Introdução à Estabilidade de Embarcações

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Centro Universitário Estadual da Zona Oeste – UEZO 
Tecnologia em Construção Naval 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO A ESTABILIDADE DE EMBARCAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sâmara Pinto, 1011367282 
4° período, Arquitetura Naval 2 
Prof.: Luiz Antônio 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro - RJ 
Setembro 2011 
INTRODUÇÃO A ESTABILIDADE DE EMBARCAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro - RJ 
Setembro 2011 
Trabalho realizado pela aluna Sâmara Pinto, 
matrícula 1011367282, do curso de Construção 
Naval, apresentado como requisito para obtenção 
parcial da nota da primeira avaliação da disciplina 
de Arquitetura Naval 2 lecionada pelo professor 
Luiz Antônio. 
RESUMO 
 
Estudo dos principais tópicos relacionados com a estabilidade de embarcações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. Introdução ------------------------------------------------------------------------------------------ 3 
2. Condições de equilíbrio -------------------------------------------------------------------------- 4 
3. Centro de gravidade e momentos -------------------------------------------------------------- 5 
3.1. Momento de inércia ----------------------------------------------------------------------------- 6 
3.2. Teoria dos eixos paralelos --------------------------------------------------------------------- 7 
4. Cálculo de KB e BM -------------------------------------------------------------------------------- 9 
 4.1. KB ------------------------------------------------------------------------------------------------ 9 
 4.2. BM transversal -------------------------------------------------------------------------------- 10 
5. Estabilidade transversal -------------------------------------------------------------------------- 12 
 5.1. Metacentro ------------------------------------------------------------------------------------- 12 
 5.2. Equilíbrio estável ----------------------------------------------------------------------------- 13 
 5.3. Equilíbrio instável ---------------------------------------------------------------------------- 13 
 5.4. Equilíbrio indiferente ------------------------------------------------------------------------ 14 
6 Estabilidade longitudinal ------------------------------------------------------------------------- 15 
 6.1. Alteração do calado devido a mudança de trim ----------------------------------------- 17 
 6.2. Cálculo de centro de flutuação através do trim ----------------------------------------- 19 
 6.3. Cálculo da altura metacêntrica longitudinal através do trim ------------------------- 20 
7. Estabilidade dinâmica ---------------------------------------------------------------------------- 22 
8. Mudança de cargas -------------------------------------------------------------------------------- 25 
 8.1. Removendo ou descarregando uma massa ---------------------------------------------- 25 
 8.2. Adicionando ou carregando uma massa -------------------------------------------------- 26 
 8.3. Efeito da mudança de pesos ---------------------------------------------------------------- 28 
9. Importância da borda livre ---------------------------------------------------------------------- 30 
10. Estabilidade intacta e em avaria -------------------------------------------------------------- 31 
11. Conclusão ------------------------------------------------------------------------------------------ 32 
12. Referências ---------------------------------------------------------------------------------------- 33 
 
3 | P á g i n a 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Entende-se por estabilidade a capacidade de um corpo em restaurar seu equilíbrio inicial 
após uma perturbação qualquer. Pode-se verificar, por exemplo, qual, entre duas 
embarcações tem mais estabilidade, observando qual retorna mais rápido à posição inicial ou 
suporta maiores ângulos de inclinação. 
Contudo, esta capacidade de retornar a posição original depende diretamente da parte 
submersa do casco e da distribuição de peso dentro da embarcação. Por esse motivo, 
destacaremos nesse trabalho, cálculos de centro de gravidade, centro de carena e centro de 
flutuação, variáveis essenciais na estabilidade de embarcações. Sendo consideradas, duas 
importantes forças, a força peso e o empuxo. 
Consideraremos também o cálculo da magnitude dessas forças aplicada sobre os centros 
citados, ou seja, citaremos cálculos com momentos. 
Todavia, é importante lembrar que esta é apenas uma introdução, uma abordagem básica 
sobre a estabilidade de embarcações, sendo de conhecimento nosso que os cálculos de 
estabilidade são bastante complexos e fogem do objetivo desse trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 | P á g i n a 
 
2. CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO 
 
A condição para um corpo qualquer permanecer em equilíbrio é apresentar a somatória 
das forças e momentos atuantes nula, ou seja: 
 
∑ Forças externas = 0 
∑ Momentos externos = 0 
 
Para um corpo flutuante, o peso deve ser igual ao empuxo e estas forças devem estar na 
mesma linha de atuação. Por esse motivo, o centro de carena (B) e o centro de gravidade (G) 
devem estar na mesma vertical. 
Esta posição de equilíbrio é dita estável, Figura 1 (a), ou positiva, se uma pequena 
perturbação nesta posição de equilíbrio levar ao aparecimento de forças, ou momentos, que 
tendam a retornar o corpo a posição inicial. Se um pequeno deslocamento leva ao 
aparecimento de esforços que tendam a afastá-lo de sua posição inicial, Figura 1 (b), o ponto 
de equilíbrio é dito instável ou negativo. Existe ainda o ponto de equilíbrio indiferente ou 
neutro, Figura 1 (c), sendo aquele para o qual o afastamento da posição de equilíbrio sempre 
leva a uma nova posição de equilíbrio. 
 
