1, o deslocamento sofre uma alteração ∆∂ . A essa variação do 
deslocamento corresponde uma parcela adicional de empuxo que atua no centróide da fatia 
compreendida entre WL e W1L1, aqui chamado de g. 
 
 
48
w
w1
L
L1
G0
B
g
B1
 
 
Figura 4.12. - Movimentação do centro de carena 
 
 O novo centro de carena passa a B1, que se encontra na linha que une B e g. 
 
 Tomando momentos em relação a vertical que passa por B: 
 
δ δ
δ
δ
δ δ
∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆
. ( ).
mas
( )
( )
bg B B
B B G Z
G Z bg
= + ′
′ =
=
+
1
1 0 0
0 0
portanto
 
 
 Fazendo a fatia WL a W1L1 tender a zero o ponto g tende ao centro da área do plano de 
flutuação e portanto: 
 
d G Z
d
bg( )0 0
∆ ∆
= 
 
que é a tangente a curva G0Z0=f(∆). Para traçado das tangentes há que se levar em conta as 
escalas utilizadas para G0Z0 e ∆. 
 
tanϕ = ∗bg fator
∆
 de escala 
 
se, por exemplo Escala para G0Z0 1cm=1m 
 Escala para ∆ 1cm=1000ton 
 
o fator de escala será 1000. 
 
4.4 Traçado das Curvas de Estabilidade com Auxílio de um Dinamômetro. 
 
49
 
 Haja vista a grande quantidade de cálculos necessários ao traçado das curvas cruzadas, 
foi desenvolvido um aparelho que determina as ordenadas da curva de estabilidade estática 
utilizando-se da experimentação em laboratório com um modelo em escala reduzida. 
 
 Com o barateamento dde computadores e o desenvolvimento de poderosas assecíveis 
ferramentas de cálculo essa técnica tem importância apenas didática e por isso é sussintamente 
apresentada. 
 
 Tendo sido definida a forma do casco, é construído um modelo em escala reduzida, e 
posto a flutuar na água com deslocamentos variáveis. Nesse modelo é fixado um 
dinamômetro, que também é preso a uma estrutura fixa na margem do tanque. O aparelho 
possui uma espécie de transferidor que é capaz de inclinar o modelo de ângulos ajustáveis, 
sem no entanto permitir a modificação do volume deslocado. Fixando-se o modelo no ângulo 
desejado, pode-se obter o valor do braço de endireitamento simplesmente dividindo-se o valor 
do momento lido no aparelhopelo deslocamento. 
 
 
 
 
Figura 4.13. - Traçado das Curvas Cruzadas com auxílio do dinamômetro 
 
 O procedimento é repetido para outras inclinações, e outros deslocamentos, 
fornecendo a curva de estabilidade estática para os vários tipos de operação. 
 
 Isso permite o traçado das curvas hidrostáticas em menos de um dia de trabalho, 
embora exija a construção de um modelo do casco em escala reduzida. 
 
50
 
4.5 Efeitos de Cargas Móveis Sobre a CEE 
 
 
 Para o traçado da curva de estabilidade foi considerada uma posição estática do centro 
de gravidade da embarcação. Para o cálculo do momento restaurador, foi necessário apenas a 
determinação do novo centro de carena do volume submerso na nova condição inclinada. O 
braço do momento restaurador é dado pela distância horizontal do centro de gravidade ao 
centro de carena. 
 
 Se, como efeito da banda ou trim, cargas se movem dentro da embarcação, o centro de 
gravidade do conjunto muda de posição. Isso altera o braço de restauração e, portanto, o 
momento restaurador. 
 
 Naturalmente, não há como prever o deslocamento de cargas sólidas que se 
desprendam de seu local de fixação durante uma viagem, e menos ainda a nova posição que 
ocuparão ao se deslocar, exceto para algumas cargas à granel, especialmente as cargas 
líquidas. 
 
 
 Um exemplo comum em semi-submersíveis é a fixação do riser de perfuração na 
catarina (ficando solidário a plataforma como se fosse um pêndulo), o que representa uma 
carga de direção variável em relação à plataforma, já que o riser tem movimentação angular 
independente da estrutura que o fixa. 
 
