Euclidiana Pinho

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Notas de Aula de Geometria Euclidiana
segundo a axioma´tica de D. Hilbert
Prof. Jose´ Luiz Rosas Pinho
Editorac¸a˜o:
Ecila de Almeida Waltrick Helena Martins
Marcos Teixeira Alves Tiara Martini
Termos primitivos: termos iniciais, aceitos sem definic¸a˜o.
Axiomas: verdades iniciais aceitas sem demonstrac¸a˜o.
Atrave´s dos axiomas deveremos compreender os termos primitivos.
Os teoremas surgira˜o a partir destes axiomas, com a intruduc¸a˜o de algumas
definic¸o˜es.
Grupos de axiomas:
I. Axiomas de incideˆncia
II. Axiomas de ordem
III. Axiomas de congrueˆncia
IV. Axioma das paralelas
V. Axiomas de continuidade
Axiomas de Incideˆncia:
Termos primitivos:
− ponto
− reta
− incidente a (ou incideˆncia).
Axioma I.1:
Se A e B sa˜o dois pontos enta˜o existe uma reta que passa por A e B.
Axioma I.2:
Se A e B sa˜o dois pontos enta˜o na˜o existe mais do que uma reta passando
por A e B.
Axioma I.3:
Em toda reta incidem (pelo menos) dois pontos.
Existem (pelo menos) treˆs pontos que na˜o sa˜o incidentes a mesma reta.
Definic¸a˜o 1: Duas retas sa˜o ditas paralelas se elas na˜o teˆm nenhum ponto
comum.
Observac¸a˜o: A negac¸a˜o dessa definic¸a˜o e´:
Duas retas na˜o sa˜o paralelas se existir um ponto comum a ambas.
Definic¸a˜o 2: Duas ou mais retas sa˜o ditas concorrentes se existe um ponto
incidente a todas elas.
Observac¸a˜o: A definic¸a˜o 2 e a observac¸a˜o anterior nos dizem que duas retas
2
concorrentes na˜o sa˜o paralelas.
Definic¸a˜o 3: Dizemos que treˆs ou mais pontos sa˜o colineares se eles sa˜o in-
cidentes a mesma reta.
Observac¸a˜o: A negac¸a˜o desta definic¸a˜o nos diz que treˆs ou mais pontos na˜o
sa˜o colineares (ou sa˜o na˜o colineares) se, dada qualquer reta que passa por dois
deles, existir um destes pontos que na˜o e´ incidente a esta reta.
Teorema 1
Duas retas distintas ou sa˜o paraleas ou sa˜o concorrentes. Se elas forem con-
correntes enta˜o existe um u´nico ponto comum a ambas.
Dem.:
Sejam r e s duas retas. Pela definic¸a˜o da lei do terceiro exclu´ıdo, r e s sa˜o
paralelas ou na˜o sa˜o paralelas (concorrentes).
Suponha que r e s na˜o sejam paralelas.
Seja P um ponto comum a r e s, definic¸a˜o de retas concorrentes. Suponha,
por absurdo, que exista um ponto Q, distinto de P , incidente a r e s. Segue-se
da´ı que, r e s sa˜o duas retas distintas passando por P e Q. Chegamos a uma
contradic¸a˜o com o axioma I.2.
Conclusa˜o: r e s possuem um u´nico ponto comum. �
Teorema 2
Existem treˆs retas distintas concorrentes duas a duas, ou seja, cada duas
retas sa˜o concorrentes e as treˆs na˜o concorrem no mesmo ponto.
Dem.:
Pelo axioma I.3 existem treˆs pontos que na˜o esta˜o na mesma reta. Sejam
A, B e C estes pontos.
Sejam r a reta que passa por A e B, s a reta que passa por A e C e t a reta
que passa por B e C (teorema 1).
Tais retas sa˜o ditas distintas, pois os treˆs pontos na˜o esta˜o em uma mesma
reta (por exemplo: se r e s fossem a mesma reta, enta˜o ter´ıamos A, B e C nessa
mesma reta).
As retas r e s sa˜o concorrentes em A (e somente em A - teorema 1). As
retas r e t sa˜o concorrentes em B, e as retas s e t sa˜o concorrentes somente em
C. �
Teorema 3
Dada uma reta existe um ponto na˜o incidente a ela.
Dem.:
3
Seja r uma reta qualquer. Suponha, por absurdo, que na˜o exista pontos fora
de r. Enta˜o todos os pontos sa˜o incidentes a r. Portanto na˜o ha´ treˆs pontos
na˜o colineares. Mas isto contradiz o axioma I.3.
Logo, existe (pelo menos)um ponto na˜o incidente a r. �
Teorema 4
Dado um ponto existe uma reta que na˜o passa por esse ponto.
Dem.:
Seja P um ponto qualquer.
Suponha, por absurdo, que todas as retas passem por P . Pelo teorema 2,
existem treˆs retas concorrentes duas a duas, ou seja, as treˆs retas na˜o concorrem
no mesmo ponto, mas cada par de retas e´ concorrente.
Assim, a hipo´tese de absurdo nos leva diretamente a uma contradic¸a˜o com
o teorema 2.
Portanto, na˜o podemos negar a tese, ou seja, a tese e´ verdadeira. �
Teorema 5
Por todo ponto passam, pelo menos, duas retas distintas.
Dem.:
Seja P um ponto qualquer. Pelo teorema 4, existe uma reta r que na˜o passa
por P .
A reta r possui dois pontos M e N (axioma I.3).
Seja s a reta que passa por P e M , e seja t a reta que passa por P e N
(axiomas I.1 e I.2).
As retas s e t sa˜o duas retas distintas pois, caso contra´rio, P , M e N seriam
colineares (na mesma reta s ou t), o que na˜o ocorre, pois P na˜o esta´ na reta r
(que passa por M e N). �
Para dar exemplos de sistemas geome´tricos (ou simplesmente Geometria) sa-
tisfazendo (ou na˜o) os axiomas dispon´ıveis ate´ o momento, devemos inicialmete
descrever o que queremos entender como termos primitivos. A isto chamamos de
interpretac¸a˜o dos termos primitivos. Dada uma interpretac¸a˜o, passamos enta˜o
a verificar se os axiomas sa˜o satisfeitos. Se isto ocorrer, dizemos que aquela
interpretac¸a˜o nos fornece um modelo de geometria. No momento, como so´ dis-
pomos de axiomas de incideˆncia, diremos que o modelo e´ de uma Geometria de
Incideˆncia.
Se tivermos um modelo, enta˜o qualquer teorema demonstrado a partir dos
axiomas devera´ ser va´lido neste modelo. Os modelos servem ainda como contra-
exemplo. Assim, se uma determinada propriedade na˜o poˆde ser provada eventu-
almente a partir dos axiomas, ela podera´ ser falsa, bastando para isso apresentar
um modelo que na˜o satisfac¸a tal propriedade. Por exemplo, podemos pergun-
tar se os treˆs axiomas de incideˆncia implicam que toda geometria deve possuir
4
infinitos pontos, ou se implicam na existeˆncia de paralelas. Vejamos a seguir.
Exemplos
Exemplo 1
Interpretac¸a˜o dos termos primitivos:


“pontos” − A, B e C.
“retas” − {A,B}, {A,C} e {B,C}.
“incideˆncia” − um “ponto´´ e´ incidente a uma reta se ele
for elemento do conjunto que e´ “reta´´.
Vamos verificar se os axiomas sa˜o satisfeitos.
Axioma I.1 - Dados dois “pontos” existe uma “reta”que passa por eles. OK
Axioma I.2 - Por dois “pontos”passa uma u´nica “reta”. OK
Axioma I.3 - Toda “reta”passa por dois “pontos”e os treˆs “pontos”A, B e C
sa˜o na˜o
colineares (o “ponto”C, por exemplo, na˜o esta´ na “reta”A,B).
OK
Enta˜o temos um modelo.
Observac¸a˜o: Do modelo apresentado, constatamos que na˜o e´ poss´ıvel provar
a existeˆncia de infinitos pontos, nem a existeˆncia de paralelas, a partir dos axi-
omas de incideˆncia. Observe que o modelo do exemplo 1 teˆm exatamente treˆs
pontos, e que as retas (somente treˆs) sa˜o concorrentes duas a duas.
Definic¸a˜o 4: Dizemos que um modelo satisfaz a propriedade el´ıptica das paralelas
se na˜o houver retas paralelas neste modelo. Diremos que um modelo satisfaz a
propriedade hiperbo´lica das paralelas se, dados qualquer ponto na˜o incidente a
esta reta, existirem mais do que uma reta paralela a`quela reta dada, passando
pelo ponto dado. Dizemos que um modelo satisfaz a propriedade euclidiana das
paralelas se, dados qualquer reta e qualquer ponto na˜o incidente a essa reta,
existir uma u´nica reta paralela a`quela reta dada, passando pelo ponto dado.
Exemplo 2
Interpretac¸a˜o dos termos primitivos:


“pontos” − A, B e C.
“retas” − {A,B}, {A,C}, {B,C} e {A,B,C}.
“incideˆncia” − usual.
Axioma I.1 - OK.
Axioma I.2 - Na˜o e´ satisfeito: por A e B ha´ duas retas, {A,B} e {A,B,C}.
Na˜o e´ modelo.
Exemplo 3
5
Interpretac¸a˜o dos termos primitivos:


“pontos” − A, B e C.
“retas” − {A,B}, {A,C}, {B,C} e {C}.
“incideˆncia” − usual.
Observe que a “reta” {C} passa por um u´nico “ponto”, o ponto C. Portanto
na˜o satisfaz o axioma I.3.
Na˜o e´ modelo.
Exemplo 4
Interpretac¸a˜o dos termos primitivos:


“pontos” − A, B e C.
“retas” − {A,B}, {A,C}, e {B,C}.
“incideˆncia´´ − um “ponto”e´ incidente a uma “reta”se ele
na˜o for elemento do conjunto que e´ “reta” .Observe que a “reta” {A,B} passa por um u´nico “ponto”, o “ponto” C (se-
gundo a interpretac¸a˜o de incideˆncia). Portanto, na˜o satisfaz os axiomas I.1 e
I.2.
Na˜o e´ modelo.
Exemplo 5
Interpretac¸a˜o dos termos primitivos:


“pontos” − A, B, C e D.
“retas” − {A,B}, {A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D} e {C,D}.
“incideˆncia” − usual.
Axioma I.1 - OK.
Axioma I.2 - OK.
Axioma I.3 - OK.
E´ modelo.
Este modelo satisfaz a propriedade euclidiana das paralelas:
Sejam {X,Y } uma “reta” e Z um ponto na˜o incidente a esta “reta”.
Tomando o quarto “ponto” que chamaremos de W , a “reta” {Z,W} sera´
paralela a` reta {X,Y }. Suponha que por Z passe uma outra paralela a {X,Y },
distinta de {Z,W}. Vamos chamar esta reta de r.
Que pontos esta˜o em r (pelo axioma I.3, r tem pelo menos dois pontos)?
Um deles e´ Z. O outro na˜o pode ser X, Y nem W . Logo, haveria um quinto
ponto na minha interpretac¸a˜o de pontos, o que na˜o ocorre.
6
Observac¸a˜o: Note que, neste exemplo, temos treˆs pares de retas paralelas:
{A,B} e {C,D}; {A,C} e {B,D}; {B,C} e {A,D}.
Exemplo 6
Interpretac¸a˜o dos termos primitivos:


“pontos” − A, B e C.
“retas” − {A,B,C}, {A,D}, {B,D} e {C,D}.
“incideˆncia” − usual.
Axioma I.1 - OK.
Axioma I.2 - OK.
Axioma I.3 - OK.
E´ modelo, e satisfaz a propriedade el´ıptica das paralelas.
Exemplo 7
Interpretac¸a˜o dos termos primitivos:


“pontos” − todos os pontos (infinitos) de uma reta r (no sentido conhecido da
geometria euclidiana e mais um ponto P que na˜o esta´ nessa reta.
“retas” − a reta r e todos os conjuntos da forma {P,Q}, onde Q esta´ em r.
“incideˆncia” − usual.
Axioma I.1 - OK, pois se tomarmos dois “pontos” A e B que sa˜o pontos de r,
enta˜o a “reta” que passa por esses pontos e´ a pro´pria r. Se considerarmos dois
“pontos”, um deles em r, digamos X, e o outro sendo P , a “reta” que passa por
esses dois pontos e´ {P,X}.
Axioma I.2 - OK, da pro´pria descric¸a˜o de “retas”.
Axioma I.3 - OK, pois: toda reta tem pelo menos dois pontos, e ha´ treˆs pontos
na˜o colineares (P , X e P , onde Q e X esta˜o em r).
E´ modelo, e satisfaz a propriedade el´ıptica das paralelas.
Exemplo 8
Interpretac¸a˜o dos termos primitivos:


“pontos” − A, B, C, D e E.
“retas” − {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E},
{C,D}, {C,E} e {D,E}.
“incideˆncia” − usual.
Axiomas I.1 e I.2 - OK.
Axioma I.3 - OK.
E´ modelo, e satisfaz a propriedade hiperbo´lica das paralelas. (Por exemplo,
dados a “reta” {A,B} e o “ponto” C, na˜o incidente a`quela “reta”, ha´ duas pa-
ralelas a {A,B} passando por C: {C,D} e {C,F}).
7
Argumentando de forma geral:
Seja {X,Y } uma das “retas” do modelo, onde X e Y sa˜o dois entre os
“pontos” A, B, C, D ou E.