 
 
(a) 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
(c) 
 
 
 
Figura 1 
 
A posição relativa entre o centro de carena e o centro de gravidade define também a 
condição de equilíbrio. Sendo K, o ponto da quilha; B, o centro de carena; G, o centro de 
gravidade; e M, o metacentro, observe a Figura 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Estável GM > 0 Instável GM < 0 Indiferente GM = 0 
 
Figura 2 
M 
K 
G 
B 
M 
K 
G 
B 
K 
G 
M 
B 
5 | P á g i n a 
 
3. CENTRO DE GRAVIDADE E MOMENTOS 
 
O centro de gravidade (G) é importante para os cálculos de flutuabilidade e de 
estabilidade, porque o peso do navio pode ser considerado como uma força nele concentrada. 
Como, em um navio, os pesos são usualmente distribuídos por igual de um lado e do outro 
do plano diametral, o CG está, em geral, neste plano. Nos navios de forma usual, o CG é 
situado no plano da seção a meia-nau, ou muito próximo dele. A posição vertical do CG varia 
muito de acordo com o projeto de cada navio. 
Conforme sua definição em mecânica, o centro de gravidade é o ponto de aplicação da 
resultante de todos os pesos de bordo, e a soma dos momentos de todos os pesos em relação 
a qualquer eixo que passe por ele é igual a zero. 
A posição do CG se altera com a distribuição de carga, nos tanques, nos porões, no convés 
etc. 
Centro de carena, de empuxo ou de volume (B) é o centro de gravidade do volume da 
água deslocada e é o ponto de aplicação da força chamada empuxo. É contido no plano 
diametral, se o navio estiver reto, aprumado; na direção longitudinal, sua posição depende da 
forma da carena, não estando muito afastada da seção a meia-nau nos naviosde forma usual. 
Está sempre abaixo da linha d’água. 
A determinação da posição do centro de carena é de grande importância para a 
distribuição dos pesos a bordo, pois o G do navio deve estar na vertical do CC e a uma 
distância para cima não muito grande; sem estes requisitos o navio não ficaria aprumado, 
nem teria o necessário equilíbrio estável. 
 
Considere, por exemplo, a placa plana, de espessura desprezível da Figura 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 
 
Para que seja possível iniciar o cálculo para encontrar o G de um corpo, precisamos 
primeiro saber o peso desse corpo, que pode ser obtido através da fórmula: 
 
Peso = g ρ ∫ dA 
Onde: 
g é a aceleração gravitacional; 
ρ a densidade do corpo; e 
A a área do corpo. 
 
Após a determinação do peso do corpo, calculamos os momentos em relação ao corpo. 
Sabendo que o momento na direção y é calculado através da fórmula: 
 
My = g ρ ∫ x dA 
 
E que o momento na direção x é calculado da seguinte forma: 
 
Mx = g ρ ∫ y dA 
dA 
dy 
dx 
x 
y 
Área A 
6 | P á g i n a 
 
Assim, a posição da reta vertical de momento nulo está a uma distância tal que: 
 
x\ = 
My
P
= 
∫ x dA
∫ dA
 e y\ = 
Mx
P
= 
∫ y dA
∫ dA
 
 
O cruzamento das retas determina o centro de gravidade, que tem as coordenadas (x\, y\), 
representadas na Figura 4. Note que, como ρ é constante, as coordenadas (x\, y\) não 
dependem de seu valor, mas apenas da geometria do corpo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 
 
3.1. MOMENTO DE INÉRCIA 
 
O momento de inércia, ou segundo momento (I), é a propriedade relacionada à inércia de 
uma massa girando em torno de um eixo. Observe a Figura 5. Sendo: 
AB uma linha que corta o centro de gravidade do retângulo; 
dx uma porção do retângulo; 
l a largura do retângulo; 
b o comprimento do retângulo; 
G o centro de gravidade; e 
x a distância entre a o centro de gravidade da porção analisada e o centro de gravidade do 
retângulo. 
 
O segundo momento (i), da banda do retângulo é dada pela equação: 
 
i = l dx × x2 
 
Considere IAB o segundo momento do retângulo inteiro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x\ 
y̅ 
G 
l 
b B A 
G 
b/2 
Para encontrar o momento em relação ao eixo AB: 
 
IAB = ∫ l x2 dx+b/2− b/2 
 
IAB = l ∫ x2 dx+b/2− b/2 
 
Resolvendo a integral, concluímos que: 
 
IAB = 
lb3
12
 
 
dx 
Figura 5 
 
7 | P á g i n a 
 
Para encontrar o segundo momento em relação a sua base. 
 
IAB = ∫ l x2b0 dx 
 
IAB = 
lb3
3
 
 
 
3.2. TEORIA DOS EIXOS PARALELOS 
 
O Teorema dos eixos paralelos ou Teorema de Steiner é uma fórmula que permite-nos 
calcular o momento da inércia de um sólido rígido relativo a um eixo de rotação que passa 
por um ponto O, quando conhecemos o momento da inércia relativo a um eixo paralelo ao 
interior e que passa pelo centro das massas e a distância entre os eixos. 
Assim, na Figura 6, se G representa o centróide da área (A) e o eixo OZ é paralelo a AB, 
então: 
IOZ = IAB – Ay2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 
 
Para encontrar o segundo momento da área de flutuação de um navio em relação ao eixo 
da Figura 7. 
Área da faixa elementar = y dx 
Área do plano de flutuação = ∫ y dxL0 
 
A área da curva pode ser encontrada utilizando a Regra de Simpson usando os valores de 
y, em ordenadas. 
 
