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Mo´dulo de Frac¸a˜o como Porcentagem e Probabilidade Frac¸a˜o como Probabilidade. 6◦ ano E.F. Frac¸a˜o como Porcentagem e Probabilidade Frac¸a˜o como Probabilidade. 1 Exerc´ıcios Introduto´rios Exerc´ıcio 1. Um dado simples e na˜o viciado foi jogado. Qual a probabilidade de o nu´mero que ficar na face supe- rior do dado ser a) par? b) primo? c) menor que 3? d) maior do que ou igual a 3? Exerc´ıcio 2. Foi feita uma pesquisa sobre o estado onde nasceu cada professor de uma escola. Os resultados esta˜o representados no gra´fico abaixo. Analisando o gra´fico, marque V para verdadeiro ou F para falso e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequeˆncia correta. ( ) A escola tem um total de 40 professores. ( ) Escolhendo ao acaso um desses professores, a pro- babilidade de ter nascido no Parana´ e´ 0,4. ( ) 30 professores na˜o nasceram na Bahia. ( ) A probabilidade de escolher ao acaso um desses professores e ele ser da regia˜o Sul do Brasil e´ 0,45. ( ) A porcentagem dos professores que nasceram em Sa˜o Paulo e´ de 20 Exerc´ıcio 3. Em uma prova objetiva, cada questa˜o pos- sui 5 alternativas de respostas, sendo apenas uma correta. Joa˜o estava fazendo tal prova e chegou na u´ltima questa˜o sem tempo para resolveˆ-la. Ele decidiu enta˜o assinala´-la aleatoriamente. a) Qual a probabilidade dele ACERTAR essa u´ltima questa˜o? b) Qual a probabilidade dele ERRAR essa u´ltima questa˜o? Exerc´ıcio 4. Na lista de chamada de uma turma, os 30 estudantes sa˜o numerados de 1 a 30. Em um determinado dia, quando faltaram os alunos de nu´meros 11 e 26, o pro- fessor sorteou, entre os estudantes presentes, algue´m para resolver um exercı´cio no quadro. Qual a probabilidade de o nu´mero sorteado ser: a) par? b) menor que 9? c) mu´ltiplo de 4? d) primo? e) entre 12 e 25? Exerc´ıcio 5. Marcela pesquisou a prefereˆncia de seus colegas de classe em relac¸a˜o aos geˆneros musicais MPB, Rock e Axe´. Dos 38 entrevistados, 18 gostam de MPB, 19 de Rock, 14 de Axe´, 7 gostam de MPB e Rock, 5 gostam de Rock e Axe´, 3 de MPB e Axe´, e 2 dos treˆs geˆneros. Ao sortear um desses entrevistados, qual e´ a probabilidade de que ele: a) goste somente de Axe´? b) na˜o goste de MPB? Exerc´ıcio 6. Um dado e´ lanc¸ado ao acaso. Qual e´ a probabilidade de que o nu´mero da face superior seja um divisor de 6? a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3 d) 1/6 Exerc´ıcio 7. Um caixa eletroˆnico de certo banco dispo˜e apenas de ce´dulas de 20 e 50 reais. No caso de um saque de 400 reais, a probabilidade do nu´mero de ce´dulas entre- gues ser ı´mpar e´ igual a a) 1/4. b) 2/5. c) 2/3. d) 3/5. Exerc´ıcio 8. Em uma urna ha´ 72 bolas ideˆnticas, mas com cores diferentes. Ha´ bolas brancas, vermelhas e pre- tas. Ao sortearmos uma bola da urna, a probabilidade de ela ser branca e´ 1/4 e a probabilidade de ela ser vermelha e´ 1/3. A diferenc¸a entre o nu´mero de bolas pretas e o nu´mero de bolas brancas na urna e´ a) 12. b) 10. c) 8. d) 6. e) 4. Exerc´ıcio 9. Sandra comprou uma caixa de balas sorti- das. Na caixa, havia 8 balas de sabor menta, 6 balas de sabor morango, 6 balas de sabor caramelo e 4 balas de sabor tangerina. A probabilidade de Sandra escolher na caixa, ao acaso, uma bala