Seja Z um terceiro “ponto”, distinto de X e Y . Note que Z na˜o e´ incidente
a {X,Y}.
Sobraram dois “pontos”. Chamemos estes pontos de P e Q. Enta˜o {Z,P} e
{Z,Q} sa˜o “retas” do modelo (pela construc¸a˜o feita). Tais “retas” sa˜o paralelas
a reta {X,Y}, pois Z, P e Q sa˜o “pontos” distintos de X e Y .
Exemplo 9
Interpretac¸a˜o dos termos primitivos:


“pontos” − A, B, C, D ,E e F.
“retas” − {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {A,F}, {B,C}, {B,D},
{B,E}, {B,F}, {C,D}, {C,E}, {C,F}, e {D,E, F}.
“incideˆncia” − usual.
Axiomas I.1 e I.2 - OK.
Axioma I.3 - OK.
E´ modelo.
Exemplo 10
Interpretac¸a˜o dos termos primitivos:


“pontos” − A, B, C, D ,E e F.
“retas” − {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {A,F}, {B,C},
{B,D}, {B,E}, {B,F}, {C,D,E, F}.
“incideˆncia” − usual.
Axiomas I.1 e I.2 - OK.
Axioma I.3 - OK.
E´ modelo. Na˜o satisfaz nenhuma propriedade das paralelas:
1) Dada a “reta” {A,D}, e dado o “ponto” B, na˜o incidente a {A,D}, as “retas”
{B,C} e {B,E} sa˜o paralelas a {A,D}.
2) Dada a “reta” {A,B}, e dado o ponto C, na˜o incidente a {A,B}, ha´ uma
u´nica paralela a {A,B} passando por C: a “reta”{C,D,E,F}.
Exemplo 11
Interpretac¸a˜o dos termos primitivos:
8


“pontos” − todas as (infinitas) retas (como usualmente conhecemos) do plano.
“retas” − todos os (infinitos) pontos (como usualmente conhecemosplano.
“incideˆncia” − um “ponto” e´ incidente a uma “reta” se a reta, que e´ “ponto”,
passar pelo ponto, que e´ “reta”.
Axioma I.1 Fura.Pois: por dois “pontos”, que sa˜o retas paralelas no plano,
na˜o passa uma “reta”, isto e´, tais retas na˜o teˆm ponto comum, que seria a
“reta” passando pelos dois “pontos”.
Na˜o e´ modelo.
Exemplo 12
Interpretac¸a˜o dos termos primitivos:


“pontos” − todas as (infinitas) retas (como usualmente conhecemos) do exemplo 7.
“retas” − todos os (infinitos) pontos (como usualmente conhecemosdoexemplo7.
“incideˆncia” − um “ponto” e´ incidente a uma “reta” se a reta, que e´ “ponto”,
passar pelo ponto, que e´ “reta”.
Axioma I.1: OK. (na˜o ha´ paralelismo, no sentido euclidiano).
Axioma II.1: OK, pelo fato de que duas retas concorrem em um u´nico ponto.
Axioma III.1: OK, toda “reta” possui pelo menos dois “pontos” (ha´ exa-
tamente uma “reta” com infinitos “pontos”, a reta r, e infinitas “retas” com
exatamente dois “pontos”). Existem treˆs “pontos” na˜o colineares: P e mais
dois “pontos” incidentes a` reta r.
E´ modelo, e satisfaz a propriedade el´ıptica das paralelas.
Problema:
Explique porque em uma geometria finita com um total de 8 pontos, na˜o e´
poss´ıvel construir um modelo onde as retas tenham exatamente 3 pontos.
Para satisfazer os axiomas I.1 e I.2, devemos ter, a cada dois pontos, uma
u´nica reta passando por eles, ou seja:
Dados A, B, C, D, E, F, G e H, ter´ıamos as retas:
{A,B,C}, {A,D,E}, {A,F,G}, {A,H,?
Falta um ponto para a reta {A,H,?}.
Isso acontecera´ quando tivermos um nu´mero par de pontos, pois fixando um
ponto, cada reta deveria ter mais dois pontos. No entanto restam sempre um
nu´mero ı´mpar de pontos (2k-1), ou seja, faltaria um ponto.
Axiomas de Ordem:
Termo primitivo: estar entre.
Axioma II.1:
Se um ponto B esta´ entre os pontos A e C, enta˜o A, B e C sa˜o treˆs pontos
9
distintos e colineares. Ale´m disso, B esta´ entre C e A.
Axioma II.2:
Para cada dois pontos A e C ha´ pelo menos um ponto B na reta que oassa
por A e C tal que C esta´ entre A e B.
Obs.: Este axioma esta´ dizendo ainda que existe um ponto D na reta que
passa por A e C tal que A esta´ entre C e D. Pore´m na˜o e´ poss´ıvel distinguir D
de B.
Exemplo:
Interpretac¸a˜o: “Estar entre”: dados treˆs pontos colineares qualquer um deles
esta´ entre os outros dois.
Axioma II.3:
Dados treˆs pontos distintos e colineares na˜o ha´ mais do que um que esta´ entre
os outros dois.
Obs.:(i) O axioma permite que nenhum deles esteja entre os outros dois.
(ii) O asioma II.2 e´ um axioma de existeˆncia. Ele nos diz que toda reta pos-
sui pelo menos treˆs pontos (na˜o necessariamente quatro pontos - veja exemplo
acima). E, pelo exerc´ıcio 8 da lista 1, os modelos (ate´ aqui) devem possuir pelo
menos 7 pontos.
(iii) O axioma II.3 nos diz agora que, usando tambe´m o axioma II.2, toda reta
deve possuir pelo menos quatro pontos. Vamos verificar isto. Antes adotemos
a seguinte notac¸a˜o:
“B esta´ entre A e C”: A ∗B ∗ C ou C ∗B ∗A
O axioma II.2 nos diz que dados dois pontos (distintos) A e C, existe um ponto
B tal que A∗C ∗B. Esse axioma nos diz tambe´m que existe um ponto D tal que
D ∗A ∗C. Pore´m como foi verificado em um exemplo anterior, o ponto D pode
ser o ponto B. Agora, com o axioma II.3 necessariamente D e B sa˜o distintos
pois, caso contra´rio, ter´ıamos A∗C ∗B ou B∗A∗C, contrariando o axioma II.3.
Exemplo de um modelo que satisfaz todos os axiomas ate´ o axioma II.3 (inclu-
sive), onde ha´ treˆs pontos colineares tal que nenhum deles esta´ entre os outros
dois.
Interpretac¸a˜o:
“Pontos”: sa˜o todos os infinitos pontos do plano (como conhecemos), exceto
os pontos que pertencem a (infinitas) circunfereˆnciasconceˆntricas, de centro no
ponto O, e raios 1, 2, 3 ...
DESENHO
10
“Retas”: sa˜o as retas no sentido como conhecemos no plano, exceto por se-
rem “esburacadas” pela falta dos pontos das circunfereˆncias citadas acima.
“Incideˆncia”: usual.
“Estar entre”: dados treˆs “pontos” colineares um (e somente um) deles es-
tara´ entre os outros dois somente se existir algum ponto de alguma das cir-
cunfereˆncias retiradas que esta´ entre (no sentido usual) dois dos treˆs pontos
considerados. Assim, se isso na˜o ocorre, nenhum dos treˆs pontos “estara´ entre”
os outros dois.
Na figura temos A ∗ B ∗ C mas, com os treˆs pontos M , N e P diremos que
nenhum deles “esta´ entre” os outros.
Pergunta: Dados todos os axiomas ate´ o axioma II.3 (inclusive), podemos ga-
rantir a existeˆncia de infinitos pontos em uma reta?
FIGURA
A resposta para essa pergunta e´: na˜o. Antes de ver o exemplo consideremos
outra pergunta: Podemos garantir, com os axiomas dados ate´ aqui, que dados
dois pontos existe um ponto entre esses dois? A resposta e´: na˜o. Basta ver os
pontos M e P no exemplo anterior. Ali N na˜o esta´ entre M e P .
Vamos ver agora um exemplo onde as retas teˆm exatamente 5 pontos e os axi-
omas sa˜o todos satisfeitos. Considere uma reta com os pontos A, B, C, D e E.
Uma poss´ıvel interpretac¸a˜o:
FIGURA
A ∗ B ∗ C, B ∗ C ∗ D, C ∗ D ∗ E, D ∗ E ∗ A, E ∗ A ∗ B. Note que na˜o ha´
pontos entre: A e B, B e C, C e D, D e E, E e A.
Temos ainda: A ∗D ∗ C, D ∗ A ∗ B, D ∗ E ∗D, E ∗ B ∗ C, C ∗ E ∗ A, E ∗ C∗?
este u´ltimo ponto na˜o podera´ ser A, D ou B.
Outra interpretac¸a˜o:
A ∗ B ∗ C, B ∗ C ∗D, C ∗D ∗ E, D ∗ E ∗ A, E ∗ A ∗ B, A ∗D ∗ B, B ∗ E ∗ C,
C ∗A ∗D, D ∗B ∗ E, E ∗ C ∗A.
A e B
{
A ∗B ∗ C
B ∗A ∗ E
Afinal, qual e´ o modelo? O modelo e´ dado com 21 pontos e 21 retas, todas
com exatamente 5 pontos cuja relac¸a˜o “estar entre” foi dada acima.
DESENHO
Axioma II.4 :
11
Se A, B e C sa˜o treˆs pontos na˜o colineares, e se r e´ uma reta que na˜o passa por
A, B ou C mas passa por um ponto do segmento AB enta˜o a reta r passa por
um ponto do segmento AC ou do segmento BC.
A
CB
r
Definic¸a˜o 5: O segmento de reta de extremidades A e B, denotado por AB,
e´ o conjunto formado pelos pontos A, B e todos os pontos C tais que C esta´
entre A e B.
Obs,: Com os axiomas II.1, II.2 e II.3 na˜o podemos garantir ainda, que todo
segmento de reta possui, pelo menos, treˆs pontos. Na˜o podemos tambe´m ga-
rantir que, dados treˆs pontos colineares, um deles estara´ entre os outros dois.
Definic¸a˜o 6: A semi-reta de origem A passando por C, denotada por
−→
AC, e´
o conjunto formado por todos os pontos do segmento AC e os pontos P tais que
C esta´ entre A e P .
Obs.: Das duas definic¸o˜es (e dos axiomas va´lidos ate´ aqui) podemos verifi-
car que AC ⊂
−→
AC, sendo que ha´ mais pontos na semi-reta do que no segmento.
Quem garante isso e´ o axioma II.2: dados A e C, existe um ponto P tal que
A ∗ C ∗ P . Portanto P esta´ em
−→
AC mas na˜o em esta´ em AC (pois P e´ distinto
de A e C, e P na˜o esta´ entre A e C; isto decorre de A∗C ∗P e do axioma II.3).
A Definic¸a˜o 6 e os axiomas garantem que toda semi-reta possui pelo menos
treˆs pontos.
Da mesma forma, a reta que passa por A e C, denotada por
←→
AC, conte´m a
semi-reta
−→
AC, sendo que ha´ mais pontos na reta do que na semi-reta. Isto e´
devido novamente ao axioma II.2: dados os pontos A e C existe um ponto Q
tal que ∗Q∗A∗C. Vimos que, pelo axioma II.3, o ponto Q e´ distinto de P (que
esta´ na semi-reta
−→
AC). Este ponto Q na˜o esta´ em overrightarrowAC pois, Q
e´ distinto de A e C, Q na˜o esta´ entre A e C, e C na˜o esta´ entre A e Q, ja´ que
Q ∗ A ∗ C e e´ va´lido o axioma II.3. Portanto Q e´ um ponto da reta
←→
AC mas
na˜o esta´ na semi-reta
−→
AC.
Observe ainda que, da Definic¸a˜o 5 e do axioma II.1, AB e´ o mesmo que BA.
Pergunta: A semi-reta
−→
AC e´ a mesma que a semi-reta
−→
CA? A resposta e´:
na˜o. Basta olhar o que foi comentado acima: o ponto Q na˜o esta´ em
−→
AC (note
12
que Q∗A∗C e´ o mesmo que C∗A∗Q e, pela definic¸a˜o de semi-reta, Q esta´ em
−→
CA.
Teorema 6
Dados dois pontos A e C, existe um ponto D que esta´ entre A e C.
Dem.:
Seja B um ponto na˜o incidente a` reta
←→
AC (teorema 3). Pelo axioma II.2,
A
B
P
C
Q
D
dados os pontos A e B, existe um ponto P tal que A ∗B ∗ P .
Note que P na˜o esta´ na reta
←→
AC pois, caso contra´rio, a reta
←→
AC seria a mesma
que a reta
←→
AP , e neste caso B (que esta´ em
←→
AP ) estaria na reta
←→
AC.
Dados os pontos P e C, existe um ponto Q tal que C esta´ entre P e Q (axioma
II.2).
Note que as retas
←→
PA e
←→
PC sa˜o distintas, pois caso contra´rio os pontos A, C
e P seriam colineares, o que na˜o ocorre conforme demonstrado anteriormente.
Segue-se que os pontos Q e B sa˜o distintos, pois P e´ o u´nico ponto comum a`s
retas
←→
PB e
←→
PQ (teorema 1).
Considere a reta
←→
BQ (axioma I.1). Esta reta na˜o passa pelos pontos A, C ou
P , pois caso contra´rio, concluir´ıamos que as retas
←→
PA (ou
←→
PB) e
←→
PC sa˜o coin-
cidentes.
