Resolução de Sistemas de equações diferenciais de 1ª Ordem

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Resoluc¸a˜o de um sistema de equac¸o˜es
diferenciais de primeira ordem
Moise´s Alves Monteiro
June 10, 2016
O sistema de equac¸o˜es diferenciais representam o decaimento radioativo
de duas substaˆncias:

X˙r(t) = −aXr + bYr
Y˙r(t) = nXr −mYr
Do sistema obtem-se:

Yr(t) =
X˙r+aXr
b
Xr(t) =
Y˙r+mYr
n
Derivando ambos os membros:

X¨r(t) = −aX˙r + bY˙r
Y¨r(t) = nX˙r −mY˙r
1
Substituir X˙r e Y˙r, reduzindo cada equac¸a˜o a uma varia´vel:

X¨r(t) = −aX˙r + b.[(nXr)− (mYr)]
Y¨r(t) = n.[(−aXr) + (bYr)]−mY˙r
⇒

X¨r(t) = −aX˙r + b[(nXr)−m.( X˙r+aXrb )]
Y¨r(t) = n[(−a).( Y˙r+mYrn ) + (bYr)]−mY˙r
⇒

X¨r(t) = −aX˙r + bnXr − ��bm.( X˙r+aXr�b )]
Y¨r(t) = (−a)�n.( Y˙r+mYr�n ) + bnYr −mY˙r
⇒

X¨r(t) = −aX˙r + bnXr −m.X˙r − amXr
Y¨r(t) = −aY˙r − amYr + bnYr −mY˙r
⇒

X¨r(t) = −(a+m)X˙r + (bn− am)Xr
Y¨r(t) = −(a+m)Y˙r + (bn− am)Yr
⇒

X¨r(t) + (a+m)X˙r − (bn− am)Xr = 0
Y¨r(t) + (a+m)Y˙r − (bn− am)Yr = 0
Substituir os coeficientes no sistema:
(a+m) = p ; (bn− am) = q

X¨r + pX˙r − qXr = 0
Y¨r + pY˙r − qYr = 0
2
Equac¸a˜o caracter´ıstica para Xr :
Xr(t) = e
(−α)t; X˙r(t) = (−α)e(−α)t; X¨r(t) = α2e(−α)t
X¨r + pX˙r − qXr = 0 ⇒
α2e(−α)t + p(−α)e(−α)t − qe(−α)t = 0 ⇒
���
�
(e(−α)t).(α2 + p(−α)− q) = �0 ⇒
α2 − pα− q = 0
Raizes da equac¸a˜o caracter´ıstica para Xr :
α = p±
√
∆
2
⇒
α1 =
p+
√
∆
2
; α2 =
p−√∆
2
Soluc¸a˜o Geral da Equac¸a˜o para Xreasuaderivadade1
aordem :

Xr = C1e
(−α1)t + C2e(−α2)t
X˙r = −C1(α1)e(−α1)t − C2(α2)e(−α2)t
ProblemadeV alorInicialparaXr :
Xr = C1e
(−α1)0 + C2e(−α2)0
0 = −C1(α1)e(−α1)0 − C2(α2)e(−α2)0
⇒

C1 = Xr − α1Xrα1−α2
C2 =
α1Xr
α1−α2
3
Equac¸a˜o caracter´ıstica para Yr :
Yr(t) = e
(−γ)t; X˙r(t) = (−γ)e(−γ)t; X¨r(t) = γ2e(−γ)t
X¨r + pX˙r − qXr = 0 ⇒
γ2e(−γ)t + p(−γ)e(−γ)t − qe(−γ)t = 0 ⇒
���
�(e(−γ)t).(γ2 + p(−γ)− q) = �0 ⇒
γ2 − pγ − q = 0
Raizes da equac¸a˜o caracter´ıstica para Yr :
γ = p±
√
∆
2
γ1 =
p+
√
∆
2
; γ2 =
p−√∆
2
Soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o para Yreasuaderivadade1
aordem :
Yr = K1e
(−γ1)t +K2e(−γ2)t
Y˙r = −K1(γ1)e(−γ1)t −K2(γ2)e(−γ2)t
⇒
Problema de Valor Inicial para Yr:
Yr = K1e
(−γ1)0 +K2e(−γ2)0
0 = −K1(γ1)e(−γ1)0 −K2(γ2)e(−γ2)0
⇒

K1 = Yr − γ1Yrγ1−γ2
K2 =
γ1Yr
γ1−γ2
4