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GST1073 – Fundamentos de Matemática
Aula 09: Função do Segundo Grau.
Fundamentos de Matemática
AULA 09: Função do Segundo Grau
Aula 9 - Função do Segundo Grau
Objetivos Gerais: Modelar e solucionar vários tipos de problemas com o uso do conhecimento Matemático Básico, no que se refere a Função do Segundo Grau.
Não esqueça que nosso material institucional, espera sua pesquisa e estudo diários. 
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Função do Segundo Grau
A Equação ou a Função do Segundo Grau, é um velho amigo nosso, Lembra? 
Aquela que você e eu fazíamos a fórmula de Bhaskara!? Seu gráfico é uma parábola. 
Lembrou? Então, veja alguns exemplos de Função do 2º grau: 
f(x) = 5x2 – 2x + 8; a = 5, b = – 2 e c = 8 (Completa) 
f(x) = x2 – 2x; a = 1, b = – 2 e c = 0 (Incompleta) 
f(x) = – x2; a = –1, b = 0 e c = 0 (Incompleta) 
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Função do Segundo Grau
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f(x) = ax² + bx + c
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Função do Segundo Grau
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Uma parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de uma reta r e de um ponto F, não pertencente à reta, no plano dado. Por exemplo, na próxima figura, podemos observar que qualquer ponto P da parábola dista igualmente da reta r e do ponto F.
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Concavidade
A parábola pode ter concavidade para cima ou para baixo. Na prática, para determinarmos a concavidade observamos a expressão da função de segundo grau. Para isso, basta identificar o sinal do coeficiente do termo x2, ou seja, o valor de a na expressão:
Se a > 0, a parábola possui concavidade para cima.
Se a < 0, a parábola possui concavidade para baixo.
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Exemplos
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Raízes ou zeros 
As raízes ou zeros da função de segundo grau são os valores de x que anulam a função f, ou ainda, são os valores reais de x tais que:
Graficamente, as raízes são os pontos onde a parábola corta o eixo dos x.
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Exemplo 
Seja a função quadrática f(x) = x2 –4x + 3
Pelo gráfico podemos perceber que a função possui duas raízes: x = 1 e x =3
4 + 2 = 6 = 3
 2 2
4 – 2 = 2 = 1
 2 2
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Algebricamente, para determinarmos as raízes da equação do segundo grau, utilizaremos a fórmula de Bhaskara.
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Caso1: Δ > 0
Nesse caso, a raiz do discriminante existe, e assim a função quadrática tem duas raízes reais e distintas, a saber:
Observamos que a parábola corta o eixo dos x em dois pontos distintos.
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Caso2: Δ = 0
Como a raiz quadrada de zero é zero, neste caso, a função quadrática tem duas raízes reais e iguais, a saber:
Observamos que a parábola apenas tangencia o eixo dos x.
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Caso3: Δ < 0
Como a raiz quadrada de um número negativo não é um número real, neste caso, dizemos que a função quadrática não tem raízes reais, já que .
Observamos que, a parábola não corta o eixo dos x.
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Exemplo 
Determine as raízes reais de f(x) = x2 – 3x + 4 
Resolução 
Primeiramente, calculamos
Δ = b2 – 4ac = (–3)2 – 4(1) (4) = 9 – 16 = –7
Como Δ < 0, f não tem raízes reais.
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Exemplo
Determine as raízes reais de f(x) = x2 – 3x + 2
Resolução
Temos Δ = b2 – 4ac = (–3)2 – 4(1) (2) = 9 – 8 = 1
Usando a fórmula de Bhaskara, obtemos as raízes:
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Exemplo
Seja f(x) = x2 – 4x + 3
Como c = 3, verifica-se que esta parábola intercepta o eixo y em y = 3, conforme o gráfico a seguir.
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Máximo e mínimo
O gráfico a seguir ilustra o ponto de máximo da parábola, xM, e o valor máximo correspondente yM.
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Máximo e mínimo
O gráfico a seguir ilustra o ponto de máximo da parábola, xM, e o valor máximo correspondente yM.
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Máximo e mínimo
O gráfico a seguir ilustra o ponto de máximo da parábola, xM, e o valor máximo correspondente yM.
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O gráfico a seguir ilustra o ponto de mínimo da parábola xM e o valor mínimo correspondente yM. 
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Vértice
Chamamos por vértice da parábola o ponto , associado à função quadrática 
y = ax2 + bx + c.
O gráfico da função quadrática possui um eixo de simetria que passa pelo vértice da parábola e é perpendicular ao eixo dos x. O eixo de simetria funciona como um espelho, dividindo a parábola em duas partes, veja os gráficos a seguir.
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Função do Segundo Grau
O Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical . 
A parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'' , que são as raízes da  equação ax2 + bx + c = 0 .
A parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0, c) .
O eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.
 ymax = - D / 4a ( a < 0 ) Im(f) = ( a > 0 )
 ymin = - D /4a ( a > 0 ) Im(f) = ( a < 0)
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Ainda sobre Função do Segundo Grau...
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Construção do gráfico de uma função de segundo grau:
1) Concavidade da parábola: coeficiente a
2) Onde a parábola corta o eixo dos y: coeficiente c
3) Pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x: raízes
4) Ponto de mínimo (a > 0), ou máximo (a < 0): vértice V
5) Eixo de simetria da parábola: reta que passa por V e paralela ao eixo dos y.
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Exemplo
Esboce o gráfico da função f(x) = – x2 – 4x –3
Resolução
1) Concavidade da parábola: coeficiente a;
Como a = –1 < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.
2)Onde a parábola corta o eixo dos y: coeficiente c;
Como c = –3, a parábola corta o eixo dos y em (0, –3)
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3)Pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x: raízes;
f(x) = – x2 – 4x –3
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Raízes ou zeros 
As raízes ou zeros da função de segundo grau são os valores de x que anulam a função f, são os valores reais de x tais que:
Graficamente, as raízes são os pontos onde a parábola corta o eixo dos x.
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Exemplo 
Seja a função quadrática f(x) = x2 –4x + 3
Pelo gráfico podemos perceber que a função possui duas raízes: x = 1 e x =3
as raízes são os pontos que cortam no eixo dos x
4 + 2 = 6 = 3
 2 2
4 – 2 = 2 = 1
 2 2
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Algebricamente, para determinarmos as raízes da equação do segundo grau, utilizaremos a fórmula de Bhaskara.
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Estudo dos sinais da função quadrática
Estudar o sinal de uma função consiste em determinar os intervalos de x nos quais esta função possui imagem positiva (f(x) > 0), imagem negativa (f(x) < 0) e imagem nula (f(x) = 0)
O estudo do sinal de uma função quadrática depende da concavidade desta função e a mudança de sinal da função quadrática está intimamente ligada às raízes desta função. 
Podemos resumir o estudo dos sinais de uma função quadrática com o auxílio dos gráficos abaixo. 
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Caso1: Δ > 0
Nesse caso, a raiz do discriminante existe, e assim a função quadrática tem duas raízes reais e distintas :
Observamos que a parábola corta o eixo dos x em dois pontos distintos.
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Caso2: Δ = 0
Como a raiz quadrada de zero é zero, a função quadrática tem duas raízes reais e iguais:
Observamos que a parábola apenas tangencia o eixo dos x.
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Caso3: Δ < 0
Como a raiz quadrada de um número negativo não é um número real, dizemos que a função quadrática não tem raízes reais.
Observe a parábola não corta o eixo dos x.
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Exemplo 
Determine as raízes reais de f(x) = x2 – 3x + 4 
Resolução 
Primeiramente, calculamos
Δ = b2 – 4ac = (–3)2 – 4(1) (4) = 9 – 16 = –7
Como Δ < 0, f não tem raízes reais.
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Exemplo
Determine as raízes reais de f(x) = x2 – 3x + 2
Resolução
Temos Δ = b2 – 4ac = (–3)2 – 4(1) (2) = 9 – 8 = 1
Usando a fórmula de Bhaskara: 
Temos as raízes: 2 e 1 
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Interseção com o eixo y
Uma vez que todo ponto localizado em cima do eixo dos y possui abscissa igual a zero, para determinarmos o ponto de interseção da parábola com o eixo dos y precisamos fazer x = 0 na função quadrática 
A parábola interceptará o eixo y em c. 
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Exemplo: f(x) = x2 – 4x + 3
Como c = 3, verifica-se que esta parábola intercepta o eixo y em y = 3 
Gráfico a seguir.
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Construção do gráfico de uma função de segundo grau:
1) Concavidade da parábola: coeficiente a;
2) Onde a parábola corta o eixo dos y: coeficiente c;
3) Pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x: raízes;
4) Ponto de mínimo (a > 0), ou máximo (a < 0): vértice V
5) Eixo de simetria da parábola: reta q ue passa por V e é paralela ao eixo dos y.
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Estudo dos sinais da função quadrática
Estudar o sinal de uma função consiste em determinar os intervalos de x nos quais esta função possui imagem positiva (f(x) > 0), imagem negativa (f(x) < 0) e imagem nula (f(x) = 0)
O estudo do sinal de uma função quadrática depende da concavidade desta função e a mudança de sinal da função quadrática está intimamente ligada às raízes desta função. 