de tangerina e´ a) 1/7. b) 1/6. c) 1/5. d) 1/4. e) 1/3. http://matematica.obmep.org.br/ 1 matematica@obmep.org.br 2 Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o Exerc´ıcio 10. A Confederac¸a˜o Brasileira de Futebol (CBF), em respeito ao Estatuto do Torcedor, realiza um sorteio para definir os a´rbitros das partidas de cada ro- dada do Campeonato Brasileiro de Futebol. O quadro abaixo mostra a quantidade de a´rbitros por estado que entraram no sorteio para os jogos de uma determinada rodada do campeonato. Para o jogo Flamengo(RJ) x Cruzeiro(MG), assinale a alter- nativa que apresenta a probabilidade de o a´rbitro sorteado ser um paulista. a) 2, 3% b) 2, 5% c) 11% d) 23% e) 25% Exerc´ıcio 11. Em uma empresa multinacional trabalham 45 funciona´rios, dos quais 40 sabem falar ingleˆs e 25 sa- bem falar ingleˆs e espanhol. Escolhendo-se aleatoriamente um funciona´rio dessa empresa, a probabilidade de que ele fale ingleˆs e na˜o fale espanhol e´ a) 2/3 b) 1/2 c) 2/5 d) 1/3 e) 1/5 Exerc´ıcio 12. Em um curso de computac¸a˜o, uma das atividades consiste em criar um jogo da memo´ria com as seis cartas mostradas a seguir. Inicialmente, o programa embaralha as cartas e apresenta- as viradas para baixo. Em seguida, o primeiro jogador vira duas cartas e tenta formar um par. A probabilidade de que o primeiro jogador forme um par em sua primeira tentativa e´ a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6 Exerc´ıcio 13. A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros e´ maior do que se imagina, como mostra a pesquisa abaixo, realizada com os jogadores pro- fissionais dos quatro principais clubes de futebol do Rio de Janeiro. De acordo com esses dados, se escolhermos ao acaso um dos jogadores pesquisados, qual a probabi- lidade (aproximadamente) dele ter concluı´do o Ensino Me´dio? a) 14% b) 48% c) 54% d) 60% e) 68% Exerc´ıcio 14. Uma urna conte´m 9 bolas vermelhas e x bolas azuis. Sabendo-se que a probabilidade de retirar uma bola azul, ao acaso, dessa urna e´ 3/4, qual o nu´mero de bolas azuis? Exerc´ıcio 15. Uma pesquisa num grupo de jovens re- velou que os meios de comunicac¸a˜o mais utilizados sa˜o Facebook, Twiter e Skype, distribuı´dos conforme o dia- grama abaixo. A probabilidade de sortear ao acaso um jovem que NA˜O utiliza Skype e´: 20 35 2045 40 15 Twiter Facebook Skype 25 a) 92, 5% b) 65, 0% c) 55, 0% d) 45, 0% e) 35, 0% Exerc´ıcio 16. Em uma travessa, ha´ 40 salgadinhos de mesmo formato e mesmo tamanho: 26 deles conteˆm queijo, 22 conteˆm palmito e alguns conteˆm queijo e pal- mito no recheio. A probabilidade de se retirar aleatoria- mente um salgadinho dessa travessa que contenha apenas queijo no recheio e´ a) 45% b) 48% c) 51% d) 54% e) 57% Exerc´ıcio 17. Dois dados sa˜o jogados simultaneamente. A probabilidade de se obter soma igual a 10 nas faces de cima e´ a) 1/18 b) 1/12 c) 1/10 d) 1/6 e) 1/5 Exerc´ıcio 18. Brasil e Argentina participam de um cam- peonato internacional de futebol no qual competem oito selec¸o˜es. Na primeira rodada sera˜o realizadas quatro partidas, nas quais os adversa´rios sa˜o escolhidos por sor- teio. Qual e´ a probabilidade de Brasil e Argentina se enfrentarem na primeira rodada? Exerc´ıcio 19. Numa urna existem bolas de pla´stico, to- das de mesmo