 Cargas granéis, como cereal ou minério, possuem um ângulo crítico a partir do qual 
sofrem deslocamento e requerem um estudo especialmente dirigido a cada caso. O ângulo 
crítico (α) é ilustrado na figura 4.14. 
 
Figura 4.14. - Ângulo crítico de granéis sólidos 
 
 Se o navio, que joga em ondas, ultrapassa o ângulo crítico ou de equilíbrio, a carga se 
desloca. Com o deslocamento da carga, o centro de gravidade do conjunto se desloca, e o 
navio toma uma banda de tal modo que o centro de carena também se mova para a mesma 
vertical que passa pelo CG. Então o navio passará a jogar sob um ângulo inclinado. Um no vo 
jogo deslocará mais o CG e deslocamentos progressivos poderão acontecer.É grande o número 
de navios que emborcaram como consequência desse fenômeno. 
 
 
51
Uma solução simples é a disposição de anteparas longitudinais, semelhantes a 
pranchas, que são encaixadas em perfis metálicos, denominados "shifting boards", na parte 
superior dos tanques. Se o navio não possui dispositivo para evitar esse "escorregamento" 
progressivo da carga e isso começar a acontecer durante uma tempestade, nada poderá ser 
feito para evitar uma banda progressiva, que pode eventualmente levar o navio ao 
emborcamento. 
 
 Graneis líquidos são particularmente importantes no que diz respeito a esse fenômeno 
já que estão necessariamente presentes a bordo. Seu efeito deve ser sempre considerado, quer 
nos cálculos de estabilidade, quer no dimensionamento geométrico dos tanques que, como se 
verá, tem grande influência na variação do braço de endireitamento da embarcação. 
 
 Se o corpo flutuante possui um tanque parcialmente cheio, o fluído se deslocará com a 
banda ou trim. O problema de deslocamento dinâmico foge do escopo dessas notas e tratar-se-
á aqui de deslocamentos estáticos apenas. O centro de gravidade do fluído será deslocado na 
direção da banda ou trim, o que, como se verá, tem um efeito maléfico na estabilidade. Se o 
processo é “quasi-estático”, a nova superfície do líquido será paralela a nova linha d'água da 
embarcação, o que permite a determinação de seu novo centro de gravidade. 
 
 O processo matemático para determinar essa alteração na estabilidade é idêntico 
àquele seguido para determinação do braço de endireitamento. Deve-se calcular, para cada 
ângulo de inclinação, a nova posição do centro de gravidade do líquido dentro do tanque, e 
com isso obter a posição do centro de gravidade do navio. Como o deslocamento do CG 
sempre se dá na mesma direção da banda que toma a embarcação, o braço de endireitamento é 
sempre diminuído, semelhantemente ao lado direito da figura 4.10. 
 
 Analogamente à determinação do braço de endireitamento do navio, o efeito de 
superfície livre é efetuado em dois estágios: efeito na estabilidade inicial; efeito na 
estabilidade para ângulos de banda elevados 
 
4.5.1 Efeito na Estabilidade Inicial 
 
 Da mesma maneira que se definiu metacentro do navio, pode-se definir metacentro de 
um determinado tanque, como a posição no espaço ocupada pelo ponto de intersecção de duas 
verticais, em inclinações diferentes, que passam pelos respectivos centros de "carena" do 
tanque, coincidentes com seu centro de gravidade ( líquidos homogêneos ). 
 
52
W
W1
L
L1
G G1
B
B1
M
θ
a c
b b1
m
 
 
Figura 4.15. - Metacentro de um tanque 
 
 O segmento bb1, de que se move o centro de volume do tanque, tem direção paralela a 
reta que une os centros das cunhas a e c e tem módulo dado por: (ver Estabilidade Inicial) 
 
bb gg
i
v
que
que
1 1= =
tan
tan
.
.senϕ (1) 
onde itanque é o momento de inércia da superfície livre do tanque em relação a um eixo 
longitudinal ao navio, que passa pelo centro da área da superfície do tanque e νtanque é seu 
volume. 
 