 
 
 
Figura 7 
 
 
A 
O 
B 
Z 
G 
y 
dx 
y 
L 
L C 
8 | P á g i n a 
 
O segundo momento de um retângulo sobre uma das extremidades é dado por 
lb3
3
, 
portanto, o segundo momento da faixa elementar em relação ao eixo é dado por 
y3 dx
3
 e o 
segundo momento da meia linha de flutuação em relação ao eixo é dada por: 
 
∫
y3
3
 dxL0 
 
Se ICL é o segundo momento de toda área de flutuação em relação ao eixo, então: 
 
ICL = 
�
� � y� dx
L
� 
 
A integral por parte dessa expressão pode ser avaliada pela Regra de Simpson usando 
valores de y3, as ordenadas, e ICL é encontrado multiplicando o resultado por 
2
3
 . ICL é também 
conhecido como o momento de inércia em relação ao eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 | P á g i n a 
 
4. CÁLCULO DE KB E BM 
 
GM seria a altura metacêntrica. Para verificar a GM para qualquer condição de carga é 
necessário também calcular o KB (o centro da área submersa, centro de carena) e BM 
(distância entre o centro de carena e o metacentro) para qualquer calado. 
Pode-se definir o metacentro como sendo o ponto de encontro da linha vertical passando 
pelo centro de flutuação quando o navio está na posição direita, com a linha vertical que 
passa pelo CF quando o navio está inclinado de qualquer ângulo. O metacentro deve estar 
acima do centro de gravidade para haver equilíbrio estável. 
 
4.1. KB 
 
O centro do empuxo, ou centro de carena, (KB), como dito anteriormente, é o centro de 
gravidade do volume submerso. 
 Para que um navio em forma de caixa fique em equilíbrio, o volume submerso é de forma 
retangular e o centro de carena estará na metade do comprimento, na linha de centro, e na 
metade do calado, como é mostrado na Figura 8. 
Portanto, para um navio em forma de caixa em equilíbrio: KB = 
1
2
 calado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 
 
Para um navio que tem a forma de um prisma triangular como mostrado na Figura 9. 
Portanto, o centro de carena estará na metade do comprimento, na linha de centro, põem o 
centróide está 
2
3
 da mediana a partir do ápice, ou seja, KB = 
2
3
 do calado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 
 
 
Calado 
B L 
KB 
K 
KB 
K 
KB 
K 
L 
KB 
K 
B 
Calado 
10 | P á g i n a 
 
 
Para um navio qualquer, o KB pode ser encontrado com bastante precisão pela Regra de 
Simpson. A profundidade aproximada do centro de carena de um navio abaixo da linha d'água 
normalmente fica entre 0,44 × profundidade e 0,49 × profundidade. A maior aproximação 
desta profundidade pode ser obtida usando a fórmula Morrish, que afirma: 
 
A profundidade do centro de carena abaixo da linha d’água = 
1
3
 (
d
2
+ 
V
A
) 
 
Onde: 
d é a metade da profundidade; 
V o volume de deslocamento; e 
A a área do plano de flutuação. 
 
 
4.2. BM TRANSVERSAL 
 
A BM transversal é a altura do metacentro transversal acima do centro de flutuabilidade e 
é encontrado usando a fórmula: 
 
BM = 
I
V
 
 
Onde: 
V é o volume de deslocamento; e 
I o segundo momento da área do plano de flutuação sobre a linha de centro. 
 
Considere um navio inclinado a um pequeno ângulo θ, como mostrado na Figura 10. 
Considere y como a metade da boca do navio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10 
 
 
Sendo: 
BB1 = 
v × gg1
V
 e BB1 = BM × θ 
 
Aplicando o princípio da igualdade: 
 
BM × V = v × gg1θ 
B 
g1 
g O 
M 
B1 
θ 
B 
A 
C D 
y 
11 | P á g i n a 
 
Sabendo que: 
 
I = 
 v × gg1
θ 
 
Concluímos que: 
 
BM = 
I
V
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 | P á g i n a 
 
5. ESTABILIDADE TRANSVERSAL 
 
 
5.1. METACENTRO 
 
Considere um navio flutuando na posição vertical na água parada, como mostra a Figura 
11 (a). Os centros de gravidade e de carena são G e B, respectivamente. A Figura 11 (c) 
mostra o conjugado de endireitamento. GZ é o braço de endireitamento. 
Considere agora que o navio seja inclinado por uma força externa a umpequeno ângulo θ 
como mostra a Figura 6 (b). Uma vez que não houve mudança na distribuição de pesos o 
centro de gravidade permanecerá no G e o peso do navio (W) pode ser considerado atuando, 
através deste ponto, verticalmente para baixo. 
Quando inclinado, a cunha de flutuabilidade WOW1 é trazida para fora da água e uma 
cunha LOL1, igual, torna-se imersa. Desta forma uma cunha da carena que tem seu centro de 
gravidade em g é transferido para uma posição com seu centro de gravidade g1. O centro de 
carena, sendo o centro de gravidade do volume debaixo d'água, deve mudar de B para a nova 
posição B1, tal que BB1 é paralelo a gg1, e BB1 = 
v × g��
V
 onde v é o volume da cunha transferida, 
e V é o volume de deslocamento do navio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11 
 
 
B 
B 
A 
C D 
y 
g1 
g G Z 
O 
Peso 
Empuxo 
B 
G 
M 
W = Peso 
b = empuxo 
Empuxo 
Peso 
G Z 
(a) 
(b) 
(c) 
 
 B1 
θ 
M 
13 | P á g i n a 
 
As verticais através dos centros de carena em dois ângulos consecutivos se cruzam em um 
ponto chamado de metacentro. Para ângulos de inclinação até cerca de 15 ° na vertical 
através do centro de carena, cortam a linha de centro em um ponto fixo chamado metacentro 
inicial (M na Figura 11 (b)). A altura do metacentro inicial acima da quilha (KM) depende de 
forma submersa do navio. 
A distância GM, como dita anteriormente, é considerada como altura metacêntrica. Se G 
está abaixo de M o navio tem um metacentro positivo, se G está acima de M, o navio possui 
um metacentro negativo. 
 
