INTEGRAL DEFINIDA - AULA II -ALUNOS

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28/08/2012
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INTEGRAL DEFINIDA
Edmilson Monteiro
UEZO - Cálculo diferencial e Integral II 
• Integral Definida
– Determinar uma área sob a curva de uma função (que se traduz 
na operação conhecida como integral definida), é um 
procedimento que guarda estreitas relações com a operação de 
desvendar a primitiva de uma função (integral indefinida).
– Vamos procurar entender o procedimento que possibilita este 
cálculo.
– Na antiguidade o cálculo da área de certas figuras era obtido por 
aproximação. A área de uma figura mais complexa era 
determinada a partir do cálculo de áreas de figuras mais simples.
Integral Definida
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• Método de Exaustão de Arquimedes
– Por volta de 400 a.C. Eudoxo geometrizou a técnica que 
Arquimedes chamou de método de exaustão.
– O método consiste em exaurir (preencher) a figura que se quer 
calcular a área com polígonos regulares.
– Quanto maior for número de lados do polígono, maior será a 
convergência entre a área do polígono e a da figura.
– Vamos aplicar esse método para calcular a área do círculo.
Integral Definida
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•Método de Exaustão de Arquimedes
Para um polígono de n=4 lados Para um polígono de n=6 lados Para um polígono de n=8 lados
...
Integral Definida
Método da exaustão
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•Método de Exaustão de Arquimedes
– Seja An a área do polígono Pn. Então, An = n.At;
2
. nb
t
hbA 
Integral Definida
•Método de Exaustão de Arquimedes
– O perímetro do polígono é pn=n.bn;
– A área total é dada por:
2
.
2
... nnnbtn
hphbnAnA 
Integral Definida
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A ferramenta da integral definida que estudaremos envolve um dos conceitos 
mais fundamentais da Análise Matemática. Ela surge a partir da noção de somas 
integrais. 
Nosso ponto de partida é o cálculo de áreas sob curvas de funções. 
Suponhamos que é dada uma função f(x), contínua no intervalo [a,b], mostrada 
no gráfico. Desejamos calcular a área delimitada por esta curva no intervalo.
A NOÇÃO DE SOMAS INTEGRAIS
Aproximadamente, poderíamos dividir o 
intervalo [a,b] em pequenos segmentos 
e construirmos retângulos sob a curva e 
somar as suas áreas.
0 1 2
0 1 2
1 0 1 2 1 2
, , , ....
....
, ....
n
n
a x x x x b
x x x x
x x x x x x
 
  
     
a=X0 b=Xnx1 x2 x3 Xn-1
m
M
•Área sob uma curva
– Especificado o intervalo [a,b], procedemos a divisão em n 
subintervalos onde os pontos a=x0 e b=xn. 
Integral Definida - Área
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•Área sob uma curva
– xi=xi-xi-1 é o comprimento de cada intervalinho [xi-1, xi]. 
– Esse intervalo pode ser tão pequeno quanto se queira e o ponto 
médio desse intervalo é definido por ci.
Integral Definida - Área
Sejam, em cada pequeno intervalo [xi, xi+1], mi e Mi o menor valor e o 
maior valor da função no intervalo. Então
Correspondem à área do retângulo menor, neste intervalo, e à área do 
retângulo maior no mesmo intervalo, respectivamente. Construamos então 
duas somas dessas áreas:
Essas somas são chamadas de somas integrais inferior e superior, respectivamente. 
Temos ainda que vale:
i i
i i
m x
M x


mi
Mi
1 1 1 1 2 2
1 1 1 1 2 2
...
...
n n n
n n n
s m x m x m x m x
S M x M x M x M x
       
       
n ns S
ix
*
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A INTEGRAL DEFINIDA
X0=a Xn=b
Mas sob a curva a área é delimitada pela própria curva, pelo eixo x e pelas retas 
x=a e x=b. Se considerarmos cada pequeno intervalo nos quais subdividimos o 
intervalo inteiro, a área sob este pequeno pedaço da curva será igualmente 
delimitada pela curva, o eixo x e as retas x=xi e x=xi+1.
Xi xi+1
max 0 1
lim ( ) ( )
i
bn
i ix i a
f x f x dx
 