Enta˜o A, P e C sa˜o treˆs pontos na˜o colineares, e a reta
←→
BQ passa por um ponto
que esta´ entre A e P (o ponto B). Pelo axioma II.4 a reta
←→
BQ deve passar por
um ponto do segmento PC.
As retas
←→
BQ e
←→
PQ sa˜o distintas (pois B na˜o esta´ em
←→
PQ). A reta
←→
BQ na˜o passa
por um ponto do segmento PC pois, caso contra´rio, tal ponto seria Q (o u´nico
ponto de intersecc¸a˜o das retas
←→
BQ e
←→
PQ), e neste caso Q estaria entre P e C,
mas isto na˜o ocorre porque C esta´ entre P e Q e pelo axioma II.3.
Logo,
←→
BQ passa por um ponto D do segmento AC (distinto de A e C), ou seja,
D esta´ entre A e C. �
Teorema 7
Dados treˆs pontos A, B e C colineares, um deles estara´ entre os outros dois.
Obs.: Este teorema, juntamente com o axioma II.3 nos diz que dados treˆs
13
pontos colineares, um e somente um deles estara´ entre os outros dois.
Dem.:
A B C
G
F
D
E
Suponhamos que A na˜o esteja entre B e C, e que C na˜o esteja entre A e B.
Vamos provar que, neste caso, B estara´ necessariamente entre A e C.
Seja D um ponto na˜o incidente a` reta
←→
AC (teorema 3).
A B C
D
Pelo axioma II.2 existe um ponto G tal que D esta´ entre B e G.
A B C
G
D
Note que G na˜o e´ incidente a` reta que passa pelos pontos A, B e C. Pois,
caso contra´rio, a reta
←→
GB seria a mesma que a reta
←→
AC, e da´ı tera´mos D na
reta
←→
AC, o que na˜o ocorre.
Enta˜o os pontos B, C e G sa˜o na˜o-colineares, e a reta
←→
AD (axiomas I.1 e I.2)
passa por um ponto que esta´ entre B e G (o ponto D) e na˜o passa por B, C ou
G (pois D na˜o esta´ em
←→
AC).
Segue-se, pelo axioma II.4, que a reta
←→
AD passa por um ponto do segmento
CG ou do segmento BC.
A reta
←→
AD na˜o passa por um ponto do segmento BC, pois caso contra´rio,
tal ponto seria o ponto A (o ponto de intersecc¸a˜o das retas
←→
AD e a reta que
conte´m B e C). Mas enta˜o A estaria entre B e C, o que contradiz a hipo´tese
feita no in´ıcio da demonstrac¸a˜o. Portanto a reta
←→
AD passa por um ponto que
esta´ entre C e G. Seja E este ponto.
14
A B C
D
G
A B C
D
G
E
Analogamente, considerando-se os pontos na˜o-colineares A, B e G, e a reta
←→
CD encontra-se um ponto F que esta´ entre A e G.
A B C
G
F
D
E
Considere agora os pontos na˜o colineares A, G e E (tais pontos na˜o sa˜o
colineares pois, caso contra´rio, A estaria na reta
←→
GE, que conte´m C, e portanto
A, C e G seriam colineares), e considere a reta
←→
CF (que passa por um ponto
do segmento AG - o ponto F ). Observe que a reta
←→
CF na˜o passa por A, E ou G.
Pelo axioma II.4 a reta
←→
CF deve passar por umponto do segmento GE
ou do segmento AE. A reta
←→
CF na˜o passa por um ponto de GE pois, caso
contra´rio, tal ponto seria C, e enta˜o ter´ıamos C entre G e E, o que na˜o ocorre
pois E esta´ entre G e C (conclusa˜o anterior e o axioma II.3).
Logo, a reta
←→
CF passa por um ponto do segmento AE. Mas este ponto so´
pode ser D (o ponto de intersecc¸a˜o das retas
←→
CF e
←→
AE ). Acabamos de concluir
que D esta´ entre A e E.
Finalmente considere os pontos na˜o colineares A, E e C, e considere a reta
←→
GD que passa por um ponto do segmento AE (o ponto D). A reta
←→
GD na˜o
15
passa pelos pontos A, E ou C. Pelo axioma II.4, a reta
←→
GD deve passar por
um ponto do segmento CE ou do segmento AC. Mas a reta
←→
GD na˜o passa por
um ponto de CE pois, caso contra´rio, tal ponto seria o ponto G, e da´ı G estaria
entre E e C.
Portanto a reta
←→
GD passa por um ponto de AC. Mas este ponto so´ pode ser
B (o ponto de intersecc¸a˜o das retas
←→
GD e
←→
AC). Logo, B esta´ entre A e C. �
Teorema 8
Sejam A, B e C treˆs pontos na˜o colineares, e seja r uma reta que na˜o passa
por A, B ou C. Se r passa por um ponto do segmento AC enta˜o r passa por
um ponto de somente um dos segmentos AB ou BC.
Obs.: Este teorema nos diz que, nas condic¸o˜es do axioma II.4, uma reta so´
pode interceptar dois segmentos dentre os treˆs formados por A, B e C.
Dem.:
r P
C
Q
L
M
A
B
N
Suponhamos, por absurdo, que r passe por um ponto M de AB e por um
ponto N de BC.
Seja P o ponto de intersecc¸a˜o de r com AC.
Considere os pontos na˜o colineares M , B e C (note que C na˜o esta´ na reta
←→
AB, que e´ a reta
←−→
MB), e considere a reta
←→
AN (note que A na˜o esta´ na reta
←→
BC, e potanto A e´ distinto de N , use enta˜o o axioma I.1).
A reta
←→
AN na˜o passa pelos pontos N , B ou C pois, caso contra´rio, A, B e
C seriam colineares, contradizendo a hipo´tese.
Pelo axioma II.4, a reta
←→
AN deve passar por um ponto do segmento MB ou
por um ponto do segmento MC. A reta
←→
AN na˜o passa por um ponto de MB
pois, caso contra´rio, tal ponto deveria ser A (o ponto de intersecc¸a˜o das retas
←→
AN e
←−→
MB), e da´ı ter´ıamos que A estaria entre M e B, o que na˜o ocorre pois
de in´ıcio admitimos que M esta´ entre A e B (axioma II.3). Logo, a reta
←→
AN
16
passa por um ponto Q de MC.
Considere agora os pontos na˜o colineares M , P e C (note que M na˜o esta´
na reta
←→
PC, que e´ a reta
←→
AC, pois caso contra´rio ter´ıamos A, B e C colineares),
e considere a reta que passa por A e Q (
←→
AQ). Esta reta na˜o passa pelos pontos
M , P ou C pois, caso contra´rio, os pontos A, B e C seriam colineares.
Pelo axioma II.4, a reta
←→
AQ deve passar por um ponto do segmento MP .
A reta
←→
AQ na˜o passa por PC pois, caso contra´rio, tal ponto deveria ser o
ponto A (o ponto de intersecc¸a˜o das retas
←→
AQ e
←→
PC) e enta˜o A estaria entre
P e C, o que na˜o ocorre pois, por hipo´tese, P esta´ entre A e C (e pelo axioma
II.3). Logo, a reta
←→
AQ passa por um ponto L de MP .
Mas L esta´ na reta r (que passa por M e P ) e, como esta´ tambe´m na reta
←→
AQ (que passa por A e N que esta´ em r), enta˜o A estaria na reta que passa por
L e N , que e´ a reta r. Isto e´ uma contradic¸a˜o com a hipo´tese.
Logo, a reta r na˜o pode passar por um ponto do segmento AB e por um
ponto do segmento BC. �
Definic¸a˜o 7: Seja r uma reta e sejam A e B os dois pontos na˜o incidentes a r.
Dizemos que A e B esta˜o no mesmo lado de R se r na˜o intercepta o segmento
AB. Caso contra´rio, diremos que A e B esta˜o em lados opostos de r.
Teorema 9
Seja r uma reta e sejam A, B e C treˆs pontos na˜o incidentes a r. Enta˜o:
(i) Se A e B esta˜o no mesmo lado de r, e se A e C esta˜o no mesmo lado de
r, enta˜o B e C esta˜o no mesmo lado de r.
(ii) Se A e B esta˜o em lados opostos de r, e se A e C esta˜o em lados opostos
de r, enta˜o B e C esta˜o no mesmo lado de r.
(iii) Se A e B esta˜o no mesmo lado de r, e se A e C esta˜o em lados opostos
de r, enta˜o B e C esta˜o em lados opostos de r.
Dem.:
Vamos demonstrar o teorema no caso em que A, B e C sa˜o na˜o colineares
(o outro caso fica como exerc´ıcio).
(i)
Suponha que B e C na˜o estejam no mesmo lado de r. Enta˜o r intercepta
BC em um ponto P (que esta´ entre B e C).
Pelo axioma II.4, e pelo teorema 8, r deve interceptar um, e apenas um, dos
segmentos AC ou AB.
17
A
B
C
r
Suponha que r intercepte AC. Enta˜o A e C estariam em lados opostos de
r, contradizendo a hipo´tese.
(ii)
A
B
C
r
A reta r intercepta AB e AC. Pelo teorema 8, r na˜o pode interceptar BC.
Logo, B e C esta˜o no mesmo lado de r.
(iii)
C
A B
r
A reta r intercepta AC e na˜o intercepta AB. Pelo axioma II.4, r deve in-
terceptar BC.
Logo, B e C esta˜o em lados opostos de r.
Obs.: Nos casos em que A, B e C sa˜o colineares, devemos obter um ponto
auxiliar de modo a formar trios de pontos na˜o colineares.
Por exemplo, para demonstrar (i):
Vejamos:
18
A
B C
Q
r
P
Seja P um ponto de r que na˜o esta´ na reta que passa por A, B e C (note
que, pelo axioma I.3, a reta r possui pelo menos dois pontos; se um deles esta´
tambe´m na reta que passa por A, B e C, enta˜o o outro na˜o estara´ nesta reta).
Considere agora os pontos P e B (ou P e A, ou P e C). Pelo axioma II.2,
existe um ponto Q tal que B esta´ entre P e Q.
Note que o ponto Q na˜o esta´ na reta r pois, caso contra´rio, a reta
←→
PQ seria
a pro´pria reta r, e enta˜o o ponto B (que esta´ em
←→
PQ) estaria em r.
Note ainda que o ponto Q na˜o esta´ na reta que passa por A, B e C pois,
caso contra´rio, a reta
←→
QB seria aquela reta e, neste caso P (que esta´ em
←→
QB)
estaria na reta que passa por A, B e C.
Os pontos B e Q esta˜o no mesmo lado de r pois, caso contra´rio, existiria um
ponto de r que estaria entre B e Q, mas tal ponto so´ poderia ser P ( o ponto
de intersecc¸a˜o da reta r com a reta
←→
QB). Mas enta˜o ter´ıamos P entre B e Q,
o que na˜o pode ocorrer pois B esta´ entre P e Q (e o axioma II.3 completa o
argumento).
Agora, usando repetidas vezes a parte inicial do teorema 9 (ja´ demonstrada)
temos:
(a) A e Q esta˜o no mesmo lado de r pois, A e B esta˜o no mesmo lado de r
(hipo´tese) e B e Q esta˜o no mesmo lado de r (acabamos de demonstrar).
(b) Q e C esta˜o no mesmo lado de r pois, A e C esta˜o no mesmo lado de r
(hipo´tese) e A e Q esta˜o no mesmo lado de r (item (a)).
(c) Finalmente, B e C esta˜o no mesmo lado de r, pois Q e C esta˜o no mesmo
lado de r (item (b)) e Q e B esta˜o no mesmo lado de r (provado acima).
(Fazer (ii) e (iii), no caso colinear, como exerc´ıcio).
Definic¸a˜o 8: Seja r uma reta e seja P um ponto na˜o incidente a r. O semi-plano
definido por r que conte´m o ponto P e´ o conjunto dos pontos Q tais que P e
Q esta˜o no mesmo lado de r. (Notac¸a˜o: Sr.P , ou SP caso esteja claro que o
semi-plano e´ definido por r).
Teorema 10
Toda reta define exatamente dois semi-planos disjuntos.
19
Obs.: Este teorema nos diz que, dada uma reta r qualquer, todo ponto ou
esta´ em r, ou esta´ em um (e somente um) dos semi-planos definidos por r.
Dem.:
Seja r uma reta qualquer. Vamos mostrar que existem dois semi-planos de-
finidos por r que sa˜o distintos e depois mostraremos que na˜o ha´ mais do que
estes dois semi-planos.
A
P
B
r
Seja A um ponto na˜o incidente a r (teorema 3). Enta˜o SA e´ na˜o vazio (A
esta´ neste semi-plano).
Seja P um ponto de r (axioma I.3), e seja P um ponto tal que P entre A e
B (axioma II.2).
Os pontos A e B esta˜o em lados opostos de r (definic¸a˜o), ou seja, B na˜o
esta´ em SA.
Segue-se que SB (na˜o vazio, pois B esta´ neste semi-plano) e´ distinto de SA.
Vamos mostrar agora que na˜o ha´ mais semi-planos definidos por r.
Sejaenta˜o C um ponto qualquer na˜o incidente a r.
Suponha que C na˜o esteja em SA. Na˜o estar em SA significa que C e A
esta˜o em lados opostos de r. Pelo teorema 9, B e C esta˜o no mesmo lado de r.
Logo, C esta´ em SB .
Note que, se C for B enta˜o C esta´ em SB .
Vamos mostrar agora que SA ∩ SB = φ.
Seja M um ponto qualquer de SA. Enta˜o M e A esta˜o no mesmo lado de
r. Mas, A eB esta˜o em lados opostos de r, pelo teorema 9, segue-se que M e B
esta˜o em lados opostos de r, ou seja, M na˜o esta´ em SB .