 
5.2. EQUILÍBRIO ESTÁVEL 
 
Um navio é considerado em equilíbrio se, quando inclinado, ele tende a retornar a posição 
inicial. Para isso ocorrer, o centro de gravidade deve estar abaixo do metacentro, que significa 
que o navio deve ter um metacentro inicial positivo. 
A Figura 11 (a) mostra o navio aprumado, tendo um positivo GM. A Figura 11 (b) mostra o 
mesmo navio inclinado a um pequeno ângulo. A posição de G permanece inalterada pela 
inclinação e a força de gravidade é considerada atuando verticalmente para baixo, através 
desse ponto. O centro de carena se move de B para B1, e a força de empuxo é considerada 
atuando verticalmente para cima através de B1 e do metacentro M. Existe um momento para 
que o navio retorne ao estado inicial, este momento é referido como momento de 
estabilidade estática, e é igual ao produto da força W e o comprimento de GZ. 
 
Momento de estabilidade estática = W × GZ 
 
O braço GZ é considerado o braço de endireitamento e é perpendicular a distância entre o 
centro de gravidade e a vertical através do centro de carena. 
Para ângulos pequenos (menos que 15°): 
 
GZ = GM × sen θ e o Momento de estabilidade estática = W × GM × sen θ 
 
 
 
5.3. EQUILÍBRIO INSTÁVEL 
 
Quando um navio está inclinado a um pequeno ângulo tende a inclinar ainda mais, ele é 
dito estar em equilíbrio instável. Para isso ocorrer o navio deve ter um GM negativo, ou seja, 
G deve estar acima de M. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12 
Empuxo 
Peso 
Z G 
14 | P á g i n a 
 
5.4. EQUILÍBRIO INDIFERENTE 
 
Quando G coincide com M, o navio é dito estar em equilíbrio indiferente, e se for inclinado 
a um pequeno ângulo ele tenderá a permanecer naquele ângulo até que outra força externa 
seja aplicada. A GM do navio é igual a zero, ou seja, KG = KM. 
Portanto, não há momento para trazer o navio de volta a posição vertical. O navio se 
moverá verticalmente para cima e para baixo na água no ângulo fixo até que outras forças 
externas ou internas sejam aplicadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Empuxo 
Peso 
M G 
15 | P á g i n a 
 
6. ESTABILIDADE LONGITUDINAL 
 
Trim é a inclinação para uma das extremidades; o navio está de proa, abicado, ou tem trim 
pela proa, quando estiver inclinado para vante. Estará apopado, derrabado, ou terá trim pela 
popa, quando estiver inclinado para ré. Trim é também a medida da inclinação, isto é, a 
diferença entre os calados AV e AR; é expresso em metros ou em pés ingleses, dependendo da 
medida empregada no calado do navio. 
Compassar ou fazer o compasso de um navio é tirar o trim, isto é, trazê-lo à posição de 
flutuação direita quando estiver inclinado no sentido longitudinal. Quando um navio não tem 
trim, diz-se que está compassado, ou que está em quilha paralela, ou em águas parelhas. 
Quando um navio não tem banda nem trim, diz-se que está em flutuação direita. 
Banda ou adernamento é a inclinação para um dos bordos; o navio pode estar adernado, 
ou ter banda para boreste ou para bombordo; a banda é medida em graus. 
Quando um navio tem trim, é preferível que esteja apopado; um navio abicado é mais 
propenso a embarcar água pela proa, dispara os propulsores, e também é mais difícil de 
governar. 
Considere um navio estar flutuando em repouso em água parada e em equilíbrio, como 
mostrado na Figura 14. 
O centro de gravidade (G) e o centro de flutuabilidade (B) estão na mesma linha vertical e 
o navio estará deslocando seu próprio peso de água. Então W (peso) = b (empuxo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14 
 
 
Considere agora um peso w on board, ser mudado à ré através de uma distância d, como 
mostrado na Figura 14. Isto causará uma mudança do centro de gravidade do navio, que 
passa de G para G1, então: 
 
GG1 = 
w × d
W
 
 
 
d w 
G1 
w 
B 
K 
G 
w = peso 
ML (metacentro 
longitudinal) 
b = empuxo 
w1 
Popa Proa 
L 
16 | P á g i n a 
 
Um momento de trim GG1 × W é assim criado. Então: 
 
Momento de trim = w × d 
 
O navio irá agora inclinar até que G e B estejam na mesma linha vertical de atuação, como 
mostrado na Figura 15. Quando inclinado a cunha LFL1 emerge e a cunha WFW1 imerge. Já 
que o navio, quando inclinado, desloca o mesmo peso de água que quando reto, o volume das 
cunhas são iguais. F é o ponto qual o navio inclina, é o centro de gravidade da área de 
flutuação, chamado de centro de flutuação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15 
 
Uma embarcação com área de flutuação retangular tem seu centro de flutuação no centro 
da linha de meia nau. Mas, em um navio, isto dever estar um pouco mais à vante ou à ré da 
linha de meia nau, dependendo da forma do plano de flutuação. Em problemas de trim, é de 
se presumir que o centro de flutuação esteja situado a meia nau. 
Momentos de trim são tomados sobre o centro de flutuação desde que este seja o ponto 
sobre o qual ocorrerá a rotação. 
O metacentro longitudinal (ML) é o ponto de interseção entre as verticais através das 
posições longitudinais do centro de carena. A distância vertical entre o centro de gravidade e 
o metacentro longitudinal (GML) é chamada de altura metacêntrica longitudinal (GML). 
BML é a altura do metacentro acima do centro de carena, e é encontrado para alguma 
embarcação, pela fórmula: 
 
BML = 
IL
V
 
 
Onde: 
IL é o segundo momento longitudinal do plano de flutuação sobre o centro de flutuação; e 
V o volume de deslocamento da embarcação. 
 
A derivação dessa fórmula é similar a que encontramos para BM transversal. 
Para uma área retangular: 
 
IL = 
BL3
12
 
w
ML 
b 
B 
K 
G 
G1 
F 
B1 
g1 
g 
w 
Popa 
Proa 
17 | P á g i n a 
 
Onde: 
L é a o comprimento do plano de flutuação; e 
B a largura do plano de flutuação. 
 