  
Se agora, calculamos o limite de Sint, quando o maior xi→0 e esse limite existe, 
dizemos que esse limite é a integral definida de f(x)
Vemos então que a integral definida de uma função num intervalo [a,b] 
corresponde à área sob a curva, da figura trapezoidal curvilínea, compreendida 
entre o eixo x e as retas x=a e x=b
X0=a Xn=b
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( )
b
a
f x dx
Na expressão simbólica da integral definida 
a é o limite inferior da integração, b o limite superior da integração, o intervalo 
[a,b] é o intervalo de integração e x é a variável de integração
Se f(x) é contínua sobre um intervalo [a,b] ela é integrável neste intervalo.
A integral definida de f(x) depende dos limites de integração mas não da 
variável de integração. Podemos então escrever, de forma indiferente:
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f t dt f z dz   
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx  
1.Trocando os limites de integração, a integral muda de sinal:
Exemplo:
cos cos
b a
a b
xdx xdx  
2.Pode-se retirar um fator constante de dentro do sinal de integração;
( ) ( )
b b
a a
cf x dx c f x dx 
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3.A integral definida da soma de duas funções é igual à soma das integrais 
definidas das mesmas funções
( ( ) ( )) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx    
4.Se no intervalo [a,b], as funções f(x) e (x) satisfazem à condição f(x) 
(x), então, tem-se
( ( ) ( )
b b
a a
f x dx x dx 
Teorema da Média. A função f(x) seno continua no intervalo [a,b], existe um 
ponto , tal que se tem:
( ) ( )( )
b
a
f x dx f b a 
Demonstração:
Considerando que, respectivamente, m e M são o menor valor e o maior 
valor de f(x) no intervalo, teremos:
1 ( )
( )
b
a
m f x dx M
b a
 
 
Considerando que o resultado da integral é um número, designemos esse 
por . Temos então
m M 
Como a função é contínua no intervalo, haverá um valor de f(x) igual ; isto é, 
um ponto , ab, tal que f()=  (o valor médio da função no intervalo).
( ) ( ) ( )( )
b
a
f x dx b a f b a    
1 ( )
( )
b
a
f x dx
b a

 com
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Propriedade 5. a,b e c sendo três números arbitrários, ter-se-á:
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx   
a bc x
INTEGRAL DEFINIDA: Fórmula de Newton-Leibniz
Considerando que, para a integral ( )
b
a
f x dx , o limite de integração inferior seja fixo,a.
Variemos o limite superior, b, e calculemos, sucessivas integrais de f(x). Os 
resultados, portanto dependerão de b. Podemos então trocar a variável de 
integração por t. Então
( ) ( )
x
a
f t dt x 
xa
(x) é portanto igual à área subtendida 
pelo trecho da curva entre a e x, o eixo t e 
as retas t=a e t=x.
t
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Teorema Fundamental . Se F(x) é uma primitiva de f(x) então
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a 
Demonstração:
Seja F(x) uma primitiva de f(x). Pelo teorema anterior, (x) é também uma primitiva 
de f(x). Mas,
( ) ( )
x
a
x f t dt  
Além disso, duas primitivas de uma mesma função diferem por uma constante. 
Então:
( ) ( )
x
a
f t dt F x C 
Determinemos C, calculando a integral para x=a:
( ) ( )
a
a
f t dt F a C 
Mas
( ) 0
a
a
f t dt 
0 ( )
( )
F a C
C F a
 
 
( ) ( ) ( )
x
a
f t dt F x F a 
Coloquemos então x=b
( ) ( ) ( )
b
a
f t dt F b F a 
Esta é a fórmula de Newton Leibniz
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F b F a F x  
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( ) ( ) ( ) ( )
b
b
à
a
f x dx F b F a F x  Exemplos usando fórmula Newton-Leiniz
2 2 21 1
2 2
b
b
a
a
kxdx kx k b a    
 0
0
2 2 2 cos cos0 4senxdx cox

      
 
2
2
0
0
2 2 2 cos 2 cos0 0senxdx cox

      
2
2 2 0 2
0
0
1x xe dx e e e e    
1 1 11 1 ( 1)
1 1
b
n n bn n
a
a
x dx x b a n
n n
         
Sabemos que
( )uv u v v u   
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Integrando entre x=a e x=b, teremos
( )
b b b
a a a
uv dx u vdx v udx     
Mas,
( ) ( )uv dx d uv  ( ) ( )uv dx d uv uv C    
Então
( )
b
b
a
a
uv dx uv 
,u dx du v dx dv  
b b
b
à
a a
b b
b
a
a a
uv udv vdu
udv uv vdu
 
 
 
 
, e
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EXTENSÃO DA NOÇÃO DE INTEGRAL
Integrais com limites de integração infinitos
a b
Definição. Se o limite lim ( )
b
b
a
f x dx
 
existe, ele será representado por
( )
a
f x dx


Por definição, então ( ) lim ( )
b
b
a a
f x dx f x dx


 
e diz-se que a integral converge.
( ) lim ( )
b b
a
a
f x dx f x dx


 
( )
b
a
f x dx
 
0
0
00
Calcule 
1
lim 1 1
x
b b
x x b b
b
b
e dx
e dx e e e e
e


   