 Dessa maneira, definindo a altura metacêntrica do tanque como gm, deve-se ter: 
 
bm gm bb i vque que= = =1 / sen /tan tanϕ (2) 
 
 
 O deslocamento do centro de gravidade do tanque de uma distância bb1 leva a um 
deslocamento do centro de gravidade do navio ou plataforma de tal forma que: 
 
 líquidoquetan11 .v.bb.GG γ=∆ (3) 
 e portanto 
 
 ϕ⋅
γ
γ
⋅
∇
=
γ
γ
⋅
∇
=
∆
γ
= sen
iv.bb.v.bb
GG
água
líquidoquetan
água
líquidoquetan1líquidoquetan1
1 (4) 
 
 Deve se notar que a movimentação do centro de gravidade do sistema independe da 
quantidade de líquido ali presente, mas apenas do momento de inércia de sua superfície e da 
relação entre as densidades dos fluidos, um resultado de certa forma estranho. 
 
 Essa movimentação do centro de gravidade leva a uma diminuição do braço de 
endireitamento GZ. 
 
 
53
 
G
G0=K
Z0
Z
M
w
w1
L1
G1 Z1
L
 
 
Figura 4.16. - Alteração da posição do centro de gravidade 
 
 Como já discutido, para pequenas inclinações, e esse é o contexto da análise da 
estabilidade inicial, a movimentação do centro de gravidade do sistema flutuante se dá numa 
linha paralela a movimentação do centro de gravidade do fluido contido no tanque. 
 
 Assim, o braço de endireitamento GZ fica diminuído do valor GG1. 
 
GZ GZ GGreal inicial= − 1 (5) 
 
e então: 
 
GZ GM GM GZ
e
GM GM
i
real inicial
que líquido
á gua
= ∴ =
= −
∇
⋅
sen / sen
tan
φ φ
γ
γ
 
 (6) 
 O segundo termo da expressão (6) é costumeiramente chamado de "distância do centro 
de gravidade real ao virtual" ou GGv. 
Z
M
G1
G
GV
Z1
 
Figura 4.17. - Posição virtual do centro de gravidade 
 
 Completando a compreensão do fenômeno, considere-se uma carga suspensa em forma 
de pêndulo (semelhantemente ao riser suspenso na catarina). Para efeitos de estabilidade, tudo 
se passa como se a massa suspensa estivesse colocada na extremidade superior da haste do 
pêndulo, pois a vertical sobre a qual atua o peso da carga sempre passa por esse ponto. 
 
54
 
w
w
W
W1
L1
L
Linha de Centro
G
Gv
 
 
Figura 4.18. - Peso suspenso 
 
 Define-se então, a posição virtual do centro de gravidade do sistema oceânico, como 
aquela determinada quandose considera o peso w solidário ao ponto de fixação da haste que o 
suspende. 
 
 No caso de líquidos, o metacentro do tanque é o ponto de fixação do peso do fluido 
nele contido. Como o fluido está restrito no tanque, o deslocamento de centro de gravidade 
para ângulos elevados não acompanha a vertical que passa pelo seu metacentro. Em outras 
palavras o metacentro do tanque muda para ângulos elevados. 
 
4.5.2 Efeito de Superfície Livre na CEE 
 
 Para plataformas é usual a consideração do efeito de cargas móveis apenas no valor da 
altura metacêntrica. No entanto para navios, onde os ângulos de banda podem ser 
substancialmente maiores, deve ser considerado seu efeito na CEE. 
 
 Quando os ângulos de inclinação são elevados (tipicamente maiores que 8°) a 
movimentação do centro de gravidade do tanque não é mais dada como função do momento 
de inércia de sua superfície inicial e outras formulações devem ser utilizadas. 
 
 Assim como na análise de estabilidade para ângulos de inclinações elevados, a 
movimentação do centro de carena do navio passou a ser determinada por integração do 
volume submerso, agora a posição do centro de gravidade do tanque na condição inclinada 
também deve ser determinada por integração de seu volume. 
 
 Uma vez determinada a nova posição de seu centro de gravidade para todos os ângulos 
de inclinação, pode-se determinar GG1 pela expressão (3). Finalmente o novo braço de 
endireitamento será dado pelo braço inicial subtraído da projeção do segmento GG1 naquela 
direção. 
 
 É usual então, o traçado de curvas que dão o “braço de emborcamento” de um 
determinado tanque para várias condições de carregamento (30%, 45%, 60%, 75%...), e 
ângulos de banda. Estas curvas tem um aspecto idêntico às curvas cruzadas de estabilidade. É 
fácil de intuir que o pior efeito que um tanque pode ter na estabilidade deve ocorrer quando 
 
55
este estiver cheio pela metade, mas isso nem sempre é verdade. 
 