tamanho e peso, numeradas de 2 a 21 sem repetic¸a˜o. A probabilidade de se sortear um nu´mero primo ao pegarmos uma u´nica bola, aleatoriamente, e´ de: a) 45% b) 40% c) 35% d) 30% e) 25% http://matematica.obmep.org.br/ 2 matematica@obmep.org.br 3 Exerc´ıcios de Aprofundamento e de Exames Exerc´ıcio 20. O diretor de um cole´gio leu numa revista que os pe´s das mulheres estavam aumentando. Ha´ alguns anos, a me´dia do tamanho dos calc¸ados das mulheres era de 35, 5 e, hoje, e´ de 37, 0. Embora na˜o fosse uma informac¸a˜o cientı´fica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funciona´rias do seu cole´gio, obtendo o quadro a seguir: Escolhendo uma funciona´ria ao acaso e sabendo que ela tem calc¸ado maior que 36, 0 a probabilidade de ela calc¸ar 38, 0 e´ a) 1/3 b) 1/5 c) 2/5 d) 5/7 e) 5/14 Exerc´ıcio 21. Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendac¸o˜es me´dicas, para uma das regio˜es: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Re- sidencial Suburbano. A principal recomendac¸a˜o me´dica foi com as temperaturas das “ilhas de calor” da regia˜o, que deveriam ser inferiores a 31◦ C. Tais temperaturas sa˜o apresentadas no gra´fico abaixo. Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regio˜es para morar, a probabilidade de ele escolher uma regia˜o que seja adequada a`s recomendac¸o˜es me´dicas e´ a) 1/3 b) 1/4 c) 2/5 d) 3/5 e) 3/4Exerc´ıcio 22. Em uma caixa, existem 10 bolas vermelhas numeradas de 1 a 10 e tambe´m 10 bolas verdes numeradas de 1 a 10. a) Ivonete retira uma bola da caixa. Qual a probabilidade de que a bola retirada seja uma de nu´mero 3? b) Marcos retira duas bolas da caixa. Qual a probabili- dade de ele obter 2 bolas com o mesmo nu´mero? c) Joana retira uma bola da caixa. Qual a probabilidade de que a bola retirada seja uma verde com um nu´mero par? Exerc´ıcio 23. Duas pessoas va˜o disputar uma partida de par ou ı´mpar. Elas na˜o gostam do zero e, assim, cada uma coloca 1, 2, 3, 4 ou 5 dedos com igual probabilidade. Qual a probabilidade de que a pessoa que escolheu par ganhe? Exerc´ıcio 24. As 23 ex-alunas de uma turma que com- pletou o Ensino Me´dio ha´ 10 anos se encontraram em uma reunia˜o comemorativa. Va´rias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuic¸a˜o das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, e´ mostrada no gra´fico abaixo. Um preˆmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex- alunas. A probabilidade de que a crianc¸a premiada tenha sido um(a) filho(a) u´nico(a) e´ a) 1/3 b) 1/4 c) 7/15 d) 7/23 e) 7/25 Exerc´ıcio 25. Uma rifa foi organizada entre os 30 alunos da turma do Pedro. Para tal, 30 bolinhas numeradas de 1 a 30 foram colocadas em uma urna. Uma delas foi, enta˜o, retirada da urna. No entanto, a bola caiu no cha˜o e se perdeu e uma segunda bola teve que ser sorteada entre as 29 restantes. Qual a probabilidade de que o nu´mero de Pedro tenha sido o sorteado desta segunda vez? a) 1/29 b) 1/30 c) 1/31 d) 1/60 e) 1/61 Exerc´ıcio 26. Um jogo de seis cartas possui treˆs pares de cartas ideˆnticas. Sabe-se que as seis cartas, juntas, pos- suem 10 cı´rculos, 6 triaˆngulos e nenhuma outra marcac¸a˜o. Em certo momento do jogo, treˆs das seis cartas esta˜o vira- das para cima, com as figuras visı´veis, e treˆs esta˜o