Conclu´ımos que SA ∩ SB = φ. �
Corola´rio:
Seja r uma reta. Todo ponto P de r divide esta reta em duas semi-retas
20
cujo u´nico ponto comum e´ aquele ponto (P ).
B
Q
C A
C
r
s
P
Dem.:
Seja P um ponto de r. Seja A um ponto distinto de P em r (axioma I.3), e
seja B tal que P esta´ entre A e B (axioma II.2).
Note que B tambe´m esta´ em r.
Seja Q um ponto na˜o incidente a r (teorema 3). Seja s a reta que passa por
P e Q (axiomas I.1 e I.2). A reta s e´ distinta da reta r.
Considere as semi-retas
−→
PA e
−−→
PB, ambas contidas em r. O ponto P pertence
a essas duas semi-retas (da definic¸a˜o de semi-retas).
Vamos mostrar que qualquer ponto de r distinto de P pertence a uma, e
somente uma, das semi-retas
−→
PA ou
−−→
PB.
Os pontos A e B esta˜o em lados opostos de s, pois s conte´m um ponto do
segmento AB (o ponto P , que e´ o ponto de intersecc¸a˜o de r com s).
Considere os semi-planos SA e SB , respectivamente definidos por s contendo
os pontos A e B.
Como B na˜o esta´ em SA, segue-se, pelo teorema 10, que SA
⋂
SB = φ.
Seja C um ponto qualquer da semi-reta
−→
PA distinto de P . Se C for A, enta˜o
C esta´ em SA. Se C for distinto de A, enta˜o ou C esta´ entre P e A ou A esta´
entre C e P . Em qualquer um destes casos, C e A esta˜o no mesmo lado de s
pois, caso contra´rio, existiria um ponto de s entre C e A, mas este ponto so´
poderia ser P (o ponto de intersecc¸a˜o da reta s com a reta
←→
CA, ou seja, a reta
r). Mas isto na˜o pode ocorrer, pelo que foi estabelecido anteriormente (ou seja,
C ∗A ∗ P ou A ∗ C ∗ P ), e pelo axioma II.3.
Segue-se, portanto, que C esta´ no semi-plano SA.
Conclu´ımos que, se C 6= P esta´ em
−→
PA, enta˜o C esta´ em SA.
Analogamente, se C 6= P esta´ em
−−→
PB enta˜o C esta´ em SB .
Como SA
⋂
SB = φ, segue-se que
−→
PA
⋂−−→
PB = P . �
21
Definic¸a˜o 9: Sejam A, P e B treˆs pontos tais que P esta´ entre A e B. As
semi-retas
−→
PA e
−−→
PB sa˜o ditas semi-retas opostas.
Obs.: Pelo corola´rio acima, temos que as semi-retas opostas esta˜o contidas
na mesma reta, teˆm a mesma origem, e esta origem e´ seu u´nico ponto comum.
Teorema 11
Todo segmento de reta conte´m infinitos pontos.
Demonstrac¸a˜o esboc¸o:
Seja AB um segmento de reta. Pelo teorema 6, existe um ponto A1 talque
A1 esta´ entre A e B.
A
A
A
B
r
1
2
O ponto A1 e´ distinto de A e B (axioma II.1). Pelo teorema 6, existe um
ponto A2 entre A e A1.
O ponto A2 e´ distinto de A e A1 (axioma II.1).
O ponto A1 divide a reta r, que passa por A e B, em duas semi-retas opos-
tas (corola´rio), as semi-retas
−−→
A1A e
−−→
A1B. O ponto A2 esta´ na semi-reta
−−→
A1A
(definic¸a˜o- A ∗A2 ∗A1). Segue-se que A2 e´ distinto de B.
Seja agora A3 um ponto que esta´ entre A e A2 (teorema 6). Enta˜o o ponto
A3 esta´ na semi-reta
−−→
A2A, oposta a` semi-reta
−−−→
A2A1. Mas B esta´ em
−−−→
A2A1.
Segue-se que A3 e´ distinto de A, A1, A2 e B.
E assim sucessivamente, provamos que ha´ infinitos pontos em AB.
Axiomas de Congrueˆncia
Termo primitivo: congrueˆncia (“congruente a”).
Estudaremos congrueˆncia entre segmentos, aˆngulos e depois, figuras em ge-
ral.
Axiomas de congrueˆncia entre segmentos
Axioma III.1
22
Sejam AB um segmento, e uma semi-reta de origem C. Enta˜o existe um
ponto D, distinto de C, nessa semi-reta, tal que AB e´ congruente a CD. Sim-
bolicamente escrevemos: AB ≡ CD.
Obs.: Ate´ o momento, na˜o sabemos se AB ≡ CD implica CD ≡ AB (simetria),
nem sabemos se AB ≡ BA. No axioma III.1, na˜o esta´ garantido que D e´ u´nico.
Axioma III.2
Se AB e´ congruente a EF , e se CD e´ congruente a EF , enta˜o AB e´ congru-
ente a CD. Simbolicamente: AB ≡ EF e CD ≡ EF ⇒ AB ≡ CD.
Obs.: Com este axioma, podemos provar as propriedades reflexiva, sime´trica e
transitiva da congrueˆncia entre segmentos:
Reflexiva: Seja AB um segmento qualquer, e seja P um ponto qualquer. Seja
uma semi-reta com origem P . Pelo Axioma III.1, existe um ponto Q nesta
semi-reta tal que AB ≡ PQ. Enta˜o, de AB ≡ PQ e AB ≡ EF temos, pelo
Axioma III.2, que AB ≡ AB.
Simetria: Seja AB ≡ CD. De CD ≡ CD e AB ≡ CD temos, pelo Axioma III.2,
que CD ≡ AB.
Transitividade: Sejam AB ≡ CD e CD ≡ EF . Segue, por simetria, que
CD ≡ AB. Sendo CD ≡ EF , obtemos, pelo Axioma III.2, AB ≡ EF .
Portanto, a partir de agora, podemos falar simplesmente em dois segmentos
congruentes (na˜o importando a ordem).
Axioma III.3
Sejam A, B e C pontos tais que B esta´ entre A e C. Sejam A′, B′ e C ′ tais
que B′ esta´ entre A′ e C ′. Se AB ≡ A′B′ e BC ≡ B′C ′, enta˜o AC ≡ A′C ′.
A
B
C
A’
B’ C’
Obs.: Sejam A, B e C treˆs pontos colineares. AB e BC teˆm um u´nico ponto
comum se, e somente se, B estiver entre A e C. (Prove!)
Exerc´ıcios
1. Com as hipo´teses do Axioma III.3, e supondo ainda que D seja tal que C
esta´ entre B e D, e D′ seja tal que C ′ esta´ entre B′ e D′ e CD ≡ C ′D′,
prove que AD ≡ A′D′.
2. Se
−−→
BA e
−−→
BC sa˜o semi-retas opostas, enta˜o a reta r que passa por A, B e
C e´
−−→
BA ∪
−−→
AB.
23
Definic¸a˜o 10: Duas semi-retas distintas, de mesma origem e na˜o opostas defi-
nem um aˆngulo.
Em outras palavras, se
−→
OA e
−−→
OBsa˜o distintas, e A, O e B na˜o sa˜o colineares,
enta˜o
−→
OA e
−−→
OB definem um aˆngulo. Notac¸a˜o: ∠AOB (ou ∠BOA).
A origem comum O das semi-retas
−→
OA e
−−→
OBe´ chamada ve´rtice do aˆngulo
∠AOB. As semi-retas
−→
OA e
−−→
OB sa˜o chamadas lados do aˆngulo ∠AOB.
B
A
O
Definic¸a˜o 11: Um ponto P e´ dito ponto interior ao aˆngulo ∠AOB, se P e A
esta˜o no mesmo lado da reta OA.
Pergunta: O interior de um aˆngulo e´ na˜o vazio?
Obs.: Seja ∠AOB um aˆngulo. Sejam M e N pontos nos lados
−→
OA e
−−→
OB res-
pectivamente, distintos de A e de B. Enta˜o,
−→
OA =
−−→
OM e
−−→
OB =
−−→
ON (veja
exerc´ıcio 7, item (b), da Lista 2). Portanto, ∠AOB e´ o mesmo que ∠AON , ou
ainda, ∠MOB (prove!).
Pergunta: Existem pontos interiores a um aˆngulo ∠AOB? A resposta e´ SIM.
Teorema 12:
Seja ∠AOB um aˆngulo. Enta˜o os pontos da reta
←→
AB sa˜o pontos interiores
no aˆngulo ∠AOB se, e somente se, esses pontos estiverem entre A e B.
Dem.:
O
B
P
A
Q
Seja P um ponto que esta´ entre A e B (Teorema 6). Enta˜o P e B esta˜o
no mesmo lado da reta OA pois, caso contra´rio, haveria um ponto da reta OA
entre P e B, mas tal ponto so´ poderia ser o ponto A (o ponto de intersec¸a˜o das
retas OA e PB que e´ a reta AB). Mas isso na˜o ocorre pois P esta´ entre A e B
(pelo Axioma II.3).
Analogamente, prova-se que P e A esta˜o no mesmo lado da reta OB. Logo P
e´ ponto interior, e portanto existem pontos interiores ao aˆngulo ∠AOB. Como
∠AOB e´ um aˆngulo qualquer, todo aˆngulo possui pontos interiores.
24
Seja agora Q um ponto da reta
←→
AB que na˜o esta´ no segmento AB. Enta˜o,
uma e somente uma, das possibilidades ocorrera´:
(i) Q ∗A ∗B, ou
(ii) Q ∗B ∗A.
Se (i) ocorre, enta˜o os pontos Q e B esta˜o em lados opostos da reta
←→
OA (pois A,
que e´ ponto da reta
←→
OA, esta´ entre Q e B), e portanto Q na˜o e´ ponto interior
ao aˆngulo ∠AOB (da negac¸a˜o da Definic¸a˜o de ponto interior a um aˆngulo). O
caso (ii) e´ ana´logo.
Portanto, existem pontos que na˜o sa˜o interiores a um aˆngulo. Acabamos
de provarque, se um ponto da reta
←→
AB na˜o esta´ no segmento AB, enta˜o ele e´
ponto interior. Da contrapositiva desta afirmac¸a˜o, obtemos que se um ponto da
reta
←→
AB e´ ponto interior, enta˜o ele esta´ no segmento AB. �
Definic¸a˜o 12: Seja ∠AOB um aˆngulo. O conjunto dos pontos interiores a esse
aˆngulo e´ chamado interior do aˆngulo ∠AOB. Um ponto que na˜o pertence aos
lados nem esta´ no interior de ∠AOB e´ chamado ponto exterior a ∠AOB. O
conjunto dos pontos exteriores a ∠AOB e´ chamado exterior do aˆngulo ∠AOB.
Teorema 13:
Seja ∠AOB um aˆngulo. Enta˜o:
(i) Toda semi-reta de origem O e distinta de
−→
OA e de
−−→
OB esta´ toda no interior,
ou toda no exterior (exceto o ponto O) do aˆngulo ∠AOB.
(ii) Se todos os pontos de uma semi-reta de origem O, exceto o pro´prio ponto
O, estiverem no interior de ∠AOB, enta˜o essa semi-reta intercepta o segemento
AB em um ponto entre A e B (Teorema da Barra Transversal).
(iii) Se P e´ um ponto interior a ∠AOB, enta˜o todos os pontos da semi-reta
−−→
OP ,
exceto O, sa˜o pontos interiores a ∠AOB, e todos os pontos da semi-reta oposta
a
−−→
OP , exceto O, sa˜o pontos exteriores a ∠AOB.
Dem.:
A
O
B
PQ
P
(i) Seja uma semi-reta com origem O, distinta de
−→
OA e de
−−→
OB. Enta˜o, nenhum
ponto desta semi-reta exceto O, esta´ nos lados
−→
OA e
−−→
OB de ∠AOB. Seja P
um ponto dessa semi-reta distinto de O. Enta˜o P e´ ponto interior ou e´ ponto
exterior a ∠AOB.
25
Se P e´ ponto interior a ∠AOB, enta˜o seja Q um ponto da semi-reta
−−→
OP ,
distinto de O. Se Q for P , enta˜o Q e´ ponto interior. Se Q for distinto de P ,
enta˜o uma, e somente uma das possibilidades ocorrera´:
(a) O ∗Q ∗ P , ou
(b) O ∗ P ∗Q.
Se (a) ocorre, enta˜o Q e P esta˜o no mesmo lado da reta OA e esta˜o no
mesmo lado da reta OB pois, caso contra´rio, existiria um ponto entre Q e P
que estaria na reta OB. Mas tal ponto so´ poderia ser o ponto O (o ponto de
intersec¸a˜o das retas OP , OA e OB). Mas isso na˜o ocorre por (a).
Analogamente prova-se que se (b) ocorre, enta˜o Q e P esta˜o no mesmo lado
da reta OA e esta˜o no mesmo lado da reta OB. Mas P e´ ponto interior a
∠AOB. Isto significa que P e A esta˜o no mesmo lado da reta OB, e P e B
esta˜o no mesmo lado da reta OA.
Conclu´ımos, pelo Teorema 9, que Q e A esta˜o no mesmo lado da reta OB e
Q e B esta˜o no mesmo lado da reta OA, ou seja, Q e´ ponto interior a ∠AOB.
Seja agora P um ponto da semi-reta com origem O exterior a ∠AOB. Enta˜o,
P e B esta˜o em lados opostos da reta OA ou P e A esta˜o em lados opostos da
reta OB ( ou os dois!)