Para um box-shaed, embarcações em formato de caixa: 
 
BML = 
IL
V
 
 
= 
BL3
12 V= 
BL3
12 × L × B × d 
 
BML = 
L2
12 d
 
 
Onde: 
L é o comprimento da embarcação; e 
D é o calado da embarcação. 
 
Para uma embarcação com formato de prisma triangular: 
 
BML = 
IL
V
 
 
= 
BL3
12 × 12 × L × B × d
 
 
BML = 
L2
6 d
 
 
Deve-se notar que a distância BG é pequena quando comparada com BML ou GML e, por 
essa razão, BML pode, sem erro apreciável, ser substituído por GML na fórmula para 
encontrar MCTC, que será vista a seguir. 
 
 
6.1. ALTERAÇÃO DO CALADO DEVIDO À MUDANÇA DE TRIM 
 
Quando um navio muda o trim isto obviamente irá causar uma mudança nos calados à 
vante e à ré. Um desses será diminuído e o outro aumentado. A fórmula deve agora ser 
encontrada o que dará a mudança nos calados devido à mudança de trim. 
Considere um navio flutuando em posição vertical, como é mostrado na Figura 16 (a). F1 
representa a posição do centro de flutuação que está a l metros à ré. L é o comprimento do 
navio e w é um peso à vante no convés. 
Considere que este peso agora é mudado à ré a uma distância de d metros. O navio irá 
inclinar em torno de F1 e muda o trim t, em centímetros, pela popa, como mostrado na Figura 
16 (b). 
 
 
W1C é a linha do calado paralela a quilha. 
18 | P á g i n a 
 
A representa o novo calado à ré e F é o novo calado à vante. 
A inclinação é, portanto, igual a A – F, desde de que a inclinação inicial seja igual a zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16 
 
Considere que x representa a mudança de calado à ré devido a mudança de trim e 
considere y como a mudança do calado à vante. 
Nos triângulos WW1F1 e W1L1C, usando a propriedade de triângulos semelhantes: 
 x cm
l m = 
t cm
L m 
 
Ou seja: 
 
Mudança de calado à ré em cm = 
�
� × Mudança de trim em cm 
 
Onde: 
L é a distância do centro de flutuação à popa em metros; e 
L é o comprimento do navio em metros. 
Pode ser notado também que x + y = t 
L 
w 
F1 
w 
A 
t 
F 
x 
(a) 
y 
w 
x 
F1 
l 
d 
(b) 
C 
W1 
W 
L 
L 1 
19 | P á g i n a 
 
 
Mudança do calado F em cm = Mudança do trim – Mudança do calado A 
 
 
 
6.2. CÁLCULO DO CENTRO DE FLUTUAÇÃO ATRAVÉS DP TRIM 
 
Exemplo 
Um navio chega ao porto flutuando com calados A, de 4,5 metros, e F, de 3,80 metros. A 
seguinte carga é então carregada: 
 
100 toneladas na posição de 24 metros à ré da meia nau 
30 toneladas na posição de 20 metros à vante da meia nau 
60 toneladas na posição de 15 metros à vante da meia nau 
 
Os calados encontrados, são então, A, de 5,10 metros, e F, de 4,40 metros. Encontre a 
posição longitudinal do centro de flutuação à ré do navio. 
 
Os calados originais A e F, medem respectivamente, 4,5 m e 3,8 m, dando um trim pela 
popa, ou seja, + 70 cm. 
Os novos calados A e F, medem respectivamente, 5,10 m e 4,40 m, dando um trim pela 
popa, ou seja, + 70 cm. 
Portanto, não houve nenhuma mudança na inclinação, o que significa que: 
 
O momento para mudar o trim pela proa = O momento para mudar o trim pela popa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17 
 
Considere x a distância do centro de flutuação a meia nau. Calculando os momentos, então: 
 
100(24 - x) = 30(30 + x) + 60(15 + x) 
2400 – 100x = 900 + 30x + 900 + 60x 
190x = 600 
x = 3,16 m 
 
Então o centro de flutuação está a 3,16 m à ré da meia nau. 
 
Nesse exemplo, foi calculado o centro de flutuação a ré da meia nau. Caso o centro de 
flutuação estivesse à vante, obteríamos um resultado negativo. 
 
 
30 m 24 m 
15m x 
F 
100 t 60 t 30 t 
dr a vante = 3,8 m dra ré = 4,5 m 
20 | P á g i n a 
 
6.3. CÁLCULO DA ALTURA METACÊNTRICA LONGITUDINAL ATRAVÉS DO TRIM 
 
Anteriormente, foi mostrado que, quando um peso é deslocado longitudinalmente dentro 
de um navio, irá causar uma mudança de trim. Agora, será mostrado como este efeito pode 
ser usado para determinar a altura metacêntrica longitudinal. 
Considere a Figura 18 qual representa um navio de comprimento L na linha de flutuação, 
flutuando na posição vertical, em equilíbrio, com um peso no convés à vante. 
O centro de gravidade está é G, o centro de flutuabilidade, B, e o metacentro longitudinal, 
ML. A altura metacêntrica longitudinal é, portanto, GML. 
Consideramos agora que o peso é deslocado horizontalmente a ré como mostrado na 
Figura 18 (b). O centro de gravidade do navio também vai mudar na horizontal, de G para G1, 
produzindo um momento de trim de W × GG1 pela popa. 
O navio irá agora inclinas para colocar G1 sob ML como mostrado na Figura 18 (c). 
Na Figura 18 (c) W1L1 representa a nova linha d’água, F o novo calado à vante e A o novo 
calado à ré. Foi dito anteriormente que F – A é igual ao novo trim e desde que o navio esteja 
originalmente em equilíbrio, t também deve ser igual à variação de trim. 
Se os ângulos entre as velhas e novas verticais são iguais a θ, então o ângulo entre as 
velhas e novas horizontais também são iguais a θ. 
Isto pode ser visto também na Figura 18 (c) que os triângulos GG1ML e CDE são triângulos 
similares. 
 GML
GG1 = 
L
t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) 
w 
L 
ML 
G 
B 
b 
21 | P á g i n a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 18 
 