viradas para baixo, conforme ilustrado a seguir. Virando para cima apenas duas das treˆs cartas que esta˜o voltadas para baixo, a probabilidade de que a u´ltima carta que restar virada para baixo tenha pelo menos dois cı´rculos e´ igual a a) 2/3 b) 2/9 c) 1/3 d) 5/6 e) 1/2 http://matematica.obmep.org.br/ 3 matematica@obmep.org.br Respostas e Soluc¸o˜es. 1. (Adaptado da Videoaula) O dado tem 6 faces e esse e´ o nosso universo, ou seja, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. a) Para o resultado ser par, temos como opc¸o˜es {2, 4, 6}, logo a probabilidade sera´ igual a 3 6 = 1 2 . b) Para o resultado ser um nu´mero primo, temos como opc¸o˜es {2, 3, 5}, logo a probabilidade sera´ igual a 3 6 = 1 2 . c) Para o resultado ser um nu´mero menor do que 3, temos como opc¸o˜es {1, 2}, logo a probabilidade sera´ igual a 2 6 = 1 3 . d) Para o resultado ser um nu´mero maior do que ou igual a 3, temos como opc¸o˜es {3, 4, 5, 6}, logo a probabili- dade sera´ igual a 4 6 = 2 3 . Comenta´rio para professores: E´ importante enfatizar para os alunos que as letras c e d sa˜o de eventos comple- mentares. Se denotarmos eles por A e A teremos P(A) + P(A) = 1. Assim, para conhecendo-se a probabilidade de um deles, podemos determinar facilmente a do outro. 2. (Adaptado o exame da acesso de IFSP(SP) − 2015) A sequeˆncia da resposta sera´ VFFVV. Pelo gra´fico, ha´ 10 + 8 + 8 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 = 40 pro- fessores. Ao sortear um deles, a probabilidade de seˆ-lo do Parana´ sera´ de 10 40 = 0, 25. Temos que 35 na˜o nasceram na Bahia. Agora, ao sortear ao acaso, a probabilidade de termos algue´m da regia˜o sul e´ de 10+ 8 40 = 0, 45. Por fim, a porcentagem dos paulista e´ 8 40 · 100% = 20%. 3. (Adaptado da Videoaula) a) Como sa˜o 5 alternativas e existe apenas uma correta, a probabilidade de acertar sera´ igual a 1 5 . b) Como sa˜o 5 alternativas e existem 4 erradas, a proba- bilidade sera´ igual a 4 5 . 4. (Adaptado da Videoaula) Ha´ apenas 28 estudantes na sala, dos quais 14 com nu´meros pares, 8 menores que nove, 7 mu´ltiplos de qua- tro, 9 nu´meros primos e 12 entre treze e vinte e cinco. Logo, as probabilidades pedidas sa˜o iguais a: a) 14 28 = 1 2 b) 8 28 = 2 7 c) 7 28 = 1 4 d) 9 28 e) 12 28 = 3 7 5. (Adaptado da Videoaula) a) O nu´mero de pessoas que gostam apenas de Axe´ e´ 14− 5− 3+ 2 = 8. Portanto a probabilidade procurada e´ 8 38 = 4 19 . b) O nu´mero de pessoas que na˜o gostam de MPB e´ 38− 18 = 20. Assim, a probabilidade procurada e´ 20 38 = 10 19 . 6. (Extraı´do do vestibular da UNIMONTES(MG) − 2015) Os divisores positivos de 6 sa˜o 1, 2, 3 e 6, sendo assim, a probabilidade sera´ de 4 6 = 2 3 . A resposta e´ a letra C. 7. (Extraı´do do vestibular da UNICAMP − 2014) Como a quantidade sacada e´ multipla de 50, as notas de 20 reais so´ podem sair aos quintetos e, consequentemente, as de 50, aos pares. Os casos possı´veis sa˜o: i) 8 notas de cinquenta e zero de vinte (total: 8 notas); ii) 6 notas de cinquenta e 5 de vinte (total: 11 notas); iii) 4 notas de cinquenta e 10 de vinte (total: 14 notas); iv) 2 notas de cinquenta e 15 de vinte (total: 17 notas); e v) zero nota de cinquenta e 20 de vinte (total: 20 notas). Dos 5 casos possı´veis, so´ 2 sa˜o favora´veis, logo a