Podemos resumir o estudo dos sinais de uma função quadrática com o auxílio dos gráficos abaixo. 
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Exemplo 
Estude o sinal da função quadrática f(x) = x2 – 4 x 9 + 3.
Resolução
Ao montar o gráfico de f, determinamos suas raízes x1 = 1 e x2 = 3. 
Verificamos que f(x) = 0 quando x = x1 e x = x2. 
A imagem de f é positiva, f(x) > 0, no intervalo x < 1 e x > 3
A imagem de f é negativa, f(x) < 0, no intervalo 1 < x < 3
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Entre as raízes x1 = 1 e x2 = 3, o valor da função é negativo (está abaixo do eixo dos x), enquanto para valores de x menores e maiores do que as raízes, o valor da função é positivo.
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Uma fábrica vendo determinado produto cuja função lucro, dada
em reais, é dada por L(x) = – 5x2 + 100x – 80, onde x representa o número de produtos vendidos. Determine: 
a) O lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos.
b) Quantos produtos precisam ser vendidos para obtenção do lucro máximo. 
Resolução
a) O lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos.
Função lucro da fábrica: L(x) = – 5x2 + 100x – 80. 
É uma função do 2º grau, com a = – 5 < 0.
A parábola que representa essa função possui concavidade voltada 
para baixo. 
Possui um ponto de máximo absoluto, que é o vértice da parábola.
O lucro máximo da empresa será dado pela coordenada y do vértice. 
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Lucro máximo da fábrica será de R$ 420,00. 
 L(x) = – 5x2 + 100x – 80
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Parábola: raízes ou zeros da função
Pontos onde a ordenada é nula
No caso de modelagem de algum fenômeno, são pontos de grande interesse
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Análise do discriminante pela fórmula de Bhaskara:
Parábola: raízes ou zeros da função
No caso de modelagem de algum fenômeno, são pontos de grande interesse
 Caso1: Δ>0 2 raízes reais
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Parábola: raízes ou zeros da função
No caso de modelagem de algum fenômeno, são pontos de grande interesse
Análise do discriminante pela fórmula de Bhaskara:
 Caso2: Δ=0 1 raiz real
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Parábola: raízes ou zeros da função
No caso de modelagem de algum fenômeno, são pontos de grande interesse
Análise do discriminante pela fórmula de Bhaskara:
 Caso 3 Δ<0 não possui raiz
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Análise do ponto x=0, ou seja:
No caso de modelagem de algum fenômeno, é ponto de grande interesse
Parábola: interseção com o eixo y
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Como foi visto no estudo da concavidade:
No caso de modelagem de algum fenômeno, é ponto de grande interesse
Parábola: interseção com o eixo y
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Estudo da concavidade:
No caso de modelagem de algum fenômeno, é ponto de grande interesse
Parábola: máximo e mínimo
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Estudo da concavidade:
No caso de modelagem de algum fenômeno, é ponto de grande interesse
Parábola: máximo e mínimo
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Estudo dos máximos e mínimos:
No caso de modelagem de algum fenômeno, é ponto de grande interesse
Parábola: vértice
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xM = 0,55
yM = - 2,02
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yM = 4,08
xM = 1,16
-----------------
Y= c = 0
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Sabe-se que, mensalmente, um fabricante vende x unidades de um determinado artigo por R(x) = x² – x. Sabe-se ainda que o custo da produção é dado por C(x) = 2x² – 7x + 8. Quantas unidades devem ser vendidas mensalmente, de modo que se obtenha o lucro máximo? 
Resolução:
L(x) = R(x) – C(x) 
L(x) = x² – x – (2x² – 7x + 8)
 
L(x) = x² – x – 2x² + 7x – 8 
L(x) = – x² + 6x – 8 
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Um fabricante de calçados pode produzir calçados ao custo de R$ 20,00 o par e estima que, se cada par for vendido por x reais, ele venderá por mês 80 – x (0 ≤ x ≤ 80) pares de sapatos. Considerando então o lucro mensal do fabricante como
uma função do preço de venda, determine o preço de venda, de forma que o lucro mensal seja máximo?
Para se obter lucro máximo, o preço de venda 
do par de sapatos deve ser R$ 50,00. 
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Finalizando a Equação do Segundo Grau
Estudamos tudo que envolve a equação do segundo grau.
Logo, para o esboço do gráfico de uma Função do Segundo Grau...
Não esqueçam destes cálculos, presentes no gráfico ao lado.
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AULA 09: Função do Segundo Grau
Finalizamos nossa Aula 9.
Em nosso material institucional, há mais exercícios e definições.
Não deixe de estudar o nosso Material Institucional. 
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AVANCE PARA FINALIZAR A APRESENTAÇÃO.
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