 
 
 
 
w 
G1 
(b) 
ML 
G 
B 
b 
L 
ML 
G 
B 
G1 
B1 
Θ° 
A 
t 
F 
E 
D 
C 
Θ° 
(c) 
22 | P á g i n a 
 
7. ESTABILIDADE DINÂMICA 
 
Os veículos marítimos estão sujeitos a ação de diferentes fatores que provocam 
movimentos, esses fatores incluem as ondas do mar, a ação do vento e manobras da própria 
embarcação. Os principais movimentos a serem considerados são o pitch, ou caturro e o roll, 
também conhecido como balanço, sendo o último de maior relevância para o nosso estudo. 
O roll é o jogo da embarcação, quando considerado no sentido transversal, de um bordo a 
outro. 
O pitch é a oscilação da embarcação no sentido longitudinal. Os navios curtos têm menor 
período de oscilação longitudinal e caturram mais que os navios de maior comprimento. 
 
 
 
 
 
 
 Roll Pitch 
Figura 19 
 
 
Para tanto, algumas características particulares do movimento de roll devem ser destacadas. 
Em primeiro lugar, a restauração do movimento em roll é diretamente proporcional à altura 
metacêntrica da embarcação (GM). Uma vez que valores moderados de GM devem ser adotados 
para evitar acelerações muito elevadas, uma embarcação convencional é, via de regra, 
susceptível a ângulos de roll relativamente altos. Além disso, em função da geometria usual dos 
cascos, esse movimento é pouco amortecido, o que também contribui para oscilações maiores. 
Por fim, os períodos de oscilação das ondas do mar podem coincidir, em algumas situações, com 
o período natural deste movimento, induzindo a ressonância e implicando em grandes 
movimentos. 
Pelas razões acima descritas, o movimento de roll é aquele que normalmente causa 
maiores preocupações em termos de estabilidade e segurança. 
Considere o navio mostrado na Figura 20. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 20 
 
V 
V R 
R 
Z 
K 
b 
g 
g1 
h1 
h 
W 
K 
B1 
G 
B P 
23 | P á g i n a 
 
Embora a curva de estabilidade estática seja uma representação do momento restaurador 
paraum ângulo de inclinação fixo (problema estático), ela pode ser usada como medida do 
trabalho (ou energia) envolvida ao se variar o ângulo de inclinação do navio. De fato, suponha 
que um corpo rígido, com peso constante, sofra uma rotação de um ângulo Δθ. Sabe-se que o 
trabalho realizado, T, sobre o corpo para essa rotação será, então, dado por: 
 
T = W x GP 
 
Então: 
 
Estabilidade dinâmica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estabilidade dinâmica 
 
 
Esta fórmula é conhecida como Fórmula de Moseley para estabilidade dinâmica. 
Embora a curva de estabilidade estática seja uma representação do momento restaurador 
para um ângulo de inclinação fixo (problema estático), ela pode ser usada como medida do 
trabalho (ou energia) envolvida ao se variar o ângulo de inclinação do navio. 
 
Considere novamente a Figura 20, na qual é mostrado um navio inclinado. Considere agora 
que o navio será inclinado a um ângulo muito pequeno dθ. O centro de carena B1 irá mover-se 
paralelamente a W1L1 (linha d’água) para a nova posição B2, como mostrado na Figura 21 (a). 
B2Z1 é a nova vertical através do centro de carena e GZ1 é o novo braço de endireitamento. 
A distância vertical de Z a Z1 é, portanto GZ × dθ. Mas isto é também a distância vertical de B a 
G. Portanto, a estabilidade dinâmica de θ para (θ + dθ) é W × (GZ × dθ). 
Referindo-se agora a Figura 21 (b), qual é a curva da estabilidade estática para o navio. A 
área da faixa é GZ × dθ. Sendo W o mesmo em todas as situações, a estabilidade dinâmica é 
igual à: 
W � GZ × dθ
�
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 21 
= W × (B1Z – BG) 
 
= W × (B1R + RZ – BG) 
 
= W × 
v (gh+ g1h1)
V
 + PG – BG 
 
= W × 
v (gh+ g1h1)
V
 + BG cosθ – BG 
 
= W × 
v (gh+ g1h1)
V
 - BG (1 – cosθ) 
 
B1 B2 
G 
Z1 dθ 
Z 
dθ 
θ 
dθ 
(a) (b) 
24 | P á g i n a 
 
Portanto, a estabilidade dinâmica em qualquer ângulo de inclinação é encontrado 
multiplicando-se a área sob a curva de estabilidade pelo deslocamento. 
Note-se que em encontrar a área sob a curva de estabilidade através da utilização da Regra 
de Simpson, o intervalo comum deve ser expresso em radianos: 
 
57.3° = 1 radianos 
 
1° = 
1
57.3
 radianos 
 
Ou 
 
x° = 
x
53.7
 radianos 
 
Portanto, para converter graus em radianos, basta dividir o número de graus por 57.3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 | P á g i n a 
 
8. MUDANÇA DE CARGAS 
 
O centróide de um corpo homogêneo está situado no centro geométrico. O centro de 
gravidade de um corpo é o ponto em que toda a massa do corpo pode ser considerada 
concentrada e é o ponto através do qual a força da gravidade atua verticalmente para baixo, 
com uma força igual ao peso do corpo. 
 