Suponhamos que P e B estejam em lados opostos da reta OA (o outro caso,
isto e´, P e A em lados opostos da reta OB, e´ ana´logo), e seja Q um ponto de
OP , distinto de O.
Se Q for P , enta˜o Q e´ ponto exterior a ∠AOB. Se Q for distinto de P , enta˜o
uma, e somente uma das situac¸o˜es ocorrera´:
(a) O ∗Q ∗ P
(b) O ∗ P ∗Q
No caso (a), P e Q esta˜o no mesmo lado da reta OA pois, caso contra´rio,
existiria um ponto da reta OA entre P e Q, mas tal ponto so´ poderia ser o ponto
O (o ponto de intersec¸a˜o da reta OA com a reta PQ). Mas enta˜o ter´ıamos
P ∗O ∗Q, o que na˜o ocorre (por (a) e pelo Axioma II.3).
Pelo Teorema 9, Q e B esta˜o em lados opostas da reta OA. Logo, Q e´ ponto
exterior a ∠AOB. Portanto, todos os pontos da semi-reta
−−→
OP , exceto O, sa˜o
pontos exteriores a ∠AOB.
O caso (b) e´ ana´logo.
(ii)
S
Q
O
B
P
A
D
Considere uma semi-reta com origem O tal que todos os seus pontos, exceto
O, sejam pontos interiores a ∠AOB. Seja P um ponto distinto de O dessa
semi-reta (que e´ portanto denotada por
−−→
OP ).
Seja Q um ponto da semi-reta oposta a semi-reta a semi-reta
−→
OA, distinto
de O. Enta˜o o ponto O esta´ entre A e Q.
26
Seja S um ponto distinto de O na semi-reta oposta a` semi-reta
−−→
OP . Enta˜o
O esta´ entre S e P .
Segue-se que S e P esta˜o em lados opostos da reta OB. Por outro lado,
como P e´ ponto interior a ∠AOB, temos que P e A esta˜o no mesmo ladoda
reta OB. Pelo Teorema 9, temos que S e A esta˜o em lados opostos da reta OB.
Isto significa que existe um ponto D entre S e A que esta´ na reta OB.
Vamos mostrar que O esta´ entre D e B.
Os pontos S e P esta˜o em lados opostos da reta OA, pois O esta´ entre S e P .
Os pontos S e D esta˜o no mesmo lado da reta OA pois, caso contra´rio, existiria
um ponto entre S e D que estaria na reta OA. Mas tal ponto so´ poderia ser A
(o ponto de intersec¸a˜o das retas OA e SD), e, enta˜o, ter´ıamos S ∗A ∗D, o que
na˜o ocorre (porque ja´ temos S ∗D ∗A, e pelo Axioma II.3).
Pelo Teorema 9, os pontos P e D esta˜o em lados opostos da reta OA. Mas P
e B esta˜o no mesmo lado da reta OA (P e´ ponto interior - hipo´tese). Segue-se,
pelo Teorema 9, que os pontos B e D esta˜o em lados opostos da reta OA. Isto
significa que O esta´ entre B e D.
Segue-se que B e D esta˜o em lados opostos da reta OP .
Agora, os pontos A e D esta˜o no mesmo lado da reta OP pois, caso contra´rio,
existiria um ponto entre A e D que estaria na reta OP . Mas tal ponto so´ pode
ser S (o ponto de intersec¸a˜o da reta OP com a reta AD). Enta˜o ter´ıamos
D ∗ S ∗A, o que na˜o ocorre (pois S ∗D ∗A e Axioma II.3).
Pelo Teorema 9, conclu´ımos que A e B esta˜o em lados opostos da reta OP .
Isto significa que existe um ponto N entre A e B que esta´ na reta OP . Pelo
item (i) deste Teorema, o ponto N e´ ponto interior a ∠AOB. O ponto N na˜o
esta´ na semi-reta oposta a semi-reta
−−→
OP , pois caso contra´rio, ou N seria O ( o
que na˜o ocorre, pois ele e´ ponto interior), ou ter´ıamos N ∗ O ∗ P . Mas N e P
estariam em lados opostos da reta OA e como P e B esta˜o no mesmo lado da
reta OA, concluir´ıamos, pelo Teorema 9, que N e B estariam em lados opostos
da reta OA, contradizendo o fato de N ser ponto interior a ∠AOB.
(iii) Foi demonstrado acima (veja com atenc¸a˜o a u´ltima parte de (ii)).
Exerc´ıcios propostos
1. Prove que se P e Q sa˜o pontos interiores a ∠AOB, enta˜o todos os pontos
do segmento PQ sa˜o pontos interiores a esse a˜ngulo.
2. Seja ∠AOB um aˆngulo e seja P um ponto do lado OA distinto de O.
Prove que existe uma reta passando por P que conte´m uma semi-reta com
origem P cujos pontos sa˜o exteriores a ∠AOB (exceto P ), e tal que sua
semi-reta oposta esta´ no interior de ∠AOB (exceto P ).
3. Seja ∠AOB um aˆngulo. Prove que existe uma reta passando por O tal
que todos os seus pontos (exceto O) sa˜o exteriores a ∠AOB.
4. Seja ∠AOB um aˆngulo.
(a) Prove que existe uma reta tal que todos os seus pontos sa˜o exteriores
a ∠AOB.
(b) Prove que na˜o existe uma reta passando por O tal que todos os seus
pontos (exceto O) sa˜o interiores a ∠AOB.
27
(c) Dar um exemplo de um modelo que e´ um contra-exemplo para o item
(b) (nesse caso, na˜o devem valer alguns dos axiomas de ordem). Obs.: O
modelo deve ter infinitos pontos.
Axiomas de Congrueˆncia sobre Aˆngulos
Axioma III.4
Seja ∠AOB um aˆngulo e
−−→
O′A′ uma semi-reta. Enta˜o existe, em um dos
semi-planos definidos pela reta O′A′, uma u´nica semi-reta O′B′ tal que o aˆngulo
∠AOB e´ congruente ao aˆngulo ∠A′O′B′. Ale´m disso, todo aˆngulo e´ congruente
a si pro´prio (reflexividade).
Obs.: Notac¸a˜o: ∠AOB ≡ ∠A′O′B′.
Definic¸a˜o 13: Um triaˆngulo fica definido por treˆs pontos A, B e C na˜o colinea-
res, e pelos treˆs segmentos de reta AB, BC e AC.
Notac¸a˜o: 4ABC (ou 4ACB, ou 4BAC, ou BCA, ou 4CAB, ou 4CBA).
Axioma III.5
Seja 4ABC e 4A′B′C ′ dois triaˆngulos tais que AB≡A′B′, AC≡A′C ′ e
∠BAC≡∠B′A′C ′. Enta˜o ∠ABC≡∠A′B′C ′.
A B A’ B’
C’C
Obs.: Trocando a ordem das congrueˆncias de segmentos na hipo´tese, e mantendo
a congrueˆncia dos aˆngulos, obtemos diretamente do axioma que: ∠ACB≡∠A′C ′B′.
Portanto, o axioma nos diz que, sendo va´lidas as hipo´teses, os outrs dois
aˆngulos do triaˆngulo sera˜o congruentes.
Comenta´rio: Vimos um axioma(III.3) que tratava da “aditividade”de segmen-
tos:
Se
{
A ∗B ∗ C e A′ ∗B′ ∗ C ′
AB≡A′B′ e BC≡B′C ′.
, enta˜o AC≡A′C ′.
E´ poss´ıvel demonstrar o seguinte:
Se
{
A ∗B ∗ C e A′ ∗B′ ∗ C ′
AB≡A′B′ e AC≡A′C ′.
, enta˜o BC≡B′C ′? Na˜o e´ poss´ıvel agora.
Definic¸a˜o 14: Dois aˆngulos sa˜o ditos adjacentes se eles teˆm o mesmo ve´rtice,
um lado comum, e os outrs dois lados esta˜o, respectivamente, em semi-planos
distintos em relac¸a˜o a` reta que conte´m o lado comum.
28
C O A
B
Definic¸a˜o 15: Dois aˆngulos sa˜o ditos adjacentes suplementares se eles forem
adjacentes e se os lados na˜o comuns forem semi-retas opostas.
Ex.: Os aˆngulos ∠AOB e ∠BOC da figura abaixo sa˜o adjacentes suplementares
(note que
−→
OA e
−−→
OC sa˜o semi-retas opostas).
C O A
B
Obs.: Dizemos que cada um deles e´ suplemento do outro.
Definic¸a˜o 16: Um aˆngulo e´ dito reto se ele for congruente a um suplemento dele.
Obs.: (1) Todo aˆngulo ∠AOB possui dois suplementos: um obtido pela semi-
reta oposta ao lado
−→
OA (e
−−→
OB comum), e o outro pela semi-reta oposta a
−−→
OB
(e
−→
OA comum).
C O A
B
D
O
B
A
(2) Se ∠AOB e´ um aˆngulo reto e ∠BOC e´ seu suplemento tal que ∠AOB≡∠BOC,
enta˜o ainda na˜o e´ poss´ıvel dizer que ∠BOC tambe´m e´ reto (pois na˜o temos a
propriedade da simetria na congrueˆncia de aˆngulos).
C O A
B
(3) A definic¸a˜o de aˆngulo reto na˜o implica na existeˆncia de um tal aˆngulo. Na˜o
fica claro tambe´m que aˆngulo reto e´ de um u´nico tipo.
29
C O A
B
C O A
B
’ ’
’
’
Ainda na˜o sabemos se ∠AOB≡∠A′O′B′.
Definic¸a˜o 17: Dois aˆngulos sa˜o ditos opostos pelo ve´rtice se eles possuem o
mesmo ve´rtice e os lados de um deles sa˜o respectivamente semi-retas opostas
aos lados do outro.
Ex.:
O
C B
D A
Definic¸a˜o 18: Um triaˆngulo e´ dito iso´sceles se ele possui dois lados congruentes.
Obs.: Vimos que um triaˆngulo e´ formado por treˆs pontos na˜o colineares e pe-
los treˆs segmentos cujas extremidades sa˜o aqueles pontos. Os treˆs pontos sa˜o
chamados ve´rtices do triaˆngulo, e os treˆs segmentos sa˜o chamados lados do
triaˆngulo.
Se 4ABC e´ um triaˆngulo, enta˜o os treˆs aˆngulos ∠A (ou ∠BAC), ∠B (ou
∠ABC) e ∠C (ou ∠ACB) sa˜o chamados aˆngulos internos, ou simplesmente,
aˆngulos do triaˆngulo 4ABC.
Exerc´ıcio: Prove que existem triaˆngulos iso´sceles.
Teorema 15:
Seja 4ABC um triaˆngulo iso´sceles tal que AB≡AC. Enta˜o ∠B≡∠C e
∠C≡∠B.
Dem.: Considere os triaˆngulos 4ABC e 4ACB (mesmo triaˆngulo).
CB C B
AA
De AB≡AC, AC≡AB (simetria) e ∠BAC≡∠CAB (Axioma III.4). Temos,
pelo Axioma III.5, que ∠B≡∠C e ∠C≡∠B. �
30
Definic¸a˜o 19: Um triaˆngulo 4ABC e´ congruente a um triaˆngulo 4A′B′C ′
(em notac¸a˜o: 4ABC≡4A′B′C ′) se AB≡A′B′, AC≡A′C ′, BC≡B′C ′ e, ainda,
∠A≡∠A′, ∠B≡∠B′ e ∠C≡∠C ′.
Teorema 16: (Primeiro Caso de Congrueˆncia de Triangulos - LAL)
Sejam4ABC e4A′B′C ′ dois triaˆngulos. Se AB≡A′B′, AC≡A′C ′ e ∠A≡∠A′,
enta˜o 4ABC≡4A′B′C ′.
Dem.:
A B
C
A’ B’
C’D
Pelo Axioma III.5, temos que ∠B≡∠B′ e ∠C≡∠C ′. Para provar, pela De-
finic¸a˜o 19, que 4ABC≡4A′B′C ′, falta provar que BC≡B′C ′.
Suponha, por absurdo, que BC e B′C ′ na˜o sejam congruentes. Enta˜o, pelo
Axioma III.1, existe um ponto D na semi-reta
−−−→
B′C ′ tal que BC≡B′D, e, pela
hipo´tese do absurdo, D e´ distinto de C ′. Observe que ou D esta´ entre B′ e C ′,
ou C ′ esta´ entre B′ e D. Em qualquer uma das situac¸o˜es, considere o triaˆngulo
4A′B′D. Note que as semi-retas
−−→
A′D e
−−→
A′C ′ sa˜o distintas, pois, caso contra´rio,
A′, C ′ e D seriam colineares e, como C ′, D e B′ sa˜o colineares, ter´ıamos A′, B′
e C ′ colineares, o que na˜o ocorre.
Agora, temos que AB≡A′B′ (hipo´tese), BC≡B′D (estabelecido acima pelo
Axioma III.2) e ∠B≡∠B′ (conclu´ıdo atrave´s do Axioma III.5). Pelo Axioma
III.5, obtemos que ∠≡∠B′A′D. Mas t´ınhamos, por hipo´tese, que ∠A≡∠B ′A′C ′
(ou ∠A′). Observando que as semi-retas (distintas)
−−→
A′D e
−−→
A′C ′ esta˜o em um
mesmo semi-plano em relac¸a˜o a` reta A′B′ (pois C ′ e D esta˜o no lado da reta
A′B′ - porqueˆ?) chegamos a uma contradic¸a˜o com a unicidade da semi-reta
citada no Axioma III.4.
