DEVIRADAS PARCIAIS 2

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Cálculo Diferencial e Integral II 
e III
Edmilson Monteiro de Souza
Aula
Função de várias variáveis
Derivadas parciais
2 parte
Derivadas parciais
 Interpretação Geométrica;
 Taxas de Variação;
 Derivadas Direcionais;
 Gradiente;
 Divergente;
2
3
Interpretação geométrica
4
Interpretação Geométrica
3
5
Interpretação geométrica
Derivada parcial em x, significa a inclinação da reta
que toca a superfície z = f(xo,yo), em ponto desta
superfície e de um plano vertical paralelo aos eixos z
e x, de abscissa yo. A reta pertence a este plano.
Derivada parcial em y, significa a inclinação da reta
que toca a superfície z = f(xo,yo), em ponto desta
superfície e de um plano vertical paralelo aos eixos z
e y, de ordenada xo. A reta pertence a este plano.
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Interpretação geométrica
4
7
Interpretação geométrica
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Interpretação geométrica
5
9
Interpretação geométrica
10
Interpretação geométrica
6
 Seja z = f(x,y). O gráfico de f é a superfície de equação 
z = f(x,y). Consideremos a curva C1 obtida quando 
interceptamos o plano y = yo com a superfície z = f(x,y). 
A equação de C1 é dada por :





)y,x(fz
yy
:C
o
o
1
yo
xo
zo
C1
11
t1
Determinação da reta tangente
Tomando y = yo temos que z = f(x, yo) = g(x) e
)x(g)y,x(
x
z
ooo 

é o coeficiente angular de t1, reta tangente a C1 
no ponto Po(xo, yo, f(xo,yo)) = Po(xo, yo, zo ).
Assim, t1 tem as seguintes equações









)(),( oooo
o
xxyx
x
fzz
yy
Determinação da reta tangente
7
Consideremos agora a curva que é o traço da superfície 
z = f(x,y) sobre o plano x = xo





)y,x(fz
xx
:C
o
o
2
Tomando x = xo temos que z = f(xo, y) = g(y) e 
)y(g)y,x(
y
z
ooo 

é o coeficiente angular de t2, reta tangente a C2 no ponto 
Po(xo, yo, f(xo,yo)) = Po(xo, yo, zo )
Assim, t2 tem as seguintes equações:










)(),( oooo
o
yyyx
y
fzz
xx
Determinação da reta tangente
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Determinação da reta tangente
Então teremos: 
Tomando y = yo temos que z = f(x, yo) = g(x) e Po(xo, yo, f(xo,yo)) = Po(xo, yo, zo ) 









)(),( oooo
o
xxyx
x
fzz
yy
Tomando x = xo temos que z = f(xo ,y)= g(y) e Po(xo, yo, f(xo,yo)) = Po(xo, yo, zo ) 










)(),( oooo
o
yyyx
y
fzz
xx
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15
Determinação da reta tangente
Solução:
 
 


































04
848
248
844
)(),(
42)2(
4
2
2
0
0
'
22
0
2
0
0
xz
xz
xz
z
xxyx
x
fzz
x
x
fxz
xyxxzz
xx
yy
oooo
Estamos nos caso y = yo









)(),( oooo
o
xxyx
x
fzz
yy
Reta tangente:
Z - 4x = 0
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Determinação da reta tangente
9
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Determinação da reta tangente
Solução:
 
 


































012
221
121
11
)(),(
22)1(
1
2
0
0
'
2
0
0
yz
yz
yz
z
yyyx
y
fzz
y
y
fyz
yxzz
xx
yy
oooo
Estamos nos caso x = xo
Reta tangente:
Z – 2y+1 = 0










)(),( oooo
o
yyyx
y
fzz
xx
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Determinação da reta tangente
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Taxas de Variação
11
21
22
12
23
24
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Curvas de nívelCurvas de nível
Curvas de nível
 As curvas de nível são maneiras de descrever,
geometricamente, o comportamento das funções de duas
variáveis. A idéia básica é semelhante ao mapeamento do
relevo de um terreno.
 Dando-se um valor particular para z, digamos z=c,obtemos
uma equação em duas variáveis f(x,y)=c.
 Esta equação define uma curva no plano xy, que se chama
uma curva de nível da função f(x,y) referente ao valor c.
 Esta curva é a projeção ortogonal sobre o plano xy da curva-
intersecção do plano z=c com o gráfico da função z=f(x,y)
Curvas de nível
 Para traduzir um gráfico de z = f(x,y) em curvas de nível, basta
esboçar as curvas-intersecção de f(x,y) com z=c, para diferentes
valores de c.
Exemplo-1
 Reconhecer e representar graficamente o gráfico da função
z = f(x,y) = x2 + y2.
 Fazendo z=c, desde que c > 0, obtemos a equação: x2+y2=c.
Isto significa que a projeção no plano xy da curva-intersecção
do plano horizontal z = c com o gráfico da função possui tal
equação. Essa projeção é a circunferência de centro na origem e
raio.
 Como o corte z = c é um círculo, o gráfico desta função é um
parabolóide de revolução obtido pela rotação da parábola z = x2
em torno do eixo z.
c
Curvas de nívelCurvas de nível
14
Exemplo-1
Curvas de nívelCurvas de nível
Exemplo-1
Curvas de nívelCurvas de nível
15
Exemplos de outras curvas
Curvas de nívelCurvas de nível
Exemplos de outras curvas
Curvas de nívelCurvas de nível
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O Operador Nabla
Gradiente de uma função
 O gradiente de uma função f(x,y) num ponto (x0,y0), designado
por f(x0,y0) ou grad f(x0,y0), é o vetor livre cujas coordenadas
são:
 Simbolicamente:
),( 00 yxx
f

 ),( 00 yxy
f

e










 ),(),,(),( 000000 yxy
fyx
x
fyxf
Gradiente
ou
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Resolução
 Calculemos a derivada parcial da função f(x,y) em relação a x
e y:
 No ponto (1,3):
23
1
00 3
26),( yxxyyx
x
f 


 yxxyx
y
f 3
2
2
00 23),( 











 )3,1(),3,1()3,1(
y
f
x
ff
12618)3()1(
3
23.1.6)3,1( 23
1


 
x
f
3)3()1(2)1(3)3,1( 3
2
2 


y
f
Portanto, o gradiente da função f(x,y) no ponto (1,3) é o vetor f(1,3)=[12,-3].
Exemplo-1
Calcule o gradiente da função f(x,y) = 3x2y-x2/3.y2 no ponto 
(1,3).
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Gradiente
Exemplo-2
 Se f(x,y)=x2+y2, então, g(x,y)=f(x,y)=2x+2y.
 Calculado no ponto (a,b) teremos o vetor:
g(x,y)= f(x,y)=2a+2b
18
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Gradiente
ou
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Gradiente
θ
f(x)
x
Curva de nível
),( 00 yx
• Qualquer direção x é uma direção de crescimento sempre que o seu ângulo (θ) em relação ao
vetor gradiente é menor do que 90°. Se θ > 90° então x é uma direção de decrescimento.
• A direção -f(x) é a direção de máximo decrescimento neste ponto.
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Gradiente
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Gradiente
20
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Gradiente
40
Divergente
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Divergente
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Divergente – Significado Físico
22
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Divergente
 zxzyx azayxazayaxV
 22 














422  zxyV

EXERCÍCIOS:
1- Calcule o Divergente do campo vetorial no ponto (1,0,2) 
SOLUÇÃO
44
Divergente
Solução:
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Fim da segunda parteFim da segunda parte
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