 Como, para cada tanque, o processo de avaliar a quantidade de líquido presente, 
consultar a tabela correspondente, e somar-se os efeitos para todos os tanques seria muito 
trabalhoso, algumas regras gerais podem ser seguidas. 
 
 Em geral, os tanques de líquidos fazem parte de um sistema onde existem vários 
tanques. Assim, só se inicia a utilização do líquido dentro de um tanque, quando outro tanque 
do mesmo sistema já foi completamente esgotado. Portanto, é válido o procedimento de se 
considerar apenas os maiores tanques de cada sistema como cheios pela metade na 
determinação dos braços de endireitamento. 
 
 Outra simplificação muitas vezes utilizada é a tabulação de coeficientes que dão, para 
cada ângulo de inclinação, cada relação boca/profundidade do tanque, e para tanques 50%, 
95% e 98% cheios o valor de um coeficiente C para cálculo do braço de endireitamento: 
 
∆
γ
−=
∆
γ
−= .I.CGZ.IGZGZ quetanquetancorr 
 
onde ao produto γquetanI.C dá-se o nome de momento de transferência. 
 
 Seja o seguinte exemplo ilustrativo: 
 
 Navio com ∆=2.000 ton. 
 O tanque de l=9,15m 
 b=6,1m 
 d=1,22m 
está 50% cheio. Determinar o momento de transferência sob um ângulo de banda de 30o . 
 
Resolução: 
 Itanque= 
1
12
9 15 6 1 1733 4( , . , ) = m 
 ρ=1ton/m3 
 Profundidade/boca=1,22/6,1=0,20 
 
 Da consulta da tabela abaixo obtêm-se C=0.27, e portanto o momento de transferência 
vale 0,27*173=46,7 ton.m. Portanto o braço de endireitamento fica reduzido de 
46,7/2000=0,023m. 
 
56
Tabelas 4.1 - Fatores para momento de transferência para tanques de seção retangular 
 
Fator para momento de transferência - Tanque 50% cheio 
 
Profundida
de 
ÂNGULO DE INCLINAÇÃO 
Boca 10 20 30 40 50 60 70 80 90 
0.1 0.13 0.14 0.14 0.12 0.11 0.09 0.06 0.04 0.02 
0.15 0.17 0.21 0.21 0.19 0.16 0.14 0.10 0.07 0.03 
0.2 0.18 0.27 0.27 0.26 0.23 0.20 0.16 0.11 0.06 
0.25 0.18 0.31 0.34 0.33 0.30 0.26 0.21 0.16 0.09 
0.3 0.18 0.35 0.40 0.40 0.37 0.33 0.27 0.21 0.14 
0.4 0.18 0.36 0.50 0.53 0.51 0.47 0.41 0.33 0.24 
0.5 0.18 0.36 0.57 0.65 0.66 0.63 0.56 0.47 0.38 
0.6 0.18 0.36 0.58 0.74 0.80 0.79 0.74 0.65 0.54 
0.7 0.18 0.36 0.58 0.83 0.94 0.96 0.92 0.85 0.74 
0.8 0.18 0.36 0.58 0.87 1.06 1.13 1.12 1.06 0.96 
0.9 0.18 0.36 0.58 0.87 1.16 1.30 1.34 1.30 1.22 
1.0 0.18 0.36 0.58 0.87 1.24 1.47 1.56 1.56 1.50 
1.2 0.18 0.36 0.58 0.87 1.31 1.7 2.0 2.1 2.2 
1.5 0.18 0.36 0.58 0.87 1.31 2.0 2.7 3.1 3.4 
2.0 0.18 0.36 0.58 0.87 1.31 2.2 3.7 5.0 6.0 
3.0 0.18 0.36 0.58 0.87 1.31 2.2 4.5 9.3 13.5 
4.0 0.18 0.36 0.58 0.87 1.31 2.2 4.5 13.4 24.0 
5.0 0.18 0.36 0.58 0.87 1.31 2.2 4.5 16.2 37.0 
6.0 0.18 0.36 0.58 0.87 1.31 2.2 4.5 16.8 54.0 
7.0 0.18 0.36 0.58 0.87 1.31 2.2 4.5 16.8 73.0 
8.0 0.18 0.36 0.58 0.87 1.31 2.2 4.5 16.8 96.0 
9.0 0.18 0.36 0.58 0.87 1.31 2.2 4.5 16.8 121.0 
10.0 0.18 0.36 0.58 0.87 1.31 2.2 4.5 16.8 150.0 
 