Logo, BC≡B′C ′ e, portanto, 4ABC≡4A′B′C ′. �
Teorema 17: (Segundo Caso de Congrueˆncia de Triaˆngulos - ALA)
Sejam 4ABC e 4A′B′C ′ dois triaˆngulos tais que AB≡A′B′, ∠A≡∠A′ e
∠B≡∠B′. Enta˜o, 4ABC≡4A′B′C ′.
Dem.:
A
C
B A’ B’
C’
D
31
Vamos provar que AC≡A′C ′. Se isso ocorrer, pelo Teorema 16, temos que
4ABC≡4A′B′C ′.
Suponha, por absurdo, que AC e A′C ′ na˜o sejam congruentes. Enta˜o, pelo
Axioma III.1, existe um ponto D, distinto de C ′ na semi-reta
−−→
A′C ′, tal que
AC≡A′D. Enta˜o temos:


AC≡A′D(estabelecido acima)
AB≡A′B′(hipo´tese)
∠A≡∠B′A′D(ou∠A)
Pelo Teorema 16, temos que 4ABC≡4A′B′D. Segue-se, da Definic¸a˜o de
congrueˆncia de triaˆngulos, que ∠ABC(ou∠B)≡∠A′B′D. Mas, por hipo´tese,
∠ABC≡∠A′B′C ′. Chegamos a uma contradic¸a˜o com o Axioma III.4. �
Exerc´ıcio: Sejam A, B e C tais que A∗B ∗C, e seja B ′ um ponto na semi-reta
−−→
A′C ′. Se AC≡A′C ′ e AB≡A′B′. Mostre que B′ esta´ entre A′ e C ′.
Teorema 18:
Sejam ∠AOB e ∠BOC, e ∠A′O′B′ e ∠B′O′C ′, respectivamente dois pares
de aˆngulos adjacentes suplementares. Se ∠AOB≡∠A′O′B′, enta˜o ∠BOC≡∠B′O′C ′
(ou seja, ao final teremos que suplementos de aˆngulos congruentes sa˜o congru-
entes).
Dem.:
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A
B
C O
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A’
B’
C’ O’
Suponhamos, sem perda de generalidade, que OA ≡ O′A′, OB ≡ O′B′ e
OC ≡ O′C ′.
Enta˜o, como por hipo´tese ∠AOB ≡ ∠A′O′B′, teremos, pelo teorema 16 (1o
caso de congrueˆncia de triaˆngulos), que:
∠AOB ≡ ∠A′O′B′
Segue-se, pela definic¸a˜o de congrueˆncia de triaˆngulos que:
AB ≡ A′B′ e ∠BAO ≡ ∠B′A′O′.
Observe agora que, como OA ≡ O′A′ e OC ≡ O′C ′, teremos pelo axioma
III.3, a congrueˆncia AC ≡ A′C ′. Enta˜o, de AB ≡ A′B′, AC ≡ A′C ′ e ∠BAO ≡
∠B′A′O′ (que e´ o mesmo que ∠BAC ≡ ∠B′A′C ′)temos, pelo teorema 16 (1o
caso), que:
4BAC ≡ 4B′A′C ′.
32
Segue-se, pela definic¸a˜o de congrueˆncia de triaˆngulos, que BC ≡ B ′C ′ e
∠BCO ≡ ∠B′C ′O′.
Agora, de BC ≡ B′C ′, ∠BCO ≡ B′C ′O′ e CO ≡ C ′O′ temos, pelo teorema
16, que:
4BCO ≡ 4B′C ′O′.
Conclu´ımos da´ı que ∠BOC ≡ ∠B′O′C ′. �
Este teorema resulta em duas consequ¨eˆncias importantes:
Teorema 19:
Aˆngulos opostos pelo ve´rtice sa˜o congruentes.
Dem.:
Sejam ∠AOB e ∠COD aˆngulos opostos pelo ve´rtice, com
−→
OA e
−−→
OC semi-
retas opostas, e
−−→
OB e
−−→
OD semi-retas opostas.
A
BC
D
O
Vamos mostrar que ∠AOB ≡ ∠COD e que ∠COD ≡ ∠AOB.
Os aˆngulos ∠AOB e ∠AOD sa˜o adjacentes suplementares, e ∠AOD e ∠COD
tambe´m sa˜o adjacentes suplementares. Pelo teorema 18, e como ∠AOD ≡
∠AOD (axioma III.4), temosque ∠AOB ≡ ∠COD e tambe´m que ∠COD ≡
∠AOB. �
Observac¸o˜es:
1. Segue-se que ∠AOD ≡ ∠BOC e ∠BOC∠AOD.
2. Vimos que todo aˆngulo possui dois aˆngulos adjacentes suplementares, e
agora estamos
vendo que tais aˆngulos sa˜o congruentes.
Teorema 20:
Existem aˆngulos retos.
Dem.:
Seja
−→
OA uma semi-reta qualquer e seja B um ponto na˜o incidente a` reta
←→
OA.
33
Seja
−−→
OD a semi-reta do semi-plano definido pela reta
←→
OA que na˜o conte´m o
ponto B, tal que ∠AOB ≡ ∠AOD (axioma III.4).
A
B
O
D
Suponhamos, sem perda de generalidade, que OB ≡ OD. Consideremos
enta˜o o segmento BD. Como B e D esta˜o em semi-planos distintos em relac¸a˜o
a` reta
←→
OA, temos que B e D esta˜o em lados opostos da reta
←→
OA. Isto significa
que existe um ponto C, entre B e D, que esta´ na reta
←→
OA.
Ha´ enta˜o treˆs possibilidades:
(i) C e´ o ponto O;
(ii) C esta´ em
−→
OA e e´ distinto de O;
(iii) C esta´ na semi-reta oposta a` semi-reta
−→
OA e e´ distinto de O.
Se (i) ocorre, enta˜o:
A
B
D
O C
as semi-retas
−−→
CB e
−−→
CD sa˜o opostas e como, por hipo´tese, ∠AOB ≡ ∠AOD (ou
seja, ∠ACB ≡ ∠ACD) os aˆngulos ∠ACB e ∠ACD sendo adjacentes suplemen-
tares, temos que ∠AOB e´ reto (definic¸a˜o de aˆngulo reto).
(ii) C 6= O e C esta´ em
−→
OA:
34
A
B
C
D
O
De OB ≡ OD, ∠COB ≡ ∠COD e OC ≡ OC temos, pelo teorema 16
(1o caso de congrueˆncia de triaˆngulos), que os triaˆngulos 4COB ≡ ∆COD.
Conclui-se da´ı que ∠BCO ≡ ∠DCO. Como C esta´ entre B e D temos que
−−→
CB e
−−→
CD sa˜o semi-retas opostas. Segue-se que ∠BCO e ∠DCO sa˜o adjacentes
suplementares. Conclu´ımos enta˜o, pela definic¸a˜o, que ∠BCO e´ reto.
(iii) C 6= O e C esta´ na semi-reta oposta a` semi-reta
−→
OA:
A
B
C
D
O
Neste caso, como ∠COB e ∠AOB sa˜o adjacentes suplementares, ∠COD e
∠AOD tambe´m sa˜o adjacentes suplementares e, ale´m disso, ∠AOB ≡ ∠AOD,
teremos pelo teorema 18, que ∠COB ≡ ∠COD.
Segue-se enta˜o, de OB ≡ OD e OCOC que, pelo teorema 16, 4COB ≡
4COD.
Conclu´ımos da´ı que ∠BCO ≡ ∠DCO. Como C esta´ entre B e D, temos que
−−→
CB e
−−→
CD sa˜o semi-retas opostas. Segue-se que ∠BCO e ∠DCO sa˜o adjacentes
suplementares.
Conclu´ımos enta˜o, pela definic¸a˜o, que ∠BCO e´ reto. �
Exerc´ıcio:
Prove, admitindo a simetria e transitividade na congrueˆncia entre aˆngulos,
que se um aˆngulo e´ congruente a um aˆngulo reto, enta˜o ele tambe´m e´ aˆngulo
reto.
Teorema 21:
Sejam
−→
OA,
−−→
OB e
−−→
OC treˆs semi-retas distintas com origem O, e sejam
−−→
O′A′,
−−−→
O′B′ e
−−−→
O′C ′ treˆs semi-retas distintas com origem O′. Suponha que uma das
situac¸o˜es ocorra:
(a)
−−→
OB e
−−→
OC esta˜o no mesmo semi-plano definido pela reta
←→
OA, e
−−−→
O′B′ e
−−−→
O′C ′ esta˜o no mesmo semi-plano definido pela reta overleftrightarrowO′A′.
35
(b)
−−→
OB e
−−→
OC esta˜o em semi-planos distintos, definidos pela reta
←→
OA, e
−−−→
O′B′
e
−−−→
O′C ′ esta˜o em semi-planos distintos, definidos pela reta
←−→
O′A′.
Se ∠BOA ≡ ∠B′O′A′ e ∠COA ≡ ∠C ′O′A′, enta˜o ∠BOC ≡ ∠B′O′C ′.
Ana´lise:
(a)
A
B
C
O A
B
C
O’
’
’
’
(b)
’O
’A
’C
’B
O
A
C
B
Dem.:
Vamos demonstrar inicialmente o caso (a).
O
A
BC D
A’
B’C’
D’
O’
Neste caso, ou
−−→
OC esta´ no interior do aˆngulo ∠AOB, ou
−−→
OB esta´ no interior
do aˆngulo ∠AOC.
Consideremos este u´ltimo caso (o outro caso e´ ana´logo).
Suponhamos, sem perda de generalidade, que OA ≡ O′A′ e OC ≡ O′C ′.
Segue-se, pelo teorema 13 parte (ii) (teorema da barra transversal), que a
semi-reta
−−→
OB intercepta o segmento AC em um ponto D (entre A e C).
Seja D′ o ponto da semi-reta
−−−→
O′B′ tal que OD ≡ O′D′ (axioma III.1).
De OA ≡ O′A′, ∠AOC ≡ ∠A′O′C ′ e OC ≡ O′C ′ temos, pelo teorema 16,
que 4AOC ≡ 4A′O′C ′. Segue-se da´ı que AC ≡ A′C ′, ∠OAC ≡ ∠O′A′C ′, e
∠OCA ≡ ∠O′C ′A′.
De OA ≡ O′A′, ∠AOD ≡ ∠A′O′D′ e OD ≡ O′D′ temos, pelo teorema 16,
que AD ≡ A′D′ e ∠OAD ≡ ∠O′A′D′.
Observando que ∠OAC e´ o mesmo que ∠OAD e, do que foi conclu´ıdo acima,
que ∠OAC ≡ ∠O′A′C ′ e ∠OAD ≡ ∠O′A′D′, temos, pelo axioma III.4, que as
semi-retas
−−→
A′C ′ e
−−−→
A′D′ sa˜o a mesma semi-reta.
36
Como AC ≡ A′C ′, AD ≡ A′D′ e como D esta´ entre A e C segue-se, de um
exerc´ıcio da aula anterior, que D′ esta´ entre A′ e C ′.
Segue-se de outro exerc´ıcio (subtratividade para segmentos) que CD ≡ C ′D′.
Agora, como OC ≡ O′C ′, ∠OCD ≡ ∠O′C ′D′ e CD ≡ C ′D′ temos, pelo
teorema 16, que 4OCD ≡ 4O′C ′D′. Segue-se da´ı que ∠COD ≡ ∠C ′O′D′, ou
seja, ∠COB ≡ ∠C ′O′B′.
O caso (b) pode ser provado a partir do caso (a), observando que:
A
B
C
D O
A’
B’
C’
D’ O’
(Exerc´ıcio)
Teorema 22:
Sejam ∠AOB e ∠A′O′B′ tais que ∠AOB ≡ ∠A′O′B′. Seja
−−→
OC uma semi-
reta no interior de ∠AOB. Enta˜o existe uma u´nica semi-reta
−−−→
O′C ′ no interior
de ∠A′O′B′ tal que ∠AOC ≡ ∠A′O′C ′ e ∠BOC ≡ ∠B′O′C ′.
A
B
C
O A’
B’
C’
O’
Dem.:
Pelo axioma III.4 existe uma u´nica semi-reta
−−−→
O′C ′, no mesmo semi-plano,
definido pela reta
←−→
O′A′, da semi-reta
−−−→
O′B′ tal que ∠AOC ≡ ∠A′O′C ′. Devemos
provar que
−−−→
O′C ′ esta´ no interior de ∠A′O′B′.
No teorema 21 vimos que existe um ponto da semi-reta
−−−→
O′C ′ que esta´ entre
A′ e B′. Segue-se, do teorema 12, que aquele ponto e´ interior ao aˆngulo ∠A′O′B′.
Ainda do teorema 21, temos que ∠BOC ≡ ∠B ′O′C ′. �
Teorema 23:
Sejam Z1 e Z2 dois pontos em semi-retas distintas definidos pela reta
←→
XY
tais que XZ1 ≡ XZ2 e Y Z1 ≡ Y Z2. Enta˜o ∠XY Z1 ≡ ∠XY Z2 (e ∠XY Z2 ≡
∠XY Z1) e ∠Y XZ1 ≡ ∠Y XZ2 (e ∠Y XZ2 ≡ ∠Y XZ1).
37
Z 1 Z 2
X
Y
Dem.:
Suponha que X, Z1 e Z2 na˜o sejam colineares, nem Y , Z1 e Z2.
O triaˆngulo4XZ1Z2 e´ iso´sceles. Pelo teorema 15 temos ∠XZ1Z2 ≡ ∠XZ2Z1
(e ∠Y Z2Z1 ≡ ∠Y Z1Z2).