 
8.1. REMOVENDO OU DESCARREGANDO UMA MASSA 
 
Considere uma placa retangular de madeira homogênea. O centro de gravidade será o 
centro geométrico, ou seja, na metade do seu comprimento, da sua altura e da sua largura. A 
massa da prancha, W, estará apoiada, em equilíbrio, sob um suporte como pode ser visto na 
Figura 22. 
 
 
 
 
 
 
Figura 22 
 
Suponha agora que foi retirado da prancha um pedaço de uma das pontas. Considere d a 
distância entre o centro de gravidade da massa retirada, w, até o centro de gravidade da 
prancha, G. Com a retirada do pedaço de uma das pontas, a outra extremidade, sendo agora 
de maior massa, irá inclinar para baixo. A Figura 23 (a) mostra que, removendo um pedaço da 
prancha um momento w × d em kgm foi criado no sentido anti-horário de G. 
 
 
(a) 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
Figura 23 
 
Agora considere o novo comprimento da prancha, como mostra a Figura 23 (b), o centro 
de gravidade G, irá mudar para o centro geométrico do novo comprimento da prancha, G1. 
Desse modo: 
(W - w) × GG1 = w × d 
ou 
GG1 = 
w × d
W - w
 
 
Sendo: 
(W – w) a massa final da prancha; 
GG1 a distância entre o antigo centro de gravidade da prancha e o novo. 
 
G 
W 
w 
G 
G 
d 
G1 
W - w 
26 | P á g i n a 
 
Em cada uma das ilustrações abaixo, G representa o centro de gravidade do navio com 
uma massa de toneladas w a bordo a uma distância de metros d de G. GG1 representa o 
deslocamento do centro do navio de gravidade devido à descarga da massa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 24 
 
Na Figura 24 (a), é notado que a massa está verticalmente abaixo de G, quando a massa w 
é descarregada, G vai se mover verticalmente para cima, para G1. 
Na Figura 24 (b), a massa está verticalmente acima de G, quando w é descarregada, o 
centro de gravidade do navio se move para baixo, para G1. 
Na Figura 24 (c), a massa está a boreste de G, quando w é descarregada, o centro de 
gravidade do navio passa para o bombordo, para G1. 
Na Figura 24 (d), a massa está abaixo e a boreste de G, quando w é descarregada, o centro 
de gravidade do navio se move para cima e para o bombordo, para G1. 
 
Então: 
GG1 = 
w × d
Deslocamento ninal
 
 
 
 
 
 
 
 
 
W 
G1 
G 
d 
d 
W 
G 
G1 
W 
d 
G1 G 
W 
d 
G1 
G 
(a) (b) 
(c) (d) 
27 | P á g i n a 
 
8.2. ADICIONANDO OU CARREGANDO UMA MASSA 
 
Considere novamente uma placa retangular de madeira homogênea, com massa W, em kg. 
Agora adicionaremos um pedaço de placa de massa w em kg. 
 
 
 
 
 
 
Figura 25 
 
A extremidade mais pesada da prancha irá inclinar-se para baixo. Com a adição de uma 
massa w, cujo centro de gravidade está a uma distância d do centro de gravidade da placa, um 
momento de inclinação w × d é criado. 
Agora considere a nova prancha, de massa W+w, como é mostrada na Figura 26. Seu novo 
centro de gravidade, G1, estará no meio do seu novo comprimento. 
 
 
 
 
 
 
Figura 26 
 
Desse modo: 
(W + w) × GG1 = w × d 
ou 
GG1 = 
w × d
W + w
 
 
Em cada uma das ilustrações abaixo, G representa a posição do centro de gravidade do 
navio antes de uma massa w ser carregada. Após a adição da massa, G vai passar para G1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 27 
G 
d 
w 
G G1 
W+w 
W 
W 
W 
G 
G1 G1 
G 
d d 
d 
G G1 
28 | P á g i n a 
 
8.3. EFEITO DE MUDANÇAS DE PESOS 
 
Na Figura 28, G representa posição original do centro de gravidade do navio, com uma 
massa de w no boreste do compartimento inferior. g1 é o centro de gravidade da massa. Se 
essa massa é descarregada, o centro de gravidade move de G para G1. Quando a mesma massa 
é recarregada no deck, o centro de gravidade G1 irá mudar para G2. 
A partir disso, podemos ver que o centro da massa for mudado de g1 para g2 o centro de 
gravidade irá mudar de G para G2. Isso significa que GG2 é paralelo a g1g2 que: 
 
GG2 = 
w × d
W
 
 
Onde w é a massa do peso deslocado, d é a distância através do qual ele é deslocado e W é 
o deslocamento do navio. O centro de gravidade do corpo se move sempre paralelo ao 
deslocamento do centro de gravidade de qualquer peso que mudou de posição dentro da 
embarcação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 28 
 
 
Imagine que um navio parcialmente cheio com carga a granel. Durante o carregamento, o 
navio sofre uma inclinação e a quantidade de carga permanece paralela a linha d’água. A 
figura 29 mostra o efeito disto no centro de gravidade do navio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 29 
 
 
 
B 
A 
C D O 
W 
W 
G 
G1 
G2 
g1 
g2 
d 
g 
g1 
G 
G1 
29 | P á g i n a 
 
Na Figura 29, G representa a posição original do centrode gravidade do navio quando em 
pé. AB representa o nível da superfície do grão, quando o navio estava em pé e CD, quando o 
nível sofre a inclinação. Uma cunha de grãos AOC com o seu centro de gravidade em g passou 
para ODB com o seu centro de gravidade no g1. O centro de gravidade do navio mudará de G 
para G1, de tal forma que GG1 é paralela à gg1, e a distância 
 
GG1 = 
w × d
W
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 | P á g i n a 
 