probabi- lidade e´ de 2 5 , e a resposta e´ a letra B. 8. (Extraı´do do vestibular da FGV − 2014) Dado que o conjunto universo e´ igual a 72 bolas e a pro- babilidade de retirar uma de cor branca e´ 1/4, podemos concluir que ha´ 72 · 1 4 = 18 bolas brancas. Ale´m disso, como a probabilidade de retirar uma vermelha e´ 1/3, enta˜o ha´ 72 · 1 3 = 24 bolas vermelhas. Sendo assim, ha´ 72− 18− 24 = 30 bolas pretas e a diferenc¸a pedida e´ igual a 30− 16 = 12, e a resposta e´ a letra A. 9. (Adaptado o exame da acesso de IFSP(SP) − 2014) Na caixa ha´ 8+ 6+ 6+ 4 = 24 balas, das quais 4 sa˜o de tangerina. Sendo assim, a probabilidade procurada e´ de 4 24 = 1 6 , e a resposta esta´ na letra B. 10. (Adaptado o exame da acesso de IFSP(SP) − 2015) Sa˜o 6 + 5 + 1 + 2 + 3 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 = 24 a´rbitros, enta˜o a probabilidade do sorteiro de um juiz paulista e´ de 6 24 · 1 4 = 25%. A resposta esta´ na letra E. http://matematica.obmep.org.br/ 4 matematica@obmep.org.br 11. (Extraı´do do vestibular da FCI(SP) − 2014) 2540− 25 45− 40 Ingleˆs Espanhol Sa˜o 15 funciona´rios que falam ingleˆs e na˜o falam espanhol, enta˜o a probabilidade sera´ igual a 15 45 = 1 3 , e a resposta esta´ na letra D. 12. (Extraı´do do vestibular do IBMEC − 2004) O problema comec¸ara´ depois de observar a primeira carta virada e tentar procurar o respectivo par entre as cinco cartas restantes. A probabilidade de uma das cinco cartas ser a que completa o par e´ 1 5 , e a resposta esta´ na letra D. Observac¸a˜o: Dentre as 15 possı´veis escolhas de pares iniciais, em 3 delas temos um par de cartas do mesmo tipo e assim a probabilidade de encontra´-los e´ 3 15 = 1 5 . 13. (Adaptado do ENEM) Se o jogador esta´ no ensino superior, enta˜o concluiu o En- sino Me´dio. Assim, o nu´mero de jogadores que possuem pelo menos o ensino me´dio e´ 54+ 14 = 68. A quantidade de jogadores pesquisados foi 3 · 14+ 16+ 54 = 112. Logo, o percentual pedido e´ 68/112 ≈ 0, 60 = 60%. A resposta esta´ na letra D. 14. (Adaptado do vestibular da UNIUBE(MG) − 2013) A probabilidade de retirarmos uma bola vermelha e´ 1/4 probabilidade. Como sa˜o 9 bolas vermelhas, podemos concluir que o total de bolas na urna e´ igual a 36. Por fim, teremos 36− 9 = 27 bolas azuis. 15. (Extraı´do do vestibular da UEPA(PA) − 2013) A probabilidade pedida sera´ dada por P = 40+ 45+ 25 40+ 45+ 25+ 35+ 20+ 20+ 15 = 110 200 = 55 100 = 55%. A resposta esta´ na letra C. 16. (Extraı´do do vestibular da UFSCar(SP) − 2013 ) 22− 1426− 8 40− 26 Queijo[26] Palmito[22]Universo[40] Perceba que, como ha´ 26 com queijo, ha´ 40− 26 = 14 com apenas palmito. Daı´, temos 20− 14 = 6 com palmito e queijo. Assim, 26 − 8 = 18 teˆm so´ queijo e enta˜o a probabilidade pedida e´ de 18 40 · 100% = 45%. A resposta esta´ na letra A. 17. (Extraı´do do vestibular da PUC(RS) − 2014) Observe a tabela abaixo na qual os primeiros nu´meros de cada coluna e linha indicam o resultado do lanc¸amento dos dados e os resultados subsequentes sa˜o as somas dos primeiros nu´meros de cada coluna e linha. Perceba que sa˜o 36 resultados no lanc¸amento de dois dados. + 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Como ha´ 3 resultados favora´veis, a probabilidade desejada sera´ de 3 36 = 1 12 , e a resposta esta´ na letra B. 18. (Extraı´do da OBMEP) Na˜o importa em qual jogo o Brasil estara´ (no primeiro, segundo, terceiro ou quarto), como existem 7 selec¸o˜es restantes, a probabilidade da Argentina ser o adversa´rio do Brasil e´ 1 7 . 