Da mesma forma temos que 4Y Z1Z2 e´ iso´sceles, e portanto ∠Y Z1Z2 ≡
∠Y Z2Z1 (e ∠Y Z2Z1 ≡ ∠Y Z1Z2).
Pelo teorema 21 temos que angleXZ1Y ≡ ∠XZ2Y (e, como consequ¨eˆncia
das relac¸o˜es sime´tricas da congrueˆncia, neste caso, ∠XZ2Y ≡ ∠XZ1Y ).
Se X, Z1 e Z2 sa˜o colineares:
Z1 Z2
X
Y
Enta˜o Y , Z1 e Z2 na˜o sera˜o colineares (porqueˆ?) e enta˜o trabalhamos apenas
com 4Y Z1Z2 e teremos ∠Y Z1X ≡ ∠Y Z2X (e ∠Y Z2X ≡ ∠Y Z1X).
Segue-se, do teorema 16 (1o caso de congrueˆncia de triaˆngulos) que4XY Z1 ≡
4XY Z2 (aqui tambe´m temos4XY Z2 ≡ 4XY Z1). Conclu´ımos da´ı que ∠XY Z1 ≡
∠XY Z2 (e ∠XY Z2 ≡ ∠XY Z1), e tambe´m que ∠Y XZ1 ≡ ∠Y XZ2 (e ∠Y XZ2 ≡
∠Y XZ1). �
Teorema 24 - (3o caso de congrueˆncia de triaˆngulos - LLL)
Sejam 4ABC e 4A′B′C ′ dois triaˆngulos tais que AB ≡ A′B′, AC ≡ A′C ′
e BC ≡ B′C ′. Enta˜o 4ABC ≡ 4A′B′C ′ (e 4A′B′C ′ ≡ 4ABC).
Dem.:
38
B 0
A
B
C C’
B’
A’
B"
Sejam
−−−→
A′B0 e
−−−→
A′B′′ as semi-retas em semi-planos distintos em relac¸a˜o a` reta
←−→
A′C ′, tais que ∠BAC ≡ ∠B0A
′C ′ e ∠BAC ≡ ∠B′′A′C ′ (axioma III.4), com
B0 e B
′ no mesmo semi-plano.
Suponha, sem perda de generalidade, que AB ≡ A′B0 e que AB ≡ A′B′′.
De AB ≡ A′B0, ∠BAC ≡ ∠B0A
′C ′ e AC ≡ A′C ′, temos pelo teorema 16,
que:
4ABC ≡ 4A′B0C
′.
Segue-se que BC ≡ B0C ′.
Analogamente teremos 4ABC ≡ 4A′B′′C ′.
Segue-se que BC ≡ B′′C ′. Conclu´ımos, do axioma III.2, que B0C ′ ≡ B′′C ′.
Tambe´m, de AB ≡ A′B0 e AB ≡ A′B′′, temos que A′B0 ≡ A′B′′. Do
teorema 23, temos que,
∠B′′A′C ′ ≡ ∠B0A
′C ′.
Por outro lado, das hipo´teses AB ≡ A′B′ e BC ≡ B′C ′, obtemos que
A′B′ ≡ A′B′′ e B′C ′ ≡ B′′C ′.
Pelo teorema 23 temos que ∠B′′A′C ′ e ∠B′A′C ′. Conclu´ımos enta˜o que as
semi-retas
−−−→
A′B0 e
−−−→
A′B′ coincidem (axioma III.4), e portanto B0 = B
′.
Segue-se que 4ABC ≡ 4A′B′C ′.
A prova de que 4A′B′C ′ ≡ 4ABC e´ a mesma ”trocando-se as figuras”.
�
Teorema 25:
Sejam ∠A′O′C′, ∠A′′O′′C ′′ e ∠AOC tais que ∠AOC ≡ ∠A′O′C ′ e ∠AOC ≡
∠A′′O′′C ′′. Enta˜o ∠A′O′C ′ ≡ ∠A′′O′′C ′′.
Dem.:
A
C
O
A’
O’
C’
A"
O"
C"
39
Suponha, sem perda de generalidade, que OA ≡ O′A′ e OA ≡ O′′A′′ , e que
OC ≡ O′C ′ e OC ≡ O′′C ′′.
Enta˜o de ∠AOC ≡ ∠A′O′C ′ temos, pelo teorema 16, que4AOC ≡ 4A′O′C ′.
Segue-se que AC ≡ A′C ′.
Agora, de ∠AOC ≡ ∠A′′O′′C ′′ temos, pelo teorema 16, que 4AOC ≡
4A′′O′′C ′′. Segue-se que AC ≡ A′′C ′′.
Da simetria e transitividade na congreˆncia de segmentos, obtemos que O′A′ ≡
O′′A′′, OC ≡ O′′C ′′ e A′C ′ ≡ A′′C ′′. Pelo teorema 24, conclu´ımos que4A′O′C ′ ≡
4A′′O′′C ′′ e 4A′′O′′C ′′ ≡ 4A′O′C ′).Segue-se da´ı que ∠A′O′C ′ ≡ ∠A′′O′′C ′′
(e ∠A′′O′′C ′′ ≡ ∠A′O′C ′.
Observac¸a˜o: Suponha que ∠AOB ≡ ∠A′O′B′. De ∠AOB ≡ ∠AOB (axi-
oma II.4) e do teorema 25, obtemos ∠A′O′B′ ≡ ∠AOB (simetria).
Agora suponha ∠ABC ≡ ∠DEF , e que ∠DEF ≡ ∠GHI. Da simetria
obtemos, ∠DEF ≡ ∠ABC e ∠DEF ≡ ∠GHI nos da´, pelo teorema 25,
∠ABC ≡ ∠GHI (transitividade).
A partir de agora podemos falar em aˆngulos congruentes e tambe´m em
triaˆngulos congruentes.
Teorema 26
Sejam ∠AOB e ∠A′O′B′ dois aˆngulos. Seja
−−−→
O′B′ a u´nica semi-reta, no
mesmo semi-plano da semi-reta
−−−→
O′D′, tal que ∠A′O′B′ ≡ ∠AOB.
Seja ainda
−−→
OD a u´nica semi-reta, no mesmo semi-plano da semi-reta
−−→
OB,
tal que ∠AOB ≡ ∠A′O′D′.
Se
−−−→
O′B′ esta´ no interior de ∠A′O′D′, enta˜o
−−→
OD esta´ no exterior de ∠AOB,
e reciprocamente.
’
’
’
’A
B
OA
B
O
DD
Obs: Se a situac¸a˜o do enunciado do teorema acima ocorre, diremos que o
aˆngulo ∠AOB e´ menor do que o aˆngulo ∠A′O′D′ (ou que ∠A′O′B′ e´ menor
menor do que ∠AOD), e escrevemos:
∠AOB < ∠A′O′D′.
Ou que ∠A′O′D′ e´ maior do que ∠AOB,
∠A′O′D′ > ∠AOB.
Dados dois aˆngulos α e β uma, e somente uma, das situac¸o˜es podera´ ocorrer:
α < β, α = β, β < α
40
Nesta relac¸a˜o de menor que (ou maior que) vale a transitividade:
Se α < β e β < γ, ou
se α < β e β ≡ γ, ou
se α ≡ β e β < γ, enta˜o α < γ.
Dem:
Suponha que a semi-reta
−−→
OD na˜o esteja no exterior do aˆngulo ∠AOB. Enta˜o
ou
−−→
OD coincide com
−−→
OB, ou
−−→
OD esta´ no interior de ∠AOB.
Se
−−→
OD coincide com
−−→
OB, enta˜o ∠AOD ≡ ∠AOB.
’
’
’
’A
B
OO
DD
B
A
Mas, por hipo´tese, ∠AOB ≡ ∠A′O′B′. Mas tambe´m, por hipo´tese, ∠A′O′B′ <
∠A′O′D′ e ∠A′O′D′ ≡ ∠AOD.
Por transitividade, obtemos:
∠AOD < ∠AOD. Absurdo.
Se
−−→
OD esta´ no exterior de ∠AOB :
’
’AO AO
E’
B’B
D
D’
Enta˜o, pelo teorema 22, existe uma u´nica semi-reta
−−−→
O′E′, no interior de
∠A′O′B′, tal que ∠A′O′E′ ≡ ∠AOD.
Mas, por hipo´tese, ∠A′O′D′ ≡ ∠AOD e, como
−−−→
O′E′ e
−−−→
O′D′ sa˜o distintas
(porqueˆ?), teremos uma contradic¸a˜o com o axioma II.4.
Logo,
−−→
OD esta´ no exterior de ∠AOB. A rec´ıproca e´ ana´loga.
�
Obs: As semi-retas
−−−→
O′E′ e
−−−→
O′D′ sa˜o distintas porque
−−−→
O′E′ esta´ no interior
de ∠A′O′B′ e
−−−→
O′D′ esta´ no exterior de ∠A′O′B′. Pois
−−−→
O′B′ esta´ no interior de
∠A′O′D′:
41
’
’
’
’A
B
O
D
Teorema 27
Todos os aˆngulos retos sa˜o congruentes entre si.
Dem:
Sejam ∠AOB e ∠A′O′B′ aˆngulos retos. Seja C um ponto na semi-reta
oposta a
−→
OA, e seja C ′ um ponto na semi-reta oposta a
−−→
O′A′.
’
’A
B
AO O’
D
B
C’C
Enta˜o, por definic¸a˜o (de aˆngulos retos), temos:
∠AOB ≡ ∠BOC e ∠A′O′B′ ≡ ∠B′O′C ′.
Suponha, por absurdo, que ∠AOB e ∠A′O′B′ na˜o sejam congruentes.
Seja
−−→
OD a semi-reta no mesmo semi-plano de
−−→
OB (em relac¸a˜o a` reta
←→
OA)
tal que ∠AOD ≡ ∠a′O′B′ (axioma III.4). Enta˜o ou
−−→
OD esta´ no interior de
∠AOB, ou
−−→
OD esta´ no exterior de ∠AOB.
Suponha que
−−→
OD esteja no interior de ∠AOB.
Enta˜o, pelo teorema 18,
∠DOC ≡ ∠B′O′C ′
Mas, por hipo´tese, ∠B′O′C ′ ≡ ∠A′O′B′. Segue-se, por transitividade, que
∠DOC ≡ ∠A′O′B′ (1)
Por outro lado, como
−−→
OD esta´ no interior de ∠AOB, enta˜o
−−→
OB esta´ no
interior de ∠DOC (por queˆ?). Segue-se que ∠DOC > ∠BOC. Mas, por
definic¸a˜o,
∠BOC ≡ ∠AOB.
Ainda, como
−−→
OD esta´ no interior de ∠AOB, temos
∠AOB > ∠AOD,
e como, por construc¸a˜o (e axioma III.4),
∠AOD ≡ ∠A′O′B′,
42
temos, por transitividade, que
∠DOC > ∠A′O′B′ (2)
Contradic¸a˜o entre (1) e (2).
Se
−−→
OD esta´ no exterior de ∠AOB chegamos, analogamente, a uma con-
tradic¸a˜o.
�
Obs: A comparac¸a˜o entre segmentos e´ uma consequeˆncia da unicidade do
ponto no axioma III.1.
A B C P D
Se C ∗ P ∗D, enta˜o AB < CD.
Se C ∗D ∗ P , enta˜o AB > CD.
Definic¸a˜o 20
Se um aˆngulo α e´ menor do que um aˆngulo reto, enta˜o dizemos que α e´ um
aˆngulo agudo. Se α e´ um aˆngulo maior do que um aˆngulo reto, dizemos que α
e´ um aˆngulo obtuso.
Isto e´ equivalente a dizer que um aˆngulo agudo e´ menor do que seu suple-
mento, e um aˆngulo obtuso e´ maior do que seu suplemento.
Definic¸a˜o 21
Os aˆngulos ∠ABC, ∠BAC e ∠ACB de um triaˆngulo 4ABC sa˜o chamados
aˆngulos (internos) de 4ABC. Os suplementos daqueles aˆngulos sa˜o chamados
aˆngulos externos de 4ABC.
A B
C
Teorema 28: (Teorema dos aˆngulos externos)
Qualquer aˆngulo externo de um triaˆngulo e´ maior do que os aˆngulos internos
na˜o adjacentes a ele.
Dem:
43
A B
C
D
D’
Seja 4ABC um triaˆngulo qualquer e seja D um ponto na semi-reta oposta
a` semi-reta
−−→
AB tal que AD ≡ DC.
Vamos provar que ∠CAD > ∠ACB.
Inicialmente provaremos que ∠CAD e ∠ACB na˜o sa˜o congruentes.
Suponha, por absurdo, que ∠CAD ≡ ∠ACB. Enta˜o,
4CAD ≡ 4ACB, pois
AD ≡ BC, ∠CAD ≡ ∠ACB e CA ≡ CA (teorema 16 - LAL)
Segue-se que ∠DCA ≡ ∠BAC.
Mas enta˜o, como ∠BAC e´ suplemento de ∠DAC teremos, pelo teorema 18,
que o suplemento de ∠ACB e´ congruente a ∠BAC. Mas enta˜o, pelo axioma
II.4, ∠DCA e´ o suplemento de ∠ACB. Segue-se que
−−→
CD e
−−→
CB sa˜o opostas,
ou seja, D esta´ na reta
←→
BC, e como D, A e B sa˜o colineares, ter´ıamos que C
estaria na reta
←→
AB, contradizendo o fato de que 4ABC e´ um triaˆngulo.