9. IMPORTÂNCIA DA BORDA LIVRE 
 
Para que se possa calcular a altura de borda livre, necessita-se de que os pesos da 
embarcação, assim como seus centros já estejam definidos. Por isso esta etapa de projeto se 
localiza após a da definição do centro de gravidade. 
 Para a segurança dos navios mercantes durante a navegação, torna-se 
absolutamente necessário que seja estabelecida uma linha a partir da qual não é mais 
permitido carregar o navio, isto é, uma linha de carga máxima. 
 Essa linha, que corresponderá a uma imersão máxima, é definida como borda livre, 
que é a distância vertical entre o plano de flutuação para a imersão máxima permitida e a 
interseção da face superior do convés com superfície exterior do casco, no plano transversal a 
meio navio. 
A borda livre mínima foi calculada pelo documento International Conventional on Load 
Lines, órgão da IMO ( International Maritime Organization), que nos diz que: 
● O navio deve ter reserva de flutuabilidade para resistir à uma avaria; 
● A tripulação deve trabalhar no convés com razoável segurança; 
● O navio não pode ser carregado de modo a reduzir sua margem de segurança; 
● Deve-se impedir a entrada de água pelas aberturas do convés ou outras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 | P á g i n a 
 
10. ESTABILIDADE INTACTA E EM AVARIA 
 
 
Cálculos de estabilidade intacta são relativamente simples e envolvem a tomada de todos 
os centros de massa de objetos a bordo do navio e do centro de flutuação do casco. Cargas, 
arranjos de carga, operações de guindaste, o estado do mar geralmente são levados em conta. 
Cálculos da estabilidade em avaria são muito mais complicadas do que a estabilidade 
intacta. O método de análise de elementos finitos é muitas vezes empregado porque as áreas 
e volumes podem rapidamente se tornar tediosos e longos para calcular usando outros 
métodos. 
A perda de estabilidade por inundações pode ser devido, em parte, ao efeito de superfície 
livre. A acumulação de água no casco normalmente drena para os porões, baixando o centro 
de gravidade e que acaba aumentando a altura metacêntrica (GMT). Isso pressupõe que o 
navio permanece completamente parado e aprumado. No entanto, uma vez que o navio está 
inclinado em qualquer grau, os líquidos presentes no interior do navio se resultando em uma 
inclinação. 
A estabilidade também é perdida devido a inundações, quando, por exemplo, um tanque 
vazio é furado e cheio por água do mar. 
Nos cálculos de estabilidade, quando um tanque é furado, seu conteúdo é assumido como 
perdido e substituído pela água do mar. Se esses conteúdos são mais leves que a água do mar, 
(óleo leve, por exemplo), então se perde a flutuabilidade e a seção diminui ligeiramente em 
conformidade na água. 
Para os navios mercantes, e cada vez mais para os navios de passageiros, os cálculos de 
estabilidade em avaria são de natureza probabilística. Este é um conceito em que a chance de 
que um compartimento for danificado é combinado com as consequências para o navio, 
resultando em um número índice de dano de estabilidade que tem de obedecer a certas 
regras. 
O estudo da estabilidade intacta e em avaria será deixado para um próximo trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 | P á g i n a 
 
11. CONCLUSÃO 
 
 
Diante do que foi apresentado nesse trabalho, podemos compreender conceitos e cálculos 
fundamentais para a estabilidade de embarcações. 
Inicialmente, definimos a relação do centro de carena, do centro de gravidade e do 
metacentro com o tipo de equilíbrio de uma embarcação. Além de compreender como se 
calcula esses fatores. 
Compreendemos que quando um navio é dito estável, este tende retornar a sua posição 
inicial após a aplicação de alguma força externa. Esse retorno é dado pelo denominado 
momento de endireitamento. Quando instável, tende a emborcar. E quando indiferente, tende 
a permanecer na nova posição. 
Fizemos também uma introdução sobre momentos e momentos de inércia, abrangendo 
cálculos de centro de gravidade e centro geométrico, fundamentais nesse contexto. 
Todavia, abordamos também alguns tipos de estabilidade, como a estabilidade transversal, 
sujeita ao movimento de roll devido a forças externas, e sendo julgada a mais importante a 
ser considerada. Contudo, abordamos também a estabilidade longitudinal, apresentando-se 
soluções para cálculos que envolvem embarcações em inclinação, mudança de calado e trim, 
utilizando conceitos fundamentais, como momentos de inércia, por exemplo. 
A estabilidade dinâmica foi também brevemente apresentada nesse trabalho, tendo como 
objetivo apresentar os principais movimentos que a embarcação sobre devido a ação de 
forças externas como ondas e ventos, por exemplo. Observando o efeito desses movimentos 
na estabilidade da embarcação. 
Entretanto, a seção de mudanças de cargas é de fundamental importância para que 
possamos compreender a mudança de centro de gravidade devido ao carregamento e 
descarregamento de cargas das embarcações. 
Apresentamos a importância da borda livre, que é a distância vertical da linha d'água até o 
convés. 
E por fim, fizemos uma breve abordagem sobre a estabilidade intacta e em avaria. 
Entretanto, escolhemos não se aprofundar no tema nesse trabalho, devido aos complexos 
cálculos que seriam apresentados, visando manter o objetivo inicial, que é apresentar uma 
introdução de fácil compreensão sobre a estabilidade de embarcações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 | P á g i n a 
 
REFERÊNCIAS 
 
Shi Stability for masters and mates 
BARRASS, B. 
 
Basic Ship Theory – Volume 1 
RAWSON, K.J. e TUPPER, E.C 
 
Introduction to Naval Architecture 
TUPPER, E.C 
 
Material de Especialização em Engenharia Naval 
UPE e USP 
Módulos 1 e 2