19. (Extraı´do da UNIRIO) Os primos de 2 ate´ 21 sa˜o {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. Assim, o numero de elementos primos e´ 8 e o do conjunto universo e´ 20. Daı´ a probabilidade de se tirar um numero primo e´ 8/20 = 0, 4 = 40%. A resposta esta´ na letra B. http://matematica.obmep.org.br/ 5 matematica@obmep.org.br 20. (Extraı´do do ENEM) Ha´ 1 + 10 + 3 = 14 funciona´rias que calc¸am mais que 36 e, nesse intervalo, 10 calc¸am 38 (exatamente). Logo, a probabilidade fica igual a 10 14 = 5 7 . A resposta esta´ na letra D. 21. (Extraı´do do ENEM) Dentre as regio˜es citadas, Rural, comercial, residencial urbana e residencial suburbana, esta˜o abaixo de 31◦ C as regio˜es Rural, Residencial Urbana e Residencial Subur- bana, ou seja, 3 das 4 regio˜es. Assim, a probabilidade e´ de 3 4 . A resposta esta´ na letra E. 22. (Extraı´do do vestibular da PUC(RJ) − 2013) Observe que ha´ 10 bolas de cada cor, totalizando 20. a) como ha´ duas bolas com nu´mero 3, ficaremos com a probabilidade igual a 2 20 = 1 10 . b) na˜o importa qual sera´ o nu´mero na primeira bola reti- rada por Marcos, apenas uma das outras 19 possı´veis segundas retiradas nos interessa. Portanto, a probabili- dade desejada e´ igual a 1 19 . c) Sa˜o 5 bolas verdes com nu´meros pares, enta˜o a proba- bilidade sera´ igual a 5 20 = 1 4 . 23. (Extraı´do do material do PIC) Observe a tabela abaixo na qual os primeiros nu´meros de cada coluna e linha indicam o nu´mero de dedos escolhidos por cada um para jogar, e os resultados subsequentes sa˜o as somas dos primeiros nu´meros de cada coluna e linha. Perceba que sa˜o 25 somas possı´veis. + 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 Ha´ 13 resultados favora´veis, enta˜o a probabilidade sera´ de 13 25 = 52%. 24. (Extraı´do do ENEM) Ha´ 7 + 6 · 2 + 2 · 3 = 25 filhos de ex-alunas na festa e 7 sa˜o filhos u´nicos. Portanto, a probabilidade e´ igual a 7 25 . A resposta esta´ na letra E. 25. (Extraı´do da OBM) Existem 30 · 29 escolhas ordenadas de duas bolas distintas que representam as duas retiradas. Dentre essas escolhas, a bola de Pedro figura na segunda posic¸a˜o em exatmaente 29 delas. Portanto, a probabilidade e´ 29 30 · 29 = 1 30 . A resposta esta´ na letra B. 26. (Extraı´do do vestibular da FAMERP(SP) − 2015 ) Das treˆs cartas ideˆnticas (pares de cartas), ja´ temos um par exposto e uma carta definida, portanto falta outra sem triaˆngulos e com dois cı´rculos. Os 4 triaˆngulos e os dois cı´rculos faltantes sera˜o divididos em duas cartas iguais, ficando cada uma com 2 triaˆngulos e um cı´rculo. Logo, resta uma carta apenas com a condic¸a˜o solicitada no problema e a probabilidade dela ficar virada para baixo e´ igual a 1 3 . A resposta esta´ na letra C. Elaborado por Tiago Miranda e Cleber Assis Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedes.com http://matematica.obmep.org.br/ 6 matematica@obmep.org.br Exercícios Introdutórios Exercícios de Fixação Exercícios de Aprofundamento e de Exames
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