Vamos provar agora que ∠CAD na˜o e´ menor do que ∠ACB.
Suponha, por absurdo, que ∠CAD ≡ ∠ACB.
A B
C
D E
Enta˜o existe uma u´nica semi-reta no interior do aˆngulo ∠ACB com origem
C tal que o aˆngulo formado por esta semi-reta e pela semi-reta
−→
CA e´ congruente
a ∠CAD.
Pelo teorema da barra trasversal (teorema 13, item (b)), aquela semi-reta
intercepta AB em um ponto E que esta´ entre A e B.
Mas enta˜o, o aˆngulo ∠CAD, externo ao triaˆngulo4ACE em A, e´ congruente
ao aˆngulo interno ∠ACE, contradizendo o que foi provado anteriormente.
Logo, o aˆngulo ∠CAD > ∠ACB.
Analogamente prova-se que o aˆngulo externo ao aˆngulo ∠BAC, que e´ oposto
pelo ve´rtice a ∠CAD, e´ maior do que ∠ABC.
44
�
Consequeˆncias do teorema dos aˆngulos externos
Teorema 29 (Existeˆncia de paralelas)
Dada uma reta r qualquer, existe uma reta paralela a r.
Dem:
Seja P um ponto na˜o incidente a r. Vamos provar que por P passa uma reta
paralela a r.
A
r
C
P
B Q
Sejam A e B pontos de r.
Seja
−−→
PC a semi-reta no semi-plano distinto do semi-plano do ponto B em
relac¸a˜o a` reta
←→
PA, tal que ∠APC ≡ ∠PAB (axioma III.4).
Considere a reta s que passa por P e C. Veremos que s e´ paralela a r.
Suponha que s e r na˜o sejam paralelas. Enta˜o elas se interceptam em um
ponto Q.
Se Q esta´ no mesmo semi-plano que B enta˜o ∠APC e´ aˆngulo externo ao
triaˆngulo 4APQ e e´ congruente ao aˆngulo interno ∠PAQ, contradizendo o
teorema dos aˆngulos externos.
Se Q esta´ no semi-plano distinto de B enta˜o ∠PAB e´ aˆngulo externo do
4PAQ que e´ congruente ao aˆngulo interno ∠APQ, contradizendo o teorema
dos aˆngulos externos.
Logo, s na˜o intercepta r, ou seja, tais retas sa˜o paralelas.
�
Teorema 30Dados dois lados na˜o congruentes de um triaˆngulo, ao maior deles opoˆe-se o
maior aˆngulo.
Dem:
45
A B
C
C’
Suponha que AB > BC. Vamos provar que ∠ACB > ∠BAC.
Seja C ′ o ponto entre A e B tal que BC ′ ≡ BC (axioma III.1 e teorema 14).
Enta˜o a semi-reta
−−→
CC ′ esta´ no interior de ∠ACB, e portanto ∠BCC ′ < ∠ACB.
O triaˆngulo 4BCC ′ e´ iso´sceles, com BC ′ ≡ BC. Segue-se, do teorema 15,
que ∠BC ′C ≡ ∠BCC ′.
O aˆngulo ∠BC ′C e´ externo em C ′ do 4AC ′C. Segue-se, pelo teorema dos
aˆngulos externos, que ∠C ′AC < ∠BC ′C.
Por transitividade temos ∠BAC < ∠ACB.
�
Obs: Vale a rec´ıproca: dados dois aˆngulos na˜o congruentes de um triaˆngulo, ao
maior deles opo˜e-se o maior lado. (Prove)
A B
C
Teorema 31 - Rec´ıproca do teorema 15
Se um triaˆngulo possui dois aˆngulos congruentes enta˜o ele e´ iso´sceles.
Dem:
Seja 4ABC um triaˆngulo com ∠BAC ≡ ∠ABC.
A B
C
Vamos provar que BC ≡ AC.
Suponha, por absurdo, que BC na˜o seja congruente a AC. Enta˜o BC > AC,
ou BC < AC.
46
Se BC > AC teremos, pelo teorema 30, que ∠BAC > ∠ABC, contradizendo
a hipo´tese.
Analogamente chega-se a uma contradic¸a˜o se BC < AC.
�
Teorema 32 - Caso especial de congrueˆncia de triaˆngulos
Sejam 4ABC e 4A′B′C ′ dois triaˆngulos tais que AB ≡ A′B′, ∠A ≡ ∠A′ e
∠C ≡ ∠C ′. Enta˜o 4ABC ≡ 4A′B′C ′.
D
C
A B A’ B’
C’
Dem:
Vamos provar que AC ≡ A′C ′. E enta˜o, pelo 1o caso de congrueˆncia de
triaˆngulos (teorema 16) teremos que 4ABC ≡ 4A′B′C ′.
Suponha que AC e A′C ′ na˜o sejam congruentes. Suponha A′C ′ < AC (o
caso AC < A′C ′ e´ ana´logo). Seja D o ponto entre A e C tal que AD ≡ A′C ′.
Enta˜o 4ABD ≡ 4A′B′C ′, pois: AD ≡ A′C ′, ∠A ≡ ∠A′ e AB ≡ A′B′ (1o
caso - teorema 16). Segue-se que ∠ADB ≡ ∠C ′. Mas, pelo teorema dos aˆngulos
externos, teremos que ∠ADB > ∠ACB (∠C), e por hipo´tese, ∠C ≡ ∠C ′.
Chegamos a uma contradic¸a˜o.
�
Definic¸a˜o 22
Um ponto P e´ dito ponto me´dio de um segmento AB se AP ≡ BP .
Obs: Desta definic¸a˜o deduzimos que um ponto me´dio de um segmento esta´ entre
as extremidades deste segmento (se existir um tal ponto me´dio) - Exerc´ıcio.
Na˜o sabemos ainda se todo segmento possui um ponto me´dio e, se possui,
se ele e´ u´nico.
Definic¸a˜o 23
Dado um aˆngulo ∠AOB, uma semi-reta
−−→
OP e´ dita bissetriz de ∠AOB se
∠AOP ≡ ∠BOP .
Obs: Da definic¸a˜o na˜o podemos inferir a existeˆncia e a unicidade da bissetriz
de um aˆngulo. se existir tal bissetriz, enta˜o ela sera´ uma semi-reta no interior
do aˆngulo. (Exerc´ıcio)
47
Teorema 33
Todo segmento possui um u´nico ponto me´dio.
Dem:
Seja AB um segmento qualquer. Seja C um ponto fora da reta
←→
AB. No
semi-plano distinto do semi-plano (em relac¸a˜o a` reta
←→
AB) que conte´m o ponto
C, marquemos um aˆngulo ∠ABD tal que ∠BAC ≡ ∠ABD (axioma III.4).
Sem perda de generalidade, podemos considerar que overlineBD ≡ AC.
Os pontos C e D esta˜o em semi-planos distintos (em relac¸a˜o a` reta
←→
AB),
ou seja, C e D esta˜o em semi-planos distintos da reta
←→
AB. Portanto existe um
ponto M na reta
←→
AB que esta´ entre C e D.
Vamos provar agora que M esta´ entre A e B.
Se M for A (ou B):
A M B
C
D
Teremos uma contradic¸a˜o com o teorema dos aˆngulos externos pois, por
construc¸a˜o, o aˆngulo externo ∠BAC, de 4ABD e´ congruente ao aˆngulo interno
∠ABD desse triaˆngulo.
Se M na˜o pertence a AB (suponha que B esteja entre A e M - o outro caso,
M ∗A ∗B, e´ ana´logo),
A
B
D
C
M
enta˜o novamente teremos uma contradic¸a˜o pois, pelo teorema dos aˆngulos ex-
ternos, ∠ABD > ∠BMD (∠ABD e´ externo ao 4BMD), e ∠BMD > ∠MAC
48
(∠BMD e´ externo ao 4AMC), ou seja, ∠BMD > ∠BAC. Por transitividade
teremos ∠ABD > ∠BAC, contradizendo a construc¸a˜o feita no in´ıcio desta
demonstrac¸a˜o.
Logo, M esta´ entre A e B.
A
B
C
D
M
Considere agora os triaˆngulos 4AMC e 4BMD. Temos:
∠MAC ≡ ∠MDB (construc¸a˜o)
AC ≡ BD (construc¸a˜o)
∠AMC ≡ ∠BMD (opostos pelo ve´rtice - teorema 19)
Segue-se, pelo caso especial de congrueˆncia de triaˆngulos (teorema 32), que
4AMC ≡ 4BMD. Segue-se que AM ≡ BM , e portanto M e´ ponto me´dio de
AB.
Vejamos agora que M e´ o u´nico ponto me´dio de AB.
Suponha, por construc¸a˜o, que exista um ponto N , distinto de M , tal que
AN ≡ BN . Sabemos que N deve estar entre A e B.
Enta˜o N esta´ entre B e M , ou N esta´ entre A e M . Suponha que N esteja
entre B e M (o outro caso e´ ana´logo). Enta˜o M esta´ entre A e N (exerc´ıcio 5
da lista 2).
Segue-se que:
AN > AM (1)
Mas,
AM ≡ BM (2)
Por outro lado, de M ∗N ∗B, temos BM > BN (3).
Por transitividade de (1), (2) e (3), obtemos:
AN > BN. Contradic¸a˜o.
Logo, M e´ o u´nico ponto me´dio de AB.
�
Teorema 34
49
Todo aˆngulo possui uma u´nica bissetriz.
Dem:
Seja ∠AOB um aˆngulo qualquer. Suponha, sem perda de generalidade, que
OA ≡ OB.
A
B
MO
Pelo torema 33, AB possui um ponto me´dio M (AM ≡ BM) que esta´ no
interior de ∠AOB (teorema 12). Enta˜o,
4MOA ≡ 4MOB, pois:
OA ≡ OB (hipo´tese)
AM ≡ BM ( M ponto me´dio) e
OM ≡ OM
caso LLL - teorema 24.
Segue-se que ∠BOM ≡ ∠AOM , ou seja,
−−→
OM e´ bissetriz de ∠AOB.
Unicidade: (exerc´ıcio).
Definic¸a˜o 24
Duas retassa˜o ditas perpendiculares se elas se interceptam em um ponto O
que e´ ve´rtice de um aˆngulo reto cujos lados sa˜o semi-retas respectivamente con-
tidas em cada uma daquelas retas.
Ja´ provamos, no teorema 20, que dado um ponto P fora de uma reta r,
existe uma reta perpendicular a` reta r, passando por P . Vejamos que esta reta
perpendicular e´ u´nica.
Teorema 35
Por um ponto P fora de uma reta r passa uma u´nica reta perpendicular a r.
Dem:
Suponha, por absurdo, que existam retas s e t, perpendiculares a r, passando
por P .
50
A B D
s t
r
C
P
Sejam A e B as intersecc¸o˜es de s e t respectivamente com r.
Sejam C e D na reta
←→
AB tais que C ∗A∗B e A∗B ∗D. Enta˜o ∠PAC e´ reto
e externo ao triaˆngulo 4PBA (reto, teorema 37). Contradic¸a˜o com o teorema
dos aˆngulos externos.
Logo, existe uma u´nica perpendicular.
�
Definic¸a˜o 25
Um triaˆngulo e´ dito retaˆngulo se ele possui um aˆngulo interno reto.
Definic¸a˜o 26
Uma reta e´ dita mediatriz de um segmento se ela for perpendicular a` reta
que conte´m esse segmento no ponto me´dio dele.
Obs: Como consequeˆncia do teorema 33 e da existeˆncia e unicidade da perpen-
dicular a` uma reta por um ponto desta reta, temos que todo segmento possui
uma u´nica mediatriz.
Teorema 36
Dado um segmento AB e um ponto P , tem-se que PA ≡ PB se, e somente
se, P for incidente a` mediatriz de AB.
Dem:
Seja P um ponto da mediatriz de AB. Se P for M , o ponto me´dio de
AB, enta˜o, por definic¸a˜o, temos PA ≡ PB. Se P na˜o for o ponto me´dio de AB
enta˜o P na˜o e´ incidente a` reta
←→
AB, e portanto4PMA e4PMB sa˜o triaˆngulos.
A BM
P
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Mas enta˜o 4PMA ≡ 4PMB, pois:
PM ≡ PM
∠PMA ≡ ∠PMB
AM ≡ BM
caso LAL (teorema 16).
Segue-se que PA ≡ PB.
Seja agora P um ponto tal que PA ≡ PB. Se P for M enta˜o P , por difinic¸a˜o
esta´ na mediatriz de AB.
Se P na˜o for M enta˜o, como PA ≡ PB, resulta da unicidade do ponto
me´dio, que P na˜o esta´ na reta
←→
AB.
Segue-se que P , A e B sa˜o na˜o colineares.
A M B
P
Considere os triaˆngulos 4PMA e 4PMB. Enta˜o 4PMA ≡ 4PMB, pois:
PA ≡ PB (hipo´tese)
AM ≡ BM (M ponto me´dio)
PM ≡ PM
caso LLL (teorema 24).
Segue-se que ∠PMA ≡ ∠PMB. Mas tais aˆngulos sa˜o suplementares. Segue-
se, por definic¸a˜o, que ∠PMA e ∠PMB sa˜o retos. Enta˜o a reta
←−→
PM e´ perpen-
dicular a` reta
←→
AB e passa pelo ponto me´dio M de AB. Logo,
←−→
PM e´ mediatriz
de AB, e P e´ incidente a ela.
�
Teorema 37
Seja ∠AOB um aˆngulo e seja P um ponto no interior de ∠AOB e sejam A′
e B′ pontos nos lados
−→
OA e
−−→
OB