 
 
 
 
57
Fator para momento de transferência - Tanque 95% cheio 
 
 
Profundida
de 
ÂNGULO DE INCLINAÇÃO 
Boca 10 20 30 40 50 60 70 80 90 
0.1 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.01 0.01 0.01 0.00 
0.15 0.04 0.04 0.04 0.03 0.03 0.02 0.02 0.01 0.01 
0.2 0.05 0.05 0.05 0.04 0.04 0.03 0.03 0.02 0.01 
0.25 0.06 0.06 0.06 0.06 0.05 0.04 0.03 0.03 0.02 
0.3 0.06 0.07 0.07 0.07 0.06 0.05 0.04 0.04 0.03 
0.4 0.08 0.09 0.09 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.05 
0.5 0.10 0.11 0.11 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.07 
0.6 0.11 0.13 0.13 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.10 
0.7 0.12 0.14 0.15 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.14 
0.8 0.13 0.16 0.17 0.17 0.16 0.14 0.13 0.14 0.18 
0.9 0.14 0.18 0.19 0.18 0.18 0.16 0.15 0.16 0.23 
1.0 0.15 0.19 0.20 0.20 0.20 0.18 0.17 0.18 0.28 
1.2 0.16 0.22 0.24 0.24 0.24 0.23 0.22 0.23 0.41 
1.5 0.17 0.25 0.28 0.29 0.29 0.29 0.28 0.31 0.64 
2.0 0.18 0.30 0.35 0.38 0.38 0.38 0.39 0.45 1.14 
3.0 0.18 0.36 0.46 0.52 0.56 0.58 0.62 0.77 2.6 
4.0 0.18 0.36 0.53 0.64 0.71 0.78 0.87 1.12 4.6 
5.0 0.18 0.36 0.57 0.74 0.85 0.96 1.12 1.5 7.1 
6.0 0.18 0.36 0.58 0.80 0.97 1.14 1.36 1.9 10.3 
7.0 0.18 0.36 0.58 0.85 1.09 1.30 1.6 2.3 14.0 
8.0 0.18 0.36 0.58 0.87 1.16 1.46 1.9 2.7 18.2 
9.0 0.18 0.36 0.58 0.87 1.22 1.6 2.1 3.2 23.0 
10.0 0.18 0.36 0.58 0.87 1.27 1.7 2.3 3.6 28.5 
 
 
58
 
 
 
Fator para momento de transferência - Tanque 98% cheio 
 
Profundida
de 
ÂNGULO DE INCLINAÇÃO 
Boca 10 20 30 40 50 60 70 80 90 
0.1 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.00 0.00 
0.15 0.02 0.02 0.02 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.00 
0.2 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.01 0.01 0.01 0.01 
0.25 0.03 0.03 0.02 0.02 0.02 0.02 0.01 0.01 0.01 
0.3 0.03 0.03 0.03 0.03 0.02 0.02 0.02 0.01 0.01 
0.4 0.04 0.04 0.04 0.04 0.03 0.03 0.02 0.02 0.02 
0.5 0.05 0.05 0.05 0.04 0.04 0.03 0.03 0.02 0.03 
0.6 0.05 0.06 0.06 0.05 0.05 0.04 0.03 0.03 0.04 
0.7 0.06 0.07 0.07 0.06 0.06 0.05 0.04 0.04 0.06 
0.8 0.07 0.07 0.07 0.07 0.06 0.06 0.05 0.04 0.08 
0.9 0.08 0.08 0.08 0.08 0.07 0.06 0.05 0.05 0.10 
1.0 0.08 0.09 0.09 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.12 
1.2 0.09 0.11 0.11 0.10 0.10 0.09 0.08 0.07 0.17 
1.5 0.11 0.13 0.13 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.27 
2.0 0.13 0.16 0.17 0.17 0.16 0.15 0.13 0.14 0.47 
3.0 0.16 0.22 0.24 0.24 0.24 0.22 0.22 0.23 1.06 
4.0 0.17 0.27 0.30 0.31 0.31 0.30 0.30 0.34 1.9 
5.0 0.18 0.30 0.35 0.38 0.38 0.38 0.39 0.45 2.9 
6.0 0.18 0.33 0.40 0.44 0.46 0.46 0.48 0.58 4.2 
7.0 0.18 0.35 0.44 0.49 0.52 0.54 0.58 0.70 5.8 
8.0 0.18 0.36 0.48 0.55 0.59 0.62 0.67 0.84 7.5 
9.0 0.18 0.36 0.51 0.60 0.65 0.70 0.77 0.98 9.5 
10.0 0.18 0.36 0.54 0.64 0.71 0.78 0.87 1.12 11.8 
 