      
   


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( )
b
a
f x dx
Na expressão simbólica da integral definida 
a é o limite inferior da integração, b o limite superior da integração, o intervalo 
[a,b] é o intervalo de integração e x é a variável de integração
Se f(x) é contínua sobre um intervalo [a,b] ela é integrável neste intervalo.
A integral definida de f(x) depende dos limites de integração mas não da 
variável de integração. Podemos então escrever, de forma indiferente:
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f t dt f z dz   
PARTE PRÁTICA E OBJETIVA
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Que coincide com o
resultado obtido com
o método 1.
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Interpretação geométrica
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APLICAÇÃO
SOLUÇÃO
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20
Aplicação
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Diretrizes para Encontrar a área de uma região 
Limitada por duas funções:
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Solução:
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•Exemplo
– Calcule a área da região sob o gráfico da função f(x)=x-x2.
Cálculo de Área
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Uma vez que f(x)0 no intervalo [0,1], a área A da região sob seu 
gráfico é dada por:
Além disso a função é contínua nos reais e, portanto, possui 
primitiva, que neste caso é: 
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos então que:
 
1
0
2][ dxxx
32
)(
32 xxxF 
6
1
3
1
2
1
32
][
1
0
1
0
32
2 





 
xxdxxxA
Cálculo de Área
Cálculo de Área
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Num estudo realizado em 1994 para o Ministério do
Desenvolvimento Econômico de certo país emergente,
economistas do governo e especialistas em energia concluíram
que se o Projeto de Lei sobre Conservação de Energia fosse
implementado em 1995, o consumo de petróleo daquele país
pelos 5 anos subseqüentes cresceria de acordo com o modelo
onde t é medido em anos (t = 0 correspondendo ao ano de 1995)
e R(t) em milhões de barris por ano. Sem estas mediadas
impostas pelo governo, entretanto, a taxa de crescimento
esperada de consumo de petróleo seria dada por
milhões de barris por ano. Usando estes modelos, determine
quanto petróleo teria sido economizado de 1995 até 2000 se o
projeto de lei tivesse sido implementado.
Exemplo
medidas
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Sob a vigência do Projeto de Lei sobre Conservação de Energia, a
quantidade total de petróleo que teria sido consumida entre 1995 e
2000 é dada por
(1)
Na ausência do projeto de lei, a quantidade total de petróleo que teria
sido consumida entre 1995 e 2000 é dada por
(2)
A equação (1) pode ser interpretada como a área da região sob a
curva y = R(t) de t = 0 a t = 5. Analogamente, interpretamos (2) como
a área da região sob a curva y = R1(t) de t = 0 a t = 5. Note também
que o gráfico de se situa sempre acima do gráfico de
. Assim, a área da região sombreada S na figura
abaixo mostra a quantidade de petróleo que teria sido economizada
de 1995 a 2000 se o Projeto de Lei sobre Conservação de Energia
tivesse sido implementado. Mas a área da região S é dada por:
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INTEGRAL DEFINIDA
Se f(x) ≥ 0, representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para a ≤ x ≤ b:
Se f(x) ≥ g(x), representa a área entre as curvas, para a ≤ x ≤ b:

b
a
dxxf )(
 
b
a
dxxgxf )]()([
INTEGRAL DEFINIDA
Se f(x) ≥ 0 para a ≤ x ≤ c e f(x) ≤ 0 para c ≤ x ≤ b, então a área entre f(x) e o eixo x,
para a ≤ x ≤ b, é dada por:
Se f(x) ≥ g(x), a ≤ x ≤ c e f(x) ≤ g(x), c ≤ x ≤ b, então a área entre f e g, a ≤ x ≤ b, é
dada por:
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Figura abaixo. Note, na eq, 
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Volume obtido pela rotação de uma curva descrita por y=f(x) em torno de x
Se a rotação
for em torno
do eixo y
Volume obtido pela rotação de uma curva descrita por y=f(x) em torno de x
Se a rotação
for em torno
do eixo y
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Volume obtido pela rotação de duas curvas
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Volume obtido pela rotação de duas curvas
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Determinar os limites de integração igualando as funções 
e encontrando as raízes em comum
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Comprimento de arco de 
uma curva plana
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Comprimento de arco de uma curva plana
Comprimento de arco de uma curva plana