59
4.6 Estabilidade Dinâmica 
 
 A necessidade do conceito de estabilidade dinâmica aparece, por exemplo, quando se 
tenta responder a seguinte questão: Uma embarcação tem seu momento restaurador máximo 
de 50 ton.m. Por outro lado, um determinado vento é capaz de produzir um momento máximo 
de 40 ton.m. Será a embarcação é capaz deresistir a esse momento sem emborcar? 
 
 Se a análise da questão for feita com base em considerações “quasi-estáticas” a 
resposta é sim. No contexto da análise quase-estática, o momento de vento é aumentado 
lentamente de forma a não introduzir energia cinética na estrutura flutuante. O equilíbrio será 
encontrado quando a curva de momento restaurador, que aparece devido a banda, alcançar o 
mesmo valor do momento induzido pelo vento. 
 
 No entanto, quando o vento começa a soprar de repente esse procedimento não traduz 
a realidade, e a energia cinética absorvida pela estrutura enquanto aderna em busca da nova 
posição de equilíbrio pode ser suficiente para fazê-la ultrapassar a posição de equilíbrio e 
continuar adernando até emborcar. 
 
 Neste caso é necessária uma análise de energia. A maneira de fazer isso é com base no 
trabalho do momento de emborcamento e no trabalho do momento de restauração. O máximo 
ângulo de banda dinâmico será encontrado quando estes trabalhos se igualarem (desprezando-
se, conservadoramente, a energia perdida por amortecimento). Quando esses trabalhos se 
igualam, a energia cinética remanescente na estrutura é zero. Se nesse instante (nesse ângulo) 
o momento restaurador for superior ao momento de emborcamento, a estrutura começará a 
retornar à posição de equilíbrio estático ultrapassada, diminuindo o ângulo de banda. 
 
 Os trabalhos dos momentos de emborcamento e restaurador são dados por integrais da 
forma: 
 
τ θ θ= ∫M d( ) 
 
e estão associados a área sob a curva no gráfico Mxθ. 
 
 Portanto, analisando graficamente, a área A+B deve igualar a área C+B, quando é 
atingido o ângulo máximo. 
 
 
 
60
 
Figura 4.19. - Estabilidade Dinâmica 
 
 No capítulo 7 será apresentado um critério segundo o qual o trabalho de restauração 
deve superar o trabalho da força do vento com alguma margem de segurança, então definida. 
 
 
4.7 Exercícios. 
 
 1) Considere um pontão de 12 metros de comprimento e 4 metros de diâmetro, que 
flutua com calado de 2 metros. A altura do seu centro de gravidade é de 1,5 metros. Pede-se 
determinar a curva de estabilidade estática. 
 
 2) Analise o efeito de superfície livre de um tanque de largura b, comparativamente 
com o efeito de três tanques contíguos de boca b/3 e o mesmo comprimento. Note que há três 
maneiras diferentes de considerar o problema, com relação ao número de tanques pela metade. 
Na verificação de critérios de estabilidade o engenheiro deve ser sempre conservador. 
 
 3) Uma semi-submersível é composta de pontões de seção retangular de 10m de altura, 
8m de largura e 80m de comprimento. Seu deck é sustentado por quatro colunas, fixadas nos 
vértices de um quadrado de aresta 70m, de 30m de comprimento e diâmetro de 8m. Seu 
deslocamento é a de 15.816 m3. Pede-se determinar a CEE até haver inundação do deck ou 
afloramento dos pontões. Admitir a posição do